变化率与导数导数的计算知识点与题型归纳

●高考明方向

1.了解导数概念的实际背景．

2.理解导数的几何意义．

3.能根据导数定义求函数

y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1

x

的导数．

4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 求简单函数的导数.

★备考知考情

由近几年高考试题统计分析可知，单独考查导数运算的题目很少出现，主要是以导数运算为工具，考查导数的几何意义为主，最常见的问题就是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系，以平行或垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，以及与曲线的切线相关的计算题．考查题型以选择题、填空题为主，多为容易题和中等难度题，如2014广东理科10、文科11. 2014广东理科10 曲线52-=+x

y e

在点()0,3处的切线方程为 ；

2014广东文科11

曲线53=-+x

y e 在点()0,2-处的切线方程为 ；

一、知识梳理《名师一号》P39

知识点一导数的概念

(1)函数y ＝f(x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化

率lim

Δx→0Δy

Δx

＝lim

Δx→0

f x

＋Δx－f x0

Δx

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x

.

(2)称函数f′(x)＝lim

Δx→0f x＋Δx－f x

Δx

为f(x)的导

函数.

注意:《名师一号》P40 问题探究问题1

f′(x)与f′(x

)有什么区别？

f′(x)是一个函数，f′(x

)是常数，

f′(x

)是函数f′(x)在点x0处的函数值．

例.《名师一号》P39 对点自测1

1.判一判

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )

(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( )

(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．( )

答案(1)×(2)×(3)√

知识点二 导数的运算公式及法则 1.基本初等函数的导数公式

注意：（补充）常量函数的导数为零

1

1.(),'()0;

2.(),'();

3.()sin ,'()cos ;

4.()cos ,'()sin ;

5.(),'()ln (0);

6.(),'();1

7.()log ,'()(0,1);

ln 8.n

n x x

x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x ==则

2.导数的运算法则

注意：（补充） 复合函数的导数

(())y f u x =，'''(())()y f u x u x =g

注意:《名师一号》P40 问题探究 问题3

对函数求导时，其基本原则是什么？ 求函数的导数时，

要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．

对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形； 对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．

'

2

2

1.(()())''()'()

2.(()())''()()()'()

()'()()()()'

3.()()

4.(())''()1'()

5.[]'()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x cf x cf x g x g x g x ±=±?=?+???-= ???==-

但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．

知识点三导数的几何意义

P

Q

o x

y y=f(x)

α

割

线

切线

T

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,

割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲

线在点P处的切线.

切线的概念

, 称为曲线在点P处的切线的斜率.

导数的几何意义

即:

'00

00

()()

()lim lim

?→?→

+?-

?

===

??

x x

f x x f x

y

k f x

x x

切线

函数在x=x0处的导数

——曲线y=f(x)在点（x0,f(x0))处切线的斜率.

导数的物理意义——瞬时速度

例.周练13-1

一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )

A．7米/秒B．5米/秒 C．6米/秒 D．4米/秒

注意:《名师一号》P40 问题探究问题2

过点P的切线与在点P处的切线有什么区别？

在点P处的切线，P是切点，

而过点P的切线，P不一定是切点，

后者包括前者．

注意:《名师一号》P40 问题探究问题2

过点P的切线与在点P处的切线有什么区别？

在点P处的切线，P是切点，

而过点P的切线，P不一定是切点，后者包括前者．

二、例题分析：

(一)导数的计算

例1.（补充）

用导数定义求函数

1

()

f x

x

的导数。

注意：(补充)

（1）能用导数定义求几个常用函数的导数 （参看选修1-1 课本）

21

,,,,====

=y c y x y x y y x

（2）求函数 y = f (x )的导数的一般方法

1）求函数的改变量

2）求平均变化率

3）求值

例2.《名师一号》P40 高频考点 例1

求下列函数的导数： (1)y ＝x 3－2x ＋3；

(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；

(3) 2sin 12cos 24??=- ???

x x y ；

00()();f f x x f x ?=+?-00()();

f x x f x f

x x +?-?=??0()lim .

x f f x x ?→?'=?

解析：

(1)y ′＝(x 3－2x ＋3)′

＝(x 3)′－(2x )′＋(3)′＝3x 2－2.

(2)方法1：

∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. 方法2：

y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′

＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)

＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)

＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.

(3)∵2sin 12cos 24??=- ???x x y ＝－12sin x ， ∴y ′＝?

??

??－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .

注意:《名师一号》P40 高频考点 例1 规律方法 1.求函数的导数的具体方法是：

①遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； ②遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； ③遇到复杂分式，先将分式化简，再求导． 2．复合函数的求导，要选择恰当的中间变量，

分清复合关系．

练习：

1、设()()()()()'

'

01021sin ,,,,===L f x x f x f x f x f x

()()'1,,+=∈n n f x f x n N 则()2015f x =（ ） A. sin x B. sin -x C. cos x D. cos -x

【答案】D 2、（2009安徽卷文）设函数

32sin ()tan 32f x x x θθθ=++，其中

50,12πθ??

∈????

，则导数()'1f 的取值范围是( )

A. B.

C. D.

【答案】D

解

:()

2

1

(1)sin

x f x x

θθ

= '=?+?

sin2sin()

3

π

θθθ

=+=+

50,sin()1232(1)f πθπθ???

∈∴+∈?

????

???'∴∈?

Q ， 选D.

注意：

对解析式中含有多个字母的函数求导， 明确自变量是关键！

例3. 《名师一号》P39 对点自测3

已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f ′(2)＝________.

解析 由题意，得f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)． ∴f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)，∴f ′(2)＝－2. 注意：导数0'()f x 是一个常数，不是变量.

练习：

1、周练13-5

已知2'()2(1)f x x x f =+?，则 '

(0)f 等于（ ）

2 B. 2 C ．1 4

2、(2009湖北卷理)已知函数

()'()cos sin ,4f x f x x π=+则()4

f π

的值为 .

解：因为'()'()sin cos 4

f x f x x π

=-?+所以

'()'()sin cos 4444f f ππππ=-?+'()14

f π

?=-

故()'()cos

sin

()1444

44

f f f πππ

π

π

=+?=

例4.（补充） （1）周练13-12

若 f ′(x )＝3x 2

－6x ，且f (0)＝4，则不等式f (x )>0的解集是________;

答案：{x |x >－1，且x ≠2}

由题可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝3ax 2

＋2bx ＋c ，

∴????? 3a ＝3，2b ＝－6，c ＝0，d ＝4，

∴?????

a ＝1，

b ＝－3，

c ＝0，

d ＝4.

∴f (x )＝x 3

－3x 2

＋4＝x 3

＋x 2

－4(x 2

－1)＝x 2

(x ＋1)－4(x －1)(x

＋1)＝(x ＋1)(x －2)2

，∴f (x )>0的解为x >－1，且x ≠2.

（2）周练13-7

定义在(0，＋∞)上的可导函数f (x )满足f ′(x )·x

f x

x

>0的解集为( ) A ．(0,2) B ．(0,2)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D．?

答案：A

[

f x x ]′＝f ′x ·x －f x x 2

<0，∴f x

x

为减函数，∵f (2)＝0， ∴f 22＝0.∴f x x

>0的解为0

注意：导数计算公式及运算法则的逆向使用

—-务必准确熟练掌握公式及明确其结构特点!

（二）导数的几何意义

例1.《名师一号》P40 高频考点例2

(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )

A．0 B．1 C．2 D．3

(2)(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝

ax2＋b

x

(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．

解析：(1)∵y＝ax－ln(x＋1)，∴y′＝a－

1

x＋1

.

∴y′|x＝0＝a－1＝2，得a＝3.

(2)由曲线y＝ax2＋b

x

过点P(2，－5)．

得4a＋b

2

＝－5.①

又y′＝2ax－b

x2，

所以当x ＝2时，4a －b

4＝－7

2.②

由①②得??

?

a ＝－1，

b ＝－2，

所以a ＋b ＝－3.

例2. 《名师一号》P41 特色专题 典例

若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( )

A ．1 C ．1或164 D ．1或－1

64

【错解】 ∵点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， ∴直线l 与曲线y ＝f (x )相切于点O .

则k ＝f ′(0)＝2，直线l 的方程为y ＝2x . 又直线l 与曲线y ＝x 2＋a 相切，

∴x 2＋a －2x ＝0满足Δ＝4－4a ＝0，a ＝1.选A.

【错因】

(1)片面理解“过点O (0,0)的直线与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋

2x

相切”．这里有两种可能： 一是点O 是切点； 二是点O 不是切点，

但曲线经过点O ，解析中忽视后面情况． (2)本题还易出现以下错误： 一是当点O (0,0)不是切点，

无法与导数的几何意义沟通起来；

二是盲目设直线l 的方程，导致解题复杂化，求解受阻．

【规范解答】

易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．

(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)， 则y 0＝x 30

－3x 2

0＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①

又k ＝y 0x 0

＝x 2

0－3x 0＋2.②

由①②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－1

4

，

∴所求切线l 的方程为y ＝－1

4

x .

由??

?

y ＝－1

4x ，y ＝x 2

＋a ，

得x 2＋1

4

x ＋a ＝0.

依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝1

64.综上，a ＝1或a ＝

1

64.

【答案】 C

三次函数的切线.gsp

注意：(补充)

1、对于二次函数过点，若点在曲线上则点一定是切点，不在曲线上一定不是切点。而对于三次函数过点，无论点在不在曲线上都不一定是切点，要切记。

2、利用导数求曲线的切线方程 （1）已知曲线的切点P (x 0，y 0)，

求曲线的切线方程的步骤：

1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； 2)根据直线的点斜式方程，

得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)；

3)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的导数不存在，