遵义中考数学试卷(附答案)

贵州省遵义市中考数学试卷

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）

1．在0，﹣2，5，，﹣0.3中，负数的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

2．观察下列图形，是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

3．据有关资料显示，2014年通过国家科技支撑计划，遵义市获得国家级科技专项重点项目资金5533万元，将5533万用科学记数法可表示为（）

A．5.533×108B．5.533×107C．5.533×106D．55.33×106

4．如图，直线l1∥l2，∠1=62°，则∠2的度数为（）

A．152°B．118°C．28°D．62°

5．下列运算正确的是（）

A．4a﹣a=3 B．2（2a﹣b）=4a﹣b C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣2）=a2

﹣4

6．下列几何体的主视图与其他三个不同的是（）

A．B．C．D．

7．若x=3是分式方程﹣=0的根，则a的值是（）

A．5B．﹣5 C．3D．﹣3

8．不等式3x﹣1＞x+1的解集在数轴上表示为（）

A．B．C．D．

9．已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）是反比例函数y=（k＜0）图象上的两点，则有（）

A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0

10．如果一组数据x1，x2，…，x n的方差是4，则另一组数据x1+3，x2+3，…，x n+3的方差是（）

A．4B．7C．8D．19

11．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）

A．50°B．60°C．70°D．80°

12．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）

A．B．C．D．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

13．使二次根式有意义的x的取值范围是．

14．如果单项式﹣xy b+1与x a﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2015=．

15．2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x，可列方程为．

16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=．

17．按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是．

18．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为cm2．

三、解答题(本题共9小题，共90分)

19．（6分）计算：（3.14﹣π）0﹣﹣|﹣3|+4sin60°．

20．（8分）先化简，再求值：，其中a=2．

21．（8分）如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC=4米，AB=6米，中间平台宽度DE=1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC于F，∠CDF=45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

22．（10分）有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．（1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；

（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．

23．（10分）遵义市某中学为了搞好“创建全国文明城市”的宣传活动，对本校部分学生（随机抽查）进行了一次相关知识了解程度的调查测试（成绩分为A、B、C、D、E五个组，x 表示测试成绩）．通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）参加调查测试的学生为人；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）本次调查测试成绩中的中位数落在组内；

（4）若测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，该中学共有学生2600人，请你根据样本数据估计全校学生测试成绩为优秀的总人数．

24．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

25．（12分）某工厂生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y （万元）与产量x（吨）之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如表：

x（吨）10 20 30

y（万元/吨）45 40 35

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，求该产品的总产量；（注：总成本=每吨成本×总产量）

（3）市场调查发现，这种产品每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间满足如图所示的函数关系，该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨．请求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润．（注：利润=售价﹣成本）

26．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．

27．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；

（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．

2015年贵州省遵义市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）

1．在0，﹣2，5，，﹣0.3中，负数的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

解答：

解：在0，﹣2，5，，﹣0.3中，﹣2，﹣0.3是负数，共有两个负数，

故选B．

2．观察下列图形，是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

解答：解：A、是轴对称图形，故本选项正确；

B、不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误．

故选A．

3．据有关资料显示，2014年通过国家科技支撑计划，遵义市获得国家级科技专项重点项目资金5533万元，将5533万用科学记数法可表示为（）

A．5.533×108B．5.533×107C．5.533×106D．55.33×106

解答：解：∵5533万=55330000，

∴用科学计数法表示为：5.533×107，

故选B．

4．如图，直线l1∥l2，∠1=62°，则∠2的度数为（）

A．152°B．118°C．28°D．62°

解答：解：∵如图，l1∥l2，∠1=62°，

∴∠3=∠1=62°，

∴∠2=∠3=62°（对顶角相等），

故选D．

5．下列运算正确的是（）

A．4a﹣a=3 B．2（2a﹣b）=4a﹣b C．（a+b）2=a2+b2D．（a+2）（a﹣2）=a2

﹣4

解答：解：A、4a﹣a=3a，故本选项错误；

B、应为2（2a﹣b）=4a﹣2b，故本选项错误；

C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；

D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，正确．

故选：D．

6．下列几何体的主视图与其他三个不同的是（）

A．B．C．D．

解答：解：A、从正面看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；

B、从正面看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；

C、从正面看第一层三个小正方形，第二层右边一个小正方形、中间一个小正方形；

D、从正面看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；

故选：C．

7．若x=3是分式方程﹣=0的根，则a的值是（）

A．5B．﹣5 C．3D．﹣3

解答：

解：∵x=3是分式方程﹣=0的根，

∴，

∴，

∴a﹣2=3，

∴a=5，

即a的值是5．

故选：A．

8．不等式3x﹣1＞x+1的解集在数轴上表示为（）

A．B．C．D．

解答：解：由3x﹣1＞x+1，

可得2x＞2，

解得x＞1，

所以一元一次不等式3x﹣1＞x+1的解在数轴上表示为：

故选：C．

9．已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）是反比例函数y=（k＜0）图象上的两点，则有（）A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0

解答：

解：∵反比例函数y=（k＜0）中，k＜0，

∴此函数图象在二、四象限，

∵﹣2＜0，

∴点A（﹣2，y1）在第二象限，

∴y1＞0，

∵3＞0，

∴B（3，y2）点在第四象限，

∴y2＜0，

∴y1，y2的大小关系为y2＜0＜y1．

故选B．

10．如果一组数据x1，x2，…，x n的方差是4，则另一组数据x1+3，x2+3，…，x n+3的方差是（）

A．4B．7C．8D．19

解答：解：根据题意得：数据x1，x2，…，x n的平均数设为a，则数据x1+3，x2+3，…，x n+3的平均数为a+3，

根据方差公式：S2=[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（x n﹣a）2]=4．

则S2={[（x1+3）﹣（a+3）]2+[（x2+3）﹣（a+3）]2+…（x n+3）﹣（a+3）]}2

=[（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…（x n﹣a）2]

=4．

故选：A．

11．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）

A．50°B．60°C．70°D．80°

解答：解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠C=50°，

∴∠DAB=130°，

∴∠HAA′=50°，

∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，

∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，且∠EA′A+∠EAA′=∠AEF，∠FAD+∠A″=∠AFE，∴∠AEF+∠AFE=∠EA′A+∠EAA′+∠FAD+∠A″=2（∠AA′E+∠A″）=2×50°=100°

∴∠EAF=180°﹣100°=80°，

故选D．

12．将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）

A．B．C．D．

解答：解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，】

则∠OAF=30°，∠AB1O=45°，

故B1F=OF=OA，

设B1F=x，则AF=﹣x，

故（﹣x）2+x2=（2x）2，

解得x=或x=（舍去），

∴四边形AB1ED的内切圆半径为：．

故选B．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

13．使二次根式有意义的x的取值范围是x≥．

解答：解：根据题意得：5x﹣2≥0，

解得x≥．

故答案为：x≥．

14．如果单项式﹣xy b+1与x a﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2015=1．

解答：解：由同类项的定义可知

a﹣2=1，解得a=3，

b+1=3，解得b=2，

所以（a﹣b）2015=1．

故答案为：1．

15．2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x，可列方程为1585（1+x）2=2180．

解答：解：依题意得在2013年的1585亿的基础上，

2014年是1585（1+x），

2015年是1585（1+x）2，

则1585（1+x）2=2180．

故答案为：1585（1+x）2=2180．

16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=12．

解答：解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=KG，CF=DG=KF，

∴S1=（CG+DG）2

=CG2+DG2+2CG?DG

=GF2+2CG?DG，

S2=GF2，

S3=（KF﹣NF）2=KF2+NF2﹣2KF?NF，

∴S1+S2+S3=GF2+2CG?DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF?NF=3GF2=12，

故答案是：12．

17．按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是．

解答：

解：∵，=，

∴这列数依次为：，，，，…，

∴当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，

∵8﹣5=11﹣8=14﹣11=3，

∴分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，

∴这列数中的第10个数与第16个数的积是：

=

=．

故答案为：．

18．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为（π+﹣）cm2．

解答：解：连结OC，过C点作CF⊥OA于F，

∵半径OA=2cm，C为的中点，D、E分别是OA、OB的中点，

∴OD=OE=1cm，OC=2cm，∠AOC=45°，

∴CF=，

∴空白图形ACD的面积=扇形OAC的面积﹣三角形OCD的面积

=﹣×

=π﹣（cm2）

三角形ODE的面积=OD×OE=（cm2），

∴图中阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣空白图形ACD的面积﹣三角形ODE的面积

=﹣（π﹣）﹣

=π+﹣（cm2）．

故图中阴影部分的面积为（π+﹣）cm2．

故答案为：（π+﹣）．

三、解答题(本题共9小题，共90分)

19．（6分）计算：（3.14﹣π）0﹣﹣|﹣3|+4sin60°．

解答：解：（3.14﹣π）0﹣﹣|﹣3|+4sin60°

=1﹣2﹣3+2

=﹣2．

20．（8分）先化简，再求值：，其中a=2．

解答：

解：

=×﹣

=﹣

=，

当a=2时，原式==4．

21．（8分）如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC=4米，AB=6米，中间平台宽度DE=1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，DF⊥BC于F，∠CDF=45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

解答：解：设BM=x米．

∵∠CDF=45°，∠CFD=90°，

∴CF=DF=x米，

∴BF=BC﹣CF=（4﹣x）米．

∴EN=DM=BF=（4﹣x）米．

∵AB69米，DE=1米，BM=DF=x米，

∴AN=AB﹣MN﹣BM=（5﹣x）米．

在△AEN中，∠ANE=90°，∠EAN=31°，

∴EN=AN?tan31°．

即4﹣x=（5﹣x）×0.6，

∴x=2.5，

答：DM和BC的水平距离BM的长度为2.5米．

22．（10分）有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．（1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；

（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．

解答：解：（1）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7种情况，

∴这三条线段能组成三角形的概率为：；

（2）∵这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm；

∴这三条线段能组成直角三角形的概率为：．

23．（10分）遵义市某中学为了搞好“创建全国文明城市”的宣传活动，对本校部分学生（随机抽查）进行了一次相关知识了解程度的调查测试（成绩分为A、B、C、D、E五个组，x 表示测试成绩）．通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：

（1）参加调查测试的学生为400人；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）本次调查测试成绩中的中位数落在C组内；

（4）若测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，该中学共有学生2600人，请你根据样本数据估计全校学生测试成绩为优秀的总人数．

解答：解：（1）参加调查测试的学生总数是：40÷10%=400（人），故答案是：400；

（2）B组的人数是：400×35%=140（人），

则E组的人数是：400﹣40﹣140﹣120﹣80=20（人）．

；

（3）中位数落在C组．

故答案是：C；

（4）全校学生测试成绩为优秀的总人数是：2600×（10%+35%）=1170（人）．24．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．

（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）证明四边形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

解答：（1）证明：①∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，

∴AE=DE，BD=CD，

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；

（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．

∵DB=DC，

∴AF=CD．

∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，

∴AD=DC=BC，

∴四边形ADCF是菱形；

（3）解：设菱形DC边上的高为h，

∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，

∵BC==，

∴DC=BC=，

∴h==，

菱形ADCF的面积为：DC?h=×=10．

25．（12分）某工厂生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y （万元）与产量x（吨）之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如表：

x（吨）10 20 30

y（万元/吨）45 40 35

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，求该产品的总产量；（注：总成本=每吨成本×总产量）

（3）市场调查发现，这种产品每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间满足如图所示的函数关系，该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨．请求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润．（注：利润=售价﹣成本）

解答：解：（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，

将（10，45）（20，40）代入解析式得：

，

解得：

∴y=﹣0.5x+50，（10≤x≤55）．

（2）当投入生产这种产品的总成本为1200万元时，

即x（﹣0.5x+50）=1200，

解得：x1=40，x2=60，

∵10≤x≤55，

∴x=40，

∴该产品的总产量为40吨．

（3）设每月销售量m（吨）与销售单价n（万元/吨）之间的函数关系式为m=k1n+b1，

把（40，30），（55，15）代入解析式得：

解得：，

∴m=﹣n+70，

当m=25时，n=45，

在y=﹣0.5x+50，（10≤x≤55）中，当x=25时，y=37.5，

∴利润为：25×（45﹣37.5）=187.5（万元）．

26．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．

解答：（1）证明：∵AB是圆O的直径，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC；

（2）解：∵AB=AC，

∠B=∠C，

∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C，

∴BD=DC=DE=3，

∵BD﹣AD=2，

∴AD=1，

在RT△ABD中，AB==，

∴⊙O的半径为；

（3）解：∵AB=AC=，BD=DC=3，

∴BC=6，

∵AC?EC=DC?BC，

∴?EC=3×6，

∴EC=，

∴AE=EC﹣AC=﹣=．

27．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；

（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．

解答：解：（1）如图1，

由题可得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2；

（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，如图2．

设直线AC的解析式为y=kx+t，

则有，

解得：，

∴直线AC的解析式为y=x+2．

设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，

∴DH=﹣m2﹣m+2，GH=m+2，

∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m，

∴S△ADC=S△ADG+S△CDG

=DG?AH+DG?OH=DG?AO=2DG

=﹣m2﹣2m=﹣（m2+4m）

=﹣（m2+4m+4﹣4）

=﹣[（m+2）2﹣4]

=﹣（m+2）2+2．

∴当m=﹣2时，S△ADC取到最大值2．

此时y D=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2=2，

即点D的坐标为（﹣2，2）；

（3）设过点E的直线与⊙M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图3，则有MF⊥EN．

∵A（﹣4，0），B（2，0），

∴AB=6，MF=MB=MA=3，

∴点M的坐标为（﹣4+3，0）即M（﹣1，0）．

∵E（﹣1，﹣5），∴ME=5，∠EMN=90°．

在Rt△MFE中，EF===4．

∵∠MEF=∠NEM，∠MFE=∠EMN=90°，

∴△MEF∽△NEM，

∴=，

∴=，

∴NM=，

∴点N的坐标为（﹣1+，0）即（，0）或（﹣1﹣，0）即（﹣，0）．设直线EN的解析式为y=px+q．

①当点N的坐标为（，0）时，

，

解得：，

∴直线EN的解析式为y=x﹣．

②当点N的坐标为（﹣，0）时，

同理可得：直线EN的解析式为y=﹣x﹣．

综上所述：所求直线的解析式为y=x﹣或y=﹣x﹣．