线性方程组的数值解法及其应用

线性方程组的数值解法及其应用

一、问题描述

现实中的问题大多数是连续的，例如工程中求解结构受力后的变形，空气动力学中计算机翼周围的流场，气象预报中计算大气的流动。这些现象大多是用若干个微分方程描述。用数值方法求解微分方程（组），不论是差分方法还是有限元方法，通常都是通过对微分方程（连续的问题，未知数的维数是无限的）进行离散，得到线性方程组（离散问题，因为未知数的维数是有限的）。因此线性方程组的求解在科学与工程中的应用非常广泛。

经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。

二、基本要求

1）掌握用MATLAB软件求线性方程初值问题数值解的方法；

2）通过实例学习用线性方程组模型解决简化的实际问题；

3）了解用高斯赛德尔列主元消去法和雅可比迭代法解线性方程组。

三、测试数据

1） 直接法：A=[0.002 52.88;4.573 -7.290];

b=[52.90;38.44];

2） 迭代法：A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];

b=[7.2;8.3;4.2];

四、算法程序及结果

1）

function[RA,RB,n,x]=liezy1(A,b)

B=[A b];n=length(b);RA=rank(A);

RB=rank(B);zhica=RB-RA;

if zhica>0,

disp('因为RA~=RB,所以此方程组无解.')

return

if RA==RB

if RA==n

disp('因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')

x=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);

for p=1:n-1

[Y,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:);

B(p,:)=B(j+p-1,:);B(j+p-1,:)=C;

for k=p+1:n

m=B(k,p)/B(p,p);

B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);

end

end

b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);x(n)=b(n)/A(n,n);

for q=n-1:-1:1

x(q)=(b(q)-

sum(A(q,q+1:n)*x(q+1:n)))/A(q,q);

end

else

disp('因为RA=RB

end

end

测试：

A=[0.002 52.88;4.573 -7.290];

>> b=[52.90;38.44];

>> [RA,RB,n,x]=liezy1(A,b)

因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.

RA =

2

RB =

2

n =

2

x =

10.0000

1.0000

2）

function Jacobi(A,b,x0,P,error,max1)

[n n]=size(A);

x=zeros(n,1);

for k=1:max1

for j=1;n

x(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:n])*x0([1:j-

1,j+1:n]))/A(j,j);

end

x

errx=norm(x-x0,P);

x0=x;x1=A\b;

if(errx

disp('迭代次数k,精确解x1和近似解x分别是：')

k

x1

x

return

end

end

if(errx>=error)

disp('请注意：Jacobi迭代次数已经超过最大迭代次数max1.') end

测试：

A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];

>>b=[7.2;8.3;4.2];

>>x0=[0;0;0];

>>Jacobi(A,b,x0,inf,0.001,100)

n =

3

x =

0.7200

迭代次数k,精确解x1和近似解x分别是：

k =

2

x1 =

1.1000

1.2000

1.3000

x =

0.7200

五、应用举例

1）营养学家配制一种具有1200卡，30g蛋白质及300mg维生素C的配餐。有3种食物可供选用：果冻、鲜鱼和牛肉。它们有下列每盎司（28.35g）的营养含量表

果冻鲜鱼牛肉

热量（卡）20100200

蛋白质132

维生素C302010

计算所需果冻、鲜鱼、牛肉的数量。

设果冻、鲜鱼、牛肉的数量为x1,x2,x3则

20x1+100x2+200x3=1200

x1+3x2+2x3=30

30x1+20x2+10x3=300

2）交通流量问题

下图给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时通过的车辆数）

图中有6个路口，已有9条街道记录了当天的平均车流量。另有7处的平均车流量未知，试利用每个路口的进出车流量相等关系推算这7处的平均车流量。

其数学模型为线性方程组：

3）闭合经济问题

一个木工，一个电工，一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子。在装修之前，他们达成了如下协议：（1）每人总共工作十天（包括给自已家干活在内）；（2）每人的日工资根据一般的市价在60元～80元之间；（3）每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等。下面的表是他们协商后制定出的工作天数的分配方案：

木工电工油漆

工

216

在木工家的工作

天数

451

在电工家的工作

天数

在油漆工家的工

443

作天数

设木工的日工资为x1，电工的日工资为x2，油漆工的日工资为x3。则木工的10个工作日总收入应该为10x1 ,而木工、电工及油漆工三人在木工家工作的天数分别为：2天， 1天， 6天，按日工资累计木工的总支出为2x1 + x2 + 6x3。于是木工的收支平衡可描述为等式

同理，可建立描述电工，油漆工各自的收支平衡关系的另外两个等式，将三个等式联立，可得描述实际问题的方程组。

六、实训小结

通过本次实训，我们明白了如何用MATLAB解线性方程组，也了解了线性方程组的两种解法：直接法和迭代法，如高斯列主元消去法、雅克比迭代法，在实训过程中也碰到了一些困难，但我们都一一解决了，既增加了知识面，也加强了理解，此次实训我们分工明确，收获颇丰，更加明白了线性方程组，或者说数学在生活中的重要应用。

七、参考文献

数值分析 中国科技大学出版 朱晓琳编

数学软件 MATLAB 5.3