函数的凹凸性在高考中的应用
1、凹凸函数定义及几何特征
⑴引出凹凸函数的定义：
如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。
⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）：
设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有：
（1）1212()()(
)22
x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22
x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征：
几何特征1（形状特征）
图4（凹函数） 图5（凸函数）
如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122
x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。
几何特征2（切线斜率特征）
图6（凹函数） 图7（凸函数）
设21,A A 是函数y=)(x f 曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大；
凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小；
简记为：斜率凹增凸减。
几何特征3（增量特征）
图8（凹函数） 图9（凸函数）
图10（凹函数） 图11（凸函数）
设函数ｇ（ｘ）为凹函数，函数ｆ（ｘ）为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小； 由此，对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…） 凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；
凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小；
弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题．
函数凹凸性的应用
应用1 凹凸曲线问题的求法
下面我们用增量特征（增量法）准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题． 题目： 一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图12所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图13中的（ ）．
解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．
例3（06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（ ）
图
17
A B C
D
图
12
图13
解：易得弓形AxB 的面积的2倍为f(x)=ｘ-sin ｘ．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝sin ｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的f(x)的变化，在ｘ∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选D ．
应用2 凹凸函数问题的求法
例1、(2005·湖北卷) 在y=2x , y=log 2x, y=x 2, y=cos2x 这四个函数中,当0 , 恒成立的函数的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 分析：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x 1,x 2∈I,且x 1 凹凸性，对试题中的不等关系式： ，既可以利用函数的图像直观的认识，也可以通过代数式的 不等关系来理解。考查的重点是结合函数的图像准确理解凹凸的含义. 例2、（05北京卷理13）对于函数f(x)定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ① f(x 1＋x 2)=f(x 1)·f(x 2)； ② f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)； ③1212()()f x f x x x -->0； ④1212()()()22x x f x f x f ++<. 当f(x)=lgx 时，上述结论中正确结论的序号是 （②③） 。 本题把对数的运算（①②）、对数函数的单调性（③）、对数函数图像的凹凸性（④）等知识有机的合成为一道多项填空题，若对函数的性质有较清楚的理解便不会有困难，而靠死记硬背的考生就会有问题。 多维层次练9 [A级基础巩固] 1．(多选题)(2020·广东肇庆检测)下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是() A．y＝－1 x B．y＝2 x－2－x C．y＝sin x D．y＝x|x| 解析：C项在定义域上有增有减，A选项定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)不能写成并集，所以A选项错误．对于B选项，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)是奇函数，并且在定义域上为增函数．D项，当x≥0，y＝x2是增函数；x≤0时，y＝－x2也是增函数，且y＝x|x|是奇函数． 答案：BD 2．(2020·广东湛江模拟)已知函数g(x)＝f(2x)－x2为奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝() A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：因为g(x)为奇函数，且f(2)＝1，所以g(－1)＝－g(1)， 所以f(－2)－1＝－f(2)＋1＝－1＋1＝0，所以f(－2)＝1. 答案：C 3．若函数y＝f(2x－1)是偶函数，则函数y＝f(2x＋1)的图象的对称轴是() A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝1 2D．x＝－ 1 2 解析：因为函数y ＝f (2x －1)是偶函数，所以函数y ＝f (2x －1)的图象关于y 轴对称，因为函数y ＝f (2x ＋1)的图象是由函数y ＝f (2x － 1)的图象向左平移一个单位得到，故y ＝f (2x ＋1)的图象关于x ＝－1对称． 答案：A 4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4， 且当x ∈? ?? ??－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 021)等于( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．log 27 解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，所以f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)． 因为－1∈? ????－32，0，且当x ∈? ?? ??－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)， 所以f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2， 所以f (2 021)＝－f (－1)＝－2. 答案：C 5．(一题多解)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a 函数的凹凸性 一、出示曲线，出示课题 1、请大家看一下屏幕上的四条曲线，如果要给它们分一下类，怎么分？可以按照函数的单调性分。这两个从左往右，逐渐上升，这两个从左往右，逐渐下降。 2、从单调性的角度，这两条曲线是一类，但如果再仔细观察一下，这两条曲线还是不一样，这条曲线是凸的，这条曲线是凹的。同样，这条曲线是凸的，这条曲线是凹的。所以，如果按照曲线的凹或者凸，我们可以把这两条曲线作为一类，因为它们都是凹的，把这两条作为另外一类，因为它们都是凸的。那么，曲线的凹或者凸，反映了函数的什么性质呢？这就是本节课我们要学习的内容：函数的凹凸性。 二、比较位置，给出定义 刚才我们说这两条曲线是凹的，什么是凹的呢？实际上，如果在这条曲线上任取两点，不难发现，连结这两个点的曲线弧始终在连结这两个点的弦的下面，所以我们说它是凹的。而如果在这条曲线上任取两点，连结这两个点的曲线弧始终在弦的上面，所以我们说它是凸的。这里我们是用比较曲线弧和弦的上下位置来区分曲线的凹和凸，那么，如果用数学语言来刻画曲线的凹和凸，怎么来描述呢？ (1)现在屏幕上显示的是2y x =，0x ≥的函数图象，可以看出来它是一条凹的曲线。 1、在曲线上任取两点A 、B ,设点A 的横坐标为1x ，点B 的横坐标为2x ，如果在()12,x x 内任取一个x ，过这个点作x 轴的垂线，这条垂线与曲线弧相交，交点是P ，与弦相交，交点是Q ，由于连结A 、B 两点的曲线弧始终在弦AB 的下面，所以不管x 怎么变，点P 的纵坐标始终小于点Q 的纵坐标。 2、刚才x 是在()12,x x 内任取的，这样的话，随着x 的变化，点P 和点Q 的纵坐标也在变化，这样对我们表示点P 和点Q 的纵坐标很不方便。所以，为了表示点P 和点Q 的纵坐标的方便，x 就取()12,x x 的中点122 x x +。 3、好，在这里同学们可能会有这样的疑问：你取区间的中点，那你比的只是区间中点处对应的P 和Q 的纵坐标，不能说明曲线弧和弦上所有点的情况啊？实际上，由于点A 、B 是任取的，所以12,x x 也是任意的，随着12,x x 的变化，中点也在变化，对应的点P 和Q 也在变化，所以中点处对应的P 和Q 实际上就代表了曲线弧和弦上的所有点。 4、点P 的纵坐标是122x x f +?? ??? ，点Q 的纵坐标是()()122f x f x +，则有122x x f +??< ??? ()()122f x f x +。一般地，如果函数()f x 在区间I 上连续，对I 上任意两 函数凹凸性的应用 什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性. 如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而 2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或 更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方. 如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？ 设函数 ()f x 在区间I 上是凸的（向下凸）,任意 1x , 2x I ∈（ 12 x x <）. 曲线 ()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意 12(,)x x x ∈,() f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程 211121 ()() ()() f x f x y x x f x x x -= -+-. 对任意 12(,) x x x ∈有,整理得 21 122121 ()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤ +--. 令 221()x x t x x -= -,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1 21 1x x t x x -=--,上式可写成 1212[(1)]()(1)() f tx t x tf x t f x +-≤+- 1.1凸凹函数的定义 凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。图像向下 专题6 函数的周期性 函数的周期性 ★★★ ○○○○ 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．周期函数y＝f(x)满足： (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； (3)若f(x＋a)＝－1 f x，则函数的周期为2 a； (4)若f(x＋a)＝1 f x，则函数的周期为2 a； (5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|； (6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b, 0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|； (7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|； (8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a； (9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a. 函数周期性的判定与应用 (1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x ＋T)＝f(x)(T≠0)即可． (2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)也是函数的周期． [典例] (1)(·郑州模拟)已知函数f (x )＝?? ? 21－x ，0≤x ≤1， x －1，1 §3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判别法 定理1 设 )(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增（减）的充要条件是 )()('00≤≥x f . 证 若 f 为增函数，则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有 ()() 00 0≥--x x x f x f 。 令0x x →，即得 00≥)('x f 。 反之，若 )(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ，则对任意I x x ∈21,（设21x x <） ，应用拉格朗日定理，存在，使得 ()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。 由此证得 f 在I 上为增函数。 定理2 若函数 f 在),(b a 内可导,则f 在),(b a 内严格递增(递减)的充要条件是: (1)),(b a x ∈?有)()('00≤≥x f ; (2) 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f . 推论 设函数在区间I 上可微,若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格)递增(递 减). 注1 若函数 f 在),(b a 内(严格)递增(递减),且在点a 右连续,则f 在),[b a 上亦为(严 格)递增(递减), 对右端点b 可类似讨论. 注2 如果函数 )(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且 连续，那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就 能保证 )('x f 在各个部分区间保持固定符号，因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。 注意：如果函数 )(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或 不存在外，在其余点上都有 0>)('x f （或0<)('x f ），那么由于连续性，)(x f 在区间 ],[b a 上仍然是单调增加（或单调减少）的。 函数的凹凸性在高考中的应用 崇仁二中廖国华 教学目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。 ②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。 教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征 教学过程： 一、课题导入 1.展示崇仁县第二中学2008届高三第一次月考试题12得分统计表 2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题——— 题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 二、新课讲授 1、凹凸函数定义及几何特征 图1 图2 ⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()()2 2 x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）12 12()() ( )2 2 x x f x f x f ++> ，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点12 2 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。 函数的周期性 一、周期函数的定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．． 时，都有()()f x T f x +=， 那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明：（1）T 必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 二、常见函数的最小正周期 正弦函数 y =sin （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ωπ2 y=cos （ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= ω π 2 y =tan （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ω π y =|sin （ωx +φ）|（w>0）最小正周期为T= ω π f(x)=C(C 为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ 三、抽象函数的周期总结 1、)()(x f T x f =+ ?)(x f y =的周期为T 2、)()(x b f a x f +=+ )(b a < ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) ()(x f c a x f =+ (C 为常数) ?)(x f y =的周期为a T 2= 5 ) (1) (1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、 1)(1 )(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 4= 7、) (1) (1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4= 8、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6= 9、)1()()2(++=++++n x f n x f n x f ；（它是周期函数，一个周期为6） 10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a < ?)(x f y = 周期)(2a b T -= 11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ?)(x f y = 周期)(2a b T -= 函数凹凸性判别法与应用 作者：祝红丽 指导老师：邢抱花 摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过 它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸 性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并 结合相关例题做了较详细的论述. 关键词 凹凸性 导数 不等式 应用 1 引言 函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变 量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确. 以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增 加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图 形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分 析. 作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学 者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研 究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛. 本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函 数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹 凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性， 及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判 别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函 数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都 能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代 的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函 数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的 函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化. 高中数学函数的周期性练习 题型一：求周期问题 【例1】 已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ） A . 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数 C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数 【例2】 求函数tan cot y αα=- 的最小正周期 【例3】 定义在R 上的函数()f x 满足(3)()0f x f x ++=，且函数32f x ??- ?? ?为奇函数．给出以下3个命题： ①函数()f x 的周期是6； ②函数()f x 的图象关于点302 ??- ???，对称； ③函数()f x 的图象关于y 轴对称，其中，真命题的个数是（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【例4】 若y =f (2x )的图像关于直线2a x =和()2 b x b a =>对称，则f (x )的一个周期为（ ） A ． 2a b + B ．2()b a - C ．2 b a - D ．4()b a - 【例5】 已知函数()f x 对于任意,a b ∈R ，都有()()f a b f a b ++-2()()f a f b =?，且(0)0f ≠． ⑴求证：()f x 为偶函数； ⑵若存在正数m 使得()0f m =，求满足()()f x T f x +=的1个T 值（T ≠0）． 典例分析 【例6】 设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．且对任意121,[0,]2 x x ∈，都有1212()()()f x x f x f x +=?，(1)0f a =>． ⑴求1()2f 及1()4 f ； ⑵证明()f x 是周期函数； 题型二：求值问题 【例7】 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点304??- ??? ，成中心对称图形，且满足3()2f x f x ??=-+ ?? ?，(1)1f -=，(0)2f =-．那么，(1)(2)(2006)f f f +++L 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 【例8】 （2005天津卷）设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12 x =对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【例9】 （2006年安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x += ，若()15,f =-则()()5f f =__________。 【例10】 (2006年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( ) (A )－1 (B) 0 (C) 1 (D)2 【例11】 （1996全国，15）设()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，()()2f x f x +=-，当0≤x ≤1时，()f x x =， 则f （7.5）等于（ ） A .0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 【例12】 已知函数f (x )的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f (x )＝f (x －1)＋f (x ＋1)若f (0)＝2004，求 f (2004) 第四节 函数单调性、凹凸性与极值 我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法. 分布图示 ★ 单调性的判别法 ★ 例1 ★ 单调区间的求法 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 曲线凹凸的概念 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 曲线的拐点及其求法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 函数极值的定义 ★函数极值的求法 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★第二充分条件下 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-4 ★ 返回 内容要点 一、函数的单调性：设函数)(x f y =在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导. (1) 若在(a , b )内0)(>'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加; (2) 若在(a , b )内0)(<'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少. 二、曲线的凹凸性：设)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 则 (1) 若在(a , b )内，,0)(>''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凹的; (2) 若在(a , b )内，,0)(<''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凸的. 三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数)(x f ''； (2) 令0)(=''x f ，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点； (3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(x f ''的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点. 四、函数的极值 极值的概念； 极值的必要条件； 第一充分条件与第二充分条件； 求函数的极值点和极值的步骤： （1） 确定函数)(x f 的定义域，并求其导数)(x f '; （2） 解方程0)(='x f 求出)(x f 的全部驻点与不可导点; （3）讨论)(x f '在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点; （4） 求出各极值点的函数值，就得到函数)(x f 的全部极值. 2．7 函数的周期性 ——函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然”出现的周期 性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题 一.明确复习目标 1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期； 2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问 题。 二、建构知识网络 1.函数的周期性定义： 若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立，则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的 2.若T 是周期，则k ·T （k ≠0,k ∈Z ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。 一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f (x )=C ； 3.若函数f (x )对定义域内的任意x 满足：f (x+a )=f (x －a ),则2a 为函数f (x )的周期。 （若f (x )满足f (a+x )=f (a －x )则f (x )的图象以x=a 为图象的对称轴，应注意二者的区别) 4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a 和x=b ，（a 第16 次理论课教学安排 图1 2.4导数的应用----曲线的凹凸与拐点 课题： 曲线的凹凸与拐点 目的要求：理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形 的拐点等方法。 重、难点：判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点 教学方法：讲练结合 教学时数：1课时 教学进程： 函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画那？ 一、曲线的凹凸与拐点 1．曲线的凹凸定义和判定法 从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的，此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义： 定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的． 例如，图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的，曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的． 由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大；对于凸 x y o () y f x =A B x y o () y f x =A B 的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而减小．由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定．而()x f '的单调性又可以用它的导数，即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定，故曲线 ()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理： 定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数． （1）如果在()b a ,内，()x f ''＞0，那么曲线在()b a ,内是凹的； （2）如果在()b a ,内，()x f ''＜0，那么曲线在()b a ,内是凸的． 例１ 判定曲线3 x y =的凹凸性． 2．拐点的定义和求法 定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点． 定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点 ()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f 我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸．如果()x f ''连续，那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x 使()0x f ''＝0．这样，点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点．因此，如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点: (1) 确定函数()x f y =的定义域； (2) 求()x f y ''=''；令()x f ''＝0，解出这个方程在区间()b a ,内的实根； (3) 对解出的每一个实根0x ，考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号．如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反，那么点()()00,x f x 就是一个拐点，如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同，那么点()()00,x f x 就不是拐点． 例２ 求曲线2 3 3x x y -=的凹凸区间和拐点． 解 （1）函数的定义域为()+∞∞-,； （2）()1666,632 -=-=''-='x x y x x y ；令0=''y ，得1=x ； （3）列表考察y ''的符号（表中“”表示曲线是凹的，“” 表示曲线 是凸的）： x ()1,∞- 1 ()+∞,1 y '' - 0 + 曲线y 拐点 ()2,1- 高中数学——函数的周期性 一、知识回顾 1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．关于函数周期性常用的结论 (1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1() f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； (3)若函数满足1()() f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． （5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=?． （6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=?． （7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=?． 二、方法规律技巧 1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω| 计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ． 2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． 3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期． 二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点 教学目标与要求 通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图形打好基础，同时，理解拐点的定义和意义。 教学重点与难点 教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。 教学难点：理解拐点的定义和意义。 教学方法与建议 证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用“拉格朗日中值定理”证明外，还可用“泰勒定理”来证明；如果利用“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，摸不着头脑。 在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关。 教学过程设计 1. 问题提出与定义 函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还 不能准确描绘出函数的图形。比如，如果在区间上，， 则我们知道在区间上单调增，但作图（参见图1）的时 候，我们不能判断它增加的方式（是弧，还是弧），即 不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性 态、作图等是很有必要的！ 在图1中，对于上凸的曲线弧，取其上任意两点，不妨取 作割线，我们总会发现不论两点的位置，割 线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式 来描述。同理，对于上凹的曲线弧，总可用不等式 来描述。由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义： 凹凸性定义设在区间I上连续，如果对I上任意两点，，恒有 则称在I 上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有 则称 在I 上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。 如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。 2. 凹凸性判定定理的引入 y O x y f x =() x y O y f x =() 曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来说判断起来也不容易。因此，我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。函数的单调性能由的 符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜想凹凸性是否和 有关 经过分析，并利用泰勒公式，可证实我们的猜想是正确的，函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到 了判断曲线凹凸性的定理。 定理设在 上连续, 在 内具有二阶连续导数,那么： （1）若在内>0，则在上的图形是凹的； （2）若在 内 <0，则 在 上的图形是凸的。 3. 判别凹凸性和拐点举例 例1 判断曲线y x 3的凹凸性 解 y 3x 2 y 6x 由y 0 得x 0 因为当x <0时 y <0 所以曲线在( 0]内为凸的 因为当x >0时 y >0 所以曲线在[0 )内为凹的 例2 求曲线y 2x 33x 22x 14的拐点 解 y 6x 26x 12 ) 21 (12612+=+=''x x y 令y 0 得2 1- =x 因为当2 1 - 函数的凹凸性专题 一、函数凹凸性的定义 1、凹函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈?21,，若恒有2 ) ()()2(2121x f x f x x f +<+，则称)(x f y =的图象是凹的，函数)(x f y =为凹函数； 2、凸函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈?21,，若恒有2 ) ()()2(2121x f x f x x f +>+，则称)(x f y =的图象是凸的，函数)(x f y =为凸函数. 二、凹凸函数图象的几何特征 1、形状特征 如图，设21,A A 是凹函数)(x f y =图象上两点，它们对应的横坐标)(,2121x x x x <，则111(,())A x f x ， 222(,())A x f x ，过点 12 2 x x +作x 轴的垂线交函数图象于点A ，交21A A 于点B . 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方； 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方. 简记为：形状凹下凸上. 2、切线斜率特征 凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而增大即)(x f y =的二阶导数0)(''≥x f ； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而减小即)(x f y =的二阶导数0)(''≤x f . 简记为：斜率凹增凸减. 3、增量特征 设函数)(x g 为凹函数，函数)(x f 为凸函数，其函数图象如图所示.当自变量x 依次增加一个单位增量x ?时，函数)(x g 的相应增量 ,,,321y y y ???越来越大；函数)(x f 的相应增量 ,,,321y y y ???越来越小. 由此，对x 的每一个单位增量x ?，函数y 的对应增量),3,2,1( =?i y i 凹函数的增量特征是：i y ?越来越大；凸函数的增量特征是：i y ?越来越小. 三、常用的不等式 1、二次函数2 )(x x f =中，2 )2(2 22b a b a +≤+； 2、反比例函数)0(1)(>=x x x f 中，2 1 12 b a b a +≤+； 浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习教案：函数的周期性 教材分析：函数的奇偶性、周期性是函数的一个重要的性质，为高考中的必考知识点；常用 函数的概念、图像、单调性、周期性、对称性等综合考核。 学情分析：大多数学生了解函数的奇偶性、周期性的概念，但对判断函数奇偶性的判断和应 用，对函数的周期的求法还没有掌握。 教学目标：结合具体函数，了解函数奇偶性和周期性的含义；会运用函数图像判断函数奇偶 性和周期，利用图像研究函数的奇偶性和周期。 教学重点、难点：函数奇偶性和周期的判断，结合图像解决函数的奇偶性和周期性问题。 教学流程： 一、回顾上节课内容（问答式） C1.奇偶函数的判断基本步骤： （1）先求定义域，定义域不对称则函数为非奇非偶函数； （2）定义域对称则利用定义判断函数奇偶性。 C2.奇偶函数的图像特征：奇函数图像关于原点（0，0）对称；偶函数关于y 轴对称。 二、函数的周期 C 1.周期的概念 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫f(x)的周期，如果所以的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)最小正周期。 C 判断：最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期是不变。 答：错,不一定不变 2.周期函数的性质 C (1)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f(x)的周期，则ｋT(k ∈Z,k ≠0)也是的周期，周期函数的定义域无上、下届。 （2）如何判断函数的周期性: ⑴定义; ⑵图象; ⑶利用下列补充性质：设a>0， C-①函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a 。 B-②函数y=f(x),x ∈R,若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为 2a 。 B-③函数y=f(x),x ∈R,若 ，则函数的周期为 2a 。 B-④函数f(x)时关于直线 x=a 与x=b 对称，那么函数f(x)的周期为||2a b - 了解证明过程： 证明：由已知得： )(1)(x f a x f -=+) ()(,)()(x b f x b f x a f x a f -=+-=+[][] )2()(2x a b b f x a b f +-+=+-∴[])2(x a b b f +--=) 2(x a f -= 应用函数的凹凸性解高考数学题 摘要：函数凹凸性问题在近几年高考试卷中屡见不鲜。但笔者通过平时的教学及高考后学生对这方面问题的反馈中发现大部分学生对此类问题缺乏应变能力，本文通过探讨函数凹凸性定义及几何特征入手，结合具体案例，研究凹凸性问题的一般解法，以期在今后复习过程中，提高针对性和时效性，同时，培养学生探讨创新能力，鼓励学生进行研究性学习，提高学生的数学素养。 关键词：函数凹凸性问题 探究 问题导入：2006年高考重庆卷（9 ）理，如图，单位圆中弧AB x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f(x)的图象是（ ） 图1 图2 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 一、 凹凸函数定义及几何特征 1、 引出凹凸函数的定义： A B C D 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 2、凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()( )22 x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 3、凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。 几何特征2（切线斜率特征）新高考总复习 数学 第二章 函数 第3节 函数的奇偶性与周期性 习题
函数的凹凸性
(整理)函数凹凸性的应用
高考数学(一轮复习)最基础考点：函数的周期性
函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的凹凸性在高考中的应用
高中数学 函数周期性总结
函数凹凸性判别法与应用讲解
高中数学函数的周期性练习
第四节函数单调性凹凸性与极值
高三数学函数的周期性
函数的凹凸性与拐点
高中数学——函数的周期性
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
函数的凹凸性
高三数学一轮复习 函数的周期性教案
应用函数的凹凸性解高考数学题