平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理

一．教学目标：

了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的

运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；

教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行.

二.课前预习

1.已知a =(x,2)，b =(1,x)，若a //b ，则x 的值为 ( )

A 、2

B 、 2-

C 、 2±

D 、 2

2.下列各组向量，共线的是 ( )

()A (2,3),(4,6)a b =-= ()B (2,3),(3,2)a b ==

()C (1,2),(7,14)a b =-= ()D (3,2),(6,4)a b =-=-

3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且CB CN CA CM ?=?=2,3,则=MN ____

4．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为

三.知识归纳

1. 平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面

内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+成立。其中12,e e 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________；

2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作基底，

则对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a +=、就把_________叫做向量a 的

坐标，记作____________。

3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量OA 的坐标为OA

＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标．

4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有：

OM =________________，M 点的坐标为_____________．

5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//?≠ b b a ；

坐标形式： _____________)0(//?≠ b b a ．

6. a =（x,y ）, 则a =___________.与a 共线的单位向量是：a

a e ±=

四．例题分析：

例1.(1)、 已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且?→?PN ＝－2?→?PM ，则P

点的坐标为（ ）

A （－14，16） （

B ）（22，－11） （

C ）（6，1） （

D ） （2，4）

(2)、已知两点A(4,1), B(7,-3), 则与向量AB 同向的单位向量是 （ ）

（A ）??? ??-54,53 (B)??? ??-54,53 (C)??? ??-53,54 (D)??

? ??-53,54

(3)、若a =（2，3），b =（－4，7），则a 在b 方向上的投影为____________。

例2．(1)已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x 的值。

(2) 已知向量a =（，1），b =（0，-1），c =（k ，）。若a -2b 与c 共线，则k=______

例3．已知(1,0),(2,1)a b ==，（1）求|3|b a +；（2）当k 为何实数时，k -a b 与b a 3+平

行， 平行时它们是同向还是反向？

例4．如图，平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB a =，=AD b ，

（1）试以a ，b 为基底表示DE 、BF ；（2）求证：A 、G 、C 三点共线。

例5. 如图，平行四边形ABCD 中，BE=41BA ，BF=51BD ，求证：E ，F ，C

三点共线。（利用向量证明）

五．课后作业：

33A B C D

E F

1．31(,sin ),(cos ,)23

a b αα==且//a b ，则锐角α为 ( ) ()A 30 ()B 60 ()C 45 ()D 75

2．平面内有三点(0,3),(3,3),(,1)A B C x --，且AB ∥BC ，则x 的值是 （ ）

()A 1 ()B 5 ()C 1- ()D 5-

3．如果1e ,2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ）

()A 若实数12,λλ使11220e e λλ+=，则 120λλ==

()B 空间任一向量a 可以表示为1122a e e λλ=+，这里12,λλ是实数

()C 对实数12,λλ，向量1122e e λλ+不一定在平面α内

()D 对平面内任一向量a ，使1122a e e λλ=+的实数12,λλ有无数对

4.下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )4

3,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）

A ．①

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

5.若A(-1,-2),B(4,8),且CB AC 3-=,则C 点坐标为 ；

6.已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= ；

7．已知向量(1,2)a =-，b 与a 方向相反，且||2||b a =，那么向量b 的坐标是_ _

8．已知(5,4),(3,2)a b ==，则与23a b -平行的单位向量的坐标为 。

9．已知(3,1),(1,2),(1,7)a b c =-=-=，求p a b c =++，并以,a b 为基底来表示p 。

10.向量(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===,当k 为何值时，,,A B C 三点共线？

平面向量的数量积

一、教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质，掌握两向量夹角及两向量垂直的

充要条件和向量数量积的简单运用．

教学重点：平面向量数量积及其应用

二、课前预习：

1．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-，如果向量a xb +与b 垂直，则x 的值为（ ）

()A 323 ()B 233 ()C 2 ()D 25

- 2.下列命题正确的是 ___________

①0AB BA +=； ②00AB ?=； ③AB AC BC -=； ④00AB ?=

3．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-=，且5a b ?=，则向量b =___ __ ____.

4．已知向量,a b 的方向相同，且||3,||7a b ==，则|2|a b -=___ ____。

5．已知向量a 和b 的夹角是120°，且2||=a ，5||=b ，则a b a ?-)2(= 。

三、知识归纳

1.平面向量的数量积：

（1）定义:a ·0,0__(__________ ≠≠=b a b ，θ为a 与b 的夹角，)0πθ≤≤；

特例：0 ·0=a ，a 2 =a ·a =|a |2； ()cos cos a b θθ叫做向量()

a b b a 在方向上在方向上的________________； 注：._________cos b ,cos =?=θθ同理b b

a a

（2）.坐标运算：若a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ）则a ·b =______________．

2.两个向量的夹角与长度

已知向量a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ）

（1）两个向量a 与b 的夹角θ：向量形式：θcos =__________________； 坐标形式：θcos =__________________． 注： 0

.0cos ,20

a ,0cos ,20;0cos ,20?><

θπθθπθ b a b a b a b a ?-=?=?=?=,,0，即反向时；，即同向时πθθ

（2）向量a 的长度|a |2=a 2 =a ·a =___________。|a |=___________其中a =),(y x ； θcos 2)(2

22??++=+=+b a b a b a b a

两点间的距离公式：|21P P |=___________________ 其中1P =（1x ，1y ），2P =（2x ，2y ）．

3.向量的平行、垂直

如果，两个向量a =（1x ，1y ），b =（2x ，2y ）那么，

（1）两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//?≠ b b a ；

坐标形式： _____________)0(//?≠ b b a ． （2）两个向量垂直的充要条件是：向量形式：a ⊥b ?____________；

坐标形式：a ⊥b ?____________．

四：例题分析： 例1．已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：)(b a -⊥c ；（2）若1||>+b a k )(R k ∈，求k 的取值范围.

例2．已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）

（1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；

（2）若|b |=

,2

5且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ.

例3．1.若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥c ，则

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

2.已知单位向量，的夹角为60°，则__________

3.在正三角形中，是上的点，，则 。

4.已知向量满足，且，，则a 与b 的夹角为 .

5.在边长为1的正三角形ABC 中, 设则__________________．

例4.(1) 已知由向量AB =（3，2），AC =（1，k ）确定的△ABC 为直角三角形，求k 的值。 (2) 设OA =（3，1），OB =（－1，2），OC ⊥OB ，BC ∥OA ，试求满足 OD +OA =OC 的OD 的坐标（O 为原点）。

五．课后作业：

1．平面内有三点(0,3),(3,3),(,1)A B C x --，且AB ∥BC ，则x 的值是 （ ）

(2)c a b ?+=1e 2e 122e e -=ABC D BC 3,1AB BD ==AB AD ?=,a b ()()a b a b +2?-=-61a =2b =2,3,BC BD CA CE ==AD BE ?=

()A 1 ()B 5 ()C 1- ()D 5-

2.已知3a =，23b =，3a b ?=-，则a 与b 的夹角是（ ）

A 、150?

B 、120?

C 、60?

D 、30? 3．已知向量)75sin ,75(cos =a ，)15sin ,15(cos =b ，那么||b a -的值是（ ）

()A 2

1 ()B 2

2 ()C 2

3 ()D 1 4．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ） ()A 0,2

4 ()B 24,4

()C 16，0 ()D 4，0

5．在ABC ?中，0

15，若3||=AB ，5||=AC ，则BAC ∠= ()A 6π ()B 32π ()C 43π ()D 65π 6.在ΔABC 中,若060,4,3=∠==BAC AC AB ,则=?AC BA （ ）

A 、6

B 、4

C 、-6

D 、-4

7．已知向量(1,2)a =-，b 与a 方向相反，且||2||b a =，那么向量b 的坐标是_ _

平面上有三个点A(1,3),B(2,2) ,C(7,x),若B=ο90,则x=_______

8.已知|a |＝1，|b | ＝2，且向量a + b 与2a -b 互相垂直，则b 与a 的夹角=____

9．已知(5,4),(3,2)a b ==，则与23a b -平行的单位向量的坐标为 。

10.(1)已知向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角,则k 的取值范围是 。

(2)已知向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角大于ο90,则k 的取值范围是 。

11．(1) 已知向量(3,4),(2,1)a b ==-，则a 在b 上的投影为____________

(2) 已知|a |=|b |=2，a 与b 的夹角为600，则a +b 在a 上的投影为 。

12．设,,,O A B C 为平面上四个点，a OA =，b OB =，c OC =，且0 =++c b a ，c b b a ?=?=a c ?1-=，则||||||c b a ++＝___________________。

13.已知|a |＝1，|b | ＝2,(1)若a 与b 平行，求b a ?; (2)若a 与b 的夹角为600

求｜a b +｜ (3) 向量a + b 与a 互相垂直，求a 与b 的夹角.

14．已知1e 、2e 是夹角为60°的两个单位向量，1232a e e =-，1223b e e =-，求：

(1) a b ?; (2)｜a b +｜与｜a b -｜；（3）a b +与a b -的夹角.

15．向量,a b 都是非零向量，且(3)(75),(4)(72)a b a b a b a b +⊥--⊥-，求向量a 与b 的夹角.

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