支付红利股票的美式看涨期权定价问题的研究

支付红利股票的美式看涨期权定价问题的研究

摘要

随着金融市场的不断完善和发展，许多复杂的金融衍生证券问题已经不能通过Black-Scholes期权定价得到解决，此时，就需要借助数值计算方法，常见的数值计算方法有蒙特卡罗法，二叉树法，有限差分法，三者的使用范围和运行效率各有不同。本文主要介绍利用二叉树法去解决已知支付红利股票的美式看涨期权的定价问题。

相对于其它的数值计算方法，二叉树法在处理提前行权的问题时，表现出了明显的优势。本文主要对二叉树法的基本原理和处理实际问题的具体步骤进行讲解，然后结合已知支付红利股票的美式看涨期权的实例问题，应用二叉树法进行具体的分析和求解。

关键字：支付红利美式看涨期权二叉树法

Abstract

With the continuous improvement of the financial market and development, many complicated financial derivative securities issue has not resolved through the Black - Scholes option pricing, at this point, you need with the aid of numerical method, common numerical calculation method with monte carlo method, binary tree method, finite difference method, the use of the scope and efficiency is different. This paper mainly introduces the binary tree method is used to solve the known paying dividends American call option pricing problem of the stock.

Relative to other numerical method, the binary tree method in dealing with early exercise, showed a clear advantage. In this paper, the principle of binary tree and deal with practical problems of the specific steps and explain, and combining with the American call option of paying dividends stock known instance of the problem, the binary tree method for

concrete analysis and solving.

Keyword：Paying dividends American call options Binary tree method

一．文献综述

90年代以来特别是近几年，很多经济学家对不完善市场、基础资产的价格存在异常变动跳跃或者基础资产报酬率的方差不为常数等情况下的期权定价问题，以及美式期权定价问题进行了广泛研究，取得了许多重要研究成果。不完善市场假设显然要比完善市场假设更接近真实的金融市场，但这时的期权定价问题就复杂多了。在不完善市场情况下，通常难以得到 Black-Scholes 模型那种期权的公平价格，已有的定价方法也将失去其作用。

目前，在金融市场上交易的期权大部分是美式期权。美式期权的定价问题要比欧式期权定价复杂得多。一般情况下，美式期权没有精确的解析定价公式，只能使用解析近似解方法或数值方法进行求解。用于美式期权估值的数值方法主要有：二叉树图法、有限差分法、有限单元法和数值积分法等。

二．模型的建立与分析

1.二叉树期权定价模型的基本假设：

1.1 连续随机游 dS=μSdt+σSd可以用离散格随机游走模型来表示，即标的资产的价格只在离散时间点Δt，2Δt，3Δt，…，NΔt( NΔt=T 为衍生证券的到期日)取值，Δt表示很小但非无穷小的时间步长;如果标的资产在时刻 mΔt的价格为 Sm，那么在时刻(m十 1) Δt 其价格有两种可能的值:μSm(μ＞1)和dSm(d＜1)，并且标的资产的价格从 Sm上升到μSm的概率为 P。

1.2 风险中性假设，即在风险中性条件下，投资者的风险偏好与衍生证券的定价无关，从标的资产所得的收益率为无风险利率 r。

2．二叉树期权定价模型的基本原理

二叉树期权定价模型的基本原理是：假设标的变量运动只有向上和向下两个方

向，且假设在整个考察期内，标的变量每次向上或向下运动的概率和幅度不变，将考察期分为若干阶段，根据标的变量的历史波动率模拟标的变量在整个考察期内所有可能的发展路径，并右后向前以倒退的形式走过所有结点同时用贴现法得到在0时刻的价格，如果存在提前行权问题，必须在二叉树的每个结点处检查在这一点行权是否比在下一个结点上行权更有利，然后重复上述过程。

三．支付红利股票的美式看涨期权定价的算法描述：

假如只有唯一一次红利，除息日τ在k ∆t 到(k+1)∆t 之间，而红利数额为D 。当i ≤k ，在i ∆t 时刻，树中结点对应的股票价格为: j i j Su d -，j =0,1,…,i 与原来一样。当 i=k+ 1时，树图中结点对应的股票价格为：j i j Su d D --,j =0,1,…,i

当i=k+ 2时，树图中结点对应的股票价格为：

1()j i j Su d D u --- 和1()j i j Su d D d ---

其中 j=0,1,…,i − 1，因此将有 2i 而不是i+1个结点。在( k + m )∆t 时刻，将有m( k +1)个而不是m+k+1个结点。

假设股票价格由两部分组成：一部分是确定的，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。并且还假设在期权有效期内只有一个除息日τ，而且k ∆t ≤τ≤(k+1)∆t 。在 i ∆t 时刻，股价不确定部分的价值S 为： S =S ，当 i ∆t>τ

和()r i t S S De τ--∆=-，当i ∆t ≤τ

其中D 是红利。设σ为S 的标准差，假设σ是常数。用σ代替式中的σ可计算出参数 p 、u 和d ，这样就可以用通常的方法构造模拟S 的二叉树图了。通过把未来红利的现值加在每个结点的股票价格上，就会使原来的二叉树图转化为另一个模拟S 的二叉树图。在i ∆t <τ时，这个树图上的结点所对应的股票价格为：

j i j S u d -()|r i t De τ--∆，j = 0,1,… ,i （3.8）

当i ∆t> τ时，这个树上的结点所对应的股票价格为：

j i j

S u d ， j = 0,1,… ,i （3.9）

由以上数据就可倒推计算出所需的期权值。

四．支付红利股票的美式看涨期权的程序设计思路及实例分析

1.程序设计思路

利用二叉树法，期权的计算是从二叉树的末端（时刻T ）开始向前倒推进行的。T 时刻期权的价值已知。因为考虑的是美式期权，则必须检查二叉树图的每个结点，以确定提前执行期权是否比将期权再持有∆ t时间更有利。最后倒推通过所有的结点就可得到0 时刻的期权值。

2.实例分析

考虑一个在期权执行期内支付红利的美式看涨股票期权的估值，其标的股票在 2 个月和 5 个月后各有一个红利支付日。每次支付的红利期望值为 0.5美元。当前股票价格为 40 美元，期权执行价格 X 为 40 美元，股票价格的波动率σ为每年 30%，无风险利率r 为每年 9%，有效期T 为 6 个月。试给出美式看涨期权的价格。

运用上述二叉树模型可知求解该题的代码如下：

function [c] = bitreeB( )

%UNTITLED Summary of this function goes here

% Detailed explanation goes here

S0=40;X=40;r=0.3;sigma=0.09;time=1;steps=100;

t1=0.33;t2=0.83;step1=25;step2=75;D1=0.5;D2=0.5;

tao=time/steps;

u=exp(sigma*sqrt(tao));

d=exp(-sigma*sqrt(tao));

p=(exp(r*tao)-d)/(u-d);

for i=1:step1

for j=1:i+1

S((i)*(i+1)/2+j)=S0*u^(i+1-j)*d^(j-1);

end

end

for j=1:step1+1

S((i)*(i+1)/2+j)=S((i)*(i+1)/2+j)-D1;

end

for i=step1+1:step2

S((i)*(i+1)/2+1)=S((i)*(i-1)/2+1)*u;

for j=2:i+1

%S((i)*(i+1)/2+j)=S((i)*(i+1)/2+j-1)*d^2;这个也可以

S((i)*(i+1)/2+j)=S((i)*(i+1)/2+1)*d^(2*(j-1));

end

end

for j=1:step2+1

S((i)*(i+1)/2+j)=S((i)*(i+1)/2+j)-D2;

end

for i=step2+1:steps

S((i)*(i+1)/2+1)=S((i)*(i-1)/2+1)*u;

for j=2:i+1

%S((i)*(i+1)/2+j)=S((i)*(i+1)/2+j-1)*d^2;

S((i)*(i+1)/2+j)=S((i)*(i+1)/2+1)*d^(2*(j-1));

end

end

for j=1:steps+1

price(steps*(steps+1)/2+j)=max(S(steps*(steps+1)/2+j)-X,0);

end

for i=steps-1:-1:1

for

j=1:i+1price(i*(i+1)/2+j)=exp(-r*tao)*(p*price((i+2)*(i+1)/2+j)+(1-p) *price((i+2)*(i+1)/2+j+1));

if price(i*(i+1)/2+j)<(S(i*(i+1)/2+j)-X)

price(i*(i+1)/2+j)=S(i*(i+1)/2+j)-X;

end

end

end

c=exp(-r*tao)*(p*price(2)+(1-p)*price(3))

end

运行代码可得该已知红利的美式看涨期权价格约为3.72。

五.模型的推广

通过数值实验表明，本文是以二叉树方法处理了两次红利支付的情况，该方法也可以推广到处理多个红利的情况。

参考文献

[1] 张铁，美式期权定价问题的数值方法. 上海：应用科学学报，2002，25

[2] 张铁，一个新型的期权定价二叉树参数模型，北京：系统工程理论与实践，2000，11

[3]（美）约翰·赫尔，张陶伟译，期权、期货和其它衍生产品，第三版，北京：华夏出版社，2000

[4] 姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法，北京：高等教育出版社，2003