初中数学：平行线的证明单元测试

初中数学：平行线的证明单元测试

一、单选题（共10题；共30分）

1、如图,△ABC中,∠ACB=90°, ∠A=30°,AC的中垂线交AC于E.交AB于D,则图中60°的角共有( )

A、6个

B、5个

C、4个

D、3个

2、下列说法中正确的是( )

A、原命题是真命题,则它的逆命题不一定是真命题

B、原命题是真命题,则它的逆命题不是命题

C、每个定理都有逆定理

D、只有真命题才有逆命题

3、下列命题是假命题的是( )

A、-如果a∥b,b∥c,那么a∥c

B、锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°

C、两条直线被第三条直线所截,内错角相等

D、矩形的对角线相等且互相平分

4、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB,若,则

A、130°

B、125°

C、115°

D、50°

5、如图,AB∥CD,∠D=∠E=35°,则∠B的度数为（）

A、60°

B、65°

C、70°

D、75°

6、下列条件中,能判定△ABC为直角三角形的是（）

A、∠A=2∠B=3∠C

B、∠A+∠B=2∠C

C、∠A=∠B=30°

D、∠A=∠B=∠C

7、下列四个命题,其中真命题有（）

（1）有理数乘以无理数一定是无理数；

（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；

（3）在同圆中,相等的弦所对的弧也相等；

（4）如果正九边形的半径为a,那么边心距为a?sin20°．

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

8、下列命题：

①等腰三角形的角平分线、中线和高重合,

②等腰三角形两腰上的高相等；

③等腰三角形的最小边是底边；

④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；

⑤等腰三角形都是锐角三角形．

其中正确的有（）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

9、下列命题中,真命题是（）

A、周长相等的锐角三角形都全等

B、周长相等的直角三角形都全等

C、周长相等的钝角三角形都全等

D、周长相等的等腰直角三角形都全等

10、如图,将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则∠3的度数为（）

A、80

B、50

C、30

D、20

二、填空题（共8题；共26分）

11、命题“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的条件是________,结论________．

12、如图,一张矩形纸片沿AB对折,以AB中点O为顶点将平角五等分,并沿五等分的折线折叠,再沿CD剪开,使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）,则∠OCD等于________．

13、已知命题“如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形是旋转对称图形．”,写出它的逆命题是 ________,该逆命题是 ________命题（填“真”或“假”）．

14、如图,AB∥CD,∠A=56°,∠C=27°,则∠E的度数为________．

15、写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：________．

16、已知,如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,若BD+CE=5,则线段DE的长为________．

17、一个三角形的三个外角之比为5：4：3,则这个三角形内角中最大的角是________度．

18、如图,在ABCD中,CH⊥AD于点H, CH与BD的交点为E.如果, ,那么________

三、解答题（共5题；共29分）

19、如图,已知∠ABC=52°,∠ACB=60°,BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,EF过点O,且平行于BC,求∠BOC的度数．

20、如图,△ABC中,∠A=30°,∠B=62°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE于F,求∠CDF的度数．

21、已知△ABC中,∠A=105°,∠B比∠C大15°,求：∠B,∠C的度数．

22、如图,过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D,E是线段OC的中点,请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N,探究线段OD、ON、DM之间的数量关系,并证明你的结论．

23、已知：如图,E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF。

求证：

(1)△ADF≌△CBE

(2)EB∥DF．

四、综合题（共1题；共15分）

24、综合题(1)如图1,把△ABC沿DE折叠,使点A落在点A’处,试探索∠1+∠2与∠A的关系．（不必证明）．

(2)如图2,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,把△ABC折叠,使点A与点I重合,若∠1+∠2=130°,求∠BIC的度数；

(3)如图3,在锐角△ABC中,BF⊥AC于点F,CG⊥AB于点G,BF、CG交于点H,把△ABC折叠使点A 和点H重合,试探索∠BHC与∠1+∠2的关系,并证明你的结论．

答案解析

一、单选题

1、【答案】B

【考点】三角形内角和定理,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

【解析】

【分析】根据线段垂直平分线定理,可得A D=CD,则∠CDE=∠ADE,又∠ACB=90°, ∠A=30°,

∴∠B=∠DCB=∠BDC=∠CDE=∠ADE=60°共5个角为60°

故选B

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点,和线段两端点的距离相等),难度一般．

2、【答案】 A

【考点】命题与定理

【解析】原命题是真命题,则它的逆命题不是命题是错误的,原命题的逆命题依然有条件和结论两部分,依然是命题。

每个定理都有逆定理是错误的,原命题是定理,但逆命题不一定是定理,不能称为逆定理。

只有真命题才有逆命题是错误的,假命题也有逆命题。

A正确

3、【答案】 C

【考点】同位角、内错角、同旁内角,平行公理及推论,三角形内角和定理,矩形的性质,命题与定理

【解析】【分析】依次分析各选项即可得到结论。

A.如果a∥b,b∥c,那么a∥c,

B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°,D.矩形的对角线相等且互相平分,均是真命题,不符合题意；

C.两条直线被第三条直线所截,若这两条直线平行,则内错角相等,故是假命题。

【点评】此类问题知识点综合性较强,主要考查学生对所学知识的熟练掌握程度,在中考中比较常见,常以填空题、选择题形式出现,属于基础题,难度一般。

4、【答案】 A

【考点】三角形内角和定理,等腰三角形的性质,等腰梯形的性质

【解析】【分析】先根据平行线的性质求得∠CDB的度数,再根据等腰三角形的性质求得∠CBD 的度数,最后根据三角形的内角和定理求解即可.

∵AB∥CD,

∴∠CDB=

∵AD=DC=CB

∴∠CBD=∠CDB=25°

∴180°-25°-25°=130°

故选A.

【点评】此类问题是是初中数学的重点,是中考中比较常见的知识点,一般难度不大,需熟练掌握.

5、【答案】C

【考点】平行线的性质,三角形的外角性质

【解析】【分析】∵∠D=∠E=35°,

∴∠1=∠D+∠E=35°+35°=70°,

∵AB∥CD,

∴∠B=∠1=70°.

故选C.

6、【答案】D

【考点】三角形内角和定理,三角形的外角性质

【解析】【解答】解：A、∠A+∠B+∠C=180°,而∠A=2∠B=3∠C,则∠A=, 所以A选项错误；

B、∠A+∠B+∠C=180°,而∠A+∠B=2∠C,则∠C=60°,不能确定△ABC为直角三角形,所以B选项错误；

C、∠A+∠B+∠C=180°,而∠A=∠B=30°,则∠C=150°,所以B选项错误；

D、∠A+∠B+∠C=180°,而∠A=∠B=∠C , 则∠C=90°,所以D选项正确．

故选D．

【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC的内角,然后根据直角三角形的判定方法进行判断．

7、【答案】 A

【考点】命题与定理

【解析】【解答】解：有理数乘以无理数不一定是无理数,若0乘以π得0,所以（1）错误；顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形,所以（2）正确；

在同圆中,相等的弦所对的弧对应相等,所以（3）错误；

如果正九边形的半径为a,那么边心距为a?cos20°,所以（4）错误．

故选A．

【分析】利用反例对（1）进行判断；根据等腰梯形的对角线相等和三角形中位线性质、菱形的判定方法可对（2）进行判断；根据弦对两条弧可对（3）进行判断；根据正九边形的性质和余弦的定义可对（4）解析判断．

8、【答案】 B

【考点】命题与定理

【解析】【解答】解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高重合,故本选项错误,

②等腰三角形两腰上的高相等,正确；

③等腰三角形的最小边不一定是底边,故本选项错误；

④等边三角形的高、中线、角平分线都相等,正确；

⑤等腰三角形不一定是锐角三角形,故本选项错误；

其中正确的有2个,

故选：B．

【分析】根据等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质分别对每一项进行分析即可

9、【答案】 D

【考点】全等三角形的判定,命题与定理

【解析】【解答】解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题；

B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题；

C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题；

D、由于等腰直角三角形三边之比为1：1： ,故周长相等时,等腰直角三角形的对应角相等,对应边相等,故全等,真命题．

故选D．

【分析】全等三角形必须是对应角相等,对应边相等,根据全等三角形的判定方法,逐一检验．10、【答案】D

【考点】平行线的性质,三角形的外角性质

【解析】【解答】解：如图,∵BC∥DE,∴∠CBD=∠2=50°,

又∵∠CBD为△ABC的外角,

∴∠CBD=∠1+∠3,

即∠3=50°﹣30°=20°．

故选D．

【分析】由BC∥DE得内错角∠CBD=∠2,由三角形外角定理可知∠CBD=∠1+∠3,由此可求∠3．

二、填空题

11、【答案】一个角是三角形的外角；等于和它不相邻的两个内角的和

【考点】命题与定理

【解析】【解答】先把命题写成“如果”,“那么”的形式,“如果”后面的是条件,“那么”后面的是结论。

命题“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的条件是一个角是三角形的外角,结论是等于和它不相邻的两个内角的和．

【分析】解答本题的关键是要掌握“如果”后面的是条件,“那么”后面的是结论。

12、【答案】126°

【考点】三角形内角和定理,矩形的性质,翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】展开如图：

∵∠COD＝360°÷10＝36°,∠ODC＝36°÷2＝18°,

∴∠OCD＝180°﹣36°﹣18°＝126°．

故选C．

【分析】按照如图所示的方法折叠,剪开,把相关字母标上,易得∠ODC和∠DOC的度数,利用三角形的内角和定理可得∠OCD的度数．解决本题的关键是能够理解所求的角是五角星的哪个角,解题时可以结合正五边形的性质解决．

13、【答案】如果一个四边形是旋转对称图形,那么这个四边形是平行四边形；真

【考点】命题与定理

【解析】【解答】解：“如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形是旋转对称图形”的逆命题是“如果一个四边形是旋转对称图形,那么这个四边形是平行四边形”．该逆命题是真命题．故答案为：如果一个四边形是旋转对称图形,那么这个四边形是平行四边形,真．

【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题,再进行判断即可．

14、【答案】29°

【考点】平行线的性质,三角形的外角性质

【解析】【解答】解：∵AB∥CD, ∴∠DFE=∠A=56°,

又∵∠C=27°,

∴∠E=56°﹣27°=29°,

故答案为29°．

【分析】根据AB∥CD,求出∠DFE=56°,再根据三角形外角的定义性质求出∠E的度数．

15、【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形【考点】命题与定理

【解析】【解答】解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形,结论是斜边上的中线等于斜边的一半,故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形．

16、【答案】 5

【考点】平行线的性质,等腰三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB, ∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB,

∵DE∥BC,

∴∠DOB=∠OBC=∠DBO,∠EOC=∠OCB=∠ECO,

∴DB=DO,OE=EC,

∵DE=DO+OE,

∴DE=BD+CE=5．

故答案为：5．

【分析】根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,和DE∥BC,利用两直线平行,内错角相等和等量代换,求证出DB=DO,OE=EC．然后即可得出答案．

17、【答案】90

【考点】三角形内角和定理,三角形的外角性质

【解析】【解答】解：∵一个三角形的三个外角之比为3：4：5, ∴设角形的三个外角分别为3x,4x,5x,则

3x+4x+5x=360°,

解得x=30°,

∴3x=90°,4x=120°,5x=150°,

∴与之对应的内角分别为：90°,60°,30°,

∴三角形内角中最大的角是90°,

故答案为：90

【分析】设三角形的三个外角的度数分别为3x、4x、5x,根据三角形的外角和等于360°列出方程,求出x的值,进而得出三个内角的度数,并判断其中的最大的角．

18、【答案】60°

【考点】对顶角、邻补角,平行线的性质,三角形内角和定理,平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵∠1=70°,∴∠DEH=70°.

∵CH⊥AD, ∴∠HDE=90°-70°=20°.

∵AD∥BC, ∴∠2=∠HDE==20°.

∵∠ABC=3∠2,∴∠ABC=60°.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠ADC=∠ABC=60°.

三、解答题

19、【答案】解：∵∠ABC=52°,∠ACB=60°,BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（52°+60°）=56°,

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣56°=124°．

【考点】三角形内角和定理

【解析】【分析】先根据角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB的度数,再由三角形内角和定理即可得出结论．

20、【答案】解：∵∠A=30°,∠B=62°,

∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）,

=180°﹣（30°+62°）,

=180°﹣92°,

=88°,

∵CE平分∠ACB,

∴∠ECB= ∠ACB=44°,

∵CD⊥AB于D,

∴∠CDB=90°,

∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣62°=28°,

∴∠ECD=∠ECB﹣∠BCD=44°﹣28°=16°,

∵DF⊥CE于F,

∴∠CFD=90°,

∴∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣16°=74°

【考点】三角形内角和定理

【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数,以及∠BCD的度数,根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数,则∠ECD可以求解,然后在△CDF中,利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．

21、【答案】解：∵∠A+∠B+∠C=180°,

而∠A=105°,∠B=∠C+15°,

∴105°+∠C+15°+∠C=180°,

∴∠C=30°,

∴∠B=∠C+15°=30°+15°=45°

【考点】三角形内角和定理

【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得∠A+∠B+∠C=180°,再把∠A=105°,∠B=∠C+15°代入可计算出∠C,然后计算∠B的度数．

22、【答案】解：①当点M在线段CD上时,线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．证明：如图1,

,

∵OC是∠AOB的平分线,

∴∠DOC=∠C0B,

又∵CD∥OB,

∴∠DCO=∠C0B,

∴∠DOC=∠DC0,

∴OD=CD=DM+CM,

∵E是线段OC的中点,

∴CE=OE,

∵CD∥OB,

∴,

∴CM=ON,

又∵OD=DM+CM,

∴OD=DM+ON．

②当点M在线段CD延长线上时,线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．证明：如图2,

,

由①,可得

OD=DC=CM﹣DM,

又∵CM=ON,

∴OD=DC=CM﹣DM=ON﹣DM,

即OD=ON﹣DM．

【考点】平行线的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

【解析】【分析】①当点M在线段CD上时,线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．首先根据OC是∠AOB的平分线,CD∥OB,判断出∠DOC=∠DC0,所以OD=CD=DM+CM；然后根据E 是线段OC的中点,CD∥OB,推得CM=ON,即可判断出OD=DM+ON,据此解答即可．②当点M在线段CD延长线上时,线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON﹣DM．由①,可得OD=DC=CM ﹣DM,再根据CM=ON,推得OD=ON﹣DM即可．

23、【答案】（1）证明：∵四边行ABCD是平行四边形,

∴AD=BC,AD∥BC,

∴∠DAF=∠BCE,

∵AE=CF,

∴AF=CE.

在△ADF和△CBE中,

AF＝CE

∠DAF＝∠

BCE

AB＝BC

∴△ADF≌△CBE（SAS）.

（2）（2）∵△ADF≌△CBE,

∴∠DFA=∠BEC ,

∴DF∥EB

【考点】平行线的性质,全等三角形的判定,平行四边形的性质

【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得到AD=BC,AD∥BC,和AE=CF去证明；

（2）由（1）△ADF≌△CBE,得到∠DFA=∠BEC , 由内错角相等可知DF∥EB.

四、综合题

24、【答案】（1）解：∠1+∠2=2∠A

（2）解：由（1）∠1+∠2=2∠A,得2∠A=130°,∴∠A=65°

∵IB平分∠ABC,IC平分∠ACB,

∴∠IBC+∠ICB= （∠ABC+∠ACB）

= （180°﹣∠A）=90°﹣∠A,

∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）,

=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+ ×65°=122.5°

（3）解：∵BF⊥AC,CG⊥AB,∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°,

∠FHG+∠A=180°,∴∠BHC=∠FHG=180°﹣∠A,由（1）知∠1+∠2=2∠A,

∴∠A= （∠1+∠2）,

∴∠BHC=180°﹣（∠1+∠2）

【考点】三角形内角和定理,翻折变换（折叠问题）

【解析】【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；（2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°﹣∠A,得出∠BIC的度数即可；（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出,∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°,进而求出∠A=

（∠1+∠2）,即可得出答案．