第一章实数集与函数
《数学分析》科目考试大纲
考试内容及要求:
第一章实数集与函数
(一)考核知识点
1.实数集的性质
2.确界定义和确界原理
3.函数的概念及表示法,分段函数,基本初等函数的性质及其图形,初等函数
4. 具有某些特性的函数
(二)考核要求
1. 实数集的性质
(1)熟练掌握:(i)实数及其性质;(ii)绝对值与不等式.
(2)深刻理解:(i)实数有序性,大小关系的传递性,稠密性,
阿基米德性,实数集对四则运算的封闭性以及实
数集与数轴上的点的一一对应关系;(ii)绝对
值的定义及性质.
(3)简单应用:(i)会比较实数的大小,能在数轴上表示不等式
的解;(ii)会利用绝对值的性质证明简单的不等
式.
(4)综合应用:会利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不
等式,会解简单的不等式.
2. 确界定义和确界原理
(1)熟练掌握:(i)区间与邻域;(ii)有界集、无界集与确界
原理.
(2)深刻理解:(i)区间与邻域的定义及表示法;(ii)确界的
定义及确界原理.
(3)简单应用:用区间表示不等式的解,证明数集的有界性,求
数集的上、下确界.
(4)综合应用:会用确界的定义证明某个实数是某数集的上确界
(或下确界),证明某数集无界.
3. 函数的概念
(1)熟练掌握:(i)函数的定义;(ii)函数的表示法;(iii)
函数的四则运算;(iv)复合函数;(v)反函
数;(vi)初等函数.
(2)深刻理解:(i)函数概念的两大要素;(ii)分段函数,掌
握整数部分函数,小数部分函数,符号函数,狄
利克雷和黎曼函数;(iii)函数能够进行四则运
算的条件;(iv)复合函数中内函数的值域与外
函数的定义域的关系;(v)反函数存在的条件.
(3)简单应用:会求函数的定义域、值域,比较几个函数的大小,
会求分段函数和复合函数的表达式,能熟练地描
绘六类基本初等函数的图像.
(4)综合应用:作简单的复合函数的图像,求函数的反函数,证
明有关的不等式,会建立简单应用问题的函数关
系.
4. 具有某些特性的函数
(1)熟练掌握:(i)有界函数;(ii)单调函数;(iii)奇函数
和偶函数;(iv)周期函数.
(2)深刻理解:(i)有界函数和无界函数的定义;(ii)单调函
数的定义及其图像的性质;(iii)奇函数和偶函
数的定义及其图像的性质;(iv)周期函数的定
义及其图像的性质..
(3)简单应用:(i)会求函数的上下界,判断无界函数;(ii)
判断函数的单调性;(iii)判断周期函数;(iv)
判断函数的奇偶性.
(4)综合应用:利用函数的各种特性解决简单的应用问题.
第二章数列极限
(一) 考核知识点
1.数列极限的定义
2.收敛数列的性质
3.数列极限存在的条件
(二) 考核要求
1. 数列极限的定义
ε定义,数(1)熟练掌握:数列的敛散性概念,数列极限的N
-
列极限的几何意义.
ε定义”的逻辑结构,深刻理(2)深刻理解:数列极限的“N
-
ε定义”
解ε的任意性,N的相应性;用“N
-
ε定义”的
证明数列的极限的表述方法;“N
-
否定说法.
(3)简单应用:能够通过观察法初步判断数列的敛散性.
ε语言”证明数列的极限存在.
(4)综合应用:会用“N
-
2. 收敛数列的性质
(1)熟练掌握:数列极限的唯一性,有界性,收敛数列的保号
性,保不等式性,迫敛性,数列极限的四则运算
法则,数列子列的概念.
(2)深刻理解:收敛数列诸性质的证明.
(3)简单应用:运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限.
(4)综合应用:运用数列极限的唯一性,收敛数列的有界性、
保号性,数列极限的迫敛性等证明数列的各种性
质,判断发散数列.
3.数列极限存在的条件
(1)熟练掌握:(i)单调有界原理;(ii)柯西收敛准则.
(2)深刻理解: 单调有界原理和柯西收敛准则的实质及其否定
命题.
(3)简单应用:会用单调有界原理证明某些极限的存在性.
(4)综合应用:会用单调有界原理和柯西收敛准则证明某些极
限问题,会用柯西收敛准则的否定命题证明数列
发散.
第三章 函数极限
(一) 考核知识点
1.函数极限的定义
2.函数极限的性质
3.函数极限存在的条件
4.两个重要的极限
5.无穷大量与无穷小量
(二) 考核要求
1.函数极限的定义
(1)熟练掌握:(i )∞→x 时函数极限的定义;(ii )0x x →时
函数极限的定义.
(2)深刻理解:(i )A x f x =∞
→)(lim 的“X -ε定义”的逻辑结构,深刻理解ε的任意性,X 的相应性;用“X
-ε定义”证明函数极限的表述方法;“X -ε定义”
的否定说法.(ii )A x f x x =→)(lim 0
的“δε-定义”的逻辑结构,深刻理解ε的任意性,δ的相应性;
用“δε-定义”证明函数极限的表述方法;单
侧极限和极限A x f x x =→)(lim 0
存在的充要条件;“δε-定义”的否定说法.
(3)简单应用: 会用“A x f x =∞
→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0
的δε-定义”证明简单函数的极限.
(4)综合应用: 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0
的δε-定义”等分析语言证明一般的函数极限问
题;用极限存在的充要条件证明极限不存在.
2.函数极限的性质
(1)熟练掌握:函数极限的唯一性,有极限的函数的局部有界性、
局部保号性、保不等式性,函数极限的迫敛性,
函数极限的四则运算法则.
(2)深刻理解:函数极限诸性质的证明.
(3)简单应用:运用函数极限的四则运算法则计算函数的极限.
(4)综合应用:运用函数极限的唯一性,局部有界性、局部保号
性,函数极限的迫敛性等证明函数的各种性质.
3.函数极限存在的条件
(1)熟练掌握:(i )归结原则;(ii )柯西收敛准则.
(2)深刻理解:归结原则和柯西收敛准则的实质.
(3)简单应用:会用归结原则证明函数的极限不存在,用柯西收
敛准则证明函数极限存在.
(4)综合应用:用柯西收敛准则的否定命题证明函数极限不存在.
4.两个重要的极限
(1)熟练掌握:1sin lim 0=→x x x ,e x x
x =??? ??+∞→11lim . (2)深刻理解:两个重要极限的证明.
(3)简单应用:利用两个重要极限求极限的方法.
(4)综合应用:综合利用归结原则和两个重要极限求极限的方法.
5.无穷小量与无穷大量
(1)熟练掌握:无穷小量,无穷大量.
(2)深刻理解:无穷小量和无穷大量的性质和关系,无穷小量的
比较.
(3)简单应用:无穷小量的比较方法,用无穷小量和无穷大量求
极限.
(4)综合应用:用等价无穷小求极限.
第四章 函数的连续性
(一)考核知识点
1.连续性概念
2.连续函数的性质
3.初等函数的连续性
(二)考核要求
1. 连续性概念
(1)熟练掌握:函数在一点的连续性,区间上的连续函数,间断
点及其分类.
(2)深刻理解:函数在一点左、右连续的概念,函数在一点的连
续的充要条件.
(3)简单应用:用定义证明函数在一点连续.
(4)综合应用:利用函数在一点的连续的充要条件证明函数在一
点连续.
2.连续函数的性质
(1)熟练掌握:连续函数的局部性质,闭区间上连续函数的基本
性质,反函数的连续性,复合函数的连续性.
(2)深刻理解:一致连续性.
(3)简单应用:用连续函数求极限.
(4)综合应用:证明函数的一致连续性,利用闭区间上连续函数
的基本性质论证某些问题.
3.初等函数的连续性
(1)熟练掌握:基本初等函数的连续性.
(2)深刻理解:初等函数在其定义的区间内连续.
(3)简单应用:证明基本初等函数在定义域内连续,判断初等函
数间断点的类型.
(4)综合应用:证明一般初等函数在定义域内连续,判断分段函
数间断点的类型.
第五章导数与微分
(一)考核知识点
1.导数的概念
2.求导法则
3.参变量函数的导数
4.高阶导数
5.微分
(二)考核要求
1.导数的概念
(1)熟练掌握:导数的定义,导函数.
(2)深刻理解:函数在一点的变化率,左、右导数,导数的几何
意义,导函数的介值性,函数可导与连续的关系.
(3)简单应用:会求函数的平均变化率,确定曲线切线的斜率,
求函数的稳定点.
(4)综合应用:求分段函数的导数,运用导数概念证明曲线的某
些几何性质.
2.求导法则
(1)熟练掌握:导数的四则运算,反函数的导数,复合导数的导
数,基本求导法则与公式.
(2)深刻理解:导数的四则运算、反函数的导数、复合导数的导
数、基本求导法则与公式的证明.
(3)简单应用:会用各种求导法则计算初等函数的导数.
(4)综合应用:综合运用各种求导法则计算函数的导数.
3.参变量函数的导数
(1)熟练掌握:参变量函数的导数的定义.
(2)深刻理解:参变量函数的导数的几何意义.
(3)简单应用:会求参变量函数所确定函数的导数.
(4)综合应用:利用参变量函数的导数证明曲线的某些几何性质.
4.高阶导数
(1)熟练掌握:高阶导数的定义.
(2)深刻理解:高阶导函数的概念.
(3)简单应用:高阶导数的计算.
(4)综合应用:利用莱布尼茨公式计算高阶导数,计算参变量函
数的高阶导数.
5.微分
(1)熟练掌握:微分概念.
(2)深刻理解:微分的几何意义,导数与微分的关系,一阶微分
形式的不变性.
(3)简单应用:微分的计算.
(4)综合应用:高阶微分的计算,微分在近似计算中的应用.
第六章微分中值定理及其应用
(一)考核知识点
1.拉格朗日定理和函数单调性
2.柯西中值定理和不定式极限
3.泰勒公式
4.函数的极值与最值
5.函数的凸性与拐点,函数图像的讨论
(二)考核要求
1.拉格朗日定理和函数单调性
(1)熟练掌握:罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,函数单调性.
(2)深刻理解:罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论、
证明方法,它们的几何意义.
(3)简单应用:判断函数是否满足罗尔中值定理和拉格朗日中值
定理,会求简单函数的中值点.
(4)综合应用:用拉格朗日中值定理证明函数的单调性,利用拉
格朗日中值定理和函数的单调性,证明某些恒等
式和不等式.
2. 柯西中值定理和不定式极限
(1)熟练掌握:柯西中值定理,不定式的极限.
(2)深刻理解:柯西中值定理的证明方法,求不定式极限的方法.
(3)简单应用:求不定式的极限.
(4)综合应用:用柯西中值定理证明某些带中值的等式.
3. 泰勒公式
(1)熟练掌握:泰勒定理,泰勒公式,麦克劳林公式.
(2)深刻理解:泰勒定理的实质,泰勒公式与拉格朗日中值定理
的关系.
(3)简单应用:利用泰勒定理展开六种函数的麦克劳林公式,余
项估计.
(4)综合应用:利用泰勒公式和等价无穷小变换计算极限,泰勒
公式在近似计算上的应用.
4. 函数的极值与最大〔小〕值
(1)熟练掌握:函数的极值与最值,取极值的必要条件,驻点.
(2)深刻理解:判断极值的两个充分条件.
(3)简单应用:会求函数极值与最值.
(4)综合应用:证明某些不等式,解决求最值的应用问题.
5. 函数的凸性与拐点,函数图像的讨论
(1)熟练掌握:函数图像的凸性与拐点,函数图像的性态.
(2)深刻理解:凸函数,函数为凸函数的充要条件,曲线的渐近
线.
(3)简单应用:判断函数图像的凸性与拐点,渐近线的求法,函
数图像的性态的讨论,简单函数图像的描绘.
(4)综合应用:利用函数的凸性证明不等式.
第七章实数的完备性
(一)考核知识点
1.关于实数集完备性的基本定理
2.闭区间上连续函数性质的证明
(二)考核要求
1.关于实数集完备性的基本定理
(1)熟练掌握:实数集完备性的意义,实数集完备性的几个基本
定理.
(2)深刻理解:区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆
盖定理的条件和结论,它们的证明方法,理解有
理数集不满足完备性定理的原因
(3)简单应用:会求数集的聚点、确界.
(4)综合应用:实数集完备性的几个基本定理的等价性证明.
2. 闭区间上连续函数性质的证明
(1)熟练掌握:闭区间上连续函数的有界性,有最大、最小值性,
介值性和一致连续性.
(2)深刻理解:闭区间上连续函数性质的证明思路和方法.
第八章不定积分
(一)考核知识点
1.不定积分概念与基本积分公式
2.换元积分法与分部积分法
3.有理函数和可化为有理函数的不定积分
(二)考核要求
1.不定积分概念与基本积分公式
(1)熟练掌握:原函数、不定积分及二者的区别,基本积分表.
(2)深刻理解:原函数与导数的关系,不定积分的基本性质,不
定积分的几何意义.
(3)简单应用:会求简单初等函数的不定积分.
(4)综合应用:根据不定积分的几何意义求曲线方程.
2.换元积分法与分部积分法
(1)熟练掌握:换元积分法,分部积分法.
(2)深刻理解:换元积分法与复合函数求导法则的关系,分部积
分法与乘积求导法的关系.
(3)简单应用:会用换元积分法与分部积分法计算简单函数的不
定积分.
(4)综合应用:综合运用换元积分法与分部积分法计算某些函数
的不定积分,证明某些递推公式.
3.有理函数和可化为有理函数的不定积分
(1)熟练掌握:有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不
定积分.
(2)深刻理解:以上各种不定积分的计算步骤.
(3)应用:会算有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不
定积分.
第九章定积分
(一)考核知识点
1.定积分概念和性质
2.可积条件
3.微积分学基本定理·定积分的计算
(二)考核要求
1.定积分概念和性质
(1)熟练掌握:定积分的实际背景,黎曼和,定积分的性质.
(2)深刻理解:构造积分和的方法,定积分及其性质的几何意义.
(3)简单应用:用定积分定义计算简单函数的定积分,利用定积
分的性质比较积分的大小,估计积分值.
(4)综合应用:用定积分定义计算某些复杂和式的极限,利用定
积分的性质证明不等式,论证函数的某些性质.
2.可积条件
(1)熟练掌握:可积的必要条件和充分条件,可积函数类.
(2)深刻理解:达布和,可积准则及其证明方法.
(3)简单应用:判断函数的可积性.
(4)综合应用:论证可积函数的某些性质.
3.微积分学基本定理和定积分的计算
(1)熟练掌握:变限定积分所确定的函数及其性质,微积分学基
本定理.
(2)深刻理解:微积分学基本定理的实质,原函数的存在性.
(3)简单应用:用牛顿——莱布尼茨公式计算定积分,用换元积
分法与分部积分法计算定积分.
(4)综合应用:综合运用各种方法计算定积分.
第十章定积分的应用
(一)考核知识点:
平面图形的面积,由平行截面面积求体积,平面曲线的弧长,旋转
曲面的面积
(二)考核要求
1.熟练掌握:用定积分表达和计算一些几何量.
2.深刻理解:定积分的应用的实质—微元法.
3.应用:计算平面图形的面积,由平行截面面积求体积,平面曲线的弧长,旋转曲面的面积.
第十一章反常积分
(一)考核知识点
1.反常积分概念
2.无穷积分的性质与收敛判别
3.瑕积分的性质与收敛判别
(二)考核要求
1.反常积分概念
(1)熟练掌握:两类反常积分的定义.
(2)深刻理解:反常积分即变限定积分的极限.
2.无穷积分的性质与收敛判别
(1)熟练掌握:无穷积分的性质,条件收敛,绝对收敛.
(2)深刻理解:比较判别法,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法.
(3)简单应用:计算无穷积分,判别无穷积分的收敛性.
(4)综合应用:运用无穷积分的性质和判别法论证某些问题.
3.瑕积分的性质与收敛判别
(1)熟练掌握:瑕积分的性质,条件收敛,绝对收敛.
(2)深刻理解:比较判别法.
(3)简单应用:计算,瑕积分,判别瑕积分的收敛性.
(4)综合应用:运用瑕积分的性质和判别法论证某些问题.
第十二章数项级数
(一)考核知识点
1.级数的收敛性
2.正项级数和一般项级数
(二)考核要求
1. 级数的收敛性
(1)熟练掌握:数项级数的定义.
(2)深刻理解:级数收敛、发散的概念,收敛级数的性质,级数
收敛的柯西准则.
(3)简单应用:判断级数的收敛和发散.
(4)综合应用:应用柯西准则讨论级数的敛散性.
2.正项级数
(1)熟练掌握:正项级数收敛的必要条件,正项级数的比较原则.
(2)深刻理解:正项级数收敛比式判别法,根式判别法和积分判
别法.
(3)简单应用:判别正项级数的收敛性.
(4)综合应用:运用正项级数收敛的必要条件,比较原则和几个
判别法等论证一些问题.
3.一般项级数
(1)熟练掌握:交错级数的概念,条件收敛与绝对收敛的概念及
关系,莱布尼茨判别法.
(2)深刻理解:绝对收敛级数的性质,狄利克雷判别法,阿贝尔
判别法.
(3)应用:判别一般项级数的收敛性.
第十三章函数列与函数项级数
(一)考核知识点
1.一致收敛性
2.一致收敛函数列与函数项级数的性质
(二)考核要求
1.一致收敛性
(1)熟练掌握:函数列与函数项级数的一致收敛性的定义,一致
收敛的充要条件.
(2)深刻理解:一致收敛定义的否定叙述,一致收敛的柯西准则,
函数列与函数项级数一致收敛性的判别法
(3)应用:会用一致收敛性的定义或判别法判别函数列的一致收
敛性,用M判别法,狄利克雷判别法,阿贝尔判别法
判别一些函数级数的一致收敛性.
2.一致收敛函数列与函数项级数的性质
(1)熟练掌握:一致收敛函数列的极限函数与函数项级数的和函
数.
(2)深刻理解:连续性,可积性,可微性定理.
(3)简单应用:由定理讨论函数项级数的和函数的连续性,可积
性,可微性.
(4)综合应用:由定理证明和函数的分析性质,计算函数项级数
的积分.
第十四章幂级数
(一)考核知识点
1.幂级数
2.函数的幂级数展开式
(二)考核要求
1.幂级数
(1)熟练掌握:幂级数的定义.
(2)深刻理解:幂级数的性质.
(3)应用:幂级数的计算,求幂级数的收敛半径、收敛域.
2.函数的幂级数展开式
(1)熟练掌握:泰勒级数定义.
(2)深刻理解:泰勒级数和麦克劳林级数.
(3)简单应用:六个常用的初等函数的麦克劳林级数.
(4)综合应用:把一些简单的函数展成泰勒级数或麦克劳林级数.第十六章多元函数的极限与连续
(一)考核知识点
1.平面点集与多元函数
2.二元函数的极限和连续性
(二)考核要求
1.平面点集与多元函数
(1)熟练掌握:二元函数和二元函数极限的定义.弄清二重极限
与累次极限的区别极其联系.
(2)深刻理解:平面点集的一些概念:邻域、内点、界点、聚点、
开区域、闭区域、有界区域、无界区域等.完备性
定理.
(3)简单应用:求函数的定义域,画定义域的图形,说明何种点
集.
(4)综合应用:判断平面点集的性质及其平面点集的聚点与界点.
2.二元函数的极限和连续性
(1)熟练掌握:二元函数的极限和连续性的概念.
(2)深刻理解:累次极限和二元连续函数的性质.
(3)简单应用:求累次极限,运用连续性定理.
(4)综合应用:会求函数的极限.讨论函数的连续性.
第十七章多元函数微分学
(一)考核知识点
1.可微性
2.复合函数微分法
3.方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题
(二)考核要求
1.可微性
(1)熟练掌握:可微与全微分定义.可微性几何意义及应用.
(2)深刻理解:可微性条件.
(3)简单应用:可微性充分条件.
(4)综合应用:求函数的导数.
2.复合函数微分法
(1)熟练掌握:复合函数的有关定义.
(2)深刻理解:复合函数的全微分
(3)简单应用:复合函数的求导法则.
(4)综合应用:求函数的偏导数或导数.
3.方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题
(1)熟练掌握:方向导数与梯度的定义.
(2)深刻理解:中值定理和极值充分条件.
(3)简单应用:熟练计算偏导数和高阶偏导数.
(4)综合应用:运用泰勒公式解决极值问题.
第十八章隐函数定理及其应用
(一)考核知识点
1.隐函数及隐函数组
2.几何应用和条件极值
(二)考核要求
1.隐函数及隐函数组
(1)熟练掌握:隐函数及隐函数组的概念,反函数组与坐标变换.
(2)深刻理解:隐函数定理和隐函数组的定理.
(3)简单应用:隐函数存在性的条件分析.
(4)综合应用:对隐函数求导.
2.几何应用和条件极值
(1)熟练掌握:平面曲线、空间曲线的切线于法平面,曲面的切
平面与法线.
(2)深刻理解:条件极值.
(3)简单应用:拉格朗日函数.
(4)综合应用:应用拉格朗日乘数法求函数的条件极值.
第十九章含参量积分
(一)考核知识点
1.含参量正常积分
2.含参量反常积分
(二)考核要求
1. 含参量正常积分
(1)熟练掌握:含参量积分的定义.
(2)深刻理解:含参量积分的连续性、可微性、可积性.
(3)简单应用:累次积分.
(4)综合应用:求函数的积分.
2. 含参量反常积分
(1)熟练掌握:含参量反常积分的定义.
(2)深刻理解:含参量反常积分的性质.
(3)简单应用:一致收敛及其判别法.
(4)综合应用:证明一致收敛性.
第二十章曲线积分
(一)考核知识点
1.第一型曲线积分
2.第二型曲线积分
(二)考核要求
1. 第一型曲线积分
(1)熟练掌握:第一型曲线积分的定义.
(2)深刻理解:第一型曲线积分的性质.
(3)应用:第一型曲线积分的计算.
2. 第二型曲线积分
(1)熟练掌握:第二型曲线积分的定义.
(2)深刻理解:第二型曲线积分的性质,第二型曲线积分与第一
型曲线积分的关系.
(3)应用:第二型曲线积分的计算.
第二十一章重积分
(一)考核知识点
1.二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算
2.格林公式?曲线积分与路线的无关性
3.二重积分的变量变换与三重积分
4.重积分的应用
(二)考核要求
1.二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算
(1)熟练掌握:二重积分的概念极其存在性,平面图形的存在性.
(2)深刻理解:二重积分的性质.二元函数的可积性定理.
(3)简单应用:直角坐标系下二重积分的计算.
(4)综合应用:计算二重积分及二重积分所围的区域.
2. 格林公式?曲线积分与路线的无关性
(1)熟练掌握:连通区域的概念,
(2)深刻理解:格林公式,积分与路线的无关性定理.
(3)简单应用:验证积分与路线无关并会求积分.
(4)综合应用:应用格林公式计算曲线积分.
3.二重积分的变量变换与三重积分
(1)熟练掌握:三重积分的概念.
(2)深刻理解:二重积分的可积函数类与性质,二重积分的变量
变换公式与化三重积分为累次积分.
(3)简单应用:用极坐标计算二重积分,会三重积分换元法.
(4)综合应用:对积分进行极坐标变换并计算二重积分.计算三重
积分及累次积分.
第二十二章曲面积分
(一)考核知识点
1.第一型曲面积分和第二型曲面积分
2.高斯公式与托克斯公式
(二)考核要求
1.第一型曲面积分和第二型曲面积分
(1)熟练掌握:第一型曲面积分和第二型曲面积分的定义及二者
之间的关系.
(2)深刻理解:第一型曲面积分和第二型曲面积分的物理背景.
(3)应用:第一型曲面积分和第二型曲面积分的计算.
2.高斯公式与托克斯公式
(1)熟练掌握:高斯公式和斯托克斯公式的物理意义.
(2)深刻理解:高斯公式和斯托克斯公式及其证明过程.
(3)应用:用高斯公式和斯托克斯公式计算曲面积分.
人教版高中数学必修一《集合与函数概念》高考分类练习题及解析
(人教版)数学必修1第一章《集合与函数概念》 高考分类练习题 一、选择题 1.【广东】已知{}213|||,|6,22A x x B x x x ? ? =+ >=+≤???? 则A B = A.[)(]3,21,2-- B.(]()3,21,--+∞ C. (] [)3,21,2-- D .(](],31,2-∞- 2.【江苏】设集合P={1,2,3,4},Q={R x x x ∈≤,2},则P ∩Q 等于 A .{1,2} B .{3,4} C .{1} D . {-2,-1,0,1,2} 3.【江苏】 设函数)(1)(R x x x x f ∈+- =,区间M=[a ,b](a
C. D. 7.【福建文】设集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则 )(B A C U 等于 A .{1,2,4} B .{4} C .{3,5} D .φ 8.【湖北理】已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为 A . 2 1x x + B .2 12x x +- C . 2 12x x + D .2 1x x +- 9.【湖北理】设集合044|{},01|{2 <-+∈=<<-=mx mx R m Q m m P 对任意实数x 恒成立},则下列关系中成立的是 A .P Q B .Q P C .P=Q D .P Q= 10.【湖北文】设B A Q x x x B N k k x x A ?∈≤=∈+==则},,6|{),,15|{等于 A .{1,4} B .{1,6} C .{4,6} D .{1,4,6} 11.【湖北文】已知4 254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有 A .最大值45 B .最小值4 5 C .最大值1 D .最小值1 12.【湖南文】函数)1 1lg(x y -= 的定义域为 A .{}0| 第一章实数集与函数 §1.1实数 教学目标:使学生掌握实数的基本性质. 教学重点:(1) 了解实数的有序性、稠密性和封闭性; (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式. 教学难点:实数集的概念及 其应用. 教学方法:讲授.(部分内容自学) 教学过程: 一、 实数及其性质 :叹嘗纟(阳为整数且q 主0)或有限小数和无限小数. 负分数,p 无理数:用无限不循环小数表示. R = {x\兀为实数} --全体实数的集合? 问题:有理数,无理数的表示不统一,这对统一讨论实数是不利的.为以下讨论的需要, 我们把“有限小数”(包括整数)也表示为“无限小数”.为此作如下规定: 对 于正有 限 小 数x = a n .其中0 人教新课标数学必修Ⅰ 1.3函数的基本性质练习题 一、选择题: 1.下面说法正确的选项 ( ) A .函数的单调区间可以是函数的定义域 B .函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C .具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D .关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2.在区间)0,(-∞上为增函数的是 ( ) A . 1=y B . 21+-= x x y C .122 ---=x x y D .2 1x y += 3.函数c bx x y ++=2 ))1,((-∞∈x 是单调函数时,b 的取值范围 ( ) A .2-≥b B .2-≤b C .2->b D . 2- C . )()(21x f x f = D .无法确定 7.函数 )(x f 在区间]3,2[-是增函数,则)5(+=x f y 的递增区间是( ) A .]8,3[ B . ]2,7[-- C .]5,0[ D .]3,2[- 8.函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数,则 ( ) A .21->k B .2 1- 第一章集合与函数的概念 龙港高中林长豪 课题:§1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。 课型:新授课 教学目标:(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系、集合相等的含义; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 教学重点:集合的基本概念与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合;教学过程: 引入课题 引例1:(数学家和牧民的故事)牧民非常喜欢数学,但不知道集合是什么,于是他请教一位数学家.集合是不定义的概念,数学家很难回答牧民的问题.有一天他来到牧场,看到牧民正把羊往羊圈里赶,等到牧民把全部羊赶入羊圈关好门.数学家灵机一动,高兴地告诉牧民:“你看这就是集合!” 2:军训时当教官一声口令:“高一(14)班同学到操场集合” 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 新课教学 (一)集合的有关概念 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集。思考1:课本P3的思考题,并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子,对学生的例子予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。 关于集合的元素的特征 (1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)集合相等:构成两个集合的元素完全一样 元素与集合的关系; (1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作a∈A (2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)A,记作aA(举例) 常用数集及其记法 第一章 实数集与函数 §1.1实数 授课章节:第一章 实数集与函数——§1.1 实数 教学目标:使学生掌握实数的基本性质. 教学重点:(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性; (2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式.(它们是分析论证的重要工具) 教学难点:实数集的概念及其应用. 教学方法:讲授.(部分内容自学) 教学过程: 引言 上节课中,我们与大家共同探讨了《分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题.从本节课开始,我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容.首先,从大家都较为熟悉的实数和函数开始. 问题: 为什么从“实数”开始. 答:《数学分析》研究的基本对象是函数,但这里的“函数”是定义在“实数集”上的(《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数).为此,我们要先了解一下实数的有关性质. 一、 实数及其性质 (一) 实数(,q p q p ??≠?? ???? 正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合. 问题: 有理数,无理数的表示不统一,这对统一讨论实数是不利的.为以下讨论的需要,我们把“有限小数”(包括整数)也表示为“无限小数”.为此作如下规定: 对于正有限小数01 ,n x a a a =其中009,1,2,,,0,i n a i n a a ≤≤=≠为非负整数,记 0119999n x a a a -=;对于正整数0,x a =则记0(1).9999 x a =-;对于负有限小数(包括负整 数)y ,则先将y -表示为无限小数,现在所得的小数之前加负号.0= 0.0000 第一章 实数集与函数 习题 §1实数 1、 设a 为有理数,x 为无理数。证明: (1)a+ x 是无理数;(2)当a ≠0时,ax 是无理数。 2、 试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)x (2x -1)>0;(2)|x-1|<|x-3|;(3)1-x -12-x ≥23-x 。 3、 设a 、b ∈R 。证明:若对任何正数ε有|a-b|<ε,则a = b 。 4、 设x ≠0,证明|x+x 1|≥2,并说明其中等号何时成立。 5、 证明:对任何x ∈R 有(1)|x-1|+|x-2|≥1;(2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。 6、 设a 、b 、c ∈+R (+R 表示全体正实数的集合)。证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。 你能说明此不等式的几何意义吗? 7、 设x>0,b>0,a ≠b 。证明x b x a ++介于1与b a 之间。 8、 设p 为正整数。证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数。 9、 设a 、b 为给定实数。试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解: (1)|x-a|<|x-b|;(2)|x-a|< x-b ;(3)|2x -a|0(a ,b ,c 为常数,且a 秋风清,秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。 授课章节:第一章 实数集与函数---§2数集和确界原理 教学目的:使学生掌握确界原理,建立起实数确界的清晰概念。 教学要求:(1)掌握邻域的概念;(2)理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题的证明中正确地加 以运用。 教学重点:确界的概念及其有关性质(确界原理)。 教学难点:确界的定义及其应用。 教学方法:讲授为主。 教学程序:先通过练习形式复习上节课的内容,以检验学习效果,此后导入新课。 引言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论;此后又让大家自学了第一章 §1实数的相关内容。下面,我们先来检验一下自学的效果如何! 1.证明:对任何x R ∈有(1)|1||2|1x x -+-≥;(2)|1||2||3|2x x x -+-+-≥. 2.证明:||||||x y x y -≤-. 3.设,a b R ∈,证明:若对任何正数ε有a b ε+<,则a b ≤. 4.设,,x y R x y ∈>,证明:存在有理数r 满足y r x <<. [引申]:①由题1可联想到什么样的结论呢?这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了!而要多想想,能否具体问题引出一般的结论:一般的方法?②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同;理论性强,概念性强,推理有理有据,而非凭空想象;③课后未布置作业的习题要尽可能多做,以加深理解,语言应用。提请注意这种差别,尽快掌握本门课程的术语和工具(至此,复习告一段落)。 本节主要内容: 1.先定义实数集R中的两类主要的数集——区间邻域;2.讨论有界集与无界集;3.由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理(确界原理)。 一 区间与邻域 1.区间(用来表示变量的变化范围) 设,a b R ∈且a b <。 集合练习题1 一、选择题 1.集合},{b a 的子集有() A .2个B .3个 C .4个 D .5个 2. 设集合{}|43A x x =-<<,{}|2B x x =≤,则A B =() A .(4,3)- B .(4,2]- C .(,2]-∞ D .(,3)-∞ 3.已知()5412 -+=-x x x f ,则()x f 的表达式是() A .x x 62+ B .782++x x C .322-+x x D .1062-+x x 4.定义集合运算:{} ,,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为() A .0 B .2 C .3 D .6 5.下列四个函数:①3y x =-;②211y x =+;③2 210y x x =+-;④(0) 1(0)x x y x x ?-≤?=?- >??. 其中值域为R 的函数有() A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 6. 已知函数212x y x ?+=?-?(0) (0)x x ≤>,使函数值为5的x 的值是() A .-2 B .2或52- C . 2或-2 D .2或-2或52 - 7.下列函数中,定义域为[0,∞)的函数是() A .x y = B .22x y -= C .13+=x y D .2)1(-=x y 8.若R y x ∈,,且)()()(y f x f y x f +=+,则函数)(x f () A .0)0(=f 且)(x f 为奇函数 B .0)0(=f 且)(x f 为偶函数 C .)(x f 为增函数且为奇函数 D .)(x f 为增函数且为偶函数 9授课章节:第一章实数集与函数---.doc
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