2012河北省普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案

2012年河北省普通高等学校对口招生考试

数 学

说明：

一、本试卷共6页，包括三道大题36道小题，共120分。

二、所有试题均须在答题卡上作答，在试卷和草稿纸上作答无效。答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。 四、考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）

1.

集

合

2{2,3,}

M a =，

{2,3,21}

N a =-，若

M N

=，则

a =------------------------------------（ ）

A ．1±

B ．1

C ．1-

D ． 0 2.下列命题正确的是------------------------------------------------------------------------------------------（ ）

A ．若 a b >，则 ac bc >

B ．若 a b >，则 2

2

ac bc > C ．若 a b >，则

11

a b

> D ．若 a b >，则 a c b c +>+ 3.偶函数()y f x =在[3,5]上是增函数，且有最大值7，则在[5,3]--上是-------------------（ ）

A ．增函数且有最大值7

B ．减函数且有最大值7

C ．增函数且有最小值7

D ．减函数且有最小值7 4.

“

22

a b =”是“

a b

=”的

-----------------------------------------------------------------------------（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分且必要条件

D ．既不充分也不必要条件 5.若01a <<时，则x

y a

=与log a y x =-在同一坐标系中的图像大致是

6. 函数π2sin(2)4

y x =+的图像，可由函数2sin 2y x =的图像（ ）而得到.

A ．向左平移

π4个单位 B ．向右平移π

4个单位 C ．向左平移π8个单位 D ．向右平移π

8

个单位

7. 在等差数列{}n a 中，2a 和13a 是方程2

230x x --=的两根，则前14项之和为---------------（ ）

A ．20

B ．16

C ．14

D ． 17

8. 在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，且sin cos cos sin 2

A B A B =

+，则△ABC 的形状是------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定 9.

设

(1,0)

a =r

，

11(,)

33

b =r ，则下列结论中，正确的是

-------------------------------------------------（ ）

A ．||||a b =r r

B ．1

3

a b ?=r r

C ．a b -r r 与b r 垂直

D ．a r ∥b r

10. 过点

(2,)A m -，(,1)B m 的直线与直线220x y -+=平行，则

m =----------------------------（ ）

A ．1-

B ．1

C ．2-

D ． 2

11.

直

线

sin10cos100

x y +=o o 与圆

222

x y +=的位置关系是

-------------------------------（ ）

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ． 不确定 12.

若

抛

物

线

方

程

是

218

x y =

，则其准线的方程为

----------------------------------------------------------（ ）

A ．2x =-

B ．4x =-

C ．2y =-

D ． 4y =-

13. 两个平面α、β互相平行，直线l 与平面α相交于点A ，与平面β相交于点B ，||4AB =，点A 到平面

β

的距离是

2，则直线l 与平面β

所成的角是

--------------------------------------------------（ ）

A ．30o

B ．45o

C ．60o

D ． 90o

14.有2名男生3名女生，从中选3人去敬老院打扫卫生，要求必须有男生，则不同的选法有（ ）种. A ．3 B ．6 C ．9 D ． 12

15.如图所示，一个正方形及其内切圆，随机向正方形内抛一颗豆子，假设豆子落到正方形内，则豆子落到内切圆内的概率为（ ）-------------------------------------------------------------------------------（ ） A ．

2π B ．π2π- C

．

π D ． π4

二、填空题（本大题有15个空，每空2分，共30分）

16.若32,8

()log ,8

x x f x x x ?<=?≥?，则[(2)]f f =_____________.

17.计算：2

57lg 4lg 25cos 00.5

C -+-+-=____________.

18.

函数()f x =的定义域为_________________________________.

19.若函数()(1)(2)f x x x a =-+为偶函数，则常数a =_______________________，此函数的单调递增区间为________________________________.

20.直线经过两点2)A ，B ，则该直线的倾斜角为________________.

21.等差数列{}n a 中，公差1

2

d =

，1359960a a a a ++++=L ，则246100a a a a ++++=L ______. 22.正弦型函数sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>在一个最小正周期内的图像中，最高点为π

(,2)9

，

最低点为4π

(,2)9

-，则ω=___________.

23.在一个45o

的二面角的一个面内有一点P ，它到棱的距离是，则它到此二面角的另一个面

的距离是____________________. 24.渐近线方程为2

3

y x =±

的双曲线，经过点(6,0)，则该双曲线的标准方程为__________________.

25.已知cos(π)2α-=

，π

(,π)2

α∈，则α=_________. 26.设向量(1,)a m =r ，向量(2,3)b m =-r

，若a b ⊥r r ，则m =_____________.

27.二项式6

(12)x -展开式中4

x 的系数是__________________.

28. 0，1，2，3可以组成______________个无重复数字的四位数.

29. 冰箱里放了大小形状相同的3罐可乐，2罐橙汁，4罐冰茶，小明从中任意取出1罐饮用，取出可乐或橙汁的概率为_______________.

三、解答题（本大题共7个小题，共45分。请在答题卡中对应题号下面指定位置作答，要写出必要

的文字说明、证明过程和演算步骤） 30. （5分）已知集合2

{|60}A x x x =-->，{|04}B x x a =<-<，若A B =?I ，求a 的取值

范围

31.（5分）数列{}n a 、{}n b 中，{}n b 为等比数列，且公比为4，首项为2，2n a

n b =，

（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和公式.

32.（7分）函数cos cos(π)cos y x x x x =++，R x ∈. （1）求此函数的最小正周期；

（2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？

33.（6分）某种商品每件成本为5元，经市场调查发现，若售价定为15元/件，可以卖出100件，单价每提高1元，则销售量减少4件。问当售价定为多少元时投资少且利润最大? 最大利润为多少元？（为了结算方便，该商场的所有商品售价为整数）

34.（6分）从3名女生，2名男生中，选出3人组成志愿者小分队， （1）求所选3个人中，女生人数的概率分布； （2）求选出的3个人中有女生的概率.

35.（8分）已知圆O 的标准方程为2

2

25x y +=，一个椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，并且以圆O 的直径为长轴，离心率为45

， （1）求椭圆的标准方程； （2）过原点O ，斜率为

3

5

的直线l ，分别与椭圆和圆O 交于A 、B 、C 、D 四点（如图所示），求||||AC BD +的大小.

36.（8分）已知：正方形ABCD 所在的平面垂直于以AB 为直径的半圆所在的平面，E 是半圆上一

点，

（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；

（2）若AE BE =，求直线BE 与平面ACE 所成角的正弦值.

2012年河北省普通高等学校对口招生考试

数学试题参考答案

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可以根据试题的主要考查内容比照评分标准参考制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题不给中间分。

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个符

C

合题目要求）

二、填空题（本大题共15空，每空2分，共30分）

16. 3 17. 16- 18. (0,4] 19. 1

2

， (0,)+∞ 20. 60o

（或

π

3

） 21. 85 22. 3 23. 10 24. 2213616x y -= 25. 135o （或3π4

） 26. 1或2 27. 240 28. 18 29. 5

9

三、解答题 30.（5分）

解：因为2

60(3)(2)02x x x x x -->?-+>?<-或3x > 所以{|2A x x =<-或3}x > 因为044x a a x a <-

若A B =?I ，则需2a ≥-且43a +≤

即21a -≤≤-

31.（5分）

解（1）解法一：因为{}n b 为等比数列

32.（7分）解：（1）cos cos(π)cos y x x x x =++

cos cos cos

x x x x =-

2

cos cos

x x x

=-

1cos2

cos

2

x

x x

+

=-

11

2cos2

22

x x

=--

π1

sin(2)

62

x

=--

（2）当

ππ

22π,(Z)

62

x k k

-=+∈，即

π

π(Z)

3

x k k

=+∈时，y有最大值，最大值为

11

1

22

-=.

33.（6分）

解法一：设售价提高了x元，则销售量为(1004)x

-件，可获得利润为y元，

由题意可知(155)(1004)

y x x

=+--，即2

4601000

y x x

=-++

也即2

15

4()1225

2

y x

=--+

所以当7

x=或8

x=时，y有最大值为1224

当7

x=时，销售量为72件；当8

x=时，销售量为68件.

所以当8

x=时的投资小于7

x=时的投资，即售价定为23元时，投资少且获得的利润最高，最高利润为1224元.

解法二：设售价为x元，利润为y元，

则(5)[1004(15)]

y x x

=---

2

4180800

y x x

=-+-

2

4(22.5)1225

y x

=--+

所以当22

x=或23

x=时，y有最大值，最大值为1224

当23

x=时，销售量为68件，22

x=时，销售量为72件，所以当23

x=时的投资小于22

x=时的投资，即售价定为23元时，投资少且获得的利润最高，最高利润为1224元.

34.（6分）

解：（1）设随机变量ξ表示选出的女生的人数，则ξ的取值为：1,2,3，

则

12

32

3

5

3 (ξ=1)

10

C C

P

C

==

21

32

3

5

3 (ξ=2)

5

C C

P

C

==

30

32

3

5

1 (ξ=3)

10

C C

P

C

==

所以，选出女生数的概率分布为：

解法一：由上表可知

331

1

10510

++=，所以出现女生的概率是1

解法二：此题中“选出的人中有女生”是个必然事件，所以概率为1.

35.（8分）