安徽省合肥市2018届高三第三次(5月)(三模)数学(理)试卷(含答案)

合肥市2018年高三第三次教学质量检测

数学试题(理科)

(考试时间：120分钟 满分：150分)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数2i

1i

z =

+(i 为虚数单位)，则z = A.3 B.2 C.3 D.2

2.已知集合{}220A x R x x =∈-≥，{}2210B x R x x =∈--=，则()C R A B =I

A.?

B.12??

-????

C.{}1

D. 1 12??-????，

3.已知椭圆22

22:1y x E a b

+=(0a b >>)经过点A ()

5 0，

，()0 3B ，，则椭圆E 的离心率为 A.23 B.5 C.49 D.5

9

4.已知111 2 3 23α?

?∈-???

?，，，，，若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，

上单调递增，则实数α的值是 A.-1，3 B.13，3 C.-1，13，3 D. 13，1

2

，

3

5.若l m ，为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”

是“m l ⊥”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知()()*12n

x n N -∈展开式中3x 的系数为80-，则展开式中所

有项的二项式系数之和为

A.64

B.32

C.1

D.1-

7.已知非零实数a b ，满足a a b b >，则下列不等式一定成立的是

A.33a b >

B.22a b >

C.

11

a b

< D.112

2

log log a b <

8.运行如图所示的程序框图，若输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是

A.3?k <

B.4?k <

C.5?k <

D.6?k < 9.若正项等比数列{}n a 满足()2*12n n n a a n N +=∈，则65a a -的值是

A.2

B.162-

C.2

D.162

10.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有

A.24

B.48

C.96

D.120

11.我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍

童.如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为

A.125

B.40

C.16123+

D.16125+ 12.已知函数()22f x x x a =---有零点12x x ，，函数

()2(1)2g x x a x =-+-有零点34x x ，，且3142x x x x <<<，则实数a 的

取值范围是

A.924??-- ???，

B.9 04??- ???

， C.(-2，0)

D.()1 +∞，

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题—第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡相应的位置.

(13)若实数x y ，满足条件1010330x y x y x y +-≥??

--≤??-+≥?

，则2z x y =-的最大值为 .

(14)已知()

23 0OA =u u r ，，()0 2OB =uu u r ，

，AC t AB t R =∈u u u r u u u r

，，当OC uuu r 最小时，t = . (15)在ABC ?中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，.若45A =o ，2sin sin 2sin b B c C a A -=，

且ABC ?的面积等于3，则b = .

(16)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，若数列{

}

n S n +也是公差为d 的等差数列，

则=n a .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)

已知函数()13sin cos cos 223f x x x x π?

?=-- ??

?.

(Ⅰ)求函数()f x 图象的对称轴方程；

(Ⅱ)将函数()f x 图象向右平移4π个单位，所得图象对应的函数为()g x .当0 2x π??∈????

，时，求函数()g x 的值域.

(18)(本小题满分12分)

2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？

(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加

收看 没收看 男生 60 20 女生 20 20

2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.

(ⅰ)问男、女学生各选取了多少人？

(ⅱ)若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X .

附：()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++，其中n a b c d =+++.

(19)(本小题满分12分)

如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE P 12

AC ，AD=BD=1. (Ⅰ)求AB 的长；

(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.

(20)(本小题满分12分)

已知抛物线2:2C y px =(0p >)的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F.若圆M 的面积最小值为π.

(Ⅰ)求p 的值；

(Ⅱ)当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦MA MB ，，且满足AMF BMF ∠=∠.若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程.

(21)(本小题满分12

分)

已知函数()212

x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，(e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)求证：()()122f x f x +>.

请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x y ?=-????

=??(t 为参数)，圆C 的方程为

()()22

215x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

E

D

C

B

A

(Ⅰ)求直线l 及圆C 的极坐标方程；

(Ⅱ)若直线l 与圆C 交于A

B ，两点，求cos AOB ∠的值.

(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数()13f x x x =-+-．

(Ⅰ)解不等式()1f x x ≤+；

(Ⅱ)设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22

111

a b a b +≥++.

合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准

(13)4 (14)

3

4

(15)3 (16)1

n

a=-或

15

24

n

a n

=-

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

(Ⅰ)()11

cos cos22cos2

234

f x x x x x x

π

??

=--=-

?

?

?

1

sin2

26

x

π

??

=-

?

??

.

令2

62

x k k Z

ππ

π

-=+∈

，，解得

3

2

k

x

ππ

=+.

∴函数()

f x图象的对称轴方程为

32

k

x k Z

ππ

=+∈

，. …………………………5分(Ⅱ)易知()12

sin2

23

g x x

π

??

=-

?

??

.

∵0

2

x

π

??

∈??

??

，，∴

22

2

333

x

πππ

??

-∈-??

??

，，∴

2

sin21

3

x

π?

??

-∈-?

?

????

，∴()121

sin2

232

g x x

π?

??

=-∈-?

?

????

，

即当0

2

x

π

??

∈??

??

，时，函数()

g x的值域为

1

2

?

-?

??

. …………………………12分(18)(本小题满分12分)

(Ⅰ)因为

()2

2

12060202020

7.5 6.635

80408040

K

??-?

==>

???

，

所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关. ………………………5分(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生

3

129

4

?=人，女生

1

123

4

?=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人. ………………………8分(ⅱ)由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3.

()()

3021

9393

33

1212

84108

01

220220

C C C C

P X P X

C C

======

，，

()()

1203

9393

33

1212

271

23

220220

C C C C

P X P X

C C

======

，，

∴X

∴()84108271301232202202202204

E X =?

+?+?+?=. ……………………12分

(19)(本小题满分12分)

(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC⊥AB，∴AC⊥平面ABD. 又∵DE∥AC，∴DE⊥平面ABD ，从而DE⊥BD . 注意到BD⊥AE，且DE∩AE=E，∴BD⊥平面ADE ，于是，BD⊥AD . 而AD=BD=1，∴2AB =. ………………………5分

(Ⅱ)∵AD=BD，取AB 的中点为O ，∴DO⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO⊥平面ABC.

过O 作直线OY∥AC，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.

记2AC a =，则12a ≤≤，2

2 0 0 0 0A B ?

???-

? ? ? ?????

，，，，，， 22 2 00 0 C a D ????- ? ? ? ?????，，，，，，20E a ??- ? ???

，，，()

2 2 0BC a =-，，u u u r ，22 0 BD ??

=- ? ???，，u u u r . 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =，，r

.

由00BC n BD n ??=???=??u u u r r u u u r r 得220

220x ay x z ?-+=??-

+=??.令2x =，得12 2n a ??

= ???，，r . 又∵()0 0DE a =-，，u u u r ，∴点E 到平面BCD 的距离2

||1

4DE n d n a

?==

+u u u r r

r . ∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max 217

=

144

d =

+.………………………12分

(20)(本小题满分12分)

(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，

此时圆的半径为2

p OF =，∴2

4

P ππ=，解得2p =. ……………………4分

(Ⅱ)依题意得，点M 的坐标为(1，2)，圆M 的半径为2. 由F (1，0)知，MF x ⊥轴.

由AMF BMF ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=. 设MA k k =(0k ≠)，则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()1

21x y k

=

-+， 代入抛物线的方程得，()21421y y k ??

=-+ ???，∴24840y y k k -+-=，

∴4

4

22A A y y k

k

+==

-，. 将k 换成k -，得4

2B y k

=--，

∴2244

14

44

A B A B AB A B A B A B y y y y k x x y y y y --=

====--+--.

设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=.

由直线AB 与圆M

2=

，解得3m =±

经检验3m =+

不符合要求，故3m =+舍去.

∴所求直线AB

的方程为3y x =-+-……………………12分

(21)(本小题满分12分)

(Ⅰ)∵()21

2

x f x e x ax =--，∴()x f x e x a '=--. 设()x g x e x a =--，则()1x g x e '=-. 令()10x g x e '=-=，解得0x =.

∴当() 0x ∈-∞，

时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>. ∴()()min 01g x g a ==-.

当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；

当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞. ∴当1a >时，()()x g x f x e x a '==--有两个零点12x x ，. 不妨设12x x <，则120x x <<.

∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，

. …………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，12x x ，为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，

上单调递减. 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=.

∵()2220x g x e x a =--=，得2

2x a e x =-，∴()2222222x x x g x e x a e e x ---=+-=-+.

设()2x x h x e e x -=-+，0x >，

则()1

20x x

h x e e

'=-

-+<，∴()h x 在()0 +∞，上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<.

∵函数()f x 在()1 0x ，

上也单调递减，∴()()12f x f x >-. ∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证2

2

2

220x x e e x -+-->.

设函数()()220x x k x e e x x -=+--∈+∞，，

，则()2x x k x e e x -'=--. 设()()2x x x k x e e x ?-'==--，则()20x x x e e ?-'=+->， ∴()x ?在()0+∞，

上单调递增，∴()()00x ??>=，即()0k x '>. ∴()k x 在()0+∞，

上单调递增，∴()()00k x k >=. ∴当()0x ∈+∞，时，220x x e e x -+-->，则2

2

2

220x x e e x -+-->，

∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>. ………………………12分

(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

(Ⅰ)由直线l

的参数方程11x y ?=-+

????

=??得，其普通方程为2y x =+，

∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+.

又∵圆C 的方程为()()22

215x y -+-=， 将cos sin x y ρθ

ρθ

=??

=?代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，

∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+. ……………………5分 (Ⅱ)将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，

与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=， 整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴tan 32

π

θθ==，或.

不妨记点A 对应的极角为

2

π

，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ.

于是，cos cos sin 2AOB πθθ??

∠=-== ???

. ……………………10分

(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

(Ⅰ)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+.

(1)当1x <时，不等式可化为421

1x x x -≤+≥，. 又∵1x <，∴x ∈?；

(2)当13x ≤≤时，不等式可化为21

1x x ≤+≥，. 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.

(3)当3x >时，不等式可化为241

5x x x -≤+≤，. 又∵3x >，∴35x <≤.

综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤.

∴原不等式的解集为[]1 5，

. …………………5分 (Ⅱ)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=.

令11a m b n +=+=，，则11m n >>，，1

14a m b n m n =-=-+=，，， ()()22

222

111144

41112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++?? ???

， 原不等式得证. …………………10分