函数凹凸性的性质判定及应用
函数凹凸性的判定性质及应用
曹阳数学计算机科学学院
摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及
判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二
元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一
元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的
函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的
情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论
了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍
了它们应用。
关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；
Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to
re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.
Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;
1.引言
凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。凸函数在大学数学中很少具有直接的运用，而导数在函数图像的凹凸性研究是大学数学中一个重要的知识点，这说明凸性在大学数学，特别是数学分析中的应用没有得到应有的正视，长期以来，凸函数被热为只在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支（如全局优化，运筹学等）中具有重要的运用，而在大学数学中没有应用。本文将重点探讨凸函数在分析学中的一些简单应用。在本文中，我们首先给出凸函数的多种定义，性质，然后探讨二元与多元的情况下凸函数的定义，判定及性质。
2. 一元函数凹凸性的判定
2.1 凸函数的多种定义及等价证明 下面先先给出凸函数的13种常见定义。 假设I ∈R ，f:I →R.
定义2.1.11： f 在I 内连续ｆ（
１２
ｘ＋ｘ２
）≤
１２
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２
,则称f 为凸函数。
定义2.1.21：若322112321
32
()()
()()
f x f x f x f x x x x x x x x --?∈≤
--，，Ｉ，则称f 为凸函数
定义2.1.31：
123123x x x x x x ?? ?
?∈ ? ?
??１１２２３
３ｘ１ｆ（ｘ），，Ｉ，＜＜，ｘ１ｆ（ｘ）ｘ１ｆ（ｘ）的行列式≤0，则称f 为凸函数
定义2.1.41：
12x x ?∈?∈≤１２１２
，Ｉ，ｔ（0，1），
ｆ（t ｘ＋（1-t ）ｘ）t ｆ（x ）＋（1-t ）ｆ（ｘ），则称f 为凸函数 定义2.1.51
:1
1
1
n n n
===?≤∑∑∑ｋｋｋｋ
ｋ
ｋ
ｋｋｋｔ，ｔ＝１，有ｆ（ｔｘ）ｔｆ（ｘ），则称f(x)为凸函数
定义2.1.61：
12x x ?∈?≤?≤＇＇＇＇
－＋－＋
＇＇＋１－２
（1.）ｘＩ ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）(2），，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）
则称f(x)为凸函数
定义2.1.71：若ｆ在Ｉ内存在单增函数ψ,?０
ｘ∈I, ?
x ∈I,有ｆ（ｘ）－ｆ（０
ｘ）＝d ψ?
０
ｘ
ｘ（ｔ）ｔ，则称f 为凸函数。
定义2.1.81：
设f 在I 上连续，12x x ?∈，Ｉ，且12x x ＜有
12
12+x ()()
12
2
x f x f x d +≤
≤
?
２
１
ｘｘ２１
ｆ（
）ｆ（ｔ）ｔｘ－ｘ，则称f 为凸函数。
定义2.1.91：若１
ｘ，．．．，x ｎ∈Ｉ，ｆ（１２
ｎ
ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ
）
≤
１２ｎ
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）ｎ
（ｎ∈Ｎ），则称f 为凸函数。
定义2.1.101：若ｆ在Ｉ内可导，?ｘ，ｙ∈Ｉ，
有ｆ（ｘ）≥＇ｆ（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f 为凸函数。 定义2.1.111：若ｆ在Ｉ可导，且＇ｆ（ｘ）单调递增，则称f 为凸函数。 定义2.1.121：ｆ在Ｉ内二次可导，＇＇ｆ（ｘ）≥０，则称f 为凸函数。 定义2.1.131：ｆ在区间Ｉ上凸函数的充要条件是：函数
ψλλλ１２（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）为[0,1]上的凸函数， 下面给出几种定义间的相互证明。
定理2.1.11 若ｆ在区间Ｉ上可导，则定义７?定义１０
证明：因为ｆ在Ｉ内存在单增函数ψ，?０
ｘ∈Ｉ，?∈ｘＩ，有： ｆ（ｘ）－ｆ（０
ｘ）＝dt ψ?０ｘ
ｘ（ｔ） （１） 故对于?ｙ∈Ｉ，不妨设ｙ＜ｘ，有：
ｆ（ｙ）－ｆ（０
ｘ）＝dt ψ?０
ｙ
ｘ（ｔ） （２） 将式（１）两边关于ｘ求导，得＇ｆ（ｘ）＝ψ（ｘ）．
（１）－（２），得：
ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝d ψ?０
ｘ
ｘ（ｔ）ｔ－d ψ?０
ｙ
ｘ（ｔ）ｔ＝d ψ?０
ｘ
ｘ（ｔ）ｔ＋d ψ?０
ｘｙ
（ｔ）ｔ＝
d ψ?
ｘ
ｙ
（ｔ）ｔ＝（ｘ－ｙ）ψ
ξ（）；ｙ＜ξ＜ｘ （３） 因为ψ（ｔ）单调递增，且ｙ＜ξ，所以ψ
（ｙ）≤ψξ（），式（２）可化为： ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｘ－ｙ）ψξ（）≥（ｘ－ｙ）ψ（ｙ）＝（ｘ－ｙ）＇ｆ（ｙ）
即ｆ（ｘ）≥＇ｆ（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ）
定理2.1.21： 若ｆ在Ｉ上连续，则定义１３?定义８。
证明：因为ψλ（）＝λλ１２ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）为[]０，１上的凸函数，故： λλ１２
ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）＝ψλ（）＝ψ（λλ??１＋（１－）０）
≤λψλψ（１）＋（１－）（０）＝λλ１２
ｆ（ｘ）＋（１－）ｆ（ｘ） 特别地，当λ＝
12
时，有ｆ（
１２
ｘ＋ｘ２
）≤
１２
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２
先证不等式的左边．
1x ?２，ｘ∈I ，１２ｘ＜ｘ，由实数的性质知在Ｉ上可确定一个闭区间[]
１２ｘ，ｘ，若ｔ∈［１２
１
ｘ＋ｘｘ，２
］，则ｔ关于
１２
ｘ＋ｘ２
的对称点是１２
ｘ＋ｘ－ｔ，而ｆ在Ｉ上连续，所以积分存在，所以：
[]d ≥?
?
?１２
１２
２
１
１
２
ｘ＋ｘｘ＋ｘｘ１２
２２
１２ｘｘｘ１２
２１
ｘ＋ｘｆ（ｔ）ｔ＝ｆ（ｔ）＋ｆ（ｘ＋ｘ＋ｔ）ｄｔ２ｆ（
）ｄｔ＝
２
ｘ＋ｘ（ｘ－ｘ）ｆ（）
２
即１２
ｘ＋ｘｆ（）２
≤
?
２
１
ｘｘ２１
１
ｆ（ｔ）ｄｔｘ－ｘ
下证不等式的右边． 作变换ｕ＝
x ≤≤２２２１１２１２２１
１２－t
（0ｕ１），则t ＝x －u （x －x ）＝ux ＋（1－u ）x ，dt ＝（x －x ）du ，x －x 当t ＝x 时，u ＝1；t ＝x 时，ｕ＝0
d ?
２
１
ｘｘｆ（ｔ）ｔ＝
[][]
≤??１
１
２１１２２１１２０
０
１２２１
（ｘ－ｘ）ｆｕｘ＋（１－ｕ）ｘｄｕ（ｘ－ｘ）ｕｆ（ｘ）＋（１－ｕ）ｆ（ｘ）ｄｕ＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）２即 ?２
１ｘｘ２１１ｆ（ｔ）ｄｔｘ－ｘ≤１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２，故１２
ｘ＋ｘｆ（
）２
≤
?
２
１
ｘｘ２１
１ｆ（ｔ）ｄｔｘ－ｘ≤
１２
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２
定理2.1.31 若ｆ在Ｉ上二次可导，则定义８?定义１２。 证明 因?1x ，2x ∈Ｉ１２
ｘ＜ｘ，１２
ｘ＋ｘｆ（
）２
≤
?
２
１
ｘｘ２１
１ｆ（ｔ）ｄｔｘ－ｘ≤
１２
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２
令x ≤１２
１２
＋ｘｘ＝
，则ｘ＜ｘ＜ｘ，故ｆ（ｘ）２
１２
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２
，即ｆ（ｘ）－ｆ
（１ｘ）≤ｆ（ｘ２）－ｆ（１
ｘ） １２
ｘ－ｘ＝ｘ－ｘ＞０，所以x ≤１
２１２
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘｘ－ｘ；又因为ｆ在Ｉ
上可导，则ｆ在Ｉ上连续，故由极限的性质可知
lim
lim x x →→≤１２
１２
ｘ１２ｘ
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ），即ｘ－ｘｘ－ｘ≤＇＇＋１－２
ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）．
有二阶导数，所以＇＇＇＇
＋１１－２２ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ），即?1x ，2x ∈Ｉ，都有＇
１ｆ（ｘ）≤＇
２
ｆ（ｘ），设ｘ为Ｉ上任意固定点，则0lim x x x
?→?≥?＇＇
＇
ｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）０，所以ｆ（ｘ）０。
定理2.1.41 定义１１?定义2
证明 因为ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，且＇
ｆ（ｘ）单调递增，?∈１２３
ｘ，ｘ，ｘI, 且１２３ｘ＜ｘ＜ｘ。可确定两个区间[]１２ｘ，ｘ，[]
２３ｘ，ｘ?Ｉ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在（2
x ，
ｆ（2x ））的切线方程为ｙ－ｆ（２ｘ）＝＇
２ｆ（ｘ）（ｘ－２
ｘ）故横坐标为ｘ的曲线的纵坐标与切线纵坐标之差为：ｆ（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ）－ｆ（２ｘ）－＇
２ｆ（ｘ）（ｘ－２
ｘ）而ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，而[]２３ｘ，ｘ?Ｉ，故ｆ（ｘ）在[]２３ｘ，ｘ内连续，在（２３
ｘ，ｘ）上可导，所以ｆ（ｘ）在[]２３ｘ，ｘ上满足拉格朗日中值定理，即ξ?∈１（２３
ｘ，ｘ），ｓ．ｔ．ｆ（ｘ３２
）－ｆ（ｘ）＝ξ＇
１３２ｆ（）（ｘ－ｘ）。由式（３），当ｘ＝ｘ３时，有：ｆ（ｘ３）－ｙ＝ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）－＇２ｆ（ｘ）３２（ｘ－ｘ）＝ξ＇
１ｆ（）３２
（ｘ－ｘ）－＇
２ｆ（ｘ）３２（ｘ－ｘ）＝（ξ＇
１ｆ（）－＇
２ｆ（ｘ））３２
（ｘ－ｘ）≥０ 同理ｆ（ｘ）在[]１２ｘ，ｘ上满足拉格朗日中值定理，即ξ?∈２（１２
ｘ，ｘ），ｓ．ｔ． ｆ（ｘ２１
）－ｆ（ｘ）＝ξ＇
２２１ｆ（）（ｘ－ｘ）。由式（３），当ｘ＝ｘ１时，有：ｆ（ｘ１）－ｙ＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）－＇２ｆ（ｘ）１２（ｘ－ｘ）＝ξ＇２ｆ（）１２（ｘ－ｘ）－＇
２ｆ（ｘ）１２
（ｘ－ｘ）＝（ξ＇２ｆ（）－＇
２ｆ（ｘ））１２
（ｘ－ｘ）≥０。由式（４）得x ３２
３２
ｆ（）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ≥＇
２
ｆ（ｘ），由式（５）得
x １２
１２
ｆ（）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ≤＇
２
ｆ（ｘ），所以x １２１２ｆ（）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ≤
x ３２
３２
ｆ（）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ 2.2 凹函数的多种定义及等价证明 凹函数的13种常见定义。 定义2.2.11： f 在I 内连续ｆ（
１２
ｘ＋ｘ２
）≥
１２
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）２
,则称f 为凹函数。
定义2.2.21：若322112321
32
()()
()()
f x f x f x f x x x x x x x x --?∈≥
--，，Ｉ，则称f 为凹函数
定义2.2.31：
123123x x x x x x ??
?
?∈ ? ?
??１１２２３
３ｘ１ｆ（ｘ），，Ｉ，＜＜，ｘ１ｆ（ｘ）ｘ１ｆ（ｘ）的行列式≥0，则称f 为凹函数
定义2.2.41
12x x ?∈?∈≥１２１２
，Ｉ，ｔ（０，１），ｆ（ｔｘ＋（１－ｔ）ｘ）ｔｆ（ｘ）＋（１－ｔ）ｆ（ｘ）则称f 为凹函数
定义2.2.51
:1
1
1
n n n
===?≥∑∑∑ｋｋｋｋ
ｋ
ｋ
ｋｋｋｔ，ｔ＝１，有ｆ（ｔｘ）ｔｆ（ｘ），则称f 为凹函数
定义2.2.61：
12x x ?∈?≥?≥＇
＇
＇
＇
＇
＇
－＋－＋＋１－２
（１。）ｘＩ ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）（２。），，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）则称f 为凹函数
定义2.2.71：若ｆ在Ｉ内存在单减函数ψ,?０
ｘ∈I, ?
x ∈I,有ｆ（ｘ）－ｆ（０
ｘ）＝d ψ?
０
ｘ
ｘ（ｔ）ｔ，则称f 为凹函数。
定义2.2.81： 设f 在I 上连续，
12
121212+x ()()
12
2
x f x f x x x x x d +?∈≥
≥
?
２
１
ｘｘ２１
，Ｉ，且＜有，ｆ（
）ｆ（ｔ）ｔｘ－ｘ则f
为凹函数
定义2.2.91：若１
ｘ，．．．，x ｎ∈Ｉ，ｆ（１２
ｎ
ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ
）
≥
１２ｎ
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）ｎ
（ｎ∈Ｎ），则称f 为凹函数。
定义2.2.101：若ｆ在Ｉ内可导，?ｘ，ｙ∈Ｉ，有ｆ（ｘ）≤＇ｆ（ｙ）（ｘ－ｙ）＋
ｆ（ｙ），则称f 为凹函数。
定义2.2.111：若ｆ在Ｉ可导，且＇ｆ（ｘ）单调递减，则称f 为凹函数。 定义2.2.121：ｆ在Ｉ内二次可导，＇＇ｆ（ｘ）≤０，则称f 为凹函数。 定义2.2.131：ｆ在区间Ｉ上凹函数的充要条件是：函数。
ψλλλ１２（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）为[0,1]上的凹函数。 几种定义间的推到证明即可类比与凸函数的情况 2.3 关于凸凹函数性质的总结
上一段为凸（或凹）函数的十三种定义及部分定义间的相互证明，这一段在此基础
上就凸（或凹）函数的性质方面作进一步思考。 根据上文所提到的定义，可知
性质2.3.12：当ｆ在Ｉ上一阶可导时，由ｆ在Ｉ单增（或减），
≥≤＇
０００
ｆ（ｘ）（或）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ） 证明：必要性：计算
ξ＇
＇
＇
００００００
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＝
ξ＇
＇
００
（ｆ（）－ｆ（ｘ））（ｘ－ｘ） （ξ介于ｘ和０
ｘ之间） 由于ｆ在Ｉ单增（或减），可知上面两个因子同号，故有
≤ｆ（ｘ）（或≥＇
０００
）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ） 充分性：设?∈０x ，x Ｉ，有≥f （x ）（或≤＇
０００）f
（x ）（x －x ）＋f （x ）。当∈１２x ，x Ｉ，而１２x ＜x 时就有≥１f （x ）（或≥１２２２x －x ）＋f （x ）及f （x ）（或
≤＇
２）f （x ）（≤＇
１２１１或）f （x ）（x －x ）＋f （x ）
两式相加即有１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）≥
（或≤＇＇
２１１２）［ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）］（ｘ－ｘ）．由１２
ｘ＜ｘ 可见≤≥＇
＇
１２f （x ）（或）f （x ），即f 在I 上I 上单减（或单增） 性质2.3.22 设ｆ在Ｉ上可导，ｆ在Ｉ下凸（或上凹）??∈≥１，２
ｘｘＩ，ｆ（ｘ）（或≤＇
１１１）f （x ）＋f （x ）（x －x ），由于１f （x ）＝f （x ）＋f ＇
１１（x ）（x －x ），是过
１１（ｘ，ｆ（ｘ））的曲线的切线，由于上面不等式的几何意义是：下凸（上凹）曲线总在曲线上的任一点的切线之上（下）。
性质2.3.32：当ｆ在Ｉ上二阶可导时，则可得 当ｆ在Ｉ上二阶可导时，ｆ在Ｉ下凸
（或上凹）??∈≥≤＇
＇
x I ，f （x ）（或）0 证明：必要性：ｆ在Ｉ上二阶可导，且下凸（或上凹）＇
ｆ（ｘ）在I 上单增（或单减）
?≥＇
）ｆ（ｘ）（或≤?∈）0，x I
充分性：
?∈１，２
ｘｘＩ，有ξ＇
２１
２１２１２１
ｆ（ｘ）ｆ（）ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋（ｘ－ｘ）＋（ｘ－ｘ） （１！２！
或≤＇
１２１１
）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ），据上面的证明中徳充分性，可知已做；额下面证明链的证明：≥２
ｆ（ｘ）（或f 在I 上单增或单减）?≤＇
１２１１
）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ） 性质2.3.42：若ｆ在Ｉ上可导，则下述两个断语等价：
（１）
≥≤＇
２１２１１f （x ）（或）f （x ）（x －x ）＋f （x ） （２）
22
≤≥１２
１２x ＋x f （x ）＋f （x ）
f （
）（或） 证明：（１）? （２）?∈１２ｘ，ｘＩ，令2
１２
３ｘ＋ｘｘ＝，则2
2
１２
２１
１３
２３
ｘ－ｘｘ－ｘｘ－ｘ＝，ｘ－ｘ＝
于是≥１
ｆ（ｘ）（或2222
≤＇
＇１２
１２１２１２
１３３
ｘ＋ｘｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ）ｆ（
）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝ｆ（）＋ｆ（） 两式相加，即得≥１２
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（或2222
≤＇
＇１２
２１１２１２
２３３
ｘ＋ｘｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ）ｆ（
）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝ｆ（）＋ｆ（）过点
１１
（ｘ，ｆ（ｘ））与２２（ｘ，ｆ（ｘ））的弦为２１２１ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｘ－ｘ亦即22
≤２１
１
１
２１
ｘ－ｘｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ（或
≥１２１１２１２１２１
ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ））＝ｘ－ｘｘ－ｘ）当令上式中的
2２１
２１
２１ｘ－ｘｘ－ｘ＝（ｘ－ｘ是两点１１２２（ｘ，ｆ（ｘ）），（ｘ，ｆ（ｘ））横坐标的差）令2２１２１
ｘ－ｘｘ－ｘ＝当此时两点的横坐标缩小一半时），上式仍然成立22
≤２１
１１２
２１２
ｘ－ｘｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ或
≥１２１１２１
２１２１
ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ））＝
ｘ－ｘｘ－ｘ，用数学归纳法易证?∈ｎＮ，
有22
≤２１
１
１ｎ
２１
ｎ
ｘ－ｘｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ或
≥１２１１２１２１２１ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ））＝ｘ－ｘｘ－ｘ，此即≥２
ｆ（ｘ）（或≤＇
１１２１
）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）
2.4 一元函数凹凸性判定定理及其应用 定理2.4.11： 设12a x x b <<<， （1）若()f x 的图形在[,]a b 上是凸的，则'
121212()[()()]/()'();f x f x f x x x f x >--> （2）若()f x 的图形在[,]a b 上是凹的，则'
121212()[()()]/()'();f x f x f x x x f x >-->
证 先证（1）：由于()f x 的图形在[,]a b 上是凸的，可知()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 内可导。因为12a x x b <<<，在12[,]x x 上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点12(,)(,)x x a b ξ∈?，使得'2121()[()()]/()f f x f x x x ξ=--。有由于
()
f x 的图形在[,]a b 上是凸的，有'''()0,()f x f x <在(,)a b 上单调递减，得到'''12()()()f x f f x ξ>>，从而有'
121212()[()()]/()'();f x f x f x x x f x >-->
同理可证（2）
几何意义 如图所示，在弧AB 上任取两点1122(,()),(,()),M x f x N x f x ，其中
12a x x b <<<，若()
f x 的图形在[,]a b 上是凸的（或凹的），则弦MN 的斜率
2121[()()/()M N k f x f x x x =--小于
（大于）过点N 的切线斜率'
2()f x ，大于（小于）过点M 的切线斜率'1()f x ，即弦MN 斜率的大小总是在过两端点的切线的
斜率之间。
:
定理2.4.22 :设123a x x x b ≤<<≤
（1）若()f x 的图形在[,]a b 上是凸的，则31212131()()
()()
;f x f x f x f x x x x x -->-- （2）若()f x 的图形在[,]a b 上是凹的，则
312121
31
()()
()()
;f x f x f x f x x x x x --<
--
证明 因为()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 内可导，故在12[,]x x 上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点12(,)(,)x x a b ξ∈?，使得'2121()()()()f x f x f x x ξ-=-令
2121()[()()]/()g x f x f x x x =--则'
''
'
1112
2
11()()[()()]
[()()]()
()()
()
f x x x f x f x f x f x x
g x x x x x ξ-----=
=
--=
'
1
()'()
,
f x f x x ξ--其
中1.x x ξ<<（1）若()f x 的图形在[,]a b 上是凸的，则''()0f x <，'()f x 在[,]a b 上单调递减，于是''()()f x f ξ<，从而'()0g x <，即()g x 在1[,]x x 上单调递减。取123x x x x b <<≤≤则有23()()g x g x >即
312121
31
()()
()()
;f x f x f x f x x x x x -->
--
同理
可证凹函数。
几何意义 如图所示，在弧AB 上任取3点
112233(,()),(,()),(,())M x f x N x f x P x f x ，其中123a x x x b ≤≤<≤。当()f x 的图形在[,]a b 上是凸的(凹的)时，弦MN 的斜率2121
()()
f x f x x x --大于(小于)弦MP 的斜
率
3131
()()
f x f x x x --
（1）函数凹凸性的直观解题法
以函数()y f x =在某区间I 上单调增加为例说明我们不难理解,随着自变量x 的稳定增加,当函数y 的增量越来越大时,函数图形是凹的,当函数y 的增 量越来越小时,函数图形是凸的,当函数y 的增量保持不变时,函数图像是直线.
对于减函数我们可以作类似的分析. 例题
例１ 如图，液体从一圆锥形漏斗流入正方体容器中，开始时漏斗盛满液体，经过50 秒漏完!已知正方体容器液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥中液面下落的距离,则H 与下落时间t(秒)的函数关系用图像表示只可能是以下哪一选项?
分析: 不难看出圆锥中液面下落的距离H 随着时间t 是单调增加的函数, 由于正方体中液面上升的速度是一个常量,所以自变量t 是稳定增加的,因此 液体从漏斗漏出的速度为一常量. 又由于圆锥的截面越向下越小,所以随着时间t 的稳定增加,圆锥中液面下降的距离H 的变化将越来越快,H 关于t 的函数图形应是凹的，故正确答案选(B)
例2： 用凸函数方法证明younger 不等式：β
ββ?≤??ｘｙｘ＋ｙ（ｘ，ｙ，，均
为正数β?＋＝１）证明：令 ｆ（ｘ）＝lnx,则1＇
＇
２
ｆ（ｘ）＝－＜０，ｆ（ｘ）
ｘ
为凹函数。从而
β
βββ?
?≥??ｆ（ｘ＋ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＝ｌｎｘ＋ｌｎｙ＝ｌｎｘｙ
或
ββ?
?≥ｌｎ（ｘ＋ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）
由ｘ
ｅ的单调增加性：
β
β??≥ｌｎ（ｘ＋ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）
ｅｅ即β
β?≤?ｘｙｘ＋ｙ 我们可以推广至三元甚至n 元的情况
???
≤?????１２ｎ
１２ｎ１１２２ｎｎ１ｎ
１ｎｘｘ．．．．ｘｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ（ｘ，．．．，ｘ，，．．．，均为正数??１ｎ＋．．．＋＝１）
证明:令ｆ（ｘ）＝lnx,则1＇
＇
２
ｆ（ｘ）＝－＜０，ｆ（ｘ）ｘ
为凹函数。从而
?
?
?
???≥?????１
２ｎ
１１２２ｎｎ１１２２ｎｎ１１ｎｎ１
２ｎｆ（ｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋．．．＋ｌｎｘ＝ｌｎｘｘ．．．．ｘ或???
???≥１
２
ｎ
１１２２ｎｎ１２ｎ
l ｎ（ｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ）ｌｎ（ｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ）从而
???
≤?????１２ｎ
１２ｎ１１２２ｎｎ１ｎ
１ｎｘｘ．．．．ｘｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ（ｘ，．．．，ｘ，，．．．，例3：证明：对任何正数ｘ，ｙ，当1?>时，有1?
??≤??－１－１ｘ
ｘｙ＋ｙ
证明：注意不等式系数之和1
???
－１＋＝１，且ｘ，ｙ及系数均为正数，可考虑用凸，凹函数证明。
设＇＇
２
１ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｆ（ｘ）＝－
＜０ｘ
为凹函数，故
11?
?
????≥????－１－１
－１ｘ－１ｘｆ（ｙ＋）ｆ（ｙ）＋ｆ（）ｙｙ
1
?????
－１＝
ｌｎｙ＋［ｌｎｘ－（－１）ｌｎｙ］
＝ｌｎｘ
由ｘ
ｅ的单调增加性知：1?
????≥－１
－１ｘ
ｌｎ（
ｙ＋）ｌｎｘ
ｙｅ
ｅ
即1?
??≥??－１－１ｘ
ｙ＋ｘｙ
例4：ｆ（ｘ）为（ａ，ｂ）
内的凹函数，证明对任意的β???［，］（ａ，ｂ），Ｌβ?∈?１２＞０，ｓ．ｔ．ｘ，ｘ［，］，有≤１２１２
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｌｘ－ｘ 证明：由β??［，］（ａ，ｂ）知，存在ｈ＞０，使得h h β?-+?[，]（ａ，ｂ）
记{}{}Ｍ＝ｍａｘｆ（ｘ），ｍ＝ｍｉｎｆ（ｘ），于是对β?∈?１２ｘ，ｘ［，］,若１２ｘ＜ｘ，取３２
ｘ＝ｘ＋ｈ，由于f(x) 为凸函数，故≤≤２１３２
２１３２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）Ｍ－ｍ，ｘ＋ｘｘ＋ｘｈ从而
≤２１
２１
Ｍ－ｍｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘｈ
若≠２１ｘｘ，可取３２
ｘ＝ｘ－ｈ，由于f(x)为凸函数，有≤≤≤２３１２
２１１２
２３１２
ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｍ－ｍＭ－ｍｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘｘ－ｘｘ－ｘｈｈ成立，若≤２１２１
１２
Ｍ－ｍｘ＝ｘ，ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘｈ
亦成立，综上所述
β?∈?≤１２１２１２
ｘ，ｘ［，］，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｌｘ－ｘ
(2）应用凹凸性的常规定义证题
对函数凹凸性定义, 不同教材有不同的定义形式,下面给出其中一种定义形式:
设()f x 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点12,x x 都有
12
12()()
()2
2
x x f x f x f ++<
那么称()f x 在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如
果对I 上任意两点12,x x 都有12
12()()
()2
2
x x f x f x f ++<
,那么称f(x)在I 上
的图形是(向上)凸的(或凸弧).
一般地,看()f x .是区间I 上的凹函数,则有.1
1
1
()()
n
n
i i i i x f f x n
n
==<
∑
∑其中i x 是I 内
的任意点(ｉ=1,2,…,n)若.f(x)是区间I 上的凸函数时,则不等号反向).定理设
()f x .在,[.]a b 上连续,在(,)a b 内具有一阶和二阶导数,如果在(,)
a b
内.''()0f x >(或''()0f x <). 那么()f x .在[.]a b 上的图形是凹的（或凸的）（证明全略）
（3） 数形结合解题
函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图形的描绘更加精确。
例1：如图所示 半径为r=4的圆c 切直线AB 于0 点,线OT 从OB 出发绕O 点逆时针方向旋转
到OA!OT 交圆C 于P,记.PCO < 弓形PMO 的面积s=f(x),试判定()f x 在[0,2]上的凹凸性。
解：由题意可得PO C S S S ?=-扇形PMOC ,
又因为
2
2
11148,222
2PO C PM O C S r x x x S ?=
=
??==?
扇形2
1sin
cos
sin 2
22
x x r r r x ?==
2
14sin 8sin ,[0,2]2
x x x π??=∈
所以，得''()88sin .f x x x =-当(0,)x π∈时，''()0;f x >当(,2)x ππ∈时，''()0;f x <由函数凹凸性定理可知，()f x 在[0,]π上函数图形为凹，在[0,2]π上函数图形为凸。
函数的凹凸性是函数图形的一个重要特征，了解函数的凹凸性能使函数图形的描绘更加精确化。在解决函数变化率的过程中或求某些特殊不等式时，用函数凹凸性求解!会显得更为简捷。
3.二元函数凹凸性的判定及其应用
3.1 二元函数凹凸的定义
定义3.1.13:设(,)f x y 是定义在区域C 上的二元函数，且满足对任意
112212(,),(,);,0x y C x y C ρρ∈∈>，且121ρρ+=，有111222(,)(,)f x y f x y ρρ+≥
（或≤）11221122(,)f x x y y ρρρρ++我们称(,)f x y 在C 上为凹（或凸）函数。 为了研究方便，设定(,)f x y 非常数函数和一次函数。
从定义中看出，为上面定义中等号成立的充分条件而非必要条件。 3.2 二元函数凹凸性的判定定理
定理 3.2.13 设(),f x y 在区域D 上具有二阶连续偏导数，记
''
(,),xx A f x y =''(,),xy B f x y =''
(,),xy C f x y =
则
（1）在D 上恒有A<0，且20A C B -≥时，(,)f x y 在区域D 上是凸函数； （2）在D 上恒有A>0, 且20A C B -≥时，(,)f x y 在区域D 上是凹函数。 如果A 仅在个别处为零，并不影响函数在该区域的凹凸性.但如果在区域D 上恒有A=0时，依据定理1无法判断(,)f x y 在区域D 上的凹凸性，定理2可解决这个问题。
定理 3.3.23 设(,)f x y 在区域D 上具有二阶连续偏导数，记
''
(,),xx A f x y =''(,),xy B f x y =''
(,),xy C f x y =在
D 恒有A=0,20A C B -=时，则当
0C ≤时，(,)f x y 在区域D 上凸函数；
当0C ≥时，(,)f x y 在区域D 上是凹函数。 证明 任取11(,)x y ，22(,),x y D ∈设120(1),tx t x x +-=120(1),ty t y y +-=(0,1).t ∈记1012,,x x x y y y -=?-=?则2020,,
1
1
t t x x x y y y t t -=?-=
?--由二元函数的
泰
勒
公
式可
得
1,1221212112200()(1)(,)((1),(1))(,)(1)(,)(,)
tf x y t f x y f tx t x ty t y tf x y t f x y f x y +--+-+-=+--=2,200(()(,))t f x y f x y -=''''2
0,000211{()(,)0.5[(,)()x y xx t f x y x f x y y f x ξη?+?+?+
1100((,)(,))t f x y f x y -+
''
''
2
'
111100(12(,)(,)()]}(1){(,)1
xy yy x t f x y f y t f x y x
t ξηξη-??+?+-?-'
00(,)1
y t f x y y t +?+
-''
2
''
''
2
2222220.5(
)[(,)()2(,)(,)()]}
1
xx xy yy t f x f x y f y t ξηξηξη?+??+?-
=
2
''
2
''''2
''22
1111112210.5{(,)()2(,)(,)()[(,)())()]
2(1)
xx
xy
yy
xx t
t f x f x y f y f x y t ξηξηξηξηη?+??+?+
?+?-
''
''
2
22222(,)(,)()},xy yy f x y f y ξηξη+??+?其中：
101101011020220(),(),(),x x x y y y x x x ξθηθξθ=+-=+-=+-2022012()(,1),y y y o ηθθθ=+-<<显然
1122ξηξη∈∈（，）D,(,) D.
由A=0及2
0A C B -=得 B=0，于是
1,1221212()(1)(,)((1),(1))tf x y t f x y f tx t x ty t y +--+-+-=
2
''2
''2
11220.5(,)()(,)()((0,1)).
2(1)
yy
yy t
tf y f y t t ξηξη?+
?∈-
当0c ≤时，
1,1221212()(1)(,)((1),(1))0tf x y t f x y f tx t x ty t y +--+-+-≤，
即
12121122((1),(1))(,)(1)(,),(,)f tx t x ty t y tf x y t f x y f x y +-+-≥+-在区域D 上是凸函数。当0c ≥时，
1,1221212()(1)(,)((1),(1))0tf x y t f x y f tx t x ty t y +--+-+-≥，
即
12121122((1),(1))(,)(1)(,),(,)f tx t x ty t y tf x y t f x y f x y +-+-≤+-在区域D 上是
凹函数。
例1 讨论２
ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ＋ｙ的凹凸性
函数的定义域为''{(,):,},(,)3,(,)2x y x y x R y R f x y f x y y ∈∈==，于是
''
''
''
(,)0,(,)0,(,)2,xx xy yy A f x y B f x y C f x y ======，于是2
,0A O AC B =-=且
0,c >
由定理3.3.2可知(,)f x y 在其定义域上是凹函数
定理3.3.33设(,)f x y 在开区域内2个偏导数，(,),(,)x y f x y f x y ，都存在且连续 (,)f x y 在D 内是凸（凹）函数的充要条件是：对于任意1122(,),(,)x y x y D ∈，有
''
112222122212(,)(,)(,)()(,)()
x y f x y f x y f x y x x f x y y y ≤+-+-'
'
112222122212(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f x y f x y x x f x y y y ≥+-+-（or 证明 只证明凸
函数的情形 充分性 任取
()01212
0,1,(1),(1)t x tx t x y ty t y ∈=+-=+-令
由已知可得
'
'
110000100010(,)(,)(,)()(,)()
x y f x y f x y f x y x x f x y y y ≤+-+-， '
'
220000200020(,)(,)(,)()(,)()
x y f x y f x y f x y x x f x y y y ≤+-+-，
'
'
1122000012000120(,)(1)(,)(,)(,)[(1)](,)[(1)],
x y tf x y t f x y f x y f x y tx t x x f x y ty t y y +-≤++--++--
所以(,)f x y 在区域D 内是凸函数
必要性 由于(,)f x y 在区域D 内是凸函数，则对任何
()11220,1,(,),(,)t x y x y D ∈∈，都有
11221212(,)(1)(,)((1),(1)),
tf x y t f x y f tx t x ty t y +-≤+-+-
整理得
1122212212221(,)(,)(((),())(,))
f x y f x y f x t x x y t y y f x y t
-≤
+-+--
''221222121{(,)()(,)()x y f x y t x x f x y t y y o t
-+-+＝
''
22122212(,)()(,)()x y f x y x x f x y y y t
-+-+
＝
令0t +→，两边取极限得
'
'
112222122212(,)(,)(,)()(,)(),x y f x y f x y f x y x x f x y y y -≤-+-即
'
'
112212221222(,)(,)()(,)()(,)x y f x y f x y x x f x y y y f x y ≤-+-+
同理可证凹函数的情形。
3.4 二元凹凸函数的应用（求最大值，最小值） 定理3.
4.15 设是在开区域D 内具有连续偏导数的凸（或凹）函数，00(,)x y D ∈且''
0000(,)0,(,)0,
x y f x y f x y ==
则00(,)f x y 必为(,)f x y 在D 内的最大值与最小值
证明： 只证明凸函数的情形。因为ｆ（ｘ，ｙ）是在开区域D 内具有连续偏导数的凸函数，由定理3可知，对于任给∈（ｘ，ｙ）Ｄ,有
'
'
00000000(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f x y f x y x x f x y y y ≤+-+-
'
'0000(,)0,(,)0,x
y
f x y f x y ==又
例1：求二元函数22(,)33222f x y x y x y =+--+的最大值或最小值。 解：函数的定义域为''{(,):,},(,)62,(,)62x y x y x R y R f x y x f x y y ∈∈=-=-，于是'
'
(,)0,(,)0x y f x y f x y ==，
得11,3
3
x y ==
，所以(,)f x y 在其定义域内最小值为
114(,)333
f =
同理可证凹函数的情形。
例2 求二元函数22(,)33222f x y x y x y =+--+在定义域内的最大值或最小值
解函数。的定义域为''{(,):,},(,)62,(,)62x y x y x R y R f x y x f x y y ∈∈=-=-，于是
''
''
''
(,)6,(,)0,(,)6xx xy yy A f x y B f x y C f x y ======则2
0,0A AC B >->所以
(,)f x y 在其定义域内是凹函数，令''
(,)0,(,)0x y f x y f x y ==，得11,3
3
x y =
=
，，所
以(,)f x y 在其定义域内最小值为114(,)33
3
f =
4．多元函数凹凸性的判定
4.1多元函数凹凸性的几个定义
定义4.1.16 设D 是n 维空间的一个区域，若
'''
1212(,,...,),(,,...,)n n p x x x D p x x x D ∈∈∈＇ 则
（1）设''
xy f 总能分解成
''
''''''''
(,),(,)(,),
xy xx yy xx yy f f g x y f h x y f g f h =≥≥≤-≤-则
f(x,y)在
D 上是凹（凸）的；
（2）设（1）的条件成立并且关于''''
,xx yy f f 的两个不等式中，
'
'
'
111221((),(),...,()),
n n n Q x x x x x x x x x D θθθ+-+-+-∈
则称D 是凸函数，否则称D 为凹函数。
定义4.1.26
设()f p 是定义在凸函数D 上的函数，111121212222(,,...,),(,,...)n n p x x x p x x x 是D 上的任意两点，记12
1122
2122
0(
,,...,
).2
22
n n x x x x x x p +++=
（1）若恒有12012011[()()]()([()()]()),2
2
f p f p f p f p f p f p +≥+≤且等号不恒成立，则称f 在D 上是凹（或凸）的
（2）若12
01201
1
[()()]()([()()]()),2
2
f p f p f p f p f p f p +>+<则称f 在D 上是严格上的凹（或凸）的。
（3）若1201
[()()]()2f p f p f p +=，则称在D 上是线性的，
则称f 在D 上是线性的。这两种定义是等价的
在二元函数中，设D 是２维空间的一个区域，若''1212(,),(,)p x x D p x x D ∈∈∈＇
则由定义一知（1）设''
xy f 总能分解成
''
''''''''
(,),(,)(,),
xy xx yy xx yy f f g x y f h x y f g f h =≥≥≤-≤-则
ｆ（ｘ，ｙ）
在D 上是凹（凸）的；
（２）设（1）的条件成立并且关于''''
,xx yy f f 的两个不等式中，
'
'
11122((),()),Q x x x x x x D θθ+-+-∈２则称
D 是凸函数，否则称D 为凹函数。
由定义二知
设()f p 是定义在凸函数D 上的函数1111221222(,),(,)p x x p x x 是D 上的任意两点，记1122
2122
0(
,
).22
x x x x p ++=
（1）若恒有12012011
[()()]()([()()]()),2
2
f p f p f p f p f p f p +≥+≤且等号不恒成
立，则称f 在D 上是凹（或凸）的
（2）若12
01201
1
[()()]()([()()]()),2
2
f p f p f p f p f p f p +>+<则称f 在D 上是严格上的凹（或凸）的。
（3若1201
[()()]()2f p f p f p +=，则称f 在D 上是线性的。
例如三元函数(,,)f x y z =就是一个凹函数 4.2多元函数凹凸性的几个判定定理
定理4.2.18
设(,)f x y 是凸区域D 上具有二阶连续偏导数的二元函数，记
''''''2
(,),(,),(,),,xx xy yy A f x y B f x y C f x y B AC ===?=-若0C ≤且不恒为0，那么，当0A >或0C >，函数f 在D 上上凹，当A>0或C<0，函数f 在D 上上凸，
若0?<当0A >或0C >，函数f 在D 上是凹的， 当0A <或C<0，函数f 在D 上上凸。 证明:任取111222(,),(,),p x y p x y D ∈记12
12
000(,)(
,
),22
x x y y p x y ++=由泰勒公式
'
'
1
10100100()()()()()()2x y M f p f p x x f p y y f p =+-+-+'
'
220200200()()()()()()2
x y M f p f p x x f p y y f p =+-+-+
则当0,0A C ≠≠时
2''''
0002''
0222
000222
000()(,)2()()(,)()(,){[()()]()()}
{[()()]()()}
(1,2)
i i xx i i i i xy i i i yy i i i i i i i i M x x f x x y y f y y f x x x A y y B y y B A C A
x x B y y C x x B A C i C
ξηξηη=-+--+--+-----+----=＝＝
'
'
110100100()()()()()()2x y M f p f p x x f p y y f p =+-+-+
''
2
20200200()()()()()()2
x y M f p f p x x f p y y f p =+-+-+
则
12
120()()2()2
M M f p f p f p ++=+
当1200,00,()()2(),0,0,0i A f p f p f p A C ?≤>≤+≥?<>>，C>0,M 时，定理得证
利用泰勒公式，我们不难证明
定理4.2.29设(,)f x y 是凸函数D 上的具连续偏导数的二元函数不同时取，则有(,)f x y 在D 上是严格凹（凸）的。
若''''''
0,xx xy yy f f f ==≡，则(,)f x y 在D 上线性的。
定理一和定理显然不难推广到一般徳多元函数中去，这里不再叙述。 定理4.2.39 设ｆ是凸区域D 上的n 元函数，
1121211
{(,,...,)}(,,...,),0,n
n n n i
i
i D x x x x x x D a x
a +==∈+
=∑ a 是任意常数}是D 中的
任意平面区域；（1）ｆ在D 上上凹（凸）的等价于ｆ在１Ｄ上上凹（凸）或线
性，但非恒线性的；
（2）ｆ在D 上严格凹（凸）的等价于ｆ在１Ｄ上是严格上凹（凸）的； （3）ｆ在D 上是线性的等价于ｆ在D 上是线性的。 证明：（只证严格上凹的情形）设ｆ在D 内任何平面区域１Ｄ上均严格上凹，故有102()f p >２
f(p )+f(ｐ) 因而ｆ在D 上严格上凹。反之，若ｆ在D 上严格上凹，显然在任何１Ｄ上也是严格上凹。
在上面的基础上给出
定义 设n 元函数f 在n 元凸区域D 上不是平的, 不是凹的, 也不是凸的, 则称f 在D 上是凹凸不平的
定理4.2.110 设ｆ（ｘ，ｙ）是凸区域D 上的具有二阶连续偏导数的二元函
数，对(,)x y D ?∈记''''''2
(,),(,),(,),,xx xy yy A f x y B f x y C f x y B AC ===?=-则、 （1）f 在D 上是平的A B C ?==;
(2) f 在D 上是凹的0,0,0A C ??≤≥≥(A,B,C 不全恒为0)； （3）f 在D 上是平的0,0,0A C ??≤≤≥(A,B,C 不全恒为0)；
（4）f 在D 上是凹凸不平的,P D ?∈使()0,p ?>或A （或C ）在D 上值是可正负的。
（注：若,,A C ?在D 内没有零点或只有孤立点，则（2）、（3）就成了严格上凹凸的情况）
证明：只证（2）与（4）。先证（2）
在D 内任取一条线段，不妨记其方程是0x x =或y kx b =+(k 是任意实数）易得
f
在D 上上凹?f 在线段0x x =上上凹或线性，且在线段y kx b =+上上凹或
线性但非恒线性?''
0(,)0yy f x y ≥，且
''
''
2
''
''
''
2
()(,)(,)2(,)(,)20xx xx xy yy g x f x kx b k f x y kf x y f x y Ak BK C =+=++=++≥（等
号不恒取)，(,)x x x y D ∈∈,且y kx b =+其中''0(,)0yy f x y ≥（对
0(,))0x y D C ?∈?≥）
对于220Ak Bk C ++≥(k 任意，等号不恒取)，分别有
（1）0A =时，20BK C +≥有，对任意k 恒成立，则0,0B C =≥。此时
''
0,()0C g x ?==≠
（2）0A >时，24440,B AC -=?≤即0,0C ?≤≥
由（1）与（2）知，''()0g x ≥（等号不恒取）0,0A ??≤≥且0C ≥（A,B,C 不全恒为0）综上可得，f 在D 上上凹0,0A ??≤≥且0C ≥（A,B,C 不全恒为0）
再证（4）由定理中的（1）、（2）、（3） f 在D 上凹凸不平?f 在D 上不是平的，不是凹的也不是凸的?A ，B,C 不全恒为0，且1,p D ?∈使1()0p ?>或2,p D ?∈使2()0A p <，或3,p D ?∈使
3()0C p <，同时，1Q D
?∈,使1()0Q ?>，或2Q D ?∈使2()0A Q >或3Q D ?∈,
函数的凹凸性
函数的凹凸性 一、出示曲线，出示课题 1、请大家看一下屏幕上的四条曲线，如果要给它们分一下类，怎么分？可以按照函数的单调性分。这两个从左往右，逐渐上升，这两个从左往右，逐渐下降。 2、从单调性的角度，这两条曲线是一类，但如果再仔细观察一下，这两条曲线还是不一样，这条曲线是凸的，这条曲线是凹的。同样，这条曲线是凸的，这条曲线是凹的。所以，如果按照曲线的凹或者凸，我们可以把这两条曲线作为一类，因为它们都是凹的，把这两条作为另外一类，因为它们都是凸的。那么，曲线的凹或者凸，反映了函数的什么性质呢？这就是本节课我们要学习的内容：函数的凹凸性。 二、比较位置，给出定义 刚才我们说这两条曲线是凹的，什么是凹的呢？实际上，如果在这条曲线上任取两点，不难发现，连结这两个点的曲线弧始终在连结这两个点的弦的下面，所以我们说它是凹的。而如果在这条曲线上任取两点，连结这两个点的曲线弧始终在弦的上面，所以我们说它是凸的。这里我们是用比较曲线弧和弦的上下位置来区分曲线的凹和凸，那么，如果用数学语言来刻画曲线的凹和凸，怎么来描述呢？ (1)现在屏幕上显示的是2y x =，0x ≥的函数图象，可以看出来它是一条凹的曲线。 1、在曲线上任取两点A 、B ,设点A 的横坐标为1x ，点B 的横坐标为2x ，如果在()12,x x 内任取一个x ，过这个点作x 轴的垂线，这条垂线与曲线弧相交，交点是P ，与弦相交，交点是Q ，由于连结A 、B 两点的曲线弧始终在弦AB 的下面，所以不管x 怎么变，点P 的纵坐标始终小于点Q 的纵坐标。 2、刚才x 是在()12,x x 内任取的，这样的话，随着x 的变化，点P 和点Q 的纵坐标也在变化，这样对我们表示点P 和点Q 的纵坐标很不方便。所以，为了表示点P 和点Q 的纵坐标的方便，x 就取()12,x x 的中点122 x x +。 3、好，在这里同学们可能会有这样的疑问：你取区间的中点，那你比的只是区间中点处对应的P 和Q 的纵坐标，不能说明曲线弧和弦上所有点的情况啊？实际上，由于点A 、B 是任取的，所以12,x x 也是任意的，随着12,x x 的变化，中点也在变化，对应的点P 和Q 也在变化，所以中点处对应的P 和Q 实际上就代表了曲线弧和弦上的所有点。 4、点P 的纵坐标是122x x f +?? ??? ，点Q 的纵坐标是()()122f x f x +，则有122x x f +??< ??? ()()122f x f x +。一般地，如果函数()f x 在区间I 上连续，对I 上任意两
(整理)函数凹凸性的应用
函数凹凸性的应用 什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性. 如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而 2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或 更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方. 如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？ 设函数 ()f x 在区间I 上是凸的（向下凸）,任意 1x , 2x I ∈（ 12 x x <）. 曲线 ()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意 12(,)x x x ∈,() f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程 211121 ()() ()() f x f x y x x f x x x -= -+-. 对任意 12(,) x x x ∈有,整理得 21 122121 ()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤ +--. 令 221()x x t x x -= -,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1 21 1x x t x x -=--,上式可写成 1212[(1)]()(1)() f tx t x tf x t f x +-≤+- 1.1凸凹函数的定义 凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。图像向下
函数的凹凸性在高考中的应用
函数的凹凸性在高考中的应用 崇仁二中廖国华 教学目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。 ②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。 教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征 教学过程： 一、课题导入 1.展示崇仁县第二中学2008届高三第一次月考试题12得分统计表 2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题——— 题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 二、新课讲授 1、凹凸函数定义及几何特征 图1 图2
⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()()2 2 x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）12 12()() ( )2 2 x x f x f x f ++> ，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点12 2 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。
函数凹凸性判别法与应用讲解
函数凹凸性判别法与应用 作者：祝红丽 指导老师：邢抱花 摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过 它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸 性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并 结合相关例题做了较详细的论述. 关键词 凹凸性 导数 不等式 应用 1 引言 函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变 量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确. 以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增 加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图 形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分 析. 作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学 者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研 究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛. 本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函 数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹 凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性， 及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判 别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函 数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都 能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代 的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函 数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的 函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.
函数的凹凸性与拐点
第16 次理论课教学安排
图1 2.4导数的应用----曲线的凹凸与拐点 课题： 曲线的凹凸与拐点 目的要求：理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形 的拐点等方法。 重、难点：判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点 教学方法：讲练结合 教学时数：1课时 教学进程： 函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画那？ 一、曲线的凹凸与拐点 1．曲线的凹凸定义和判定法 从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的，此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义： 定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的． 例如，图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的，曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的． 由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大；对于凸 x y o () y f x =A B x y o () y f x =A B
的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而减小．由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定．而()x f '的单调性又可以用它的导数，即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定，故曲线 ()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理： 定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数． （1）如果在()b a ,内，()x f ''＞0，那么曲线在()b a ,内是凹的； （2）如果在()b a ,内，()x f ''＜0，那么曲线在()b a ,内是凸的． 例１ 判定曲线3 x y =的凹凸性． 2．拐点的定义和求法 定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点． 定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点 ()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f 我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸．如果()x f ''连续，那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x 使()0x f ''＝0．这样，点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点．因此，如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点: (1) 确定函数()x f y =的定义域； (2) 求()x f y ''=''；令()x f ''＝0，解出这个方程在区间()b a ,内的实根； (3) 对解出的每一个实根0x ，考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号．如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反，那么点()()00,x f x 就是一个拐点，如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同，那么点()()00,x f x 就不是拐点． 例２ 求曲线2 3 3x x y -=的凹凸区间和拐点． 解 （1）函数的定义域为()+∞∞-,； （2）()1666,632 -=-=''-='x x y x x y ；令0=''y ，得1=x ； （3）列表考察y ''的符号（表中“”表示曲线是凹的，“” 表示曲线 是凸的）： x ()1,∞- 1 ()+∞,1 y '' - 0 + 曲线y 拐点 ()2,1-
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点 教学目标与要求 通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图形打好基础，同时，理解拐点的定义和意义。 教学重点与难点 教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。 教学难点：理解拐点的定义和意义。 教学方法与建议 证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用“拉格朗日中值定理”证明外，还可用“泰勒定理”来证明；如果利用“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，摸不着头脑。 在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关。 教学过程设计 1. 问题提出与定义 函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还 不能准确描绘出函数的图形。比如，如果在区间上，， 则我们知道在区间上单调增，但作图（参见图1）的时 候，我们不能判断它增加的方式（是弧，还是弧），即 不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性 态、作图等是很有必要的！ 在图1中，对于上凸的曲线弧，取其上任意两点，不妨取 作割线，我们总会发现不论两点的位置，割 线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式 来描述。同理，对于上凹的曲线弧，总可用不等式 来描述。由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义： 凹凸性定义设在区间I上连续，如果对I上任意两点，，恒有
则称在I 上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有 则称 在I 上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。 如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。 2. 凹凸性判定定理的引入 y O x y f x =() x y O y f x =() 曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来说判断起来也不容易。因此，我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。函数的单调性能由的 符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜想凹凸性是否和 有关 经过分析，并利用泰勒公式，可证实我们的猜想是正确的，函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到 了判断曲线凹凸性的定理。 定理设在 上连续, 在 内具有二阶连续导数,那么： （1）若在内>0，则在上的图形是凹的； （2）若在 内 <0，则 在 上的图形是凸的。 3. 判别凹凸性和拐点举例 例1 判断曲线y x 3的凹凸性 解 y 3x 2 y 6x 由y 0 得x 0 因为当x <0时 y <0 所以曲线在( 0]内为凸的 因为当x >0时 y >0 所以曲线在[0 )内为凹的 例2 求曲线y 2x 33x 22x 14的拐点 解 y 6x 26x 12 ) 21 (12612+=+=''x x y 令y 0 得2 1- =x 因为当2 1 -
函数的凹凸性
函数的凹凸性专题 一、函数凹凸性的定义 1、凹函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈?21,，若恒有2 ) ()()2(2121x f x f x x f +<+，则称)(x f y =的图象是凹的，函数)(x f y =为凹函数； 2、凸函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈?21,，若恒有2 ) ()()2(2121x f x f x x f +>+，则称)(x f y =的图象是凸的，函数)(x f y =为凸函数. 二、凹凸函数图象的几何特征 1、形状特征 如图，设21,A A 是凹函数)(x f y =图象上两点，它们对应的横坐标)(,2121x x x x <，则111(,())A x f x ， 222(,())A x f x ，过点 12 2 x x +作x 轴的垂线交函数图象于点A ，交21A A 于点B . 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方； 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方. 简记为：形状凹下凸上.
2、切线斜率特征 凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而增大即)(x f y =的二阶导数0)(''≥x f ； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而减小即)(x f y =的二阶导数0)(''≤x f . 简记为：斜率凹增凸减. 3、增量特征 设函数)(x g 为凹函数，函数)(x f 为凸函数，其函数图象如图所示.当自变量x 依次增加一个单位增量x ?时，函数)(x g 的相应增量 ,,,321y y y ???越来越大；函数)(x f 的相应增量 ,,,321y y y ???越来越小. 由此，对x 的每一个单位增量x ?，函数y 的对应增量),3,2,1( =?i y i 凹函数的增量特征是：i y ?越来越大；凸函数的增量特征是：i y ?越来越小. 三、常用的不等式 1、二次函数2 )(x x f =中，2 )2(2 22b a b a +≤+； 2、反比例函数)0(1)(>=x x x f 中，2 1 12 b a b a +≤+；
应用函数的凹凸性解高考数学题
应用函数的凹凸性解高考数学题 摘要：函数凹凸性问题在近几年高考试卷中屡见不鲜。但笔者通过平时的教学及高考后学生对这方面问题的反馈中发现大部分学生对此类问题缺乏应变能力，本文通过探讨函数凹凸性定义及几何特征入手，结合具体案例，研究凹凸性问题的一般解法，以期在今后复习过程中，提高针对性和时效性，同时，培养学生探讨创新能力，鼓励学生进行研究性学习，提高学生的数学素养。 关键词：函数凹凸性问题 探究 问题导入：2006年高考重庆卷（9 ）理，如图，单位圆中弧AB x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f(x)的图象是（ ） 图1 图2 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 一、 凹凸函数定义及几何特征 1、 引出凹凸函数的定义： A B C D
如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 2、凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()( )22 x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 3、凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。 几何特征2（切线斜率特征）
二阶导数与函数凹凸性证明
二阶导数与函数凹凸性 证明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f"(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。 设x1和x2是[a,b]内任意两点，且x1
函数凹凸性的性质判定及应用
函数凹凸性的判定性质及应用 曹阳数学计算机科学学院 摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及 判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二 元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一 元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的 函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的 情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论 了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍 了它们应用。 关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用； Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application. Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;
函数的凹凸性在高考中的应用
1、凹凸函数定义及几何特征 ⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()( )22 x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22 x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。
几何特征2（切线斜率特征） 图6（凹函数） 图7（凸函数） 设21,A A 是函数y=)(x f 曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减。 几何特征3（增量特征） 图8（凹函数） 图9（凸函数） 图10（凹函数） 图11（凸函数） 设函数ｇ（ｘ）为凹函数，函数ｆ（ｘ）为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小； 由此，对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…） 凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大； 凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小；
函数的凹凸性
函 数 的 凹 凸 性 一、课题导入 题目： 一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（ ）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 二、新课讲授 1、凹凸函数定义及几何特征 ⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。 不同在哪儿？把形如 )(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1） 1212()() ( )22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()() ()22 x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 图 1 图2
函数的凹凸性方面的应用
函数的凹凸性方面的应用
()f x 严格凸函数?上式严格不等式成立. 证 ?记 32 31x x x x λ-= -,则01λ<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f 的凸性知 213()()(1)() f x f x f x λλ≤+-3221133131 ()()x x x x f x f x x x x x --= +-- (4) 从而有 312321213()()()()()() x x f x x x f x x x f x -≤-+- 即 32221232 121 ()()()()()()()() x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+- 整理即得(3)式. ?13,x x I ?∈13()x x <,(0,1)λ?∈记213(1)x x x λλ=+-,则123x x x <<,3221x x x x λ-= - 由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f 为凸函数. 同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即 123,,x x x I ?∈,123 x x x <<,有 31212131 ()() ()()f x f x f x f x x x x x --≤ -- ()f x 严格凸函数?上式严格不等式成立. 定理 设为开区间上的凸函数．若 则在上满足利普希茨条件,且 在上连续． 证明 ( 证明开区间上的凸函数必为连续函数) 当取定后, 由为开区间,必可 选取中的四点 满足： ． 如图所示,再在 中任取两点 . 应用引理得到
． 令 , 则 , ． 显然,上述 L 与中的点 无关, 故在上的每个内闭区间 上满足利普希茨 条件． 由此容易推知 在 上连续,再由 在上的任意性,又可推知 在上处处连续． 如果f 是I 上的可导函数,则进一步有： 二、凸函数与导数的关系 定理1（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有 21121()()()()f x f x f x x x '≥+- 证 (i)(ii) ,并取,使 据定理3.12,有
函数的凹凸性在高考中的应用
函数的凹凸性在高考中的应用 教学目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。 ②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。 教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征 教学过程： 一、课题导入 1.展示崇仁县第二中学2008届高三第一次月考试题12得分统计表 2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题——— 题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 二、新课讲授 1、凹凸函数定义及几何特征 图1 图2
⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与 )(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()() ( )22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()() ()22 x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点 12 2 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。
函数的凹凸性方面的应用
§6.5 微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用 教学目标: 掌握讨论函数的凹凸性和方法. 教学要求: 弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函数的 凸性证明某些有关的命题. 教学重点: 利用导数研究函数的凸性 教学难点: 利用凸性证明相关命题 教学方法: 系统讲授法＋演示例题 教学过程: 引言 上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系. 什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函 数y 所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方. 如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？ 设函数()f x 在区间I 上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I ∈（12x x <）. 曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意
12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程 211121 ()() ()() f x f x y x x f x x x -= -+-. 对任意12(,)x x x ∈有 211121 ()() ()()() f x f x f x x x f x x x -≤ -+-,整理得 21 122121 ()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤ +--. 令 221()x x t x x -= -,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1 21 1x x t x x -=--,上式可写成 1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-. 一、凸函数定义以及与连续性的关系 (一) 凸（凹）函数的定义 定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 12 12((1))()(1 )()f x x f x f x λλλλ+-≥+-,则称f 为I 上的凹函数. 注 易证：若一f 为区间I 上的凸函数,则f 为区间I 上的凹函数,因此,今后只讨论凸函数的性质即可. 定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点. 必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在, 如 y 在x ＝0的情形. (二) 凸函数的特征 引理 f 为I 上的凸函数?对于I 上任意三点123x x x <<总有： 32212132 ()() ()()f x f x f x f x x x x x --≤ -- (3) ()f x 严格凸函数?上式严格不等式成立.
函数的凸性及应用[文献综述]
文献综述 信息与计算科学 函数的凸性及应用 一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主 题争论焦点） 凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数都有着十分重要的作用。凸函数的定义，最早是由Jersen 给出的。各文献中对凸函数的定义不尽相同，在大学的数学分析或高等数学教材中，常常只研究具有二阶导数的凸函数。 本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。然后由基本性质进行延伸，进一步给出凸函数的应用。对于凸函数的应用，本文拟将主要介绍以下的几点：凸函数在证明Jensen 不等式时的应用；凸函数在Hadamard 不等式中的证明的应用；凸函数在分析不等式中的应用等。 二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题 的评述） 凸函数具有一些非常优良的性质[1] ，有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用。1905年丹麦数学家Jensen 首次给出了凸函数的定义，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用，所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。 2.1凸函数的定义 2.1.1凸函数一些基本定义 通过数学分析的学习，对于函数()2 x x f =和()x x f = 的图像，我们很容易看出它们 之间的不同点：曲线2 x y =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线x y = 则 相反，在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数，我们把前一种特性的
高考必考高中数学函数的凹凸性
高考必考-----函数的凹凸性在高考中的应用 目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。 ②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。 教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征 教学过程： 一、课题导入 1.2013届高三第一次月考试题12得分统计表 2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题——— 题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 二、新课讲授 1、凹凸函数定义及几何特征 图1 图2
⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与 )(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()() ( )22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()() ()22 x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点 12 2 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。