19.1.1-变量与函数-教案

19.1.1-变量与函数-教案

19.1.1 变量与函数

八年级科目：数学主备人：范德彪

时间：年月日课时安排与说明：1课时

一、教学设计

1、教学目标

（1）理解变量与常量、自变量与函数的含义，能指出具体问题中的常量、变量，并会用含一个变量的代数式表示另一个变量；

（2）理解两个变量间的特殊对应关系，能指出由哪一个变量唯一确定另一变量，会判断两个变量是否具有函数关系，并会求自变量的取值范围；

（3）通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体验“发现、创造”数学知识的乐趣．引导学生探索实际问题中的数量关系，让学生体会“变化与对应”的数学思想，培养学生提高分析问题和解决问题的能力。

2、内容分析

（1）函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”。方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系。本节课是函数入门课，要从数学的角度研究变化现象，把握变化规律，首先必须准确认识变量与常量的特征，关注变化过程中量的变化，这就是变量．有了变量的概念，便为研究成函数关系的两变量的“运动与对应”关系打下基础．本课从四个简单的实际问题入手，通过分析问题中数值的变与不变，引出变量与常量的概念，而且问题中变量的单值对应关系也为学习函数的定义作了铺垫．（2）基于以上分析，确定本节课的教学重点是能找出一个变化过程中的变量与常量，教学难点是能判断两个变量是否具有函数关系。

3、学情分析

（1）学生的认知基础：变量是学生第一次接触，对一个运动变化过程中的两个变量的关系，学生往往只认为是一种确定的数量关系。类似于一元一次方程，学生直知道代数式中的字母可以表示数，方程中的未知数求出来后也是一个“已知数”，从“静态”的角度理解字母所表示的数，并没有用运动与变化的观点去体会两个变量之间相互依赖

的关系。另外，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等朴素的函数关系的生活实例．但是学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．

（2）学生是年龄心理特点：八年级学生具有很强的感性认知基础，活泼好动，思维敏捷，表现欲强，对一些具体的实践活动十分感兴趣，但思考问题单一，不会延伸运用。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。本节课主要是教给学生“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的研讨式学习方法。这样做增加了学生的参与机会，增强了参与意识，教给了学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为学习的主体。以及通过动手实践，理解记忆和强化训练的学法掌握本节课内容。

4、设计思路

（1）借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系．初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。

（2）借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。

（3）从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体验“发现、创造”数学知识的乐趣．学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。

二、教学过程

（一）导入

我们生活在一个变化的世界，行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……所谓”万物皆变”，唯一不变的就是变化本身．在你周围的事物中，这种各种各样的变化过程中往往蕴含着量的变化，研究这些量之间的依赖关系是我们把握变化规律的关键．

【设计意图】通过引言教学，提出本节课需要研究的问题，合理地引起学生注意．（二）新授课

【活动一】

问题1 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km/h，行驶时间为t h．（1）填写下表：

t/h 1 2 3 4 5

s/km

（2）s的值随t的值的变化而变化吗？

在以上这个过程中，变化的量是________ _____，不变化的量是______．

（3）试用含t的式子表示s：s=________，t的取值范围是 _________．

这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程随行驶时间的

变化过程．

【师生活动】教师与学生一起通过计算填表，并分析问题（1）中出现的三个量，发现其中有些量的数值是变化的，如时间t，路程s；有些量的数值是始终不变的，如速度60km/h．

【设计意图】在常见的”行程问题”中，引导学生从“变与不变”的角度观察速度、时间、路程三个量，可以较为自然地引导学生对三个量进行分类．

【活动二】

问题2 电影票的售价为10元/张．第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？

解：设一场电影售票x张，票房收入y元．

（1）根据题意填写下表：

第一场第二场第三场

售出票数x/张150 205 310

收入y /元

（2）y的值随x的值的变化而变化吗？

在以上这个过程中，变化的量是___________，不变化的量是______．

（3）试用含x的式子表示y：y= ，x的取值范围是 .

这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程．

问题3 美丽的水中涟漪图中，圆形水波纹慢慢地扩大．在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？

问题4 用10m长的绳子围一个矩形．当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？

【师生活动】学生继续分析问题（2）、（3）、（4）中的量并分类，领会“变量”、“常量”的含义．发现在同一个变化过程中，始终保持不变的量为常量，而数值发生变化的量为变量．

【设计意图】有前述的示范引导，让学生自主探究“销售问题”、“几何问题”中的常量与变量，通过探索简单实例中的的数量关系和变化规律，深刻体会变量与常量的含义，初步体会同一个变化过程中两个变量之间的依赖关系和对应关系．【归纳】以上这些问题都反映了不同事物的变化过程。其中有些量的数值是变化的，有些量的数值是始终不变的。

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为________，数值始终不变的量为________。

【活动三】

由以上回顾我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应．问题5 其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：

（1）下图是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？

（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量x与y.对于表中每个确定的年份x，都对应着个确定的人口数y吗？

年份人口数/亿

1984 10.34

1989 11.06

1994 11.76

1999 12.52

2010 13.71

【师生活动】我们通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y.

【归纳】一般地，在一个变化过程中，如果有变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有确定的值与其对应，那么我们就说x是，y是x 的．如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的．

据此我们可以认为：问题1中时间t是自变量，里程s是t的函数．t=1时的函数值s=60，t=2时的函数值s=120，……；同样地，在心电图问题中，时间x是自变量，心脏电流y是x的函数；人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x=2010时，函数值y=13.71亿．

从上面的学习中可知，函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中的变量之间都存在函数关系．

【活动四】

问题6 一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．

（1）写出表示y与x的函数关系式．

（2）指出自变量x的取值范围．

（3）汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？

【设计意图】通过这一活动，加深函数意义理解，熟练掌握函数关系式确立的办法．学会确定自变量的取值范围，并能通过关系式解决一些简单问题．【师生活动】

解：（1）行驶里程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．

行驶里程x时耗油为：0.1x

油箱中剩余油量为：50－0.1x

所以函数关系式为：y=50－0.1x

（2）仅从式子y=50－0.1x上看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶里程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0.1x≤50，x≤500．

因此，自变量x的取值范围是：0≤x≤500

（3）汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50－0.1x在x＝200时的函数值，将x=200代入y=50－0.1x得：y=50－0.1×200=30.

汽车行驶200km时，油箱中还有30升汽油．

【师生活动】通过这个活动，我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上，又学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法．知道了自变量取值范围的确定，不仅要考虑函数关系式的意义，而且还要注意问题的实际意义．

【归纳】像y=50－0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式.

（三）课堂小结

回顾本节课内容，引导学生总结新知：

1、什么叫变量？什么叫常量？

2、怎么理解同一变化过程中两个变量之间的特殊对应关系？

3、求函数自变量取值范围的两个依据：

（1）要使函数的解析式有意义：

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；

②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；

③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．

（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．

（四）反馈

1、指出下列问题中的变量和常量：

（1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为x t，月应交水费为y元．

（2）某地手机通话费为0.2元/min．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为t min，话费卡中的余额为w元．

（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率为 ．（4）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．

2、下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．

（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变．