高中数学笔记-9-附1(奇妙的导数)

奇妙的导数

-----宋坚2009年8月21日星期五在平时的学习中，出于好奇，对导数进行了一定的探索，获得了一些心得。特整理如下：一`求导法则

对任意曲线f(x,y)＝0在其上的任意一点（x,y ），求导法则为y’＝f x’/f y’

(f y’不为0) -----------------(1-1) （第一个公式从大学课本上了解到叫做“隐函数求导”）

二，导数与向量的巧妙联系

对于直线ax+by+c=o,我们都知道其法向量为（a,b），这其中有什么规律？可不可以推广呢？经过探索证明，得到以下结论：

对于任意二维曲线f(x,y)=o,其上任意一点(m,n)的切线的法向量为(f*m，f*n );并且该切线方程为:

再把它推广到n维空间，可以得到：

在R n中，f(a1,a2,a3,……a n-1,a n)=0上任意一点A(m1,m2,m3,……m n-1,m n)

的切面的法向量为：

对应的曲面方程为：

由于（2-2）式与教材中的不同，我暂且把它定义为“求向导”。

2+y2+z2=1,求其在点A（，，）上的切面方程

例1.已知一球面方程为x

解；对之求向导（2x,2y,2z）

（x-）+(y-+(z-)=0

所以曲面方程为

即x+2y+z=2.

（以上两节是我在平时探索出来的最基本知识，它揭示了导数与向量的内在联系，使得求导法则的推广获得了可能。另外，在这基础上我还发现了一些简单的应用及规律。）

三，非函数型曲线极值求法

①无约束条件式；

例，已知曲线2x2+xy+y2=14,若以y为因变量，试求y的极值。

解：对曲线求向导；（4x+y,2y+x）.令f*x=4x+y=0,并与曲线方程联立解方程得X=1,y=-4或x=-1,y=4.所以y的极值为-4和4.

（常规方法为把y看成常数，利用x的二次函数性质即可求得）

对之一般化即为：

在n维空间，已知f(a1,a2,a3,……a n-1,a n)=0，若以a1,a2,a3,……a n-1为自变量，a n 为因变量，则a n的极值点求法为

（至于极大值和极小值的判断，从大学课本上了解到比较复杂，这里就不写了。）

②有约束条件式；

例，已知x2+y2-2y=0,试求x2+4y的最值。

解：令x2+4y-z=0，对两曲线分别求向导有：（2x,2y-2）;(2x,4);

当两向量平行时，z即可取得最值。于是有；

2x ·4=（2y-2）·2x 得x=0,y=0,2或x=1,y=1.

把之代入x 2+4y-z=0，的z max =8，z min =0

对之一般化即为：

已知g (a 1,a 2,a 3,……a n-1,a n )=0,试求

f(a 1,a 2,a 3,……a n-1,a n )的最值。

令z=f (a 1,a 2,a 3,……a n-1,a n ),对两者求向导

,

其实对于（3-2

）式，更大的应用是一类不等式证明的通法。 例如，已知a+b+c=1,求a 2+b 2+c 2+3ab+4bc+5ca 的最值。（答案：7/4） （虽然过程比较复杂，但也不失为一种好方法。）

四，导数在圆锥曲线上的应用

⑴切线方程 ；见（2-1）式 ⑵切点弦方程；

过曲线外一点P(m ，n)，作圆锥曲线的切线，切点为A,B,则AB 即为切点弦。

（3）中点弦方程

对任意圆锥曲线（圆`． 椭圆、 双曲线、 常规的非常规的） 若过作标系中某一点P （ m,n ）

存在一条弦使得P 为该弦的中点，则我们称这条弦为中点弦。

当两向量平行时，所得解即为极值点。-----（3-2） 其中

对应直线的方程为：

对于⑴ ⑵证明较易，在此只证明⑶ 证明如下：

先把命题转化为两个分命题来证明。

命题I ：若有两个二次曲线g （x,y ）, f(x,y)，且满足g （x,y ）= f(x,y)+c （c 为常数）； 过f （x ，y ）上一点p 作切线，与g(x,y)的交点为A,B.则P 为弦AB 的中点。

命题II ：对于二次曲线g(x,y),P 为平面内一点，过p 作中点弦，则该中点弦所在直线方程为（4-3）式。斜率

证明：设g （x,y ）为Ax 2

+By 2

+Cxy+Dx+Ey+F 1=0;P(m,n)为平面内一点，在存在中点弦

的情况下，过P 作曲线f(x,y)：Ax 2

+By 2

+Cxy+Dx+Ey+F 2=0； 再过P 点作f(x,y)的切线。

则有该切线L 的方程为（2Bn+Cm+E ）y+(2Am+Cn+D)x+Dm+En+2F 2=O ； --⑴

把⑵代入⑴得：

（2Amcos θ+2Bnsin θ+Cncos θ+Cmsin θ+Dcos θ +Esin θ ）t=0;---------⑶

再把⑵代入g(x,y)并整理得：

（Acos 2θ+Bsin 2θ+Csin θcos θ）t 2+（2Amcos θ+2Bnsin θ+Cncos θ+Cmsin θ +Dcos θ +Esin θ ）t+Am 2+Bn 2+Cmn+Dm+En+F 1=0；---------⑷

把⑶代入⑷得方程的两根t 1， t 2满足t 1+t 2=0 而t 表示L 与f(x,y)的交点到P 的距离（有正负之分）。

所以P 为弦中点。-----------------------------------------------------（命题I 得证）

有因为g （x,y ）= f(x,y)+c ，所以g

*

(x,y)=f *(x,y);

其斜率为

再设L 的参数方程：

所以（4-3）式成立。

备注;( 上式只适用于二次曲线，对于其它一般性曲线，也有一定关系，但很复杂并非中点弦，所以无实际意义。当然在高考中，此类题目一般用两点作差法来证明，但此法不能反应一些性质。)

四：在空间坐标系上的应用

利用上述知识解决高中的立体几何，多了一种方法。那就是求面的方程。由此可以快速得到面的法向量及两面交线的方程。

五，附表

表格1

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