11数环和数域(答案)
数环和数域 13
1．5 数环和数域
1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。
证明：法一（正面证明）：
{}0≠S
0,≠∈?∴a S a
S 为数环
∴加法具有封闭性
∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数
（否则，可以推出0=a ）
∴S 有无限多个元素
法二（反证法）：
假设S 有有限多个元素
不妨设为k 个
{}0≠S
0,≠∈?∴a S a
S 为数环
∴加法具有封闭性
∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾
∴假设不正确，即：
S 有无限多个元素
2． 证明：{}Q b a bi a F ∈+=,是数域。
证明： Q b a bi a ∈+,,
令0==b a
∴Q bi a ∈=+0
∴F 为复数集C 的非空子集
又对F di c bi a ∈++?,有：
F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()(
F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())((
∴F 为数环
又对0,,≠+∈++?di c F di c bi a 有：
022≠+d c 及
F i d c ad
bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2222
数环和数域 14 所以F 的除法封闭
所以F 为数域。
3． 证明：?
?????∈=Z n m m S n ,2是一个数环。S 不是一个数域。 证明：（1）S 为数环的证明： S ∈=
02
11 ∴S 为复数集的非空子集 又对任意的2,1,,,2,22
121=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±=
±+211
221222222121 S m m m m n n n n ∈=?+2
1212222121 ∴S 为数环
（2）S 不是数域的证明：
S ∈==220015,1
1
但
S ?51 ∴
S 对除法不具封闭性 ∴S 不是数域
4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。两个
数环的并是不是数环？
证明：（1）两个数环的交还是数环：
任取两个数环21,S S
∴10S ∈，20S ∈
令21S S S ?=
数环和数域 15 ∴S ∈0
∴S 为复数集C 的非空子集
对任意的S b a ∈,有：
1,S b a ∈2,S b a ∈
1S 为数环
∴1,S ab b a ∈±
同理：2,S ab b a ∈±
∴S ab b a ∈±,
∴S 为数环
（2）两个数域的交还是一个数域
任取两个数环21,F F
令21F F F ?=
根据（1）知F 是一个数环
对任意的0,,≠∈b F b a 有
1,F b a ∈2,F b a ∈
1F 是数域 ∴1F b a
∈ 同理2F b a
∈
∴F b a
∈，即：
F 为数域
（3）两个数环的并不一定是数环
取数环：{}Z n n Z ∈=33，{}
Z k k Z ∈=22
令?=Z S 3Z 2
Z 33∈，Z 22∈
∴S ∈3,2
但S ?+=325
即S 的加法不封闭
∴S 不是数环
5． 设n 是一整数，令：
{}Z z nz nZ ∈=
由例1，nZ 是一个数环。设Z n m ∈,，记：
数环和数域 16
Z y x ny mx nZ mZ ∈+=+,
证明：（i ）nZ mZ +是一个数环。
证明： nZ mZ n m +∈+
∴nZ mZ +是复数集的非空子集
∴对任意的nZ mZ nz mz nz mz +∈++2211, 有：
nZ
mZ z z n z z m nz mz nz mz +∈±+±=+±+)()()
()(21212211
nZ mZ z nz n z z n m m nz mz nz mz +∈++=++)()2(()
)((21212211
∴nZ mZ +对加，乘，减运算具有封闭性
∴nZ mZ +为数环。
（ii ）m n nZ mZ ??
证明：充分性：
m n
∴st Z d ,∈?
dn m =
对任意的mZ b ∈ （1）
st Z f ,∈?
)(fd n fm b ==
∴nZ b ∈ （2）
由（1）、（2）知：
nZ mZ ?
必要性：
nZ mZ mZ m ?∈,
∴nZ m ∈
∴st Z d ,∈?
dn m = ∴m n
（iii ）),(,n m d dZ nZ mZ ==+这里是n m ,的最大公因数
分析：本题实际上是证明集合相等，只要证明相互包含即可。 证明：先证dZ nZ mZ ?+
数环和数域 17 ),(n m d =
∴st b a Z b a ,1),(,,=∈?
bd n ad m ==,
对任意的Z y x nZ mZ ny mx ∈+∈+,,有： dZ d by ax bdy adx ny mx ∈+=+=+)( ∴dZ nZ mZ ?+
再证：dZ nZ mZ ?+
),(n m d =
∴st Z b a ,,∈?
d bn am =+ （1）
又对任意的dZ f ∈ （2）
dh f st Z h =∈?:, （3）
由（1）、（3）知：
nZ mZ bh n ah m f +∈+=)()( （4）
由（2）、（4）知
dZ nZ mZ ?+
综合两个方面的证明，dZ nZ mZ =+
（iv ）),(1n m Z nZ mZ =?=+
证明：由（iii ）知：
),(n m d dZ nZ mZ =?=+
),(1n m =
∴),(1n m Z nZ mZ =?=+
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。,,
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1．环与子环的定义和例子。在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环． 2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件： 二、释疑解难 1．设R是一个关于 代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序． 2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．
1． 2．
3． 4． 5．
6． 7． 8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环． §4．2 环的零因子和特征 一、主要内容 １．环的左、右零因子和特征的定义与例子． 2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数． 这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶． 3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然． 但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ??
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
第三章 环与域
第三章 环与域 与群一样，环与域也是两个重要的代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了，在哪里，我们有数环和数域的概念，它们实际上就是特殊的环与域。在本章里，我们只是介绍环与域的最基本的性质及几类最重要的环与域，通过本章的学习，将使得我们一方面对数环和数域有更清楚的了解，另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备的基础。 §1 加群、环的定义 一、加群 在环的概念里要用到加群的概念，因此要先介绍一下什么是加群，实际上加群也不是什么新的群，在习惯上，抽象群的代数运算，都是用乘法的符号来表示的，但我们知道，一个代数运算用什么符号表示是没有什么关系的，对于一个交换群来说，它的代数运算在某种场合下，用加法的符号来表示更加方便。 因此，我们通常所说的加群，是指用加法符号表示代数运算的交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同，所以加群的许多运算规则与表示形式就要与乘法表示的群有所不同。如： （1）加群G 的单位元用0表示，叫做零元。即a G ?∈，有 00a a a +=+=。 （2）加群G 的元素a 的逆元用a -表示，叫做a 的负元。即有()0a a a a -+=+-=。
利用负元可定义加群的减法运算：() a b a b -+- 。（3）()a a --=。 （4）a c b c b a +=?=-。 （5）(),() a b a b a b a b -+=----=-+ （6） ( 00 ()() a a a n a n na n n a n +++ ? ? == ? ?-- ? 个相加）为正整数 为负整数 ，且有 (),()(),() ma na m n a m na mn a n a b na nb +=+=+=+ 请同学们在乘法群中写出以上各结论的相应结论。 加群G的一个非空子集S作成一个子群,a b S ??∈，有, a b a S +-∈,a b S ??∈，有a b S -∈。 加群G的子群H的陪集表示为：a H H a +=+。 二、环的定义 设R是一个非空集合，“+”与“。”是两个代数运算，分别叫做加法与乘法，若 1. R对于“+”作成一个加群。 2. R对于“。”是封闭的。 3. ,, a b c R ?∈，有()() a bc a b c =，即乘法适合结合律。 4. ,, a b c R ?∈，有(),() a b c a b a c b c a b a c a +=++=+，即乘法对加法适合左（右）分配律。 则称R关于“+”与“。”作成一个环。 由定义可知，环是一个具有两个代数运算的代数系统，两个代数运算通过分配律联系起来。
《近世代数》习题及答案
《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
11数环和数域(答案)
数环和数域 13 1．5 数环和数域 1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。 证明：法一（正面证明）： {}0≠S 0,≠∈?∴a S a S 为数环 ∴加法具有封闭性 ∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数 （否则，可以推出0=a ） ∴ S 有无限多个元素 法二（反证法）： 假设S 有有限多个元素 不妨设为k 个 {}0≠S 0,≠∈?∴a S a S 为数环 ∴加法具有封闭性 ∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾 ∴ 假设不正确，即： S 有无限多个元素 2． 证明：{} Q b a bi a F ∈+=,是数域。 证明： Q b a bi a ∈+,, 令0==b a ∴ Q bi a ∈=+0 ∴ F 为复数集C 的非空子集 又对F di c bi a ∈++?,有： F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()( F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())(( ∴ F 为数环 又对0,,≠+∈++?di c F di c bi a 有： 022≠+d c 及 F i d c ad bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2 222
数环和数域 14 所以F 的除法封闭 所以F 为数域。 3． 证明：? ?? ?? ?∈=Z n m m S n ,2是一个数环。S 不是一个数域。 证明：（1）S 为数环的证明： S ∈= 02 1 1 ∴ S 为复数集的非空子集 又对任意的 2,1,,,2,22 12 1=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±= ± +2 11 22 1 222222121 S m m m m n n n n ∈=?+21212222 121 ∴ S 为数环 （2）S 不是数域的证明： S ∈== 2 2 1 5,1 1 但S ?5 1 ∴S 对除法不具封闭性 ∴ S 不是数域 4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。两个 数环的并是不是数环？ 证明：（1）两个数环的交还是数环： 任取两个数环21,S S ∴ 10S ∈，20S ∈ 令21S S S ?=
《近世代数》模拟试题1及答案
近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). ￥ A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在.
》 D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群，试求中G中下列各个元素 1213 ,, 0101 c d cd ???? == ? ? - ???? ， 的阶.； ;
2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群. } … & 3. 若e 是环R 的惟一左单位元，那么e 是R 的单位元吗若是，请给予证明.
第一节 数域
§1 数域（number field ） 教学目的：掌握数域的概念及其性质，了解数环的概念. 教学重点：数域概念及其证明. 教学难点：数域概念. 数的发展过程 复数实数有理数整数自然数负数开方正数开方除法减法???→????→???→???→? 1.数域的概念 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的. 定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数，那么P 就称为一个数域. 如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域. 显然全体有理数(rational number)组成的集合、全体实数(real number)组成的集合、全体复数(complex number)组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来表示.全体整数(integral number)组成的集合就不是数域，整数集关于加减乘运算是封闭的，但除法运算不封闭.类似的自然数集也不是数域. 例1 所有具有形式 2b a + 的数(其中b a ,是任意的有理数)，构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.即 },2{)2(Q b a b a Q ∈+=. 证明:显然)2(2011),2(2000Q Q ∈+=∈+=.
)2(,Q y x ∈?,设Q d c b a d c y b a x ∈+=+=,,,,2,2,则Q c a ∈±， d b ±Q ∈，Q bc ad Q bd ac ∈+∈+,2.因此有 )2(2)()(Q d b c a y x ∈±+±=±, )2(2)()2(Q bc ad bd ac y x ∈+++=?. 因此)2(Q 对加减乘运算是封闭的. 设Q b a ∈,,02≠+=b a x ,则02≠-b a ,若02=-b a ,则0==b a ,因此02=+b a ,与02≠+=b a x 矛盾.而 ,2222)2)(2()2)(2(222222b a bc ad b a bd ac b a b a b a d c b a d c --+--=-+-+=++ 因为Q d c b a ∈,,,,所以Q b a bc ad Q b a bd a c ∈--∈--22222,22.因此)2(Q 关于除法运算也是封闭的.因此)2(Q 是一个数域. 把本例中2换成其他的质数p ，)(p Q 也是一个数域.由于质数有无穷多个,因此数域有无穷多个. 例2 所有可以表成形式 m m n n b b b a a a π πππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数. 例3 所有奇数(odd number)组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的,因此不是数域. 例4 设P 是至少含两个数的数集，证明：若P 中任意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P ，则P 为一数域. 证明 ,,P b a ∈?有P b a P b a P b b b P a a ∈∈-∈≠=∈-=,,)0(1,0.因此 P ab b P b a a b b P b a b a ∈==∈=≠∈--=+00/10,)0(时，当，时，当.
第三章 环与域
第三章环与域 与群一样,环与域也就是两个重要得代数系统。但我们早在高等代数课程里就已经接触过它们了,在哪里,我们有数环与数域得概念,它们实际上就就是特殊得环与域。在本章里,我们只就是介绍环与域得最基本得性质及几类最重要得环与域,通过本章得学习,将使得我们一方面对数环与数域有更清楚得了解,另一方面也为进一步学习研究代数学打下必备得基础。 §1 加群、环得定义 一、加群 在环得概念里要用到加群得概念,因此要先介绍一下什么就是加群,实际上加群也不就是什么新得群,在习惯上,抽象群得代数运算,都就是用乘法得符号来表示得,但我们知道,一个代数运算用什么符号表示就是没有什么关系得,对于一个交换群来说,它得代数运算在某种场合下,用加法得符号来表示更加方便。 因此,我们通常所说得加群,就是指用加法符号表示代数运算得交换群。 由于加法符号与乘法符号有所不同,所以加群得许多运算规则与表示形式就要与乘法表示得群有所不同。如: (1)加群得单位元用0表示,叫做零元。即,有。 (2)加群得元素得逆元用表示,叫做得负元。即有。 利用负元可定义加群得减法运算:。 (3)。
(4)。 (5) (6),且有 请同学们在乘法群中写出以上各结论得相应结论。 加群得一个非空子集作成一个子群,有,有。 加群得子群得陪集表示为:。 二、环得定义 设就是一个非空集合,“+”与“。”就是两个代数运算,分别叫做加法与乘法,若 1、对于“+”作成一个加群。 2、对于“。”就是封闭得。 3、 ,有,即乘法适合结合律。 4、 ,有,即乘法对加法适合左(右)分配律。 则称关于“+”与“。”作成一个环。 由定义可知,环就是一个具有两个代数运算得代数系统,两个代数运算通过分配律联系起来。 例1 整数集合,有理数集合,实数集合,复数集合对于普通数得加法与乘法作成环。分别叫做整数环,有理数环,实数环,复数环。 例2 数域上所有阶方阵作成得集合关于矩阵得加法与乘法作成环。 例3 关于普通数得加法与乘法作成环,叫做偶数环。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为
近世代数期末考试试卷及答案(正)
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子的--交换环---称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于--25----。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-模n 乘余类加群------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=--{2}---。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----一一映射-------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的--不都等于零的元---n a a a ,,,10 使 得 010=+++n n a a a αα 。
高等代数环的定义与性质
一、 环的定义与基本性质 （一） 环的定义: 1、 定义1:交换群称为加群(Aβελ群),其运算叫 做加法,记为“+”。 2、 定义2:代数系统),;A (?+称为环,若 1)(A,+)就是加群; 2)代数系统);A (?适合结合律; 3)乘法);A (?对加法+的分配律成立。 3、 例子 (1)),;Z (?+、),;Q (?+、),;R (?+、),;C (?+都就是环,均称为数环。 (2)Z[ι] ={α+βι | α、β∈Z,ι2=－1 },则),];i [Z (?+也就是数环,称之为高斯整环。 (3)设Φ就是任一数环,则Φ[ξ]关于多项式加法与乘法作成一个多项式环。 (4)Z ν={所有模ν剩余类},则),;Z (n ?+就是模ν剩余类环,这里[α]＋[β] = [α+β],]b []a [? = [αβ]. (5)设(A,＋)就是加群,规定乘法如下:,A b ,a ∈?αβ=0,则),;A (?+作成一个环,称之为零环。 (二)环的基本性质:
(1)0x a a x =?=+。 (2)a x x a -=?=+0。 (3)c b c a b a =?+=+。 (4)nb na )b a (n +=+。(ν为整数) (5)na ma a )n m (+=+。(μ、ν为整数) (6))na (m a )mn (=。(μ、ν为整数) (7),A a ∈? 000=?=?a a 。 (8)ab )b (a b )a (-=-=-。 (9)ab )b )(a (=--。 (10)ac bc c )a b (,ac ab )c b (a -=--=-。 (11)j m i n j i n j j m i i b a b a ∑∑∑∑=====???? ?????? ??11 11 。 (12))ab (n )nb (a b )na (==。 (ν为整数)。 (13)若环中元a 、b 满足ba ab =,则 ()k n k n k k n n b a C b a -=∑=+0 (14)mn n m n m n m a )a (,a a a ==?+。(μ、ν为整数) (三)交换律与单位元: 1、定义3:环R 叫做交换环,若,R b ,a ∈?有 ba ab = 定义4:环R 的元e 称为单位元,若,R a ∈?有
近世代数模拟试题1及答案
近世代数模拟试题 单项选择题（每题5分，共25分） 1、在整数加群（Z+）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n , n 是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g,乘法是gg= g。G对这个乘法来说作成一个群 B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群 D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群 3.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（）. A . 反身性B. 对称性C. 传递性D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（). A. Z 没有生成元. B. 1 是其生成元. C. －1 是其生成元. D. Z 是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R 是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律, 并且单位元, 逆元存在. D. 环R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律, 并且单位元,
逆元存在. 二. 计算题（每题10 分，共30 分） 1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 3 的群，试求中G中下列各个元素c ,cd ， 1 的阶. 2. 试求出三次对称群 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) 的所有子群.
3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是, 请给予证明. 证明题（第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45 分）. 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程
《近世代数》模拟试题2与答案
近世代数模拟试题 一、单项选择题 (每题 5 分，共 25 分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。 A 0 B 1C－1D1/n， n 是整数 2、下列说法不正确的是（）。 A G 只包含一个元 g，乘法是 gg＝ g。G 对这个乘法来说作成一个群 B G 是全体整数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 C G 是全体有理数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 D G 是全体自然数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的是（）。 A群 G 是指一个集合 B环 R 是指一个集合 C群 G 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 D环 R 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 4、如果集合M 的一个关系是等价关系，则不一定具备的是()。 A 反身性B对称性C传递性 D 封闭性 5、下列哪个不是S3的共轭类( )。 A（1） B（123），（ 132），（ 23） C（123），（ 132） D（12），（ 13），（ 23） 二、计算题 (每题 10 分，共 30 分) 1.求 S＝{ （ 12），（ 13）} 在三次对称群 S3的正规化子和中心化子。
2.设 G＝{1 ，－ 1，i，－ i} ，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。 x, y 3.设 R 是由一切形如（x，y是有理数）方阵作成的环，求 出其右零因子。
三、证明题 (每小题 15 分，共 45 分) 1、设 R 是由一切形如x,0（x，y 是有理数）方阵作成的环，证 y,0 明0,0 是其零因子。0,0 2、设 Z 是整数集，规定 a·b＝a＋b－3。证明： Z 对此代数运算 作成一个群，并指出其单位元。
11数环和数域(答案)
数环和数域 13 1．5 数环和数域 1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。 证明：法一（正面证明）： {}0≠S 0,≠∈?∴a S a S 为数环 ∴加法具有封闭性 ∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数 （否则，可以推出0=a ） ∴S 有无限多个元素 法二（反证法）： 假设S 有有限多个元素 不妨设为k 个 {}0≠S 0,≠∈?∴a S a S 为数环 ∴加法具有封闭性 ∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾 ∴假设不正确，即： S 有无限多个元素 2． 证明：{}Q b a bi a F ∈+=,是数域。 证明： Q b a bi a ∈+,, 令0==b a ∴Q bi a ∈=+0 ∴F 为复数集C 的非空子集 又对F di c bi a ∈++?,有： F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()( F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())(( ∴F 为数环 又对0,,≠+∈++?di c F di c bi a 有： 022≠+d c 及 F i d c ad bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2222
数环和数域 14 所以F 的除法封闭 所以F 为数域。 3． 证明：? ?????∈=Z n m m S n ,2是一个数环。S 不是一个数域。 证明：（1）S 为数环的证明： S ∈= 02 11 ∴S 为复数集的非空子集 又对任意的2,1,,,2,22 121=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±= ±+211 221222222121 S m m m m n n n n ∈=?+2 1212222121 ∴S 为数环 （2）S 不是数域的证明： S ∈==220015,1 1 但 S ?51 ∴ S 对除法不具封闭性 ∴S 不是数域 4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。两个 数环的并是不是数环？ 证明：（1）两个数环的交还是数环： 任取两个数环21,S S ∴10S ∈，20S ∈ 令21S S S ?=
《近世代数》模拟试题1及答案
近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )、 A、0 B、 1 C、－1 D、1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )、 A 、G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B 、G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群; C 、G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群; D、G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群、 3、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )、 A 、反身性B、对称性C、传递性D、封闭性 4、对整数加群Z来说,下列不正确的就是( )、 A、Z没有生成元、 B、1就是其生成元、 C、－1就是其生成元、 D、Z就是无限循环群、 5、下列叙述正确的就是( )。 A、群G就是指一个集合、 B、环R就是指一个集合、 C、群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元, 逆元存在、 D、环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,
逆元存在、 二、 计算题(每题10分,共30分) 1、 设G 就是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作 成的群,试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ????== ? ?-????, 的阶、 2、 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群、
3、若e就是环R的惟一左单位元,那么e就是R的单位元不？若就是,请给予证明、 三、证明题(第1小题10分,第2小题15分,第3小题20分,共45分)、 1、证明: 在群中只有单位元满足方程
抽象代数复习题及答案
《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 23x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =- C. 对a R ∈，a 的负元不惟一 D. 若a b a c +=+，则b c = 14. 设G 是群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素32 a 的阶为( B )
北航2012抽象代数试卷与答案
班号学号姓名成绩 《抽象代数》期末考试卷 注意事项： 1、请大家仔细审题 2、千万不能违反考场纪律 题目： 一、判断题（每小题2分，共20分）(?) 1、设* 是集合X上的二元运算，若a∈ X是可约的，则a是可逆的。(√) 2、任何阶大于1的群没有零元。 (√) 3、任何群都与一个变换群同构。 (√) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。 (√) 5、素数阶群必为循环群。 (?) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。 (√) 7、环的理想构成其子环。 (?) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。 (?) 9、格保序映射必为格同态映射。 (√) 10、设A?S，则< P(A)，? > 是格< P (S)，? > 的子格。 二、填空题（10分） 1、设〈G，*〉为群，a，b∈G且a的阶为n，则b－1a b的阶为__n______。 2、设〈G，*〉为群且a∈G。若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为_n/(n,k) _； 并且 a k = e 当且仅当__n | k 3、域的特征为___0或素数___________ ；有限域的阶必为___素数的幂______。 4、GF（3）上的二次不可约首1多项式有_x2+1,x2+x+2,x2+2x+2 5、设D 是I+ 上的整除关系，即对任意的a，b∈I+ ，a D b 当且仅当a | b。 对任意a，b∈I+ ，则a * b = __(a, b)__， a ⊕b = __[a, b]__。 三、计算题（40分，每小题8分） 1、试求群< N11—{0}，·11 > 的所有子群。 解： 所有子群是： <{1}, ?11 > <{1, 3, 4, 5, 9}, ?11 > <{1, 10}, ?11 > < N11—{0}，?11 >
近世代数试题及答案
内蒙古广播电视大学2008—2009年度第二学期期末 《近世代数》试题 一、（16分）叙述概念或命题 1．正规子群； 2．唯一分解环； 3．代数数； 4．鲁非尼-阿贝尔定理 二、（12分）填空题 1．设有限域F 的阶为81，则的特征=p 。 2．已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。 3．一个有单位元的无零因子 称为整环。 4．如果710002601a 是一个国际标准书号，那么=a 。 三、（10分）设G 是群。证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。 四、（10分）证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 五、（15分）设}R ,,,|{H ∈+++=d c b a dk cj bi a 是四元数体，对H 中任意元 dk cj bi a x +++=， 定义其共轭 dk cj bi a x ---=。 1．证明：x x x x =是一个非负实数； 2．对k j i x 221-+-=，k j i y -+-=22，求xy ，yx 和1-x 。 六、（15分）设)6(1=I ，)15(2=I 是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。 1．21I I +； 2．21I I ?； 3．21I I ?
七、（10分）设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。 1．求στ和στ-1； 3．确定置换στ和στ-1的奇偶性。 八、（12分）求剩余类加群Z 12中每个元素的阶。
《近世代数》试卷答案 一、1．若H 是群G 的子群，且对每个G a ∈，有Ha aH =，那么H 称为是G 的正规子群。 2．设R 是个整环，若对于R 中每个非零非单位的元都有唯一分解，则称R 为唯一分解环。 3．有理数域上的代数元称为代数数。 4．如果5≥n （特征为0），那么n 次的一般方程没有根式解。 二、1．3 2．25 3．交换环 4．6 三、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）。 四、设A 是任意方阵，令)(21A A B '+= ，)(2 1 A A C '-=，则 B 是对称矩阵，而 C 是反对称矩阵，且C B A +=。若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一。 五、1．02222≥+++==d c b a x x x x 2．k j i xy 8424-+--=，k j i yx 2484-+--=，)221(10 1 1k i i x +-+=- 六、1．)3(21=+I I ； 2．)30(21=?I I ； 3．)90(21=?I I 七、1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-； 2．两个都是偶置换。 八、
近世代数期末考试试卷及答案.doc
近世代数期末考试试卷及答案 1、设 G 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则G的子集（）是子群. A、 a B、a, e C、e, a3 D、e, a,a 3 2、下面的代数系统（ G，* ）中，（）不是群 A、G为整数集合， * 为加法 B 、G为偶数集合， * 为加法 C、G为有理数集合， * 为加法 D 、G为有理数集合， * 为乘法 3、在自然数集 N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A、a*b=a-b B、 a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设 1 、 2 、3 是三个置换，其中 1 =（12）（23）（13）， 2 =（24）（14），3 = （ 1324），则3 =（） A、 2 B 、1 2C 、 2 D 、 2 1 1 2 5、任意一个具有 2 个或以上元的半群，它（）. A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案. 错填、不填均无分 . 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 ---------- 同构 . 2、一个有单位元的无零因子 ----- 称为整环 . 3、已知群G 中的元素 a 的阶等于 50，则 a 4 的阶等于 ------. 4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与------- 同构 . 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么 A∩B=-----. 6、若映射既是单射又是满射，则称为----------------- . 7、叫做域F 的一个代数元，如果存在 F 的a 0 , a1 , , a n使得 a a 1 a n n 0 . 8、a 是代数系统 ( A,0) 的元素，对任何x A 均成立x a x ，则称 a 为 --------- . 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G对于乘法封