专训3 构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型

专训3构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型名师点金：

解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．

构造一个直角三角形解实际问题

1．【2017·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan 40°≈0.84)

(第1题)

2．【2017·鄂州】如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．

(1)求树DE的高度；

(2)求食堂MN的高度．

(第2题)

构造形如“”的两个直角三角形解实际问题

3．【2016·资阳】如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距120海里．

(1)求出此时点A到岛礁C的距离；

(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)

(第3题)

4．【2016·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m，参考数据：2≈1.4，3≈1.7)

(第4题)

5．【中考·安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡长AB＝20 m，求改造后的坡长AE(结果保留根号)．

(第5题)

构造形如“”的两个直角三角形解实际问题

6．【2016·深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)．

(第6题)

7．【2017·绍兴】如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m.

(1)求∠BCD的度数．

(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1 m，参考数据：tan 20°≈0.36，tan 18°≈0.32)

(第7题)

构造形如“”的两个直角三角形解实际问题

8．【2017·潍坊】如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5 m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5 m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14 m．求居民楼的高度．(精确到0.1 m，参考数据：3≈1.73)

(第8题)

答案

1．解：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为点C ，

(第1题)

在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ＝1.2米， ∴AC ＝AO·sin ∠AOC ≈0.64×1.2＝0.768(米)． ∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米， ∴车门不会碰到墙．

2．解：(1)设DE ＝x.∵AB ＝DF ＝2， ∴EF ＝DE －DF ＝x －2. ∵∠EAF ＝30°，

∴AF ＝EF tan ∠EAF ＝x －23

3

＝3(x －2)．

又∵CD ＝DE tan ∠DCE ＝x 3＝33x ，BC ＝AB tan ∠ACB ＝2

3

3＝23，

∴BD ＝BC ＋CD ＝23＋

33

x. 由AF ＝BD 可得3(x －2)＝23＋33

x ， 解得x ＝6.

∴树DE 的高度为6米；

(第2题)

(2)如图，延长NM 交DB 的延长线于点P ，则AM ＝BP ＝3.

由(1)知CD＝

3

3x＝

3

3×6＝23，BC＝23，

∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋4 3.

∵∠NDP＝45°，

∴NP＝PD＝3＋4 3.

∵MP＝AB＝2，

∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43，

∴食堂MN的高度为(1＋43)米．

3．解：(1)如图所示，过点C作CD⊥BA交BA延长线于点D，

(第3题)

由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，

则DC＝60海里，

故cos 30°＝DC

AC＝

60

AC＝

3

2，

则AC＝403海里．

答：点A到岛礁C的距离为403海里．

(2)如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，A′E⊥AD于点E，可得∠A′BE＝90°－75°＝15°，则∠A′BC＝30°－∠A′BE＝15°. ∴∠A′BE＝∠A′BC，即BA′平分∠CBA.

∴A′N＝A′E，又易得∠AA′E＝30°，∠A′CN＝30°，

设AA′＝x，则A′E＝

3

2x，

故CA′＝2A′N＝2A′E＝2×

3

2x＝3x，

∵3x＋x＝403，∴x＝20(3－3)海里．

答：此时“中国海监50”的航行距离为20(3－3)海里．

4．解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示．则∠G＝30°.

(第4题)

在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，则CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos 60°＝2，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin 60°＝23，∵DH⊥BG，∠G＝30°，

∴HG＝DH

tan G＝

23

tan 30°＝6，

∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8，

设AB＝x m，

∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，

∴BC＝x，BG＝AB

tan G＝

x

tan 30°＝3x，

∵BG－BC＝CG，

∴3x－x＝8，

解得：x≈11.

答：电线杆的高约为11 m.

5．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F. 在Rt△ABF中，∠ABF＝α＝60°，

∴AF＝AB·sin 60°＝20×

3

2＝103(m)．

在Rt△AEF中，β＝45°，∴AF＝EF，

∴AE＝AF2＋EF2＝（103）2＋（103）2＝106(m)．答：改造后的坡长AE为10 6 m.

(第5题)

(第6题)

6．解：如图，作AD⊥BC于D，BH⊥水平线于H，

由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，

∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，

∵AB＝4×8＝32(m)，

∴CD＝AD＝AB·sin 30°＝16 m，BD＝AB·cos30°＝16 3 m，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)m，

则BH＝BC·sin 30°＝(8＋83)m.

答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83) m.

7．解：(1)如图所示，过点C作CE⊥BD于点E，则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，

(第7题)

∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.

(2)由题意得，CE＝AB＝30 m，

在Rt△CBE中，BE＝CE·tan 20°，

在Rt△CDE中，DE＝CE·tan 18°，

∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝CE·tan 20°＋CE·tan 18°≈20.4(m)．

答：教学楼的高约为20.4 m.

8．解：设每层楼高为x m，

由题意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)，

则DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.

在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，

∴C′A′＝DC′

tan 60°＝

3

3(5x＋1)m.

在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，

∴C′B′＝

EC′

tan 30°＝3(4x＋1)m.

∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，

∴3(4x＋1)－

3

3(5x＋1)＝14.

解得x≈3.18.

∴DC＝DC′＋CC′＝5x＋1＋1.5≈18.4(m)．答：居民楼的高度约为18.4 m.