变分不等式及其应用

变分不等式及其应用

摘要

变分不等式是一类重要的非线性问题，它在工程、经济、控制理论等领域广泛应用。变分不等式问题的数学理论最开始应用于解决均衡问题，在此模型中，函数来自对应势能的一阶变分，因此而得名．作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式也更多样化。本文主要研究变分不等式的由来，变分不等式的导出以及一些变分不等式的应用．

第一章为预备知识，主要介绍了凸泛函、上下半连续泛函、次连续、Ferchet微分和单调映像等的一些定义，为下文更好的引出变分不等式的概念、导出和应用提供了理论依据。

第二章具体的提出变分不等式的概念并给出一些变分不等式的常见例子。

第三章主要通过可微函数的极值问题、不可微函数的极值问题、Hilbert 空间的投影问题、分布参数系统控制问题等一些问题的探讨说明导出变分不等式一些方法。

第四章研究一类非线性拟变分不等式并应用于二阶半线性椭圆型边值问题。

关键词：变分不等式，极值问题，椭圆方程，边值问题

VARIATIONAL INEQUALITY

AND ITS APPLICATION

ABSTRACT

Variational inequalities are important nonlinear problems, it has been widely applied in the fields of engineering, economics, control theory. The mathematical theory of variational inequality problem is originally applied to solve equilibrium problem. In this model, the function comes from the first-order variation of the corresponding potential energy, so it is called variational inequality problem. As the generalization and development of classical variational problems,

the form of variational inequalities should be diversification. In this paper, i study the origin, derivation, and applications of variational inequalities.

The first chapter is is Preliminaries. In this chaper, i list the definitions of convex functional, upper and lower semi-continuous functional, consecutive, Ferchet differential, montonous map, and so on. They are used forunderstanding the concept, derivation, and applications of variational inequality.

In the second chapter, i introduce the concept of variational inequalities and give some common examples of variational inequalities.

In the third chapter, by consdering differentiable functions’ extremum problems, non-differentiable functions’ extremum problems, the projection in Hilbert space, control systems of distributed parameter and some other issues, i study the methods of variational inequalities’ derivation.

In the fourth chapter, a class of nonlinear quasi-variational inequalitie is introduce, and it is applied to solve second order

semi-linear elliptic boundary value problems.

Key words:Variational inequalities, extremum problem, elliptic equation，boundary value problem

目录

前言 (1)

第一章预备知识 (2)

第二章变分不等式的概念和例子 (5)

§变分不等式的概念 (5)

§变分不等式的例子 (6)

第三章变分不等式的导出 (11)

§可微函数的极值问题 (11)

§不可微函数的极值问题 (15)

§ Hilbert空间上的投影问题 (16)

§不动点问题 (17)

§分布参数系统控制问题 (20)

第四章变分不等式的应用 (23)

结论 (26)

参考文献............................... 错误!未定义书签。致谢.................................. 错误!未定义书签。

前言

变分不等式作为不等式中的重要分支，是一个经典的数学问题。作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式可以各种各样。它的现代数学理论是本世纪六十年代起才逐步发展起来的。人们通过连续力学非线性问题的定性及数值分析的研究中发现变分不等式。

自20世纪60年代，Lions，Browder，Stampacchia，Ky Fan，Lemke，Cottle，Dantzing等人提出和创立变分不等式和相补问题的基本理论以来，经过许多数学家的杰出工作，变分不等式的理论及应用取得重要发展，日臻完善，已经成为一门内容十分丰富并有广阔应用前景的重要边缘性学科。它与力学、微分方程、控制理论、数学经济、最优化理论、对策理论、非线性规划等理论和应用学科有着广泛的联系并有重要的应用。变分不等式是经典变分问题的推广和发展，它是将经典变分问题的约束条件放松为某些单边约束(即用不等式代替等式)的变分方法.它是研究偏微分方程、最佳控制和其他领域的一个十分有用的工具，也是变分学的一个重要发展。

本文介绍变分不等式的概念并例举变分不等式常见的例子，给出导出变分不等式的一些方法。最后我们探讨一类变分不等式的应用。

第一章 预备知识

定义（上方图形）

设X 是一线性空间，M 是X 之一子集。我们以()M co 表M 凸包。 设],(+∞-∞→X ：?是一泛函。集合

()()}:,{)(r x R X r x epi ≤?∈=??

称为?的上方图形，而

()}:{)(∞<∈=x X x dom ??

称为?的有效域。

定义（凸泛函）设X 是一线性空间，C 是X 的凸集，R C →：?(记

],(+∞-∞=R )称为凸泛函，如果对任意的C y x ∈,，及任一[]1,0∈-t 有

()()()()()y t x t y t tx ???-+≤-+11.

泛函?称为严格凸的，如果()y x C y x ≠∈?,，及任一()1,0∈t 有

()()()()()y t x t y t tx ???-+<-+11.

泛函?称为拟凸的，如果对任意R ∈λ，集合

()}:{λ?λ≤∈=x C x F .

是凸的。

定义（上、下半连续） 设X 是一拓扑空间，R X →：?是一真泛函。?称为在X 上是下半连续的，如果对任一X x ∈0及任一网X x ?}{α，当0x x →α时，有

()()00

inf lim x x x x ??αα→≤.

?称为在X 上是上半连续的，如果对任一X x ∈0及任一网X x ?}{α，当0x x →α时，有

()()00

sup lim x x x x ??αα≤→.

定义（半连续） 设X 是一线性赋范空间，*:X X T →是一映像，X x ∈0.如果对任一X y ∈及一切0≥n t ，当0→n t 时，有()00*

Tx y t x T W n →+，则称T 在0x 处半连续。如果T 在X 的每点处都是半连续，则称T 在X 上是半连续的。

定义（Frechet 微分） 设X 和Y 是Banach 空间，D 是X 中的开集，

D x Y D A ∈→,:。若存在线性有界算子Y X B →:,使得

()()h x w Bh Ax h x A ,000+=-+.

其中()()||||,0h o h x w =，即

()0||||,||lim

00||||=→h h x w h . 则称算子A 在点0x 处Frechet 可微，而Bh 称为A 在0x 处关于h 的Frechet 微分，记为()[]h x A d 0。算子B 称为A 在0x 处的Frechet 导算子，记为()0'x A 。

定义（单调） 设*

2:X X T →是一多值映像。

（1）T 称为单调的，如果对任意的X y x ∈,及任一的Ty g Tx f ∈∈,

0,≥--y x g f ；

（2）单调映像T 称为严格的，如果T 是单调的，且0,=--y x g f ，则

y x =。

定义（强制泛函） 称泛函1:R X f →是强制的，如果.)(lim +∞=∞

→x f x

定义（强制连续双线性型泛函） 若存在常数0>α及0>β，使得

()2||||,v a v u a ≥且()H v u v u v u a ∈??≤,||,||||||,β，

则称()v u a ,是H 上的强制连续双线性型泛函。

第二章 变分不等式的概念和例子

§ 变分不等式的概念

从经典的极值问题我们引申出变分不等式的现代数学理论，假设定义在实轴R 上的二次凸函数

(),2

12

c ax bx x F +-=

,0>b R x ∈ （）

很显然，它具有极小值点0x ，且满足

()000=-='a bx x F

求得b a x /0=。现在我们限制上述极小值问题。假定函数F 不是定义在整个实轴上,而只在凸子集

}10;{≤≤∈=x R x X

上有定义，设0x 是F 在K 上的极小值点，则

()()X x x F x F ∈?≥,0.

由于X 是凸子集，对于任何[]1,0∈λ，当x ，X x ∈0时也有()X x x x ∈-+00λ，因此

()()()000x F x x x F ≥-+λ

并且

()()()0}{1

lim 0000

≥--++

→x F x x x F λλ

λ

于是，函数F 在X 上的极小值点将满足不等式

()()X x x x x F ∈?≥-',000

显然，只有当X b a ∈/时，上式等号成立。

上式就是最简单的变分不等式。这一简单公式经过推广，可以变成一个非常抽象能概括许多物理现象的一般公式。 下面给出变分不等式的基本定义。

设E 是一拓扑空间，X 是E 中非空子集。f ：],(:+∞-∞=→R X 是一泛函，

且+∞≠f .设?：R X X →?是一实泛函，且()0,≥x x ?，

X x ∈?.下面关于X x ∈的无穷不等式组：

()()()X y y f x f y x ∈?-≥,,?

称为变分不等式（或称变分不等方程）。若X x ∈满足，则称x 为变分不等式的解。

§变分不等式的例子

例设K 是n

R 中之一非空闭凸集，n R K T →:是一连续映象。求K u ∈，

使得

()().,0,K v u v u T ∈?≥-

（）

这类变分不等式称为Hartrnan-Stampacehia 变分不等式。

例 设X 是一局部凸线性拓扑空间，K 是X 中的紧凸集，*:X K T →是一连续映射，求

()K v u v u T ∈?≥-,0,

解的存在性。

这类变分不等式我们称为 Browder 变分不等式。

例 设H 是一实Hilbert 空间，()??,a 是H 上的连续的双线性泛函，即存在常数0>c ，使得

().,||,|||||||,|H v u v u c v u a ∈??≤

对任意给定的H f ∈及任给的凸集H K ?,求K u ∈，使得

().,,K v u v f u v u a ∈?-≥- （）

其中，如果H K =，则（）等价于：求H u ∈使得

()

.,,,K v v f v u a ∈?=

这类变分不等式称为Lions-Stampacchia 变分不等式或者椭圆形变分不等式。

例 设H 是一实Hilbert 空间，V 是一自反Banach 空间，||||?是V 中的范数且*V H V ??，记

()[]()}||||:,0:{;,00

∞<→=?dt t u V T u V T L p

T

p

，

设()],(;,0+∞-∞→V T L p ：?是一函数且+∞≠?.记

()()()}:;,0{∞<∈=u V T L u D p ??.

并由下式定义一映像：

()()()()()?

?

?∞+∈=Φ.,,

;,0,1否则如果R T L u dt t u u ??

其中()V T L u p ;,0∈。设()V T L D A p ;,0)(:→Φ,其中111=+--q p ，求()Φ∈D u 满足

()()()u v f u v u v u A

dt du

-≥-+-+,,?? ()00u u =

()()T t e a D v ,0..,∈∈??

这一类变分不等式称为抛物型变分不等式，可应用于如Stefan 问题和渗透中的某些问题的研究。

例 设S 和C 分别是n R 和m R 中的子集，设S S T 2:→是一多值映像，

n R C S M →?:是二单值映像。求S x ∈*,()

**x T y ∈使得

()()

S x x x y x M ∈?≥,0,,,***η

这一类变分不等式称为似-变分不等式。她首先由Parida-Sen 提出和研究，并与凸数学规划中的某些问题紧密联系。

例设E 是一局部拓扑向量空间，F 是一Ferchet 空间。设X 和C 分别是E 和F 的子集，X C X S X T 2:,2:→→是多值映像，R X C X →??：?是一函数，满足条件()X y x x y x ∈?≥,,0,,?。求()()

****,x T y x S x ∈∈，使得

()()***,0,,x S x x y x ∈?≥?

这一类变分不等式称为拟-似变分不等式。

例 设E 是一实向量空间，X ，0X ，是E 的两个闭子集，X X ?0,设

],(:0+∞-∞→?X X g 是一泛函，使得对每一()+∞≡/?∈，z g X z ,0，而

R X X X →??0：ψ是一泛函，使得对每一()X x x x z X z ∈?≥∈,0,,,0ψ.求0

*X x ∈使得

()()()

.,,,,,*****X y x x g y x x y x g ∈?≥+ψ

这一类变分不等式称为隐变分不等式。

例 设E 是一Hilbert 空间，()H C 是H 中的非空紧集族。设

()H C H V T →:,是二多值映像，H H g →:是一单值映像。设()H

H H A →???：，关于第一变量是一极大单调映像，对给定的非线性映像()H H H N →???:,，求

()()u V y u T w H u ∈∈∈,,，使得

()()()u u g A y w N ,,0+∈.

这类问题称为集值拟变分包含。

例设X ,Y 是二实Banach 空间，K 是X 之一非空闭凸集，()Y X L K T ,:→是一映像，其中()Y X L ,是由X 到Y 的一切线性连续映像的集合。设

()}:{K x x C ∈是Y 中一族闭的()x C int 不为空的尖凸锥。求X u ∈使得

()()K x u C x x u T ∈?-?-,int ,0.

其中()y x ,表线性映像()x T 在y 处的取值。

这一类变分不等式称为向量变分不等式。

例设E 是一拓扑向量空间，X 是E 中之一非空的紧凸集，*E 是E 的对偶

空间，*，

是E 和*E 间的配对。设()?Ω，是一可测空间，*:E X f →?Ω,求一可测映像X v →Ω:使得对任一Ω∈w

()()()X y w v y w v w f ∈?≥-,0,,Re . 这一类变分不等式称为随机变分不等式。

例 设E 是一局部凸的Haussdorff 拓扑向量空间，X 是E 之一非空的紧凸子集，()E F 是E 上的一族模糊集。设()X F X G →：和()

*:E F X F →是二模糊映像，而()]1,0(:→X x α是一数。求X y ∈0使得

()()0,Re ,0000≤-≥x y u y y G y α

对一切()β≥∈u F u y 0及()()00y x G x y α≥∈。

这一类变分不等式称为模糊变分不等式。

第三章 变分不等式的导出

本章我们通过可微函数的极值问题、不可微函数的极值问题、Hilbert 空间的投影问题、分布参数系统控制问题等一些问题的探讨说明导出变分不等式一些方法。

§ 可微函数的极值问题

例 设(),],,[1R b a C f ∈求[]b a x ,0∈，使得

()().min 0

0x f x f x a ≤≤=

由Weierstrass 定理知，0x 存在，且满足

（1）当()b a x ,0∈时，()00='x f ； （2）当a x =0时，()00≥'x f ； （3）当b x =0时，()00≤'x f ；

因而只要[]b a x ,0∈，均与()()[]b a x x x x f ,,000∈?≥-'。于是按R 中的内积即得下面的变分不等式：

()[]

b a x x x x f ,,0,00∈?≥-'，

而且0x 是变分不等式的解.

例 设[]()()()dx x u u f b a C u b

a

||,,1?'=∈，设[]()b a C K ,1?是由下式定义的集合：

[]()()()()()()[]},,,0:,{211b a x x h x u x h b u a u b a C u K ∈≤≤==∈=，

其中，1h 和2h 是二给定的函数，显然，

()()()()b h b h a h a h 21210,0≤≤≤≤.

设,0K u ∈使得

()()()dx x u u f u f b

a

K

u K

u 20||min

min ?

'==∈∈.

因K 凸，故对任意的()[]1,0,1,0∈?∈-+∈λλλK v u K v ,现定义函数

[]R F →10:，如下：

()()()dx v u F b

a

20|1|'

-+=?λλλ.

故()()u f F K

u ∈=min 1.故由例知()()[]10011，

，∈?≥-'λλF ,因而()01≤'F ,故有 ()()1

|1='='λλF F

()()()dx v u v u b

a

200

|12'-''-+'=?λλ ()K v dx v u u b

a

∈?≤'-''=?,0200

故得下面的变分不等式

()()()K v dx x u x v u b

a

∈?≥'-''?,00

.

例 设Ω是n R 中之一开集，求极小值

()R C u dx gradu K

x ,,||1min

12Ω∈+?

Ω

∈，

其中()()()()()},,0:,{211x x u x x x u R C u K ψψ≤≤Ω?∈?=Ω∈=，而

2,11=→Ωi R ，：ψ是给定的函数。如果K u ∈*是上式的极小点，仿例可证*u 满足变分不等式：

()

()

.,0||11

2

1

2**

*K v dx gradu u

v u n

i x x i

i ∈?≥+-?∑

Ω=

上面的例子表明，可微函数的极小值问题可导出变分不等式问题，反之，如果下面命题成立且这一可微函数还是凸的，则其逆结论也成立。

命题 设E 是一实赋范范空间，*E 为E 的对偶空间，??，

表E 和*E 间的配对，设K 是E 之一凸子集，R E f →:是一Ganteaux 可微的凸函数，其微分

*:E E Df →定义为：

()()E v w tw v f dt

d

w v Df t ∈+=

=,,|,0. 则下列结论等价：

（1）()()v f u f K u K

v ∈=∈min ,；

（2）()K v u v u Df K u ∈?≥-∈,0,,； （3）()K v u v v Df K u ∈?≥-∈,0,,.

证明：()()21?.设K u ∈是f 在K 上的极小点，则对任意K v ∈函数

()()()[]1,0∈-+=t u v t u f t F ，在0=t 处取得极小值，从而有

()()()K v u v u Df u v t u f dt

d

t ∈?-=-+≤

=,,|00 ()()12?.对任意的的E w ∈及任一]1,0(∈t 有

()()()()()()[]()()()()[]()()u f w u f u f u f t w u tf t

u f u t w u t f t u f tw u f t -+=--++≤--++=-+11

11

][1

于上式左端令0→t 即得

()()()E w w u Df u f w u f ∈?≥-+,,.

对任一K v ∈，取u v w -=，代入即得

()()()K v u v u Df u f v f ∈?-≥-,,.

（）

因而结论（1）由（）直接可得。

()()32?.在（）中交换u 与v 的位置得

()()()K v v u v Df v f u f ∈?-≥-,.

（）

（）与（）两式相加即得

()()K v u v v Df u Df ∈?≤--,0,.

结论（3）得证。

()()23?.于（3）中以()]1,0[,∈-+t u v t u 代替v ，得

()()K v u v u v t u Df ∈?≥--+，0,.

由实轴上可微凸函数的性质值，上式左端在0=t 处右连续。让+→0t ，即得（2）。证毕。