高考三角函数专题(3个)
高考三角函数专题(3
个)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
三角函数专题1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、知识点
1、弦长和扇形面积公式：l=l?l，l=l
l ll=l
l
ll l
2、图像变换：l=llll→l=lll?(ll+l
l
)，先平移后伸缩，先伸缩后平移。
3、l=llll,l=llll图像和性质：单调区间，对称轴和对称中心等。
二、练习
1.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其
中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：
弧田面积=l l×(弦×矢+矢?l)，弧田(如图)由圆弧和
其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心
到弦的距离之差，现有圆心角ll
l
，半径为6米的弧田，按照上述经验公式
计算所得弧田面积约是(√l≈l.ll)()
A. 16平方米
B. 18平方米
C. 20平方米
D. 25平方米
2.如图，圆锥的底面直径ll=l，母线长ll=l，点C在母线长VB
上，且ll=l，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是()
3.
4.
A. √ll
B. √l
C. l√l
l
D.
l√l
l
5.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有
的点()
A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动l
l
个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动l
l
个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的l
l
(纵坐标不变)，再向右平行移动l
l
个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的l
l
(纵坐标不变)，再向左平行移动l
l
个单位长度
6.函数l(l)=sin(ll+l)(l>0,|l| 象向左平移l l 个单位后得到的函数为奇函数，则函数l(l)的图象 () A. 关于点(ll ll ,l)对称 B. 关于点(?l ll ,l)对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线l=ll ll 对称 7.已知函数l(l)=sin(ll+l)(l>0,|l|≤l l)，l=?l l为l(l) 的零点，l=l l 为l=l(l)图象的对称轴，且l(l)在(l ll,ll ll )上单 调，则l的最大值为() A. 11 B. 9 C. 7 D. 5 8.将函数l(l)=√l cos(ll+l l )?l的图象向左平移l l 个单位长度，再 向上平移1个单位长度，得到函数l(l)的图象，则函数l(l)具有性质______.(填入所有正确性质的序号) 9.①最大值为√l，图象关于直线l=?l l对称； 10.②图象关于y轴对称； 11.③最小正周期为l； 12.④图象关于点(l l,l)对称； 13.⑤在(l,l l)上单调递减． 14.如图为函数l(l)=llll(ll+l)(l>0,l>0,|l| l ,l∈l)的部分图象． (l)求函数解析式； (l)求函数l(l)的单调递增区间； ,l]上有两个不相等的实数根，则实数m的(l)若方程l(l)=l在[?l l 取值范围． 15.已知函数，l∈l． (l)求函数l(l)的单调区间；(l)若把l(l)向右平移l 个单位得到函数 l ,l]上的最小值和最大值． l(l)，求l(l)在区间[?l l 9、计算： (l)已知扇形的周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． (l)已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？ 三角函数专题2 解三角形，求面积，求最值。 1、在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且c=2，C=60°．(1)求a+b 的值； ssss+ssss (2)若a+b=ab，求△ABC的面积S△ABC. 2、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A+C)= 8sin2B ． 2 (1)求cos B； (2)若a+c=6，△ABC的面积为2，求b． 3、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acosB. (Ⅰ)证明：A=2B; (Ⅱ)若△ABC的面积S=a2 ，求角A的大小． 4 ，AB=8，点D在边BC 4、如图，在△ABC中，∠B=π 3 ． 上，且CD=2，cos∠ADC=1 7 (1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长． 多个三角形 5、如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC= 4． (Ⅰ)求∠ACP； (Ⅱ)若△APB的面积是3√3 ，求sin∠BAP． 2 多个三角形 6、△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c， 且． (1)求的值； (2)若a=√3，求△ABC面积的最大值． 最值问题 7、设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.设S为△ABC的面积， (a2+c2?b2)． 满足S=√3 4 (Ⅰ)求B； (Ⅱ)若b=√3，求(√3?1)a+2c的最大值． 最值问题 8、如图，OAB是一块半径为1，圆心角为π 的扇形空地.现决定在此空地上 3 修建一个矩形的花坛CDEF，其中动点C在扇形的弧AB上，记 ． (Ⅰ)写出矩形CDEF的面积S与角θ之间的函数关系式； (Ⅱ)当角θ取何值时，矩形CDEF的面积最大？并求出这个最大面积． 三角函数应用 9、某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度(海岸线可以看作是直线)，跑道上离海岸线距离 最近的点B到海岸线的距离BC=4√3km；D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD=x(km)，点D对跑道AB的视角为θ． (1)将tanθ表示为x的函数； (2)求点D的位置，使θ取得最大值． 三角函数应用 三角函数专题3—真题 一、填空题（本大题共2小题，共10.0分） 1、若△ABC的内角满足sinA+√2sinB=2sinC，则cos C的最小值是 ______． 2、在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是________． 二、解答题（本大题共3小题，共36.0分） （简单）3、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 4sin2A?B +4sinAsinB=2+√2． 2 (Ⅰ)求角C的大小； (Ⅱ)已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值． 4、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=√3， cos2A?cos2B=√3sinAcosA?√3sinBcosB． (Ⅰ)求角C的大小； (Ⅱ)若sinA=4 ，求△ABC的面积． 5 5、如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米).甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P 地，t=t2时乙到达Q地． (1)求t1与f(t1)的值； (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1,t2]上的最大值是否超过3说明理由． 6、如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA 上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m 处(OC为河岸)，tan∠BCO=4 ． 3 (1)求新桥BC的长； (2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 三角函数1（答案和解析） 1.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查三角函数的应用，属于基础题． ，即可求得OD，AD的值，根据题在Rt△AOD中，由题意OA=6，∠DAO=π 6 意可求矢和弦的值，利用公式计算求值即可． 【解答】 解：如图，由题意可得：∠AOB=2π，OA=6， 在Rt△AOD中，可得：∠AOD=π 3，∠DAO=π 6 ，OD=1 2 AO=1 2 ×6=3， 可得：矢=6?3=3， 由AD=AO?sinπ 3=6×√3 2 =3√3， 可得：弦=2AD=2×3√3=6√3， 所以：弧田面积=1 2 (弦×矢+矢?2) =1 2 (6√3×3+32)=9√3+4.5≈20平方米． 故选C． 2.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查平面展开?最短路径问题，属于中档题． 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，化曲面为平面，进而根据“两点之间线段最短”用勾股定理解决，得出结果． 【解答】 解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π， 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=3α， 解得：α=2π 3 ， ∴∠AVA′=2π 3 ， 则∠1=π 3 ， 过C作CF⊥VA， ∵VC=1，∠1=π 3 ， ∴∠VCF=π 6 ， ∴FV=1 2 ， ∴CF2=CV2?VF2=3 4 ， ∵AV=3，FV=1 ∴AF=5 2 ， 在Rt△AFC中，利用勾股定理得：AC2=AF2+FC2=7， 则AC=√7． 故选B． 3.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查三角函数的诱导公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题． 由可得解． 【解答】 解：将函数y=√2cos(2x?π 4 )的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍，得到， 再向右平行移动π 4 个单位长度，即可得到的图象． 故选B． 4.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题． 利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论． 【解答】 解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π 2)的最小正周期为2π ω =π， 解得ω=2， 其图象向左平移π 6个单位后得到的函数为y=sin[2(x+π 6 )+φ]=sin(2x+π 3 + φ)， 再根据y=sin(2x+π 3 +φ)为奇函数， ∴π 3+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ?π 3 ， 又因为|φ|<π 2 ， 可取φ=?π 3 ， 故f(x)=sin(2x?π 3 )， 当x=7πf(x)=1≠0，且f(x)=1 故f(x)的图象不关于点(7π12,0)对称，也不关于直线x = 7π12 对称，故排除A 、D ， 当x =?π 12时，f(x)=sin (?π 2)=?1，是函数的最小值点， 故f(x)的图象不关于点(?π 12,0)对称，但关于直线x =?π 12对称． 故选C ． 5.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查正弦型函数的图象和性质的综合运用，本题转化困难，属于中档题． 根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x =?π 4为f(x)的零点，x =π 4为y =f(x)图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f(x)在(π 18,5π 36)上单调，可得ω的最大值． 【解答】 解：∵x =?π 4为f(x)的零点，x =π 4为y =f(x)图象的对称轴， ∴ 2n+14 ?T =π2，即 2n+14 ? 2πω =π 2，(n ∈N)， 即ω=2n +1，(n ∈N)，即ω为正奇数， ∵f(x)在(π 18,5π 36)上单调，则5π 36?π 18=π 12≤T 2， 即T = 2πω ≥π 6，解得：ω≤12， 当ω=11时，? 11π4 +φ=kπ，k ∈Z ， ∵|φ|≤π 2，∴φ=?π 4， 此时f(x)在(π 18,5π 36)不单调，不满足题意； 当ω=9时，? 9π4+φ=kπ，k ∈Z ， ∵|φ|≤π 2，∴φ=π 4， 此时f(x)在(π 18,5π 36)单调，满足题意； 故ω的最大值为9， 故选B ． 6.【答案】②③④ 【解析】【分析】 本题考查函数y =Acos(ωx +φ)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题． 利用函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论． 【解析】 解：将函数f(x)=√3cos(2x+π 3)?1的图象向左平移π 3 个单位长度， 得到y=√3cos[2(x+π 3)+π 3 ]?1=?√3cos2x?1的图象； 再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)=?√3cos2x的图象．对于函数g(x)=?√3cos2x： 它的最大值为√3，由于当x=?π 3时，g(x)=√3 2 ，不是最值， 故g(x)的图象不关于直线x=?π 3 对称，故①错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故②正确； 它的最小正周期为2π 2 =π，故③正确； 当x=π 4时，g(x)=0，故函数的图象关于点(π 4 ,0)对称，故④正确； 当x∈(0,π 3)时，2x∈(0,2π 3 )，g(x)单调递增，故⑤错误， 故答案为②③④． 7.【答案】解：(1)由题中的图象知，A=2，T 4=π 3 ?π 12 =π 4 ， 即T=π，所以ω=2π T =2， 根据五点作图法，令2×π 12+φ=π 2 +2kπ,k∈Z， 得到φ=π 3 +2kπ,k∈Z， ∵|φ|<π 2 ， ∴φ=π 3 ， ∴解析式为f(x)=2sin(2x+π 3 )； (2)令2kπ?π 2≤2x+π 3 ≤2kπ+π 2 ，k∈Z， 解得kπ?5π 12≤x≤kπ+π 12 ，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间为[kπ?5π 12,kπ+π 12 ]，k∈Z； (3)由f(x)=2sin(2x+π)在[?π,0]上的图象如下图所示： 当?π 2≤x≤0，则?2π 3 ≤2x+π 3 ≤π 3 ， 所以当方程f(x)=m在[?π 2 ,0]上有两个不相等的实数根时， 观察函数的图象可知，m∈(?2,?√3]上有两个不同的实根． 【解析】本题考查了由三角函数图象求解析式以及利用正弦函数的性质求单调区间以及数形结合求参数范围，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键；属于中档题 (1)由已知图象求出振幅、周期和相位，求得解析式； (2)由(1)的解析式，结合正弦函数的性质求单调增区间； (3)利用数形结合求满足条件的m的范围． 8.【答案】解：(1)f(x)=1+2√3sinxcosx?2sin2x， =√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π 6 )， 令2kπ?π 2≤2x+π 6 ≤2kπ+π 2 ，k∈Z， 得kπ?π 3≤x≤kπ+π 6 ，k∈Z， 可得函数f(x)的单调增区间为[kπ?π 3,kπ+π 6 ]，k∈Z； 令2kπ+π 2≤2x+π 6 ≤2kπ+3π 2 ，k∈Z， 得kπ+π 6≤x≤kπ+2π 3 ，k∈Z， 可得函数f(x)的单调减区间为[kπ+π 6,kπ+2π 3 ]，k∈Z； (2)若把函数f(x)的图像向右平移π 6 个单位， 得到函数的图像， ∵x∈[?π 2 ,0]， ∴2x?π∈[?7π,?π]， ． 故g(x)在区间[?π 2 ,0]上的最小值为?2，最大值为1． 【解析】本题主要考查三角函数的化简及函数y=Asin(ωx+φ)的图象性质和最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题． (1)利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数f(x)的解析式，再利用正弦函 数的单调性，求得函数f(x)的单调区间； (2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，由x的 范围求出ωx+φ的范围，即可利用正弦函数的性质求出g(x)的范围． 9、【答案】解：(1)解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=10， 又S扇形=1 2 lr=4，解得：r=4，l=2， ∴扇形的圆心角的弧度数是：2 4=1 2 ； (2)设扇形的半径和弧长分别为r和l，由题意可得2r+l=40， ∴扇形的面积S=1 2lr=1 4 ?l?2r≤1 4 ·(l+2r 2 ) 2 =100． 当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号， 此时圆心角为α=l r =2， ∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．【解析】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，考查了基本不等式的应用以及学生的计算能力，属于基础题． (1)根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇 形的弧长与半径，进而根据公式α=l r 求出扇形圆心角的弧度数． (2)由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得2r+l=40，扇形的面积 S=1 2lr=1 4 ?l?2r，由基本不等式可得． 三角函数2（答案） 1.【答案】解：(1)由正弦定理可设 a sin A =b sin B =c sin C =2 sin60° = √3 2 =4√3 3 ， 所以a=4√3 3sin A,b=4√3 3sin B， 所以a+b sin A+sin B = 4√3 3 (sin A+sin B) sin A+sin B =4√3 3 ． (2)由余弦定理得c2=a2+b2?2abcosC， 即4=a2+b2?ab=(a+b)2?3ab， 又a+b=ab，所以(ab)2?3ab?4=0，解得ab=4或ab=?1(舍去) 所以S△ABC=1 2ab sin C=1 2 ×4×√3 2 =√3． 【解析】(1)根据正弦定理求出a=4√3 3sin A,b=4√3 3sin B，然后代入所求的式子 即可； (2)由余弦定理求出ab=4，然后根据三角形的面积公式求出答案． 本题考查了正弦定理、余弦定理等知识．在解三角形问题中常涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及同角三角函数基本关系等问题，故应综合把握． 2.【答案】解：(1)∵sin(A+C)=8sin2B 2 ， ， ∴sinB=4(1?cosB)， ∵sin2B+cos2B=1， ∴16(1?cosB)2+cos2B=1， ∴16(1?cosB)2+cos2B?1=0， ∴(17cosB?15)(cosB?1)=0， ∵B为三角形内角，则cosB≠1， ∴cosB=15 17 ． (2)由(1)可知， ∵S△ABC=1 2 ac?sinB=2， ∴ac=17 2 ， ∴由余弦定理可得， b2=a2+c2?2ac·cosB=a2+c2?2×17 2 × 15 17 =a2+c2?15 =(a+c)2?2ac?15 =36?17?15=4， ∴b=2． 【解析】本题考查了三角形的内角和定理，半角公式，三角形的面积公式，余弦定理，属于基础题． (1)利用三角形的内角和定理可知A+C=π?B，再利用诱导公式化简sin(A+ C)，利用半角公式化简8sin2B 2 ，结合sin2B+cos2B=1，求出cos B． (2)由(1)可知sinB=8 17 ，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理变形即可求出b． 3.【答案】(Ⅰ)证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB， ∴sinB +sin (A +B)=2sinAcosB ， ∴sinB +sinAcosB +cosAsinB =2sinAcosB ， ∴sinB =sinAcosB ?cosAsinB =sin (A ?B)， ∵A ，B 是三角形中的内角，∴0 (Ⅱ)解：∵△ABC 的面积S = a 24a 24 ， ∴2bcsinA =a 2， ∴2sinBsinC =sinA =sin2B ， ∴sinC =cosB ， 又∵0 2或C =B +π 2， 当B +C =π 2时，A =π 2; 当C ?B =π 2时，A =π 4． 综上，A =π 2或A =π 4． 【解析】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题． (Ⅰ)利用正弦定理，结合两角和的正弦公式，即可证明A =2B ； (Ⅱ)若△ABC 的面积S =a 24 ，则1 2bcsinA = a 24 ，结合正弦定理、二倍角公 式，即可求角A 的大小． 4.【答案】解：(1)在△ABC 中，∵cos ∠ADC =1 7， ∴sin ∠ADC =√1?cos 2∠ADC =√1?(1 7)2=√48 49= 4√3 7 ， 则sin ∠BAD =sin (∠ADC ?∠B)=sin ∠ADC ?cosB ?cos ∠ADC ?sinB = 4√37×1 2 ? 1 7 × √32 = 3√3 14 ． (2)在△ABD 中，由正弦定理得， 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+CB 2?2AB ?BCcosB =82+52?2×8×5×1 2=49， 即AC =7． 【解析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论． 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大． 5. 【答案】解：(Ⅰ)在△APC中，因为∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC2?2?AP?AC?cos∠PAC， 所以22=AP2+(4?AP)2?2?AP?(4?AP)?cos60°， 整理得AP2?4AP+4=0， 解得AP=2，所以AC=2， 所以△APC是等边三角形，所以∠ACP=60°． (Ⅱ)法1：由于∠APB是△APC的外角， 所以∠APB=120°，因为△APB的面积是3√3 2 ， 所以1 2?AP?PB?sin∠APB=3√3 2 ，所以PB=3， 在△APB中，由余弦定理可得 AB2=AP2+PB2?2?AP?PB?cos∠APB =22+32?2×2×3×cos120°=19， 所以AB=√19， 在△APB中，由正弦定理得 AB sin∠APB =PB sin∠BAP ， 所以sin∠BAP= √19=3√57 38 ． 法2：作AD⊥BC，垂足为D， 因为△APC是边长为2的等边三角形，所以PD=1,AD=√3,∠PAD=30°，因为△APB的面积是3√3 2 ， 所以1 2?AD?PB=3√3 2 ， 所以PB=3，所以BD=4， 在Rt△ADB中，AB=√BD2+AD2=√19， 所以sin∠BAD=BD AB = √19 ， cos ∠BAD =AD AB = √3 √19 ， 所以sin ∠BAP =sin (∠BAD ?30°) =sin ∠BADcos30°?cos ∠BADsin30° = √ 19 ×√32 ? √3√19 ×12= 3√57 38 ． 【解析】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦定理，三角函数的定义，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想，属于中档题． (Ⅰ) 在△APC 中，由余弦定理得AP 2?4AP +4=0，解得AP =2，可得△APC 是等边三角形，即可得解． (Ⅱ) 法1：由已知可求∠APB =120°，利用三角形面积公式可求PB =3，进而利用余弦定理可求AB ，在△APB 中，由正弦定理可求sin ∠BAP = 19 的值． 法2：作AD ⊥BC ，垂足为D ，可求：PD =1,AD =√3,∠PAD =30°，利用三角形面积公式可求PB ，进而可求BD ，AB ，利用三角函数的定义可求sin ∠BAD =BD AB = √19，cos ∠BAD =AD AB =√3 √19 .利用两角差的正弦函数公式可求sin ∠BAP =sin (∠BAD ?30°)的值． 6.【答案】解：(1)sin 2B+C 2 +cos2A =sin 2π?A 2+2cos 2A ?1=cos 2A 2+2cos 2A ?1=1+cosA 2 +2cos 2A ?1 = 1+1 3 2 +2×1 9?1=?1 9． (2)在△ABC 中，cosA =1 3， 可得：sinA =√1?1 9 = 2√2 3， 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2 ?2bccosA =b 2+c 2?2 3bc ≥2bc ?2 3bc =4 3bc ， 即有bc ≤3 4a 2=9 4，当且仅当b =c =3 2时，取得等号， 则△ABC 面积S =1 2bcsinA ≤1 2×9 4 ×2√2 3 = 3√24 ， 即有b =c =3 2时，△ABC 的面积取得最大值3√2 4 ． 【解析】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题． (1)利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值； (2)运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值． 7.【答案】解：(Ⅰ)∵S =1 2acsinB ，cosB =a 2+c 2?b 2 2ac ，即a 2+c 2?b 2= 2accosB ， ∴由S =√3 4(a 2+c 2?b 2)变形得：1 2acsinB =√3 4×2accosB ， 整理得：tanB =√3，又∵0