高考数学 导数与函数的单调性、极值与最值 教案 含解析题
第二节 导数在研究函数中的应用
第1课时 系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值
知识点一 利用导数研究函数的单调性
1.函数f (x )在某个区间(a ,b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0,则f (x )在这个区间上单调递增. (2)若f ′(x )<0,则f (x )在这个区间上单调递减. (3)若f ′(x )=0,则f (x )在这个区间上是常数. 2.利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x ).
(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间.
[提醒] (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则.
(2)有相同单调性的单调区间不止一个时,用“,”隔开或用“和”连接,不能用“∪”连接. (3)若函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增,则f ′(x )≥0,且在(a ,b )的任意子区间,等号不恒成立;若函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递减,则f ′(x )≤0,且在(a ,b )的任意子区间,等号不恒成立.
[重温经典]
1.(多选·教材改编题)如图是函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象,则下列判断正确的是( ) A .在区间(-2,1)上f (x )是增函数 B .在区间(2,3)上f (x )是减函数 C .在区间(4,5)上f (x )是增函数 D .当x =2时,f (x )取到极大值 答案:BCD
2.(教材改编题)函数y =x 4-2x 2+5的单调递减区间为( ) A .(-∞,-1)和(0,1) B .[-1,0]和[1,+∞) C .[-1,1] D .(-∞,-1]和[1,+∞)
答案:A
3.(易错题)若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭
⎫1
3,+∞ B .⎝⎛⎦⎤-∞,1
3
C.⎣⎡⎭⎫1
3,+∞ D .⎝
⎛⎭⎫-∞,1
3 解析:选C y ′=3x 2+2x +m ,由条件知y ′≥0在R 上恒成立,∴Δ=4-12m ≤0,∴m ≥1
3.
4.若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是( ) A .(-∞,-2] B .(-∞,-1] C .[2,+∞)
D .[1,+∞)
解析:选D 因为f (x )=kx -ln x ,所以f ′(x )=k -1
x .因为f (x )在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x >1时,f ′(x )=k -1x ≥0恒成立,即k ≥1
x 在区间(1,+∞)上恒成立.因为x >1,所以0<1
x <1,所以k ≥1.故选D.
5.若函数y =-4
3
x 3+ax 有三个单调区间,则a 的取值范围是________.
解析:∵y ′=-4x 2+a ,且y 有三个单调区间,∴方程y ′=-4x 2+a =0有两个不等的实根,∴Δ=02-4×(-4)×a >0,∴a >0. 答案:(0,+∞)
6.设函数f (x )在(a ,b )上的导函数为f ′(x ),f ′(x )在(a ,b )上的导函数为f ″(x ),若在(a ,b )上,f ″(x )<0恒成立,则称函数f (x )在(a ,b )上为“凸函数”.已知f (x )=x 44-t 3x 3+32x 2
在
(1,4)上为“凸函数”,则实数t 的取值范围是________.
解析:由f (x )=x 44-t 3x 3+32x 2
可得f ′(x )=x 3-tx 2+3x ,f ″(x )=3x 2-2tx +3,∵f (x )在(1,4)
上为“凸函数”,∴x ∈(1,4)时,3x 2-2tx +3<0恒成立,∴t >3
2⎝⎛⎭⎫x +1x 恒成立. 令g (x )=3
2⎝⎛⎭⎫x +1x ,∵g (x )在(1,4)上单调递增, ∴t ≥g (4)=51
8
.
∴实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫518,+∞. 答案:⎣⎡⎭⎫518,+∞
知识点二 利用导数研究函数的极值 1.函数的极大值
在包含x 0的一个区间(a ,b )内,函数y =f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值,称点x 0为函数y =f (x )的极大值点,其函数值f (x 0)为函数的极大值. 2.函数的极小值
在包含x 0的一个区间(a ,b )内,函数y =f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值,称
点x 0为函数y =f (x )的极小值点,其函数值f (x 0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.
[提醒] (1)极值点不是点,若函数f (x )在x 1处取得极大值,则x 1为极大值点,极大值为f (x 1);在x 2处取得极小值,则x 2为极小值点,极小值为f (x 2).极大值与极小值之间无确定的大小关系.
(2)极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数.
(3)f ′(x 0)=0是x 0为f (x )的极值点的必要而非充分条件.例如,f (x )=x 3,f ′(0)=0,但x =0不是极值点.
[重温经典]
1.(多选)(2021·福州模拟)下列函数中,存在极值点的是( ) A .y =x -1x
B .y =2|x |
C .y =-2x 3-x
D .y =x ln x
解析:选BD 由题意函数y =x -1x ,则y ′=1+1x
2>0,所以函数y =x -1
x 在(-∞,0),(0,
+∞)内单调递增,没有极值点;函数y =2|x |=⎩
⎪⎨⎪
⎧
2x ,x ≥0,2-x ,x <0,根据指数函数的图象与性质可
得,当x <0时,函数y =2|x |单调递减,当x >0时,函数y =2|x |单调递增,所以函数y =2|x |在x =0处取得极小值;函数y =-2x 3-x ,则y ′=-6x 2-1<0,所以函数y =-2x 3-x 在R 上单调递减,没有极值点;函数y =x ln x ,则y ′=ln x +1,当x ∈⎝⎛⎭⎫0,1
e 时,y ′<0,函数单调递减,当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ,+∞时,y ′>0,函数单调递增,当x =1
e 时,函数取得极小值,故选B 、D.
2.(教材改编题)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象,则f (x )的极小值点的个数为( ) A .1 B .2 C .3
D .4
解析:选A 由图象及极值点的定义知,f (x )只有一个极小值点.
3.(教材改编题)若函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9在x =-3时取得极值,则a 的值为( ) A .2 B .3 C .4
D .5
解析:选D f ′(x )=3x 2+2ax +3,由题意知f ′(-3)=0,即3×(-3)2+2a ×(-3)+3=0,解得a =5.
4.(多选)材料:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,在现行的高等数学与数学
分析教材中,对“初等函数”给出了确切的定义,即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的,且能用一个式子表示的,如函数f(x)=x x(x>0),我们可以作变形:f(x)=x x=eln x x=e x ln x=e t(t=x ln x),所以f(x)可看作是由函数f(t)=e t和g(x)=x ln x复合而成的,即f(x)=x x(x>0)为初等函数.根据以上材料,对于初等函数h(x)
=x 1
x(x>0)的说法正确的是()
A.无极小值B.有极小值1
C.无极大值D.有极大值e 1 e
解析:选AD根据材料知:h(x)=x 1
x=e
1
ln x
x=e
1
ln x
x,
所以h′(x)=e 1
ln x
x·⎝⎛⎭⎫
1
x ln x′=e
1
ln x
x·⎝⎛⎭⎫
-
1
x2ln x+
1
x2=
1
x2e
1
ln x
x(1-ln x),
令h′(x)=0得x=e,当0<x<e时,h′(x)>0,此时函数h(x)单调递增;当x>e时,h′(x)<0,此时函数h(x)单调递减.
所以h(x)有极大值且为h(e)=e 1
e,无极小值.
5.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e x的极值点,则f′(-2)=________,f(x)的极小值为________.
解析:由函数f(x)=(x2+ax-1)e x
可得f′(x)=(2x+a)e x+(x2+ax-1)e x,
因为x=-2是函数f(x)的极值点,
所以f′(-2)=(-4+a)e-2+(4-2a-1)e-2=0,
即-4+a+3-2a=0,解得a=-1.
所以f′(x)=(x2+x-2)e x.
令f′(x)=0可得x=-2或x=1.
当x<-2或x>1时,f′(x)>0,此时函数f(x)为增函数,当-2 所以当x=1时函数f(x)取得极小值, 极小值为f(1)=(12-1-1)×e1=-e. 答案:0-e 6.设x1,x2是函数f(x)=x3-2ax2+a2x的两个极值点,若x1<2 解析:由题意得f′(x)=3x2-4ax+a2的两个零点x1,x2满足x1<2 答案:(2,6) 知识点三 函数的最值 1.在闭区间[a ,b ]上连续的函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值与最小值. 2.若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (a )为函数的最小值,f (b )为函数的最大值;若函数f (x )在[a ,b ]上单调递减,则f (a )为函数的最大值,f (b )为函数的最小值. [提醒] 求函数最值时,易误认为极值点就是最值点,不通过比较就下结论,这种做法是错误的. [重温经典] 1.(教材改编题)函数f (x )=ln x -x 在区间(0,e]上的最大值为( ) A .1-e B .-1 C .-e D .0 解析:选B 因为f ′(x )=1 x -1=1-x x ,当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0;当x ∈(1,e]时,f ′(x ) <0,所以f (x )的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当x =1时,f (x )取得最大值f (1)=ln 1-1=-1. 2.(教材改编题)函数f (x )=x 4-4x (|x |<1)( ) A .有最大值,无最小值 B .有最大值,也有最小值 C .无最大值,有最小值 D .既无最大值,也无最小值 解析:选D f ′(x )=4x 3-4=4(x -1)(x 2+x +1).令f ′(x )=0,得x =1.又x ∈(-1,1)且1∉(-1,1),∴该方程无解,故函数f (x )在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D. 3.(教材改编题)函数y =x +2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0,π 2上的最大值是________. 答案:3+π 6 4.(易错题)已知f (x )=-x 2+mx +1在区间[-2,-1]上的最大值就是函数f (x )的极大值,则m 的取值范围是________. 答案:(-4,-2) 5.函数f (x )=x e - x ,x ∈[0,4]的最小值为________. 解析:f ′(x )=e - x -x e - x =e - x (1-x ). 令f ′(x )=0,得x =1(e - x >0), 又f (1)=1e >0,f (0)=0,f (4)=4 e 4>0, 所以f (x )的最小值为0. 答案:0 6.已知函数f (x )=2sin x +sin 2x ,则f (x )的最小值是________. 解析:f ′(x )=2cos x +2cos 2x =2cos x +2(2cos 2x -1) =2(2cos 2x +cos x -1)=2(2cos x -1)(cos x +1). ∵cos x +1≥0,∴当cos x <1 2时,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当cos x >1 2时,f ′(x )>0,f (x )单调递增. ∴当cos x =1 2 时,f (x )有最小值. 又f (x )=2sin x +sin 2x =2sin x (1+cos x ), ∴当sin x =- 3 2 时,f (x )有最小值, 即f (x )min =2×⎝⎛⎭ ⎫-32×⎝⎛⎭⎫ 1+12=-332. 答案:-33 2 高考数学导函数极值最值问题 题型一:根据图像判断极值点情况 【例1】.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则() A.x=1是最小值点 B.x=0是极小值点 C.x=2是极小值点 D.函数f(x)在(1,2)上单调递增 【答案】C 【解析】由图象得:f(x)在(−∞,0)递增,在(0,2)递减,在(2,+∞)递增 ∴x=2是极小值点 故选 C 变式训练1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 () A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】A 【解析】由f′(x)的图象可知,函数f(x)在区间(a,b)上的单调性依次是:增→减→增→减.由极小值点的定义可知,在区间(a,b)上有1个极小值点 【备注】利用导数研究函数的极值. 若在x0处函数的导数值为零,在x0左侧函数单减,右侧函数单增,则在x0处取得极小值. 变式训练2.( 尖子班 ) 如下图,直线y=ax+2与曲线y=f(x)交于A、B两点,其中A是切点,记ℎ(x)=f(x) ,g(x)=f(x)−ax,则下列判断正确的是() x A.ℎ(x)只有一个极值点 B.ℎ(x)有两个极值点,且极小值点小于极大值点 C.g(x)的极小值点小于极大值点,且极小值为−2 D.g(x)的极小值点大于极大值点,且极大值为2 【答案】D 【解析】设切点A的坐标为(x0,f(x0)),则由条件得f′(x0)=a 且当x 函数的单调性与最值 一、知识梳理 1.增函数、减函数 一般地,设函数f (x )的定义域为I ,区间D ?I ,如果对于任意x 1,x 2∈D ,且x 1 第二节 导数在研究函数中的应用 第1课时 系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值 知识点一 利用导数研究函数的单调性 1.函数f (x )在某个区间(a ,b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0,则f (x )在这个区间上单调递增. (2)若f ′(x )<0,则f (x )在这个区间上单调递减. (3)若f ′(x )=0,则f (x )在这个区间上是常数. 2.利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x ). (2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间. [提醒] (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则. (2)有相同单调性的单调区间不止一个时,用“,”隔开或用“和”连接,不能用“∪”连接. (3)若函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增,则f ′(x )≥0,且在(a ,b )的任意子区间,等号不恒成立;若函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递减,则f ′(x )≤0,且在(a ,b )的任意子区间,等号不恒成立. [重温经典] 1.(多选·教材改编题)如图是函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的图象,则下列判断正确的是( ) A .在区间(-2,1)上f (x )是增函数 B .在区间(2,3)上f (x )是减函数 C .在区间(4,5)上f (x )是增函数 D .当x =2时,f (x )取到极大值 答案:BCD 2.(教材改编题)函数y =x 4-2x 2+5的单调递减区间为( ) A .(-∞,-1)和(0,1) B .[-1,0]和[1,+∞) C .[-1,1] D .(-∞,-1]和[1,+∞) 答案:A 3.(易错题)若函数y =x 3+x 2+mx +1是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭ ⎫1 3,+∞ B .⎝⎛⎦⎤-∞,1 3 导数与函数的极值、最值课时作业 一、选择题 1.如图2是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,给出下列命题: 图2 ①-2是函数y=f(x)的极值点;②1是函数y=f(x)的极值点;③y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零;④函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增. 则正确命题的序号是() A.①③B.②④C.②③D.①④ 解析:根据导函数图象可知,-2是导函数的零点且-2的左右两侧导函数符号异号,故-2是极值点;1不是极值点,因为1的左右两侧导函数符号一致;0处的导函数值即为此点的切线斜率,显然为正值,导函数在(-2,2)上恒大于或等于零,故为函数的增区间,所以选D. 答案:D 2.设f(x)=1 2x 2-x+cos(1-x),则函数f(x)() A.仅有一个极小值B.仅有一个极大值C.有无数个极值D.没有极值 解析:由f(x)=1 2x 2-x+cos(1-x), 得f′(x)=x-1+sin(1-x). 设g(x)=x-1+sin(1-x), 则g′(x)=1-cos(1-x)≥0.所以g(x)为增函数,且g(1)=0. 所以当x∈(-∞,1)时,g(x)<0,f′(x)<0,则f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,则f(x)单调递增. 又f′(1)=0,所以函数f(x)仅有一个极小值f(1). 故选A. 答案:A 3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则a=() A .4或-3 B .4或-11 C .4 D .-3 解析:∵f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2, ∴f ′(x )=3x 2+2ax +b . 由题意得⎩⎨⎧f ′(1)=3+2a +b =0, f (1)=1+a +b +a 2 =10, 即⎩⎨⎧2a +b =-3,a +b +a 2 =9,解得⎩⎨⎧a =-3,b =3或⎩⎨⎧a =4,b =-11. 当⎩⎨⎧a =-3,b =3时,f ′(x )=3x 2-6x +3=3(x -1)2≥0,故函数f (x )单调递增,无极值.不符合题意. ∴a =4.故选C. 答案:C 4.函数f (x )= 2+ln x x +1 在[1 e ,e]上的最小值为 ( ) A .1 B. e 1+e C.21+e D.31+e 解析:∵f ′(x )=x +1x -(2+ln x )(x +1)2=1 x -1-ln x (x +1)2, ∴当e ≥x >1时,f ′(x )<0;当1 e ≤x <1时, f ′(x )>0. 所以f (x )的最小值为min ⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫f (1e ),f (e )=min{e 1+e ,31+e }=e 1+e ,选 B. 答案:B 5.若函数f (x )=(a +1)e 2x -2e x +(a -1)x 有两个极值点,则实数a 的取值范围是 ( ) A .(0,62) B .(1,62) C .(-62,62) D .(63,1)∪(1,6 2) 解析:∵f (x )=(a +1)e 2x -2e x +(a -1)x , ∴f ′(x )=2(a +1)e 2x -2e x +a -1, ∵f (x )=(a +1)e 2x -2e x +(a -1)x 有两个极值点, ∴f ′(x )=0有两个不等实根, 设t =e x >0,则关于t 的方程2(a +1)t 2-2t +a -1=0有两个不等正根, 专题3.5 导数与函数的极值、最值 1.函数的极值与导数 条件 f ′(x 0)=0 x 0附近的左侧f ′(x )>0,右侧f ′(x )<0 x 0附近的左侧f ′(x )<0,右侧f ′(x )>0 图象 极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点 x 0为极大值点 x 0为极小值点 2.函数的最值 (1)在闭区间[a ,b ]上连续的函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值与最小值. (2)若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (a )为函数的最小值,f (b )为函数的最大值;若函数f (x )在[a ,b ]上单调递减,则f (a )为函数的最大值,f (b )为函数的最小值. 【题型1 根据函数图象判断极值】 【方法点拨】 由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点: (1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点; (2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 【例1】(2022春•杨浦区校级期末)已知函数y=f(x)(a<x<b)的导函数是y=f'(x)(a<x<b),导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)在(a,b)内有() A.3个驻点B.4个极值点 C.1个极小值点D.1个极大值点 【解题思路】由题意结合导函数图像即可确定函数的性质. 【解答过程】解:由导函数的图象可知,原函数存在4个驻点,函数有3个极值点,其中2个极大值点,1个极小值点. 故选:C. 【变式1-1】(2022春•纳雍县期末)已知函数f(x)的导函数的图像如图所示,则下列结论正确的是() A.﹣1是f(x)的极小值点 B.曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率小于零 C.f(x)在区间(﹣∞,3)上单调递减 2021届高考数学(理)考点复习 导数与函数的极值、最值 1.函数的极值与导数 条件 f ′(x 0)=0 x 0附近的左侧f ′(x )>0,右侧f ′(x )<0 x 0附近的左侧f ′(x )<0,右侧f ′(x )>0 图象 极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点 x 0为极大值点 x 0为极小值点 2.函数的最值 (1)在闭区间[a ,b ]上连续的函数f (x )在[a ,b ]上必有最大值与最小值. (2)若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (a )为函数的最小值,f (b )为函数的最大值;若函数f (x )在[a ,b ]上单调递减,则f (a )为函数的最大值,f (b )为函数的最小值. 概念方法微思考 1.对于可导函数f (x ),“f ′(x 0)=0”是“函数f (x )在x =x 0处有极值”的________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示 必要不充分 2.函数的最大值一定是函数的极大值吗? 提醒 不一定,函数的最值可能在极值点或端点处取到. 1.(2019•新课标Ⅱ)已知函数()(1)1f x x lnx x =---.证明: (1)()f x 存在唯一的极值点; (2)()0f x =有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 【解析】(1)函数()(1)1f x x lnx x =---. ()f x ∴的定义域为(0,)+∞, 11 ()1x f x lnx lnx x x -'= +-=-, y lnx =单调递增,1 y x = 单调递减,()f x ∴'单调递增, 又f '(1)10=-<,f '(2)1412022 ln ln -=- =>, ∴存在唯一的0(1,2)x ∈,使得0()0f x '=. 当0x x <时,()0f x '<,()f x 单调递减, 当0x x >时,()0f x '>,()f x 单调递增, ()f x ∴存在唯一的极值点. (2)由(1)知0()f x f <(1)2=-, 又22()30f e e =->, ()0f x ∴=在0(x ,)+∞内存在唯一的根x a =, 由01a x >>,得 01 1x a <<, 1111()()(1)10f a f ln a a a a a =---==, ∴ 1 a 是()0f x =在0(0,)x 的唯一根, 综上,()0f x =有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 2.(2019•江苏)设函数()()()()f x x a x b x c =---,a ,b ,c R ∈,()f x '为()f x 的导函数. (1)若a b c ==,f (4)8=,求a 的值; (2)若a b ≠,b c =,且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-,1,3}中,求()f x 的极小值; (3)若0a =,01b <,1c =,且()f x 的极大值为M ,求证:427 M . 【解析】(1)a b c ==,3()()f x x a ∴=-, f (4)8=,3(4)8a ∴-=, 42a ∴-=,解得2a =. (2)a b ≠,b c =,设2()()()f x x a x b =--. 令2()()()0f x x a x b =--=,解得x a =,或x b =. 2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---.高考数学导函数极值最值问题-解析版
函数的单调性与最值(含例题详解)
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