断裂力学总结

断裂力学学习报告

姓名：zx 学号：xxxxxxxx

一、绪论

（1）传统强度理论是在假定材料无缺陷、无裂纹的情况下建立起来的，认为只要满足r []σσ≤，材料将处于安全状态。

其中：

[]σ——用安全系数除失效应力得到的许用应力;

r σ——为相当应力，它是三个主力学按照一定顺序组合而成的，按照从第一强度理论

到第四强度强度理论的顺序，相应的应力分别为

11

2123313

4()

r r r r σσσσμσσσσσσ==-+=-=但是许多事实表明，材料受应力远小于设计应力，材料仍然被破坏。使许多力学工作者迷惑不解，于是投入对其研究，最终发现所有材料并不是理想的，材料中含有大大小小、种类各异的裂纹，于是产生了对裂纹地研究。断裂力学从客观存在裂纹出发，把构件看成连续和和间断的统一体，从而形成了这门新兴的强度学科。

（2）断裂力学的任务是：

1. 研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，，寻找控制材料开裂的物理参量;

2. 研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标的变化规律，确定其数值与及测定方法;

3. 建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则;

4. 含裂纹的各种几何构件在不同荷载作用下，控制材料开裂的物理参量的计算。

（3）断裂力学的研究方法是：假设裂纹已经存在，从弹性力学或弹塑性力学的基本方程出发，把裂纹当作边界条件，考察裂纹顶端的应力场、应变场和位移场，设法建立这些场与控制断裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部断裂条件。

（4）断裂力学的几个基本概念：

根据裂纹受力情况，裂纹可以分为三种基本类型：

1. 张开型(I 型)

裂纹受垂直于裂纹面的拉应力作用,裂纹上下两表面相对张开,如上图a 所示;

2. 滑开型(II 型),又称平面内剪切型

裂纹受平行于裂纹面而垂直于裂纹前缘OO ’的剪应力作用,裂纹上下两表面沿x 轴

相对滑开,如上图b 所示;

3. 撕开型(III 型),又称出平面剪切型或反平面剪切型

裂纹受既平行于裂纹面又平行于裂纹前缘的剪应力作用,裂纹上下两表面沿z 轴相对错开,如上图c 所示.

上述三种裂纹中I 型最为危险.而我们主要也是研究I 型裂纹,因为只要确定了I 型裂纹是安全的,则其它两种裂纹也是安全的。

二、线弹性断裂力学

线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量观点，认为如果当裂扩展一增量，使得释放的弹性能多于产生新裂纹表面所需要的能量则发生裂纹的失稳扩展，如Griffith 理论；一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin 理论。

（一） 应力强度因子理论

（1）应力强度因子

把物体断裂归结为带裂纹物体的线弹性力学分析。解弹性力学平面问题，选取应力函数

U(x,y)使其满足双调和方程220U ??=。

解此方程可以得到相应的应力场和位移场，三种类型裂纹尖端的应力场与位移场公式有相似之处，可以写成如下的形式：

()()σ?()N N ij ij θ=

()()()N N i N

i u K θ= 式中σij （i,j=1,2,3）为应力分量，i u 为位移分量，N=I,II,III 为裂纹的类型，()ij f θ和()i g θ是

应力参量与N K 成正比，在同一变形状态下，不论其它条件怎么不同，只要N K 相同，则裂

纹尖端的应力场强度就完全相同了。所以

N K 反映了裂纹尖端附近的的应力场强度，称为应力强度因子。由于N K 是由远场边界条件确定，所以一般来说与受载的方式、大小，裂纹长

度及裂纹体的开关有关，有时还与材料的弹性性能有关。

K 的一般形式为：K Y =σ为裂纹位置上按无裂纹计算的应力，称为名义应力;a 为裂纹尺寸;Y 为开关参数。

（2）应力强度因子准则(K 准则)

裂纹失稳扩展的临界条件是：I c K K =

c K 称为材料的断裂韧性指标，也称临界应力强度因子，由实验确定。

（二）能量准则(G 准则)Griffith 理论

能量平衡的观点，考察裂纹扩展过程的能量的转化，从而得到表征裂纹扩展时能量变化的参数——能量释放率G 。

材料内部含有裂纹对材料强度有多大影响呢?早在20年代格里菲斯(Griffith)首先研究了含裂纹的玻璃强度，并得出断裂能量的关系：

2IC G γ

=IC G ：临界能量释放率 I G A ?∏

=-?I G ：为裂纹尖端能量释放率，∏为系统位能。

若I IC G G <，裂

若I IC G G =，裂

若

I IC G G >，裂 其中I IC G G =时裂纹是扩展还是不扩展，则要看裂纹扩展一微小面积后，G 是增加了还是减小了既：

0G A ?>?，为失稳扩展。

0G A ?

这就是格里菲斯(Griffith)断裂判据。

（三）应力强度因子与能量释放率的关系

应力强度因子的特点是其应力强度因子便于计算，而能量释放率的优点是其物理意义清楚。应力强度因子与能量准则是从两种不同观点建立起来的准则，它们之间有一定的联系。假设裂纹沿其沿长线扩展时，计算裂纹尖端应力松弛的功，可求得能量释放率的关系。此方法的优点是物理意义清楚。

对于I 型裂纹：

22(1)I I K G E υ=-平面应变状态

2I K G E =I 平面应力状态

对于III 型裂纹：

2(1)III III K G E υ=+

而对于II 型裂纹研究其两者的关系是无意义的。因为II 型裂纹扩展的真实方向并非沿其裂纹延长线方向，而是沿其与裂纹延长线成64~70度的方向扩展的。所以按沿其延长线方向扩展求得的两者关系没有现实的意义。

G 准则与K 准则并不是总是等效的。对于平面问题和反平面问题，裂纹的前缘是一条沿厚度方向的直线，裂纹前缘上各点的K 值相同，随着外荷载的增加同时到达IC K ，此时G 准则和K 准则是等效的。但三维裂纹问题，沿裂纹前缘各点的K 值一般不等，且K 与G 无简单的关系。相对而言，K 准则偏于安全，实际应用中，用K 准则比较安全。

三、混合型裂纹的脆性断裂

在实际工程问题中，由于荷载分布不对称，裂纹方位不对称等原因，裂纹常常处于,,I II III K K K 均不为0或者其中一个为0，另两个不为0的混合变形情况，处于混合变形状态的裂纹被称为混合型裂纹。实验表明混合型裂纹一般不沿原裂纹面的方向扩展，因而对于混合型裂纹除了需要确定裂纹初始扩展的临界参数（即开裂准则）外，还必须首先确定裂纹的初始扩展方向，即开裂角。当前最常用的混合型裂纹脆断理论有：最大拉应力理论，最大能量释放率理论和应变能密度理论（还有争议）。

（一）最大拉应力理论

假设：

（1） 裂纹沿最大周向拉应力

max (σ)θ的方向0θ开裂。 （2） 当此方向的周向应力达临界值时，裂纹开始失稳扩展。

（二）最大能量释放率理论

用能量释放率的概念研究混合裂纹问题的基本思想与适用于纯I 型裂纹扩展的Griffith 能量理论的基本思想是相同的，即裂纹的虚拟扩展，引起总热能的释放，当释放的能量等于形成新裂纹面所需的能量时，裂纹就起裂。这两者的主要区别是，Griffith 能量理论中裂纹沿其延长线方向开裂，而在混合裂纹中则不然，除了 I 型和III 型混合裂纹仍沿其沿长线方

向扩展时，其余类型的裂纹一般不沿延长线方向扩展。可以这样理解能量释放率理论：形成新的裂纹表面要牺牲应变能。

（三）应变能密度理论（有待验证）

1、应变能密度因子

222111222332I I II II III S a K a K K a K a K =+++，

11122233,,,a a a a 是关于角度θ的函数且与材料的弹性常数有关。S 称为应变能密度因子。

2、S 准则

（1）裂纹沿最大势能密度方向扩展，或表述为裂纹沿最小应变能密度因子方向扩展，即按以下条件：

220,0S S θθ??=>??来确定开裂角0θ。

（2）当应变能密度因子小于最小值min S 达到临界值e S 时，裂纹失稳扩展，即：min 0()e S S S θ==

e S 是材料常数，标志材料抵抗裂纹扩展的能力。

与材料力学中的第一强度理论与第四强度理论的观点相似。最大拉应力理论认为只要一个应力分量达到最大值，构件就发生破坏，从原则上讲，当其它应力分量也与这个应力分量差不多大时，这个理论的断裂准则显然不能得到准确的结论。应变能密度理论就没有这种片面性，它已经用于多种混合型裂纹问题，如各向异性体中的裂纹、多层组合材料的破坏、裂纹体的振动与碰撞等。

四、弹塑性断裂力学

线弹性断裂力学是是假定裂纹体是理想线弹性体，事实上由于裂纹尖端应力高度集中，在其附近必然存在塑性区，塑性区与裂纹尺寸相比较小时，经过适当的修正弹性断裂理论仍可以使用，但当塑性区尺寸已经达到与裂纹相同量级的时候，裂纹扩展主要受塑性区范围控制，这时必须充分考虑裂纹体的弹塑性行为，研究裂纹体在弹塑性情况下的扩展规律和断裂准则。弹塑性在裂纹发生起始扩展后还要经过亚临界扩展，达到一定的长度后才发生失稳扩展而破坏。因而，弹塑性断裂准则相应的分为两类。第一类准则以裂纹起裂为依据，如COD 准则，J 积分准则;第二类准则以失稳为根据，如R 阻力曲线准则、非线性能量释放率准则等。

（一）COD 理论

Wells 于1965年提出以裂纹尖端张开位移（COD ）作为表征断裂的物理参量，建立了裂纹在塑性条件下的断裂准则。

COD 准则陈述如下：当裂纹张开位移δ达到临界值C δ时，裂纹将要开裂，即

C δδ=

时开裂，裂纹张开位移是裂纹体受载后，在原裂纹的尖端沿垂直裂纹方向所产生的位移用δ

表示，如上图所示

式中δ可用实验侧出或计算得到，张开临界位移值

C δ由实验测定。它是材料弹塑性断裂韧

性的指标，是材料常数，与温度有关。

（二）J 积分

J 积分于1968年由赖斯（J ．R ．Rice ）提出。该理论可以定量地描述裂纹体的应力应变场的强度，定义明确，有严格的理论依据。它反映裂纹顶端由于大范围屈服而产生的应力、应变集中程度。J 积分的定义是：

()U J Wdy T ds x Γ?=-???

式中：W---板的应变能密度;

T ---作用在积分回路Γ弧元ds 上的外力矢量;

U ---回路Γ上的位移矢量;作用在Γ上的力的分量为：

i ij j

T n σ=?（i,j=1,2） 其中j n 是弧元法线的方向余弦，ij σ是应力张量。

J 积分是应力大小的度量，类似于K 的参量，物理上和能量释放率是一致的。

J 积分有以下各性质：

（1）J 积分与路径无关，有守恒性。

（2）J 积分能决定裂纹顶端弹塑性应力应变场。

（3）J 积分与形变功功率有如下关系：

???-=)(1a U B J ，

式中B ——试件厚度，U ——试件的形变功，?——给定位称。它是J 积分得以实验测定的基础。

J 积分准则

J 积分可以做为衡量裂纹开裂的参量，这是因为：

（1） J 积分与路径无关的特性，可以绕开裂纹尖端塑性区，避免分析该区的复杂性;

（2） J 积分相当于作用在裂纹尖端的一个广义力，或称裂纹扩展力、能量释放率;

（3） J 积分与COD 有定量的关系;

（4） 由HRR 理论可知，J 积分可以用作描述硬化材料中裂纹尖端应力场强度的参量。 据此有下述的J 积分准则：

当围绕裂纹尖端的J 积分达到临界值c J 时，裂纹开始扩展。即

C J J =

时裂纹开始扩展。

五、断裂动力学

（一）断裂动力学问题可以分为两大类：其一是裂纹稳定而外力随时间迅速变化，其二是外力恒定而裂纹处于快速运动状态。与静力学相似，断裂动力学问题的焦点也是集中在裂纹尖端特征参量的临界值上。

裂纹开裂准则可表示为：

(a,,t I ID K K a σ=）（）时裂纹开裂，传播。

止裂条件：(a,,t I ID K K a σ≤）（）

(a,,t I K σ）——动态应力强度因子;

ID K a （）——表征材料性能。

裂纹对平面波的散射分析可以用于检测裂纹，属于反问题。

（二）运动裂纹与传播裂纹的主要两个分析模型

运动裂纹与传播裂纹是动态问题中的两种不同的类型。关于前者，有两个著名的模型，Yoff e

'模型与Craggs 模型。Yoff e '假设有限长裂纹的一端以匀速V 运动，另一端以同样的速度闭合，运动过程中裂纹长度不变; Craggs 模型假设一个半无限长裂纹，在裂纹面上作用荷载与裂纹尖端以同样速度运动。Yoff e '

模型与Craggs 模型虽然实际意义不大，但是它们的解提供了裂纹前缘应力场和位移场的有价值的定性结论。

（三）由于数学上的困难，用分析解法求动态裂纹问题，效能十分有限，而数值法比较有效，近来研究者多用有限元与有限差分法研究这类问题，用数值法分析时不用预先对裂纹作出假定，能较真实的模拟裂纹的运动情况。对于传播裂纹与止裂问题，可用两种不同的途径去研究。

（1）由实验得到变动边界的运动规律

()

a a t

=去计算材料性能ID

K a

（）

，即所谓生成

相问题。

（2）给定材料性质

(a)

ID ID

K K

=

计算传播过程

()

a a t

=和止裂点，即所谓应用相问

题。

六、界面断裂力学

许多新材料是由不同相物质组成的材料，各相之间存在界面。由两种不同材料性质的介质沿界面组合成一体的材料称为双材料。若沿界面存在裂纹——界面裂纹，刚研究这种裂纹扩展的规律就形成了界面断裂力学。与单相断裂力学一样界面断裂力学的基本任务是寻找控制界面裂纹开裂和失稳扩展的参量，并建立扩展准则。一旦找到这样的物理参量，求得工程中不同的界面断裂问题的这个物理参量也是界面断裂力学的一大任务。

由于界面断裂力学的应力场和应力强度因子的复杂性，在研究断裂韧性的定义的裂纹扩展准则过程中遇到了较大的困难，直到80年代后期才有了较大的进展。

由Williams解可得到出裂纹面互相嵌入的结论这在物理上是不合理的，虽然在数学上是严密的。为了消除这种的物理上的不合理性，已经提出了几种模型，主要有两种：一是接触区模型，二是界面层模型。

接触区模型假设裂纹面在裂纹尖端附近光滑（无摩擦）接触，得到静态界面裂纹在裂纹尖端附近存在平方根厅异性的结论。

界面层模型认为界面是有细观结构的界面层，界面层是厚度相同的非均匀各向同性材料层，其弹性系数E和υ随厚度连续变化。