华罗庚学校数学教材(五年级下)第15讲综合题选讲

本系列共15讲

第十五讲综合题选讲

文档贡献者：与你的缘

在数学竞赛试题中渗透数学思想、方法、观念，有时还通过试题介绍或渗透某种新知识，这是数学竞赛的发展趋势。因此必须加强思维能力的训练，培养学生严谨的逻辑推理能力，灵活的技巧方法，并且通过解题培养创造性。

例1如下图，我们规定在边长为1的正方形方格纸上，从格点O到与它相邻的格点A、B、C、D、E、F、G、H的共有8种直线运动形成线段，这8种运动依次分别记为数码0、1、2、3、4、5、6、7。如以O为起点，数码2代表形成线段OC的运动，数码7代表形成线段OH的运动等等。

在图(a)中画出了从P点出发，数码序列001223355的轨迹图

形。

请你在图(b)的边长为1的正方形方格纸上，从点M出发，依次按数码序列006756442312画出相应的轨迹图形。以这轨线图形周界和内部的格点为顶点可画出面积不小于2的正方形个数是多少？

分析此题关键是看懂题目，即线段分别记为数码0、1、2、3、4、5、6、7的意义，如下图：

数码0代表线段OA，

数码1代表线段OB，

数码2代表线段OC，

数码3代表线段OD，

数码4代表线段OE，

数码5代表线段OF，

数码6代表线段OG，

数码7代表线段OH。

这样，006756442312所对应的轨迹图形为封闭折线，为清楚起见标上字母，即为S=MM1M2M3M4M5M6M7M8M9M10M11M，如下图。

因为在S边界上有12个格点（M，M1～M11），内部有5个格点，为N1、N2、N3、N4、N5。这17个点中可形成面积大于等于2的正方形顶点的四点组共有13个。

分类（1）面积为2的共有5个：

（M1M3N3M11）

（M3M4M5N3）

（M5M7M9N3）

（M9N3M11M10）

（N1N2N5N4）。

（2）面积为4的共有3个：

（MM2N4N2）

（M3M5M9M11）

（N4M6M8N2）

（3）面积为5的共有4个：

（MM3N5M10）

（M2M11N5M4）

（N1M10M8M5）

（N1M9M6M4）

（4）面积为8的共有1个：

（M1M10M7M4）

例2一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个

自然数为“智慧数”。如16=52－32，16就是一个“智慧数”。在自然数列中从1开始数起，试问第1993个“智慧数”是哪个数？并请说明理由。

分析与解答：

∵1不能表示为两个自然数平方差，

∴1不是“智慧数”。

（1）对于大于1的奇数2k+1，

有2k+1=(k+1)2-k2(k=1,2,3,…),

∴大于1的奇数都是“智慧数”。

（2）对于大于4且被4整除的偶数4k，

有4k=(k+1)2-(k-1)2(k=2,3,…),

即大于4的被4整除的数都是“智慧数”。

而4不能表示为两个自然数的平方差。

∴4不是“智慧数”。

（3）对于被4除余2的数4k+2(k=0,1,2,…)

设4k+2=x2-y2=(x+y)(x-y),x、y∈N.

当x、y奇偶性相同时，(x+y)(x-y)被4整除，而4k+2不被4整除，矛盾。

当x、y奇偶性相异时，(x+y)(x-y)为奇数，而4k+2为偶数，

又矛盾。

∴不存在x、y∈N，使得x2-y2=4k+2，即4k+2形的数均不为“智慧数”。

在自然数列中前四个自然数中，只有3=22-11为“智慧数”。

由（1）（2）（3）知，从5开始的每连续四个数中有三个“智慧数”。

∵1992=3×664，

而4×664=2656，

所以，2656是第1992-2=1990个“智慧数”，

因此，2657是第1991个，

2658被4除余2，所以不是“智慧数”。

2659是第1992个“智慧数”，

2660是第1993个“智慧数”。

因此，第1993个“智慧数”是2660。

例3有一列数：1，3，4，7，11，18，…（从第3个数起，每个数恰好是它前面相邻两个数的和）。

（1）求1993个数被6除余几？

（2）把以上数列按下述方法分组（1），（3，4），（7，11，18），…（第n组含有n个数）。问第1991组的各数之和被6除余数是几？

分析（1）如果能求出这个数列第1993个数是多少，当然它被6除余数就很好求了。但是，观察数列的构造规律，很难找出求某一项的一般公式。而数列的前几项是已知的，它们被6除余数很容易写出来，再根据“两个数之和被6除的余数”就不难依次写出原数列被6除所得余数组成的数列。我们再观察“余数数列”的构成规律：

1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，…

只要出现有相邻两个数与前面某相邻的两个数相同且顺序也相同，以后就会依次出现前面同样的一个“片段”，就是说出现“周期”性变化。经过观察、分析，发现“余数数列”每24个数呈现周期性重复：

1，3，4，1，5，…，2，3，5，2。

这样，只要知道第1993个数是排在一个周期的第几个数，就不难找出所要求的余数了。

1993除以24商83余1，第1993个数是排在第84个周期内的第1个数，它除以6余数是1。

（2）因为第n 组有n 个数，前1990组数的个数的总和是：1+2+3+…+1990==1981045。199119902

1981045除以24余13，因此第1990组最后一个数除以6余5，并且第1991组各数被6除余数顺序如下：

3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，…。还是24个数为一个周期，一个周期内各余数之和是：

3+2+5+1+0+1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0+5+5+4+3+1+4+5=66

66被6整除，就是说每个周期中的数的和能被6整除。第1991组有1991个数，1991除以24商82余23，这1991个数之和被6除余数应等于前23个数之和被6除的余数，也就是66减去最后一个数5所得差被6除的余数。

66-5=61，它除以6余1。

由上述分析、计算，知第1991组各数之和被6除余1。

例4有1993个硬币，排成一行，开始时，都是国徽的一面，不妨说都标为“0”。第1次，将1993个币翻面，变成“分值”的一面，不妨说都变成“1”。第2次，将其中1992个币翻面，第3次将1991个币翻面，依次递降…，第1993次，将1个币翻面。问可否使其结束状态为1993个面全为“1”？

分析设一行硬币总共有N个，

如N=1，初始：｛0｝，结束：｛1｝，可以办到。

如N=2，初始：｛0，0｝，第1次：｛1，1｝，

第2次：｛0，1｝，结束状态不是｛1，1｝。

如N=3，初始：｛0，0，0｝，第1次：｛1，1，1｝

第2次：｛0，0，1｝

第3次：｛0，1，1｝或｛0，0，0｝

结束状态不会是｛1，1，1｝。

如N=4，初始：｛0，0，0，0｝

第1次：⊿=+4，｛1，1，1，1｝（翻动4个币总值增加4，记为⊿=+4，读作“加4”）。

第2次：⊿=-3，｛0，0，0，1｝（翻动3个币，总值减少3，记为⊿=-3，读作“减3”）。

结束状态可以是｛1，1，1，1｝。

下面，对于N=5的情况，用树形图，表达这个推理过程，其中结点（即圈内数字）表示5个硬币的状态。

分枝上的记号，代表翻币的过程。

原来的1个0变成1，记为⊿=+1，

原来的1个1变成0，记为⊿=-1。

翻币情况（从上到下的一串分枝上的⊿的和等于5时，初始的5个0最终即变为5个1）：

结论：对于N=5有2种方式达到所要求的目标。对于任意大的N值，可以用递推的思想方法，得到一般性结论：

如N=k时，依次递减个数的翻币，能使“k个0”变成“k个1”，那么，N=k+4也可依次递减个数翻币，使“k+4个0”变成“k+4个1”，反之亦然。设计树形图：

下面再依次翻k 个币，k-1个币，…。在这些翻动过程中始终保持前4个1不变。这样，以下即化为N=k 时的情况。

结论：N≡0，1（mod 4）翻币可成功，

N≡2，3（mod 4）必不可能成功。（证明见注）

而1993≡1(mod 4).

∴本题可成功。

注：严格证明

对于每个币，必翻动奇数次，才能使“0”变成“1”，N 个币每个翻奇数次，总共翻动N 个奇数相加。另一方面，翻动次数总和=1+2+3+…+N=

。(1)2

N N +对于N≡2（mod 4），记作N=4k+2.

4k+2个奇数之和=偶数，

另外，=(4k+3)(2k+1)=奇数(1)(421)(42)22

N N k k +++=×+偶数≠奇数。

对于N≡3(mod 4)，记作N=4k+3。

4k+3个奇数之和=奇数，另一方面，1431)((43)22

N k N k +++×=×+=（2k+2）(4k+3)=偶数

奇数≠偶数

∴对于N≡2，3（mod 4）,翻币后的结束状态不可能为N 个1。本题的解决，给我们一个启示：一上手就解决1993个币的翻面问题，必然头绪纷多，不知所措。此时要“退”够，退到最简单情况，对N=1，2，3，4，5找规律，数目少，结论易得，然后再“进”，而且要总结一般规律。这样，对于1993，以至于对于任何一个数，都一起解决了。

习题十五

1，如图，把边长为4的正方形分为16个边长为1的小正方形，则图中共有多少个长方形（包括正方形）？这些长方形面积之和为多少？

2，一个数列，它的前两个数是2，7，以后各项构造规律是：自左至右，依次取相邻两项之种，如果积是一位数，就取它为下一项；如果积是两位数，就顺次用积的十位数字、个位数字作为后两项。把它的前几项写出来如下：

2，7，1，4，7，4，2，8，2，8，…

（由2，7产生第3、4项1、4，由7、1产生第5项7，由1、4产生第6项4，由4、7产生第7、8项2、8，由7、4产生第9、10项2、8，…）。

这个无穷数列中，数字6是否出现？如果出现，出现多少次？

华罗庚学校数学课本二年级

华罗庚学校数学课本二年级标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

华罗庚学校数学课本：二年级上册第一讲速算与巧算一、“凑整”先算 1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11）

=（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把 31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84

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华罗庚学校数学课本电子版第一讲认识图形（一） 1．这叫什么？这叫“点”。用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。 2．这叫什么？这叫“线段”。沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。线段有两个端点。 3．这叫什么？这叫“射线”。从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。 4．这叫什么？这叫“直线”。沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边无限延伸。 5．这两条直线相交。两条直线相交，只有一个交点。 6．这两条直线平行。两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。 7．这叫什么？这叫“角”。角是由从一点引出的两条射线构成的。这点叫角的顶点，射线叫角的边。角分锐角、直角和钝角三种。直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。教室里天花板上的角都是直角。锐角比直角小，钝角比直角大。

习题一 1．点（1）看，这些点排列得多好！（2）看，这个带箭头的线上画了点。 2．线段下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣！（1）一根小棍。可以横着摆，也可以竖着摆。（2）两根小棍。可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可以一横一竖摆。（3）三根小棍。可以像下面这样摆。 3．两条直线哪两条直线相交？哪两条直线垂直？哪两条直线平行？

4．你能在自己的周围发现这样的角吗？第二讲认识图形（二）一、认识三角形 1．这叫“三角形”。三角形有三条边，三个角，三个顶点。 2．这叫“直角三角形”。直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角。它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边。 3．这叫“等腰三角形”。它也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长（相等），相等的两条边叫“腰”，另外的一条边叫“底”。 4．这叫“等腰直角三角形”或叫“直角等腰三角形”。它既是直角三角形，又是等腰三角形。

华罗庚学校数学课本：二年级

=（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6

=30+30+30-6=90-6=84 这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19） =45-1=44 这样想：加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如： 1，2，3，4，5，6，7，8，9

华罗庚学校数学课本(6年级下册)第01讲列方程解应用题

第一讲列方程解应用题这一讲学习列方程解应用题．例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．分析被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出方程．解：设乙数为x，则甲数为2x+17． 10x=3（2x＋17）+45 10x=6x＋51+45 4x=96 x＝24 2x+17=2×24+17=65．答：甲数是65，乙数是24．例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？思路1：分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因此列出方程的等量关系是：提高后的工效x所需的天数=剩下台数．解：设完成计划还需x天． 1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5 80×1.25x=1600-400 100x=1200 x=12．

答：完成计划还需12天．思路2：分析“思路1”是从具体数量入手列出方程的．还可以从“率”入手列方程．已知“效率提高25％”是指比原效率提高25％．把原来效率看成解：设完成计划还要x天．答：完成计划还需12天．例3有一项工程，由甲单独做，需12天完成，丙单独做需20天完成．甲、乙、丙合作，需5天完成．如果这项工程由乙单独做，需几天完成？工作总量．解：设乙单独做，需x天完成这项工程．

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华罗庚学校数学课本一年级上册刘彭芝主编子悦爸整理

目录第一讲认识图形（一） (1) 习题一 (2) 第二讲认识图形（二） (4) 习题二 (7) 第三讲认识图形（三） (8) 习题三 (9) 第四讲数一数（一） (11) 习题四 (12) 习题四解答 (14) 第五讲数一数（二） (15) 习题五 (16) 习题五解答 (18) 第六讲动手画画 (20) 习题六 (21) 第七讲摆摆看看 (23) 习题七 (24) 习题七解答 (25) 第八讲做做想想 (27) 习题八 (27) 习题八解答 (29) 第九讲区分图形 (31) 习题九 (32) 习题九解答 (33) 第十讲立体平面展开 (35) 习题十 (36) 第十一讲做立体模型 (37) 习题十一 (38) 第十二讲图形的整体与部分 (39)

习题十二 (40) 习题十二解答 (42) 第十三讲折叠描痕法 (43) 习题十三 (44) 习题十三解答 (44) 第十四讲多个图形的组拼 (46) 习题十四 (47) 习题十四解答 (48) 第十五讲一个图形的等积变换 (50) 习题十五 (51) 习题十五解答 (52) 第十六讲一个图形的等份分划 (54) 习题十六 (55) 习题十六解答 (56) 第十七讲发现图形的变化规律 (58) 习题十七 (59) 习题十七解答 (61)

第一讲认识图形（一） 1．这叫什么？这叫“点”。用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。 2．这叫什么？这叫“线段”。沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。线段有两个端点。 3．这叫什么？这叫“射线”。从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。 4．这叫什么？这叫“直线”。沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边无限延伸。 5．这两条直线相交。两条直线相交，只有一个交点。 6．这两条直线平行。两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。 7．这叫什么？这叫“角”。

华罗庚学校数学教材(五年级上)第11讲简单的抽屉原理

本系列共15讲第十一讲简单的抽屉原理 . 文档贡献者：与你的缘把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里。尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果。由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了。由此得到：抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理。不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔…等十二种生肖）相同。怎样证明

这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚。事实上，由于人数（13）比属相（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13个人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。例1：有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉，把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉，由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。例2：一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？分析与解答扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，

小学三年级华罗庚学校数学课本(奥数)[doc]

上册华罗庚学校数学课本：三年级下册第一讲速算与巧算（一）第二讲速算与巧算（二）第三讲上楼梯问题第四讲植树与方阵问题第五讲找几何图形的规律第六讲找简单数列的规律第七讲填算式（一）第八讲填算式（二）第九讲数字谜（一）第十讲数字谜（二）第十一讲巧填算符（一）第十二讲巧填算符（二）第十三讲火柴棍游戏（一）第十四讲火柴棍游戏（二）第十五讲综合练习题第一讲从数表中找规律第二讲从哥尼斯堡七桥问题谈起第三讲多笔画及应用问题第四讲最短路线问题第五讲归一问题第六讲平均数问题第七讲和倍问题第八讲差倍问题第九讲和差问题第十讲年龄问题第十一讲鸡兔同笼问题第十二讲盈亏问题第十三讲巧求周长第十四讲从数的二进制谈起第十五讲综合练习

上册第一讲速算与巧算（一）一、加法中的巧算 1.什么叫“补数”？两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。如：1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。又如：11+89=100，33＋67=100， 22+78=100，44+56=100， 55+45=100，在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89 的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。如：87655→12345，46802→53198， 87362→12638，… 下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。 2.互补数先加。例1巧算下面各题： ①36+87+64 99+136＋101 ③1361＋972＋639＋28 解：①式=（36＋64）＋87 =100＋87=187 ②式=（99＋101）＋136 =200+136=336 ③式=（1361＋639）＋（972＋28） =2000+1000=3000 3.拆出补数来先加。例2 ①188＋873 ②548＋996 9898＋203 解：①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）＝200+861=1061 ②式=（548-4）＋（996＋4） =544+1000=1544 ③式=（9898＋102）＋（203-102） =10000+101=10101 4.竖式运算中互补数先加。如：二、减法中的巧算 1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。例 3 300-73-27 ②1000-90-80-20-10 解：①式= 300-（73＋27）＝300-100=200 ②式=1000-（90＋80＋20＋10）＝1000-200＝800 2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。例4 4723-（723＋189） ②2356-159-256 解：①式=4723-723-189 ＝4000-189=3811 ②式=2356-256-159 ＝2100-159 =1941 3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。例5 ①506-397 ②323-189 ③467＋997 ④987-178-222-390 解：①式=500＋6-400+3（把多减的3再加上） =109 ②式=323-200+11（把多减的11再加上） =123+11＝134 ③式=467＋1000-3（把多加的3再减去）＝1464 ④式=987-（178＋222）-390 ＝987-400-400+10=197 三、加减混合式的巧算 1.去括号和添括号的法则在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即： a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d a-（b-c）＝a-b+c 例6①100＋（10＋20＋30） ②100-（10＋20+3O） ③100-（30-10）解：①式=100＋10＋20＋30 =160 ②式=100-10-20-30 =40 ③式=100-30＋10 ＝80 例7计算下面各题： ①100＋10＋20＋30 ②100-10-20-30 ③100-30＋10 解：①式=100＋（10+20+30） =100＋60=160 ②式=100-（10＋20+30）＝100-60=40

华罗庚学校数学教材(五年级下)第10讲逻辑推理(一)

本系列共15讲第十讲逻辑推理（一） . 文档贡献者：与你的缘由于数学学科的特点，通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径。为了使同学们在思考问题时更严密更合理，会有根有据地想问题，而不是凭空猜想，这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。解答这类问题，首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，找到正确的答案。例1公路上按一路纵队排列着五辆大客车，每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志。每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市，有三辆开往B市；并且他们都只能看见在自己前面的车的标志。调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断。他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的。这个司机看看前两辆车的标志，想了想说“不知道”。第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道。第一个司机也很聪明，他根据第二、三个司机的“不知道”，作出了正确的判断，

说出了自己的目的地。请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的？他又是怎样分析出来的？解：根据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件只有两辆车开往A市，说明第一、二辆车不可能都开往A市（否则，如果第一、二辆车都开往A市，那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往B市）。再根据第二辆车司机的“不知道”，则第一辆车一定不是开往A 市的（否则，如果第一辆车开往A市，则第二辆车即可推断他一定开往B市）。运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往B 市。例2李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛。事先规定，兄妹二人不许搭伴。第一盘：李明和小华对张虎和小红；第二盘：张虎和小林对李明和王宁的妹妹；请你判断：小华、小红和小林各是谁的妹妹？解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹

华罗庚学校数学教材(五年级上)第07讲行程问题

本系列共15讲第七讲行程问题 .文档贡献者：与你的缘在这一讲中，我们将要研究的是行程问题中一些综合性较强的题目。为此，我们需要先回顾一下已学过的基本数量关系：路程=速度×时间总路程=速度和×时间路程差=速度差×追击时间例1：小华在8点到9点之间开始解一道题，当时时针、分针正好成一直线，解完题时两针正好第一次重合。问：小华解这道题用了多长时间？分析：这道题实际上是一个行程问题。开始时两针成一直线，最后两针第一次重合。因此，在我们所考察的这段时间内，两针的路程差为30分格，又因为时针每小时走5分格，即它的速度为12 1 分格/分钟，而分针的速度为1分格/分钟，所以，当它们第一次重合时，一定是分针从后面追上时针。这是一个追击问题追及时间就是小明的解题时间。解：30÷（1－）=30÷=32（分钟）121121111 8例2：甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，

丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇。求A、B两地间的距离。画图如下：分析：结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，则因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等于（40＋60）×15=1500米。又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50－40=10（米/分），这样可求出乙从B到C的时间为1500÷10=150分钟，也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。解：（1）甲和乙15分钟的相遇路程：（40＋60）×15=1500米（2）乙和丙的速度差： 50－40=10（米/分）

华罗庚学校数学教材(五年级下)第03讲巧求表面积

本系列共15讲第三讲巧求表面积 . 文档贡献者：与你的缘我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积。如果长方体的长用a表示、宽用b表示、高用h表示，那么，长方体的表面积=（ab＋ah ＋bh）×2。如果正方体的棱长用a表示，则正方体的表面积=6a2。对于由几个长方体或正方体组合而成的几何体，或者是一个长方体或正方体组合而成的几何形体，它们的表面积又如何求呢？涉及立体图形的问题，往往可考查同学们的看图能力和空间想象能力。小学阶段遇到的立体图形主要是长方体和正方体，这些图形的特点都是可以从六个方向去看，特别是求表面积时，就是上下、左右和前后六个方向（有时只考虑上、左、前三个方向）的平面图形的面积的总和。有了这个原则，在解决类似问题时就十分方便了。例1在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。

分析我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面。这样这个立体图形有表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；侧面：小正方体的四个侧面大正方体的四个侧面。解：上下方向：5×5×2=50（平方分米）侧面：5×5×4=100（平方分米） 4×4×4=64（平方分米）这个立体图形的表面积为： 50＋100＋64=214（平方分米）答：这个立体图形的表面积为214平方分米。例2下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方体小洞，第三个正方体小洞的1 2

华罗庚学校数学教材六年级上比和比例

华罗庚学校数学教材六年级上比和比例集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

本系列共14讲第二讲比和比例 . 文档贡献者：与你的缘在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如成正比例；如果k是y与x的积，即在x 变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．例1下列各题中的两种量是否成比例成什么比例 ①速度一定，路程与时间． ②路程一定，速度与时间． ③路程一定，已走的路程与未走的路程． ④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间． ⑤总产量一定，亩产量和播种面积． ⑥整除情况下被除数一定，除数和商． ⑦同时同地，竿高和影长． ⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．

⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数． ⑩圆的半径和面积． (11)长方体体积一定，底面积和高． (12)正方形的边长和它的面积． (13)乘公共汽车的站数和票价． (14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数． (15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例．解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15) 成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14) 不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．例2一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间分析要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小

华罗庚学校数学教材(六年级下)第14讲-关于空间想象力的综合训练题

本系列共14 讲第十四讲关于空间想象力的综合训练题 . 文档贡献者：WINNER 1.将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体.问这个正方体的2号面的对面是几号面？ 2.有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积. 3.有一个正方体，边长是 5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？ 4.有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成下图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积. 5.如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？

6.一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为 628 立方厘米的圆柱体（下图）.问纸盒的容积有多大？（圆周率取为 3.14）. 7.一个高为 30 厘米，底面为边长是 10 厘米的正方形的长方体水桶，其中装有 1 容积的水。现在向桶中投入边长为 2 厘米×2 厘米×3 2 厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？ 8，有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是 1∶2。用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完。问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？ 9.如下图，在棱长为 3 的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是 1 的正方形高为 3 的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？ 10.将边长为 10 的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为

中国华罗庚学校数学课本习题

（ “方法为上”六年级数学学习辅导）中国华罗庚学校数学课本习题. 第一章分数应用题第一节分数应用题的基本类型例1、一桶油，第一次用去1/3,正好是4升，第二次又用去这桶油的1/4，还剩多少升？例2、某工厂计划生产一批零件，第一次完成计划的1/2, 第二次完成计划的3/7,第三次生产450个，结果超出计划的1/4，计划生产零件多少个？例3、王师傅四天完成一批零件，第一天和第二天共做了54个，第二，第三和第四天共做了90个。已知第二天做的个数占这批零件的1/5.这批零件一共有多少个？例4、六（1）班男生的一半和女生的1/4共16人，女生的一半和男生的1/4共16人。六一班学生共有学生多少人？同步精练 1、一个粮食仓库，原来存有一批粮食，运走2/3后，又运来5.6吨，这时现有存粮是原来存粮的4/5，粮仓现有存粮多少吨？ 2、一辆汽车从甲地开往乙地，行了全程的8/15后，超过终点1又1/5千米，甲乙两地全程是多少千米？ 3、两袋大米，乙袋比甲袋重12千克。如果从甲袋倒入乙袋6千克，这时甲袋大米重量是乙袋大米的5/8.两袋大米原来共有多少千克？ 4、两堆煤，从甲堆煤运走1/4，乙堆煤运走一部分后剩下3/5，这这时甲堆重量是乙队重量的3/5，甲队原有120吨，乙队原有多少吨？ 5、一条水渠，第一天挖了25米，第二天挖了余下的2/5，这这时剩下的与挖好的正好相等。这条水渠有多长？ 6、一个粮仓，原来存有一批粮食，运走 32后，又运来5.6吨，这是现有存粮是原来存粮的54，粮库原有存粮多少吨？ 7、一种石英表，先涨价 101，然后降价101，这时售价49.5元，原价是多少元？ 8、小红读一本书，第一天读了全书的 32，第二天读了余下的4 1，两天共读30页，这本书共有多少页？

华罗庚学校数学课本6上

华罗庚学校数学课本（六年级·修订版）上册第一讲工程问题第二讲比和比例第三讲分数、百分数应用题（一）第四讲分数、百分数应用题（二）第五讲长方体和正方体第六讲立体图形的计算第七讲旋转体的计算第八讲应用同余解题第九讲二进制小数第十讲棋盘中的数学（一）第十一讲棋盘中的数学（二）第十二讲棋盘中的数学（三）第十三讲棋盘中的数学（四）第十四讲典型试题分析

第一讲工程问题工程问题是应用题中的一种类型．在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）．这三个量之间有下述一些关系式：工作效率×工作时间＝工作总量，工作总量÷工作时间＝工作效率，工作总量÷工作效率＝工作时间．为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效．例1一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．说明：我们通常把工量“一项工程”看成一个单位．这样，工效就用工

例2师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务．师傅先做5 天批零件各需几天？工效和．要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天．答：如果单独做，师傅需10天，徒弟需15天．例3一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？分析解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。解：设甲做了x天．那么，两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36，

华罗庚学校数学教材(六年级下)第07讲整数的分拆

本系列共14讲第七讲整数的分拆 . 文档贡献者：与你的缘整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和 n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识. 一、整数分拆中的计数问题例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下： ①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式； ②把6分拆成两个自然数之和有3种方式 6=5+1=4+2=3+3； ③把6分拆成3个自然数之和有3种方式 6=4+1+1=3+2+1=2+2+2； ④把6分拆成4个自然数之和有2种方式 6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1； ⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式

6=2+1+1＋1＋1； ⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式 6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有 1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法. 说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆. 例2有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律： 1994=1993+1=1＋1993 =1992+2=2＋1992 =… =998＋996=996+998 =997+997 因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和. 解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式. 说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中

华罗庚学校数学教材(五年级上)第04讲带余数的除法

本系列共15讲第四讲带余数的除法 . 文档贡献者：与你的缘前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题。除此之外，例如：16÷3=5……1，即16=5×3＋1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r≤b，使得a=b×q＋r. 当r=0时，我们称a能被b整除。当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q 为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r≤b. 一．例题例1：一个两位数去除251，得到的余数是41，求这个两位数。分析这是一道带余数的除法题，且要求的数是大于41的两位数，解题可从带余除式入手分析。解：∵被除数÷除数=商…余数，即被除数=除数×商＋余数， ∴251=除数×商＋41，

251－41=除数×商， ∴210=除数×商。 ∵210=2×3×5×7， ∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于41。所以除数是42或70，即要求的两位数是42或70。例2：用一个自然去除另一个整数，商40，余数是16。被除数、除数、商与余数的和是933，求被除数和除数各是多少。解：∵被除数=除数×商＋余数，即被除数=除数×40＋16。由题意可知：被除数＋除数=933－40－16=877， ∴（除数×40＋16）＋除数=877， ∴除数×41=877－16=861，除数=861÷41=21。 ∴被除数=21×40＋16=856。答：被除数是856，除数是21。例3：某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？解：十月份共有31天，每周共有7天。

华罗庚学校奥林匹克数学课本_二年级_上册

第一讲速算与巧算一、“凑整”先算 1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11） =（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84

这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19） =45-1=44 这样想：加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如： 1，2，3，4，5，6，7，8，9 1，3，5，7，9 2，4，6，8，10 3，6，9，12，15 4，8，12，16，20等等都是等差连续数. 1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9 =5×9 中间数是5 =45 共9个数（2）计算：1+3+5+7+9 =5×5 中间数是5 =25 共有5个数（3）计算：2+4+6+8+10 =6×5 中间数是6 =30 共有5个数

华罗庚学校五年级数学(上册)教材(第1-8讲,共15讲)

本系列共15 讲第一讲数的整除问题 . 一．基本概念和知识 1．整除——约数和倍数一般地，如 a、b、c 为整数，b≠0，且a÷b = c，即整数 a 除以整数b（b≠0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b 整除（或者说b 能整除a）。记作b︱ a。否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。如果整数a能被整数b整除，a 就叫做b的倍数，b 就叫做a 的约数（或因数）。 2．数的整除性质性质1：如果a、b 都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。性质3：如果b、c 都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。性质4：如果c能整除b，b 能整除a，那么c能整除a。 3．数的整除特征

y y y y ① 能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数。 ② 能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。 ③ 能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3 （或 9）整除。 ④ 能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。 ⑤ 能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125）整除。 ⑥ 能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。 ⑦ 能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7 （11 或 13）整除。二．例题例 1：已知 45︱ 1993 x ，求所有满足条件的六位数 1993 。 x 解：∵ 45=5×9， ∴ 根据整除“性质 2”可知 5︱ 1993 x ，9︱ 1993 ， x

华罗庚学校数学教材(六年级下)第01讲列方程解应用题

本系列共14讲第一讲列方程解应用题 . 文档贡献者：与你的缘这一讲学习列方程解应用题．例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．分析被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出方程．解：设乙数为x，则甲数为2x+17． 10x=3（2x＋17）+45 10x=6x＋51+45 4x=96 x＝24 2x+17=2×24+17=65．答：甲数是65，乙数是24．例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？思路1：分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作

量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因此列出方程的等量关系是：提高后的工效x 所需的天数=剩下台数．解：设完成计划还需x 天． 1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5 80×1.25x=1600-400 100x=1200 x=12．答：完成计划还需12天．思路2：分析“思路1”是从具体数量入手列出方程的．还可以从“率”入手列方程．已知“效率提高25％”是指比原效率提高25％．把原来效率看成单位“1”，原计划20天完成，每天完成总数的，5天120 完成，剩下的台数则占总数的1－=。 141434解：设完成计划还要x 天． ×（1＋25%）×x=1－×5120120解得x=12 答：完成计划还需12天．例3有一项工程，由甲单独做，需12天完成，丙单独做需20天完成．甲、乙、丙合作，需5天完成．如果这项工程由乙单独做，需几天完成？分析如果把全部工程看作单位“1”，则甲每天完成，丙每天112

华罗庚学校数学教材(五年级上)第09讲 “牛吃草”问题

本系列共15讲 ”问题第九讲“牛吃草牛吃草” . 文档贡献者：与你的缘有这样的问题，如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量是由两部分组成的：（1）某个时间期限前草场上原有的草量；（2）这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量。因此，必须设法找出这两个量来。下面就用开头的题目为例进行分析。（见下图）

从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量。为了求出一周新生长的草量，就要进行转化。27头牛6周吃草量相当于27×6=162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）。23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）。这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207－162）÷（9－6）=15头牛一周的吃草量。需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有的草量。所以牧场上原有草量为26×6－15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9－15×9=72）。牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分。一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草。但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）。故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21－15=6头牛去吃原有的草。所以牧场上的草够吃72÷6=12周，也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周。

华罗庚学校数学教材(五年级下)第15讲 综合题选讲