电磁感应中动量定理和动量守恒的运用

电磁感应中动量、能量关系的运用

1.如图2所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内，现有一个边长为a（a﹤L）的正方形闭合线圈以初速度v0垂直磁场边界滑过磁场后，速度为v(v﹤v0)，那么线圈（）

A.完全进入磁场中时的速度大于（v0+v）/2

B.完全进入磁场中时的速度等于（v0+v）/2

C.完全进入磁场中时的速度小于（v0+v）/2

D.以上情况均有可能

2.如图3所示,在水平面上有两条导电导轨MN、PQ，导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向里，磁感应强度的大小为B，两根完全相同的金属杆1、2间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直。它们的电阻均为R，两杆

与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆的摩擦不计。杆1

以初速度v0滑向杆2，为使两杆不相碰，则杆2固定与不固

定两种情况下，最初摆放两杆时的最少距离之比为（）

A.1:1

B.1:2

C.2:1

D.1:1

3.如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。ab、cd是质量均为m的金属棒，

现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长。试求：

(1)ab、cd棒的最终速度；

(2)全过程中感应电流产生的焦耳热。

4.如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面

向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触

且可自由滑动。先固定a，释放b，当b的速度达到10m/s时，再

释放a，经过1s后，a的速度达到12m/s，则（1）此时b的速度大

小是多少？（2）若导轨很长，a、b棒最后的运动状态。

5.两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B=0.5T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m，两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，

大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过T=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37 m/s2，求此时两金属杆的速度各为多少？

6.如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定于同一水平面内，导轨间的距离为L，导轨上平行放置两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。已知两根导体棒的质量均为m、电阻均为R，其它电阻忽略不计，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行。开始时，导体棒cd静止、ab有水平向右的初速度v0，两导体棒在运动中始终不接触。求：

（1）开始时，导体棒ab中电流的大小和方向；

（2）从开始到导体棒cd达到最大速度的过程中，矩形回路产生的焦耳热；

（3）当ab棒速度变为

4

3v

时，cd棒加速度的大小。

7. 如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L，放在水平绝缘桌面上，半径为R的1/4圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。两金属棒ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好。棒ab 质量为2 m，电阻为r，棒cd的质量为m，电

阻为r。重力加速度为g。开始棒cd静止在水

平直导轨上，棒ab从圆弧顶端无初速度释放，

进入水平直导轨后与棒cd始终没有接触并一

B

a

b

c

d

R

直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上。棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为3: 1。求：

（1）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；

（2）棒cd在水平导轨上的最大加速度；

（3）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热。

8.如图所示，宽度为L的平行光滑的金属轨道，左端为半径为r1的四分之一圆弧轨道，右端为半径为r2的半圆轨道，中部为与它们相切的水平轨道。水平轨道所在的区域有磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场。一根质量为m的金属杆a置于水平轨道上，另一根质量为M的金属杆b由静止开始自左端轨道最高点滑下，当b滑入水平轨道某位置时，a 就滑上了右端半圆轨道最高点(b始终运动且a、b未相撞），并且a在最高点对轨道的压力大小为mg，此过程中通过a的电荷量为q，a、b棒的电阻分别为R1、R2，其余部分电阻不计。在b由静止释放到a运动到右端半圆轨道最高点过程中，求：

（1）在水平轨道上运动时b的最大加速度是多大？

系统产生的焦耳热是多少？

（3）a刚到达右端半圆轨道最低点时b

9.如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，

水平导轨左端有宽度为d 、方向竖直向上的匀强磁场I ，右端有另一磁场II ，其宽度也为d ，但方向竖直向下，磁场的磁感强度大小均为B 。有两根质量均为m 、电阻均为R 的金属棒a 和b 与导轨垂直放置，b 棒置于磁场II 中点C 、D 处，导轨除C 、D 两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K 倍，a 棒从弯曲导轨某处由静止释放。当只有一根棒作切割磁感线运动时，它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比，即v x ?∝?。求：

（1）若a 棒释放的高度大于h 0，则a 棒进入磁场I 时会使b 棒运动，判断b 棒的运动方向并求出h 0为多少？

（2）若将a 棒从高度小于h 0的某处释放，使其以速度v 0进入磁场I ，结果a 棒以

2

v 的速度从磁场I 中穿出，求在a 棒穿过磁场I 过程中通过b 棒的电量q 和两棒即将相碰时b

10.如图21所示，两根金属平行导轨MN 和PQ 放在水平面上，左端向上弯曲且光滑，导轨间距为L ，电阻不计。水平段导轨所处空间有两个有界匀强磁场，相距一段距离不重叠，

磁场Ⅰ左边界在水平段导轨的最左端，磁感强度大小为B，方向竖直向上；磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B，方向竖直向下。质量均为m、电阻均为R的金属棒a和b垂直导轨放置在其上，金属棒b置于磁场Ⅱ的右边界CD处。现将金属棒a从弯曲导轨上某一高处由静止释放，使其沿导轨运动。设两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。

从距水平面高度h处由静止释放。求：①金属棒a刚进入磁场Ⅰ时，通过金属棒b 的电流大小；

②若金属棒a在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒b能在导轨上保持静止，通过计算分析

金属棒a释放时的高度h应满足的条件；

（2）若水平段导轨是光滑的，将金属棒a仍从高度h处由静止释放，使其进入磁场Ⅰ。

设两磁场区域足够大，求金属棒a在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒b中可能产生焦

图21

“电磁感应中动量、能量关系的运用”参考答案

1.B

2.C

3.(1)自由下滑，机械能守恒：①

由于、串联在同一电路中，任何时刻通过的电流总相等，金属棒有效长度，故它们的磁场力为：②

在磁场力作用下，、各作变速运动，产生的感应电动势方向相反，当时，电路中感应电流为零()，安培力为零，、运动趋于稳定，此时有：

所以③、受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得：

④

⑤

联立以上各式解得：，

(2)根据系统的总能量守恒可得：

4.解析 （1） 当棒先向下运动时，在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是

棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者大小相等。释放棒后，经过时间t ，分别以

和

为

研究对象，根据动量定理，则有：

代入数据可解得：

（2）在、棒向下运动的过程中，棒产生的加速度，棒产生的加速度

。当棒的速度与

棒接近时，闭合回路中的逐渐减小，感应电流也逐渐减小，

则安培力也逐渐减小。最后，两棒以共同的速度向下做加速度为g 的匀加速运动。

5.解析：金属杆甲的加速度为a=1.37 m/s 2时，甲、乙的速度分别为、

对甲： 对甲、乙:

代入数据得

＝8.15m/s

＝1.85m/s

6解析：（1）ab 棒产生的感应电动势

0=BLv E ab ， ab 棒中电流 R

BLv R E I ab 2=

2=

， 方向由b a →

（2）当ab 棒与cd 棒速度相同时，cd 棒的速度最大，设最大速度为v 由动量守恒定律

mv mv 2=0 ∴ 01

2

v v

由能量守恒关系 Q ＝

21mv 20－21（2m ）v 2 ∴ Q ＝4

1mv 20

（3）设ab 棒的速度为03

4

v 时， cd 棒的速度为v ′

由动量守恒定律：v m v m mv ′+43=00

041=′∴v v 。 043=v BL E ab ；

041

=v BL E cd ；

I ＝R E E cd ab 2-=R

v v BL 2)

4143(00- ∴I ＝R BLv 40

cd 棒受力为 2204B L v F IBL R ==； 此时cd 棒加速度为 220

4B L v F a m Rm

=

=

7.（1）设ab 棒进入水平导轨的速度为1v ，ab 棒从圆弧导轨滑下机械能守恒：2122

1

2mv mgR ?=

① 离开导轨时，设ab 棒的速度为/

1v ，cd 棒的速度为/

2v ，ab 棒与cd 棒在水平导轨上运动，动量守恒，

/

2/1122mv mv mv += ②

依题意/1v >/

2v ，两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，由平抛运动水平位移vt x =可知

/1v :/2v =x 1:x 2=3:1 ③，联立①②③解得gR v 276/1=

，gR v 27

2/

2= （2）ab 棒刚进入水平导轨时，cd 棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大，设此时回路的感应电动

势为ε，BLv =ε

④ ，r

I 2ε

=

⑤ cd 棒受到的安培力为：BIL F cd

= ⑥

根据牛顿第二定律，cd 棒的最大加速度为：m

F a cd

=

⑦ 联立④⑤⑥⑦解得：mr

gR

L B a 2222=

（3）根据能量守恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为：

)2

1221(2212/22

/121mv mv mv Q +?-?=⑧ 联立①⑧并代入/1v 和/2

v 解得：mgR Q 4922=

8.解析：（1）由机械能守恒定律：

12

12

1Mgr Mv b = ∴112gr v b = b 刚滑到水平轨道时加速度最大，E=BLv b1，2

1R R E

I

+=

，

由牛顿第二定律有：F 安=BIL=Ma ∴ )

(2211

22R R M gr L B a +=

（2）由动量定理有： -BILt=Mv b2–Mv b1， 即：-BLq=Mv b2–Mv b1 ∴M

BLq

gr v b -

=12

2

根据牛顿第三定律得：N=N ?=mg ，2

21

r v m N mg a =+ ∴212gr v a =

∵Q r mg mv Mv Mgr a b +++=

2212

2122

121 ∴M q L B mgr BLq gr Q 23222221--= （3）∵能量守恒有2

12222

1212a a mv mv mgr -=

∴226gr v a = ∵动量守恒定律231a b b mv Mv Mv += ∴21

362gr M

m

gr v b -= 9.解析：（1）根据左手定则判断知b 棒向左运动。

a 棒从h 0高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒，有2

12mgh mv =

得：

v a 棒刚进入磁场I 时 E BLv = , 此时感应电流大小 2E

I R

=

此时b 棒受到的安培力大小F BIL =，依题意，有F Kmg =,求得：222

044

2K m gR h B L =

（2）由于a 棒从小于进入h 0释放，因此b 棒在两棒相碰前将保持静止。流过电阻R 的电量q I t =? ；

又因：E B S I R R t R t

φ??=

==

??总总总 所以在a 棒穿过磁场I 的过程中，通过电阻R 的电量：错误!未找

到引用源。, 故：2B S BLd q R R

?=

=

总（3分）

（没有推导过程得1分） 将要相碰时a 棒的速度 0

00

022

24

v v v v d v d -

=

-?= 此时电流：028BLv BLv I R R ==，

此时b 棒电功率：222

2

64b B L v P I R R

==

10.（1）① a 棒从h 0高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒，有错误!未找到引用源。 ① 解

得： 错误!未找到引用源。 ②

a 棒刚进入磁场I 时 错误!未找到引用源。 ③, 此时通过a 、

b 的感应电流大小为 2E

I R

=

解得：错误!未找到引用源。 ④

② a 棒刚进入磁场I 时，b 棒受到的安培力大小错误!未找到引用源。 ⑤

为使b 棒保持静止必有错误!未找到引用源。 ⑥ 由④ ⑤ ⑥联立解得：错误!未找到引用源。 ⑦ （2）由题意知当金属棒a 进入磁场I 时，由左手定则判断知a 棒向右做减速运动；b 棒向

左运动加速运动。

二者产生的感应电动势相反，故当二者的感应电动势大小相等时闭合回路的电流为零，此后二者

均匀速运动，故金属棒a、b均匀速运动时金属棒b中产生焦耳热最大，

设此时a、b的速度大小分别为错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。，由以上分析有：BL 错误!未找到引用源。=2BL错误!未找到引用源。⑧

对金属棒a应用动量定理有：错误!未找到引用源。⑨

对金属棒b应用动量定理有: 错误!未找到引用源。⑩联立⑧⑨⑩解得错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。

由功能关系得电路产生的总电热为：错误!未找到引用源。

故金属棒b中产生焦耳热最大值为错误!未找到引用源。

.