变化率与导数的概念

变化率与导数的概念（新授课学案） 学生姓名 ________________ 班级__________________ 学号__________________ 教学内容 通过实例探究与分析，引导学生经历思考、讨论、探究、理解瞬时速度的含

义、感受逼近的思想.

体验提出问题，寻求想法，实施想法，发现规律，给出定义的数学探究过程.

了解导数概念的背景，理解导数的定义和内涵.

教学目的 1. 了解导数概念的背景，会区分平均速度、瞬时速度、平均变化率、瞬时变

化率.

2. 理解导数与函数平均变化率、瞬时变化率的关系.

3. 会求简单函数y=f(x)在x=x 0 处的导数

4. 体会用已知探究未知的思考方法和从特殊到一般的探究思想.

5. 培养小组合作学习的习惯.

教学重点 1. 导数（瞬时变化率）概念的形成.

2. 体会用已知探究未知的思考方法、从特殊到一般的探究思想.

3. 感受无限逼近的思维方法.

教学难点 1. 体会由平均变化率到瞬时变化率的过渡.

2. 导数的思想及其内涵的理解

教学过程 一、自主学习——对一种生活的数学解释

问题1 气球膨胀率 问题2 高台跳水

我们都吹过气球回忆一下吹气 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的

球的过程,可以发现,随着气球内空 高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位:

气容量的增加,气球的半径增加越 秒）存在函数关系h(t)=-4.9t 2+6.5t+10.

来越慢.从数学角度,如何描述这种 如何用运动员在某些时间段内的平均速

现象呢? 度粗略地描述其运动状态?

我来算算看：（可用计算器）

当气球体积v=0时，半径 当时间t=0时，运动员相对于水面的高度 h （0）=__________________

r(0）=______________ 当时间t=0.5时，运动员相对于水面的高度

当气球体积v=1时，半径 h （0.5）=__________________

当时间t=1时，运动员相对于水面的高度

r(1）=______________ h （1）=__________________

当气球体积v=2时，半径 当时间t=2时，运动员相对于水面的高度

h （2）=__________________

r(2）=______________

比较以上数据，思考变量间的变化情况.

1、当气球空气容量V 从0增加到1时，气球半径的平均增长率为____________

当气球空气容量V 从1增加到2时，气球半径的平均增长率为____________

2、当时间t 从0到0.5这段时间里，运动员高度的平均增长率为____________

当时间t 从0.5到1这段时间里，运动员高度的平均增长率为____________

当时间t 从1到2这段时间里，运动员高度的平均增长率为____________

我的身边也有这样的数学解释：______________________________________

__________________________________________(列举1-2个同类的生活实例）

热 爱 生 活

我们将生活实例中变量间的关系抽象为函数f(x)，当自变量从x 1到x 2的过 程中，函数值的平均增长率可以表示为：________________ 此式称为函数y=f(x)的平均变化率. 例题1：总结计算平均变化率的方法，并尝试求解函数f(x)=x 2-7x+15在x=2到x=6过程中的平均变化率.

习惯上，用?x 表示x 2-x 1（读作变量x 的增量）,用?y 表示f(x 2)-f(x 1)（读

作变量y 的增量）

函数y=f(x)的平均变化率也可以表示为_________________

变式1：解函数f(x)=x 2-7x+15在x=2到x=5过程中的平均变化率是__________ 思考：结合高台跳水的生活实例和变式1的结论，你能尝试给出相应的数

学解释吗？

在高台跳水中，运动员在不同时刻的速度是不同的，若将该运动员在时间

t 0附近很短一段时间内的平均速度看作是运动员在时间t 0时刻的近似速度.

即t 0到t 0+?t （?t 趋近于0）的平均速度

=v _____________________可近似为t 0时刻的速度

如在时间t=2附近的平均速度=v _______________≈______________.

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 函数y=f(x)在x=x 0附近的平均变化率称为函数y=f(x)在x 0处的瞬时变化率. 例题2：总结计算瞬时变化率的方法，并尝试求解函数f(x)=x 2-7x+15在x=2和x=6时的瞬时变化率.

小结：瞬时速度即时间t 1与t 2=t 1+t ?的间隔t ?无限小（趋近于0）时的平

均速度，函数f(x)的瞬时变化率即_______________________________________

为了表示方便，我们用()()t t h t t h t ?-?+→?110lim

表示“当时间t=t 1，t ?趋

近于0时，运动员的平均速度，即时间t=t 1时刻的瞬时速度；一般地，函数

抽

象

概

念 深

入

探

讨

y=f(x)在x 0处的瞬时变化率可表示为____________________________________, 记作：______或______________,也称为函数y=f(x)在x 0处的导数. 概念巩固： 函数y=f(x)在x=2处的导数就是_________________________________ 气球的半径r 关于体积V 的导数就是_____________________________ 运动员相对于水面的高度h 关于时间t 的导数就是__________________ 一：求下列函数在2到4范围内的平均变化率. (1) f(x)=x (2) f(x)=x 2 (3) f(x)=x 1 (4) f(x)=4

二：求下列函数在x=2处的导数.

(1) f(x)=x (2) f(x)=x 2

(3) f(x)=x

1 (4) f(x)=4 1、主要知识 2、主要思想方法

课

时

小

练 课

时

小

结

阅读材料

导数的发展

（一）早期导数概念----特殊的形式

大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分

f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们现在所说的导数f'(A)。

（二）17世纪----广泛使用的“流数术”

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。

（三）19世纪导数----逐渐成熟的理论

1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式。

导数在科学上的应用

导数与物理，几何，代数关系密切.在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度. 导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念.又称变化率.

如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为s=f（t）那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 . 自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程（如我们驾驶时的限“速”指瞬时速度）