matlab 插值法

实验五插值法

5.1实验目的

掌握插值的基本思想与方法，会借助数学软件Matlab求解并讨论其收敛性．5.2实验内容

1、Lagrange插值法、Newton插值法的Matlab求解方法，在对Runge现象的观察基础上，了解高次插值的不稳定性及其改进方法；

2、熟悉Matlab中的插值求解函数，掌握三次样条插值的Matlab求解；

3、会求解某些简单的实际问题．

5.3实验步骤

5.5.1 Lagrange插值法和Newton插值法

教师示范：通过计算实例，学习Lagrange插值法和Newton插值法的Matlab 程序编制及其应用．

实例1. 拉格朗日插值法计算插值.

已知：x：0 1 2 3

y：-5 -6 -1 16，

求x从0到3间隔0.1的函数值.

实例2. 拉格朗日插值法求插值多项式.程序见interpEg3.m.

Lagrange插值:自编程序,interpH.m的M文件，yi=interpH(x,y,xi).

Newton插值:自编程序, newinter.m的M文件，yi=newinter(x,y,xi).

5.5.2 Runge现象

教师示范：观察Rung现象，了解高次插值的不稳定性．程序参见rungeinterp.m．

5.5.3 分段低次插值和三次样条插值

学习Matlab的插值求解命令。

分段线性插值: yi=interp1(x,y,xi,’linear’,’pp’)

三次样条插值:yi=interp1(x,y,xi,’spline’,’pp’)

或yi=spline(x,y,xi)

二维插值: interp2(x,y,z,xi,yi,’spline’)

griddata(x,y,z,xi,yi)

教师示范：机翼下轮廓线，见PPT文件。

学生练习1：对5.5.2中的问题分别采用分段线性插值和三次样条插值求解，了解消除Rung现象的基本思路和低次插值的优点．

学生练习2：画手练习.

在Matlab中输入命令：

figure('position',get(0,'screensize'))

axes('position',[0 0 1 1])

[x,y] = ginput;

将你的手放在屏幕上，沿着手的边界，用鼠标点击选取一些点，按回车键结

束选取。Matlab 中的鼠标点击命令是ginput 。

将你刚刚选取的手的轮廓点作为一组观测点(,),0,1,...,i i x y i n ，做分段线性插值或三次样条插值并作图，你将得到你的手的外形，如图1所示。试用不同的插值方法来作图，比较它们的优劣。（注意：将你的数据保存好，以后实验还会用到！）

三次样条的作图程序可参照：

n = length(x);

s = (1:n)';

t = (1:.05:n)';

u = spline(s,x,t);

v = spline(s,y,t);

clf reset

plot(x,y,'.',u,v,'-');

图1. 一只手

牛顿插值法原理及应用

牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。插值函数插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序程序框图#include void main() { float x[11],y[11][11],xx,temp,newton; int i,j,n; printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x="); scanf("%f",&xx); printf("请输入插值的次数(n<11):n="); scanf("%d",&n); printf("请输入%d组值:\n",n+1); for(i=0;i

matlab插值法实例

Several Typical Interpolation in Matlab Lagrange Interpolation Supposing： If x=175, while y=? Solution： Lagrange Interpolation in Matlab: function y=lagrange(x0,y0,x); n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end input： x0=[144 169 225] y0=[12 13 15] y=lagrange(x0,y0,175) obtain the answer： x0 = 144 169 225 y0 = 12 13 15 y = 13.2302

Spline Interpolation Solution ： Input x=[ 1 4 9 6]；y=[ 1 4 9 6]；x=[ 1 4 9 6]；pp=spline(x,y) pp = form: 'pp' breaks: [1 4 6 9] coefs: [3x4 double] pieces: 3 order: 4 dim: 1 output : pp.coefs ans = -0.0500 0.5333 -0.8167 1.0000 -0.0500 0.0833 1.0333 2.0000 -0.0500 -0.2167 0.7667 4.0000 It shows the coefficients of cubic spline polynomial , so: S （x ）=, 169,3)9(1484.0)9(0063.0)9(0008.0,94,2)4(2714.0)4(0183.0)4(0008 .0, 41,1)1(4024.0)1(0254.0)1(0008.0232 3 23≥≤+-+---≥≤+-+---≥≤+-+---x x x x x x x x x x x x Newton’s Interpolation Resolve 65 Solution: Newton’s Interpolation in matlab ： function yi=newint(x,y,xi); n=length(x); ny=length(y); if n~=ny error end Y=zeros(n);Y(:,1)=y';

三次样条插值---matlab实现

计算方法实验—三次样条插值机电学院075094-19 苏建加 20091002764 题目：求压紧三次样条曲线，经过点（-3,2），（-2,0），（1,3），（4,1），而且一阶导数边界条件S'(-3)=-1;S'（4）=1。解：首先计算下面的值：记 1--=j j j x x h ； 1++=j j j j h h h u ；1=+j j u λ ； ?? ????????---+=-++++-j j j j j j j j j j j h y y h y y h h x x x f 1111 111],,[ ；M j =)(''j x s ;],,[611+-=j j j j x x x f d ; h1=-2-(-3)=1;h2=1-(-2)=3;h3=4-1=3; u1=1/4;u2=3/6; d1=6/4*(3/3-(-2)/1)=4.5;d2=6/6*(-2/3-3/3)=-5/3; 由于边界条件S'(-3)=-1;S'（4）=1,得到如下式子： d0=6/1*(-2/1-(-1))=-6； d3=6/3*(1-(-2)/3)=10/3; 所以得到4个含参数m0~m3 的线性代数方程组为： 2.0000 1.0000 0 0 m0 0.2500 2.0000 0.7500 0 m1 0 0.5000 2.0000 0.5000 m2 0 0 1.0000 2.0000 m3 利用matlab 求解方程得： m = -4.9032 3.8065 -2.5161 2.9247 所以 S1(x)=-0.8172*(-2-x)^3+ 0.6344*(x+3)^3+2.8172*(-2-x)-0.6344*(x+3) x ∈[-3，-2] S2(x)=0.2115*(1-x)^3 -0.1398*(x+2)^3- 1.9032*(1-x)+ 2.2581*(x+2) x ∈[-2，1] S3(x)=-0.1398*(4-x)^3+0.1625(x-1)^3+ 2.2581*(4-x)-1.1290*(x-1) x ∈[1，4] 化简后得：S1(x)=1.4516*x^3 + 10.6128*x^2 + 23.4836*x + 16.1288 x ∈[-3，-2] S2(x)=-0.3513x^3-0.2043x^2+1.8492x+1.7061 x ∈[-2，1] S3(x)=0.3023x^3-2.1651x^2+3.8108x+1.0517 x ∈[1，4] 画图验证：

matlab实现数值分析报告插值及积分

Matlab实现数值分析插值及积分摘要：数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。在实际生产实践中，常常将实际问题转化为数学模型来解决，这个过程就是数学建模。学习数值分析这门课程可以让我们学到很多的数学建模方法。分别运用matlab数学软件编程来解决插值问题和数值积分问题。题目中的要求是计算差值和积分，对于问题一，可以分别利用朗格朗日插值公式，牛顿插值公式，埃特金逐次线性插值公式来进行编程求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为：=+。其中Aitken插值计算的结果图如下：对于问题二，可以分别利用复化梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式编写程序来进行求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为： 0.6932 其中复化梯形公式计算的结果图如下：

问题重述问题一：已知列表函数表格 1 分别用拉格朗日，牛顿，埃特金插值方法计算。问题二：用复化的梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式计算积分，使精度小于5。问题解决问题一：插值方法对于问题一，用三种差值方法：拉格朗日，牛顿，埃特金差值方法来解决。一、拉格朗日插值法：拉格朗日插值多项式如下：首先构造1+n 个插值节点n x x x ,,,10 上的n 插值基函数，对任一点i x 所对应的插值基函数 )(x l i ，由于在所有),,1,1,,1,0(n i i j x j +-=取零值，因此)(x l i 有因子 )())(()(110n i i x x x x x x x x ----+- 。又因)(x l i 是一个次数不超过n 的多项式，所以只可能相差一个常数因子，固)(x l i 可表示成： )())(()()(110n i i i x x x x x x x x A x l ----=+- 利用1)(=i i x l 得：

Matlab中插值函数汇总和使用说明

MATLAB中的插值函数命令1：interp1 功能：一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 x：原始数据点 Y：原始数据点 xi：插值点 Yi：插值点格式 (1) yi = interp1(x,Y,xi) 返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y 的内插值决定。参量x 指定数据Y 的点。若Y 为一矩阵，则按Y 的每列计算。yi 是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。 (2) yi = interp1(Y,xi) 假定x=1:N，其中N 为向量Y 的长度，或者为矩阵Y 的行数。 (3) yi = interp1(x,Y,xi,method) 用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ’spline’：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1 调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。命令spline 用它们执行三次样条函数插值； ’pchip’：分段三次Hermite 插值。对于该方法，命令interp1 调用函数pchip，用于对向量x 与y 执行分段三次内插值。该方法保留单调性与数据的外形； ’cubic’：与’pchip’操作相同； ’v5cubic’：在MATLAB 5.0 中的三次插值。对于超出x 范围的xi 的分量，使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应地将返回NaN。对其他的方法，interp1 将对超出的分量执行外插值算法。 (4)yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap') 对于超出x 范围的xi 中的分量将执行特殊的外插值法extrap。 (5)yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval) 确定超出x 范围的xi 中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN 或0。

MATLAB三次样条插值之三弯矩法

MATLAB三次样条插值之三弯矩法首先说这个程序并不完善，为了实现通用（1，2，…，n）格式解题，以及为调用追赶法程序，没有针对节点数在三个以下的情况进行分类讨论。希望能有朋友给出更好的方法。首先，通过函数 sanwanj得到方程的系数矩阵，即追赶法方程的四个向量参数，接下来调用追赶法（在intersanwj函数中），得到三次样条分段函数系数因子，然后进行多项式合并得到分段函数的解析式，程序最后部分通过判断输入值的区间自动选择对应的分段函数并计算改点的值。附：追赶法程序 chase %%%%%%%%%%%%%% function [newv,w,newu,newd]=sanwj(x,y,x0,y0,y1a,y1b) % 三弯矩样条插值 % 将插值点分两次输入，x0 y0 单独输入 % 边值条件a的二阶导数 y1a 和b的二阶导数 y1b，这里建议将y1a和y1b换成y2a和 y2b，以便于和三转角代码相区别 n=length(x);m=length(y); if m~=n error('x or y 输入有误，再来'); end v=ones(n-1,1);u=ones(n-1,1);d=zeros(n-1,1); w=2*ones(n+1); h0=x(1)-x0; h=zeros(n-1,1); for k=1:n-1 h(k)=x(k+1)-x(k); end v(1)=h0/(h0+h(1)); u(1)=1-v(1); d(1)=6*((y(2)-y(1))/h(1)-(y(1)-y0)/h0)/(h0+h(1)); % for k=2:n-1 v(k)=h(k-1)/(h(k-1)+h(k)); u(k)=1-v(k); d(k)=6*((y(k+1)-y(k))/h(k)-(y(k)-y(k-1))/h(k-1))/(h(k-1)+h(k)); end newv=[v;1]; newu=[1;u]; d0=6*((y(1)-y0)/h0-y1a)/h0;

拉格朗日插值matlab程序

拉格朗日插值的调用函数 function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); L=0.0; for j=1:n T=1.0; for k=1:n if k~=j T=T*(z-x0(k))/(x0(j)-x0(k)); end end L=T*y0(j)+L; end y(i)=L; end 四个图在一起： x=[-1:0.05:1]; y=1./(1+25*x.^2); x0=[-1:0.4:1]; y0=1./(1+25*x0.^2); y1=lagrange(x0,y0,x); x0=[-1:0.2:1]; y0=1./(1+25*x0.^2); y2=lagrange(x0,y0,x); x0=[-1:0.1:1]; y0=1./(1+25*x0.^2); y3= lagrange(x0,y0,x); plot(x,y,'-r') hold on plot(x,y1,'-b',x,y2,'-r',x,y3,'-r')

l5和fx在一起： x=[-1:0.05:1]; y=1./(1+25*x.^2); x0=[-1:0.4:1]; y0=1./(1+25*x0.^2); y1=lagrange(x0,y0,x); plot(x,y,'-r') hold on plot(x,y1,'-b') l10和fx在一起： x=[-1:0.05:1]; y=1./(1+25*x.^2); x0=[-1:0.2:1]; y0=1./(1+25*x0.^2); y2= lagrange(x0,y0,x); plot(x,y,'-r') hold on plot(x,y2,'-b') l20和fx在一起： x=[-1:0.05:1]; y=1./(1+25*x.^2); x0=[-1:0.1:1]; y0=1./(1+25*x0.^2); y3= lagrange(x0,y0,x); plot(x,y,'-r') hold on plot(x,y3,'-b')

三次样条插值的Matlab实现(自然边界和第一边界条件)

（第一边界条件）源代码：function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x)_____________(1) %第一类边界条件下三次样条插值； %xi所求点； %yi所求点函数值； %x已知插值点； %y已知插值点函数值； %f_0左端点一次导数值； %f_n右端点一次导数值； n = length(x0); z = length(y0); h = zeros(n-1,1); k=zeros(n-2,1); l=zeros(n-2,1); S=2*eye(n); fori=1:n-1 h(i)= x0(i+1)-x0(i); end fori=1:n-2 k(i)= h(i+1)/(h(i+1)+h(i)); l(i)= 1-k(i);

end %对于第一种边界条件： k = [1;k];_______________________(2) l = [l;1];_______________________(3) %构建系数矩阵S： fori = 1:n-1 S(i,i+1) = k(i); S(i+1,i) = l(i); end %建立均差表： F=zeros(n-1,2); fori = 1:n-1 F(i,1) = (y0(i+1)-y0(i))/(x0(i+1)-x0(i)); end D = zeros(n-2,1); fori = 1:n-2 F(i,2) = (F(i+1,1)-F(i,1))/(x0(i+2)-x0(i)); D(i,1) = 6 * F(i,2); end %构建函数D： d0 = 6*(F(1,2)-f_0)/h(1);___________(4)

matlab插值法,迭代法程序

数值分析作业姓名王建忠学号132080202006 学院能源与动力工程专业机械电子工程 2013年12月16日

https://www.360docs.net/doc/9015531511.html,grange插值多项式程序 function f=nalagr(x,y,xx) %x为节点向量 %y为节点函数值 %xx是插值点 syms s if(length(x)==length(y)) n=length(x); else disp('x和y的维数不相等!'); return; end f=0.0; for(i=1:n) l=y(i); for(j=1:i-1) l=l*(s-x(j))/(x(i)-x(j)); end; for(j=i+1:n) l=l*(s-x(j))/(x(i)-x(j));%计算拉格朗日基函数end; f=f+l;%计算拉格朗日插值函数 simplify(f); if(i==n) if(nargin==3) f=subs(f,'s');%计算插值点的函数值else f=collect(f);%将插值多项式展开 f=vpa(f,6);%将插值多项式的系数化成6位精度的小数 end end end >>x=[-2,-1,0,1];%已知节点向量y=[3,1,1,6];%节点函数值向量 f=nalagr(x,y) f= 0.5*s^3+ 2.5*s^2+ 2.0*s+ 1.0 >>f=nalagr(x,y,0) f=1 >>

2.牛顿插值多项式程序 function[p2,z]=newTon(x,y,t) %输入参数中x,y为元素个数相等的向量，t为待估计的点，可以为数字或向量。%输出参数中p2为所求得的牛顿插值多项式，z为利用多项式所得的t的函数值。 n=length(x); chaS(1)=y(1); for i=2:n x1=x;y1=y; x1(i+1:n)=[]; y1(i+1:n)=[]; n1=length(x1); s1=0; for j=1:n1 t1=1; for k=1:n1 if k==j continue; else t1=t1*(x1(j)-x1(k)); end end s1=s1+y1(j)/t1; end chaS(i)=s1; end b(1,:)=[zeros(1,n-1)chaS(1)]; cl=cell(1,n-1); for i=2:n u1=1; for j=1:i-1 u1=conv(u1,[1-x(j)]); cl{i-1}=u1; end cl{i-1}=chaS(i)*cl{i-1}; b(i,:)=[zeros(1,n-i),cl{i-1}]; end p2=b(1,:); for j=2:n p2=p2+b(j,:); end if length(t)==1 rm=0;

matlab插值(详细全面)

Matlab中插值函数汇总和使用说明 MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为： yi= interp1(x,y,xi,'method') 其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量， 'method'表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有几种： 'method'是最邻近插值， 'linear'线性插值； 'spline'三次样条插值； 'cubic'立方插值．缺省时表示线性插值注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。例如：在一天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为 12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，推测中午12点（即13点）时的温度． x=0:2:24; y=[12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13]; a=13; y1=interp1(x,y,a,'spline') 结果为： 27.8725 若要得到一天24小时的温度曲线，则： xi=0:1/3600:24; yi=interp1(x,y,xi, 'spline'); plot(x,y,'o' ,xi,yi)

命令1 interp1 功能一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 x：原始数据点 Y：原始数据点 xi：插值点 Yi：插值点格式 (1)yi = interp1(x,Y,xi) 返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x 与Y 的内插值决定。参量x 指定数据Y 的点。若Y 为一矩阵，则按Y 的每列计算。yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。(2)yi = interp1(Y,xi) 假定x=1:N，其中N 为向量Y 的长度，或者为矩阵Y 的行数。 (3)yi = interp1(x,Y,xi,method) 用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ’spline’：三次样条函数插值。对于该方法，命令interp1 调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。命令spline 用它们执行三次样条函数插值； ’pchip’：分段三次Hermite 插值。对于该方法，命令interp1 调用函数pchip，用于对

三次样条插值的MATLAB实现

MATLAB 程序设计期中考查在许多问题中，通常根据实验、观测或经验得到的函数表或离散点上的信息，去研究分析函数的有关特性。其中插值法是一种最基本的方法，以下给出最基本的插值问题——三次样条插值的基本提法：对插值区间[]b a ,进行划分：b x x x a n ≤

MATLAB三次样条插值之三转角法

非常类似前面的三弯矩法，这里的sanzhj函数和intersanzhj作用相当于前面的sanwanj和intersanwj，追赶法程序通用，代码如下。 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [newu,w,newv,d]=sanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b) % 三转角样条插值 % 将插值点分两次输入，x0 y0 单独输入 % 边值条件a的一阶导数 y1a 和b的一阶导数 y1b n=length(x);m=length(y); if m~=n error('x or y 输入有误，再来'); end v=ones(n-1,1); u=ones(n-1,1); d=zeros(n-1,1); w=2*ones(n-1,1); h0=x(1)-x0; h=zeros(n-1,1); for k=1:n-1 h(k)=x(k+1)-x(k); end v(1)=h0/(h0+h(1)); u(1)=1-v(1); d(1)=3*(v(1)*(y(2)-y(1))/h(1)+u(1)*((y(1)-y0))/h0); % for k=2:n-1 v(k)=h(k-1)/(h(k-1)+h(k)); u(k)=1-v(k); d(k)=3*(v(k)*(y(k+1)-y(k))/h(k)+u(k)*(y(k)-y(k-1))/h(k-1)); end d(1)=d(1)-u(1)*y1a; d(n-1)=d(n-1)-v(n-1)*y1b; newv=v(1:n-2,:); newu=u(2:n-1,:); %%%%%%%%%%%% function intersanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b) % 三转角样条插值

matlab牛顿插值法例题与程序

题目一：多项式插值某气象观测站在8：00（AM ）开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数（Newton ）逼近如下曲线，插值节点数据如上表，并求出9点30分该地区的温度（x=10）。二、数学原理假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x 0，y 0），……（x n ，y n ），插值多项式有如下形式：）（））（（）（）（）（n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -??-+??+-++=αααα （1）其中系数i α（i=0,1,2……n ）为特定系数，可由插值样条i i n y x P =）（（i=0,1,2……n ）确定。根据均差的定义，把x 看成[a,b]上的一点,可得 f(x)= f （0x ）+f[10x x ，]（0x -x ） f[x, 0x ]= f[10x x ，]+f[x,10x x ，] （1x -x ） …… f[x, 0x ，…x 1-n ]= f[x, 0x ，…x n ]+ f[x, 0x ，…x n ](x-x n ) 综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到： f(x)= f[0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+ f[210x x x ，，]（0x -x ）（1x -x ）+ …+ f[x, 0x ，…x n ]（0x -x ）…(x-x 1-n )+ f[x, 0x ，…x n ,x ]）（x 1n +ω= N n （x ）+）（x n R 其中

N n （x ）= f[0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+ f[210x x x ，，]（0x -x ）（1x -x ）+ …+ f[x, 0x ，…x n ]（0x -x ）…(x-x 1-n ) （2））（x n R = f(x)- N n （x ）= f[x, 0x ， (x) n ,x ]）（x 1n +ω （3））（x 1n +ω=（0x -x ）…(x-x n ) Newton 插值的系数i α（i=0,1,2……n ）可以用差商表示。一般有 f k =α[k 10x x x ??，] （k=0,1,2，……，n ）（4）把（4）代入（1）得到满足插值条件N ）（）（i i n x f x =（i=0,1,2，……n ）的n 次Newton 插值多项式 N n （x ）=f （0x ）+f[10x x ，]（1x -x ）+f[210x x x ，，]（1x -x ）（2x -x ）+……+f[n 10x x x ??，]（1x -x ）（2x -x ）…（1-n x -x ）. 其中插值余项为：）（）！（）（）（）（）（x 1n f x N -x f x R 1n 1 n n +++==ωξ ξ介于k 10x x x ??，之间。三、程序设计 function [y,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M) % y 为对应x 的值，A 为差商表，C 为多项式系数，L 为多项式 % X 为给定节点，Y 为节点值，x 为待求节点 n=length(X); m=length(x); % n 为X 的长度 for t=1:m

牛顿插值MATLAB算法

MATLAB程序设计期中作业 ——编程实现牛顿插值成员:刘川（P091712797）签名＿＿＿＿＿汤意（P091712817）签名＿＿＿＿＿王功贺（P091712799）签名＿＿＿＿＿班级:2009信息与计算科学学院:数学与计算机科学学院日期:2012年05月02日

牛顿插值的算法描述及程序实现一：问题说明在我们的实际应用中，通常需要解决这样的问题，通过一些已知的点及其对应的值，去估算另外一些点的值，这些数据之间近似服从一定的规律，于是，这就引入了插值法的思想。插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。二：算法分析 newton 插值多项式的表达式如下： 010011()()()()()n n n N x c c x x c x x x x x x -=+-+???+--???- 其中每一项的系数c i 的表达式如下： 12011010 [,,,][,,,] [,,,]i i i i i f x x x f x x x c f x x x x x -???-???=???= - 即为f (x)在点01,,,i x x x ???处的i 阶差商，（[]()i i f x f x =，1,2,,i n = ），由差商01[,,,]i f x x x ???的性质可知： () 010 1 [,,,]()i i i j j k j k k j f x x x f x x x ==≠???=-∑∏ 牛顿插值的程序实现方法：第一步：计算[][][][]001012012,,,,,,,n f x f x x f x x x f x x x x 、、、、。第二步：计算牛顿插值多项式中01[,,,]i f x x x ???011()()()i x x x x x x ---???-，1,2,,i n = ，得到n 个多项式。

函数的插值方法及matlab程序

6.1 插值问题及其误差 6.1.2 与插值有关的MATLAB 函数 (一) POLY2SYM函数调用格式一：poly2sym (C) 调用格式二：f1=poly2sym(C,'V') 或f2=poly2sym(C, sym ('V') ), (二) POLYVAL函数调用格式：Y = polyval(P,X) (三) POLY函数调用格式：Y = poly (V) (四) CONV函数调用格式：C =conv (A, B) 例 6.1.2求三个一次多项式、和的积.它们的零点分别依次为0.4,0.8,1.2. 解我们可以用两种MATLAB程序求之. 方法1如输入MATLAB程序 >> X1=[0.4,0.8,1.2]; l1=poly(X1), L1=poly2sym (l1) 运行后输出结果为 l1 = 1.0000 - 2.4000 1.7600 -0.3840 L1 = x^3-12/5*x^2+44/25*x-48/125 方法2如输入MATLAB程序 >> P1=poly(0.4);P2=poly(0.8);P3=poly(1.2); C =conv (conv (P1, P2), P3) , L1=poly2sym (C) 运行后输出的结果与方法1相同. (五) DECONV 函数调用格式：[Q,R] =deconv (B,A) (六) roots(poly(1:n))命令调用格式：roots(poly(1:n)) (七) det(a*eye(size (A)) - A)命令调用格式：b=det(a*ey e(size (A)) - A) 6.2 拉格朗日（Lagrange）插值及其MATLAB程序 6.2.1 线性插值及其MATLAB程序例 6.2.1 已知函数在上具有二阶连续导数，，且满足条件 .求线性插值多项式和函数值，并估计其误差. 解输入程序 >> X=[1,3];Y=[1,2]; l01= poly(X(2))/( X(1)- X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2)- X(1)), l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=1.5; Y = polyval(P,x) 运行后输出基函数l0和l1及其插值多项式的系数向量P（略）、插值多项式L和插值Y为l0 = l1 = L = Y = -1/2*x+3/2 1/2*x-1/2 1/2*x+1/2 1.2500 输入程序 >> M=5;R1=M*abs((x-X(1))* (x-X(2)))/2

Matlab求解插值问题

Matlab求解插值问题在应用领域中，由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。实例：海底探测问题某公司用声纳对海底进行测试，在5×5海里的坐标点上测得海底深度的值，希望通过这些有限的数据了解更多处的海底情况。并绘出较细致的海底曲面图。 1、一元插值一元插值是对一元数据点(x i,y i)进行插值。线性插值：由已知数据点连成一条折线，认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。一般来说，数据点数越多，线性插值就越精确。调用格式：yi=interp1(x,y,xi,’linear’) %线性插值 zi=interp1(x,y,xi,’spline’) %三次样条插值 wi=interp1(x,y,xi,’cubic’) %三次多项式插值说明：yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。x、y为已知数据点。例：已知数据：求当x i=0.25时的y i的值。程序： x=0:.1:1; y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1 .6 .4 .8 1.5 2]; yi0=interp1(x,y,0.025,'linear') xi=0:.02:1; yi=interp1(x,y,xi,'linear'); zi=interp1(x,y,xi,'spline'); wi=interp1(x,y,xi,'cubic'); plot(x,y,'o',xi,yi,'r+',xi,zi,'g*',xi,wi,'k.-') legend('原始点','线性点','三次样条','三次多项式') 结果：yi0 = 0.3500

三次样条插值的Matlab实现(自然边界和第一边界条件)(精)

(第一边界条件源代码: function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x _____________(1 %第一类边界条件下三次样条插值; %xi 所求点; %yi所求点函数值; %x 已知插值点; %y 已知插值点函数值; %f_0左端点一次导数值; %f_n右端点一次导数值; n = length(x0; z = length(y0; h = zeros(n-1,1; k=zeros(n-2,1; l=zeros(n-2,1; S=2*eye(n; fori=1:n-1 h(i= x0(i+1-x0(i; end fori=1:n-2

k(i= h(i+1/(h(i+1+h(i; l(i= 1-k(i; end %对于第一种边界条件: k = [1;k]; _______________________(2 l = [l;1]; _______________________(3 %构建系数矩阵 S : fori = 1:n-1 S(i,i+1 = k(i; S(i+1,i = l(i; end %建立均差表: F=zeros(n-1,2; fori = 1:n-1 F(i,1 = (y0(i+1-y0(i/(x0(i+1-x0(i; end D = zeros(n-2,1; fori = 1:n-2 F(i,2 = (F(i+1,1-F(i,1/(x0(i+2-x0(i; D(i,1 = 6 * F(i,2;

end %构建函数 D : d0 = 6*(F(1,2-f_0/h(1; ___________(4 dn = 6*(f_n-F(n-1,2/h(n-1; ___________(5 D = [d0;D;dn]; ______________(6 m= S\D; %寻找 x 所在位置,并求出对应插值: fori = 1:length(x for j = 1:n-1 if (x(i<=x0(j+1&(x(i>=x0(j y(i =( m(j*(x0(j+1-x(i^3/(6*h(j+... (m(j+1*(x(i-x0(j^3/(6*h(j+... (y0(j-(m(j*h(j^2/6*(x0(j+1-x(i/h(j+... (y0(j+1-(m(j+1*h(j^2/6*(x(i-x0(j/h(j ; break; else continue; end end end (2 (自然边界条件源代码: 仅仅需要对上面部分标注的位置做如下修改 :

牛顿插值法的MATLAB综合程序

6.3.5 牛顿插值法的MATLAB 综合程序求牛顿插值多项式、差商、插值及其误差估计的MATLAB 主程序 function [y,R,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M) n=length(X); m=length(x); for t=1:m z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y'; s=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j; end C=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n))); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); end R=M*q1/c1;L(k,:)=poly2sym(C); 例6.3.6 给出节点数据00.27)00.4(=-f ，00.1)00.0(=f ，00.2)00.1(=f ，00.17)00.2(=f ，作三阶牛顿插值多项式，计算)345.2(-f ，并估计其误差. 解首先将名为newdscg.m 的程序保存为M 文件，然后在MATLAB 工作窗口输入程序 >> syms M,X=[-4,0,1,2]; Y =[27,1,2,17]; x=-2.345; [y,R,A,C,P]=newdscg(X,Y,x,M) 运行后输出插值y )345.2(-≈f 及其误差限公式R ，三阶牛顿插值多项式P 及其系数向量C ，差商的矩阵A 如下 y = 22.3211 R = 65133/562949953421312*M （即R =2.3503*M ） A= 27.0000 0 0 0 1.0000 -6.5000 0 0 2.0000 1.0000 1.5000 0 17.0000 15.0000 7.0000 0.9167 C = 0.9167 4.2500 -4.1667 1.0000 P = 11/12*x^3+17/4*x^2-25/6*x+1

均差牛顿插值MATLAB,M文件

%均差牛顿插值 function [ f y f0 ] = newton1( X,Y,x0 ) if nargin<3 error('Requires at least three input arguments.'); end if length(X)==length(Y) n=length(X); else error('length must equal') end syms x s=Y(1); l=1.0; y=zeros(n); y(1:n,1)=Y'; for i=2:n for j=2:i y(i,j)=(y(i,j-1)-y(j-1,j-1))/(X(i)-X(j-1)); if i==j l=l*(x-X(i-1)); s=s+y(i,i)*l; end end end f=simple(s); f0=subs(f,x0); function [ f f0 y] = newton2( X,Y,x0 ) if nargin<3 error('Requires at least three input arguments.'); end if length(X)==length(Y) n=length(X); else error('length must equal') end syms x s=Y(1); l=1.0; y=zeros(n) y(1:n,1)=Y'; for i=2:n for j=2:i y(i,j)=(y(i,j-1)-y(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); if i==j l=l*(x-X(i-1)); s=s+y(i,i)*l; end end end f=simple(s); f0=subs(f,x0);