小波理论的新进展和发展趋势

小波理论的新进展和发展趋势

计研111 李宏涛

1、引言

传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。

小波理论是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且

J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法--多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，具有良好的时频局部化特性，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

2、小波分析及其优、缺点

与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换方法，使信号所包含的重要信息能显现出来。小波分析属于信号时频分析的一种，在小波分析出现之前，傅立叶变换是信号处理领域应用最广泛、效果最好的一种分析手段傅立叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅立叶变换的实质是把这个波形分解成不同频率的正弦波的叠加和。正是傅立叶变换的这种重要的物理意义，决定了傅立叶变换在信号分析和信号处理中的独特地位。傅立叶变换用在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数，把周期函数展成傅立叶级数，把非周期函数展成傅立叶积分，利用傅立叶变换对函数作频谱分析，反映了整个信号的时间频谱特性，较好地揭示了平稳信号的特征。小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时间一频率窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特

征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。从此，小波变换越来越引进人们的重视，其应用领域来越来越广泛。

3、小波理论的应用新进展

事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。

3.1小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。

图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据量相等，即小波变换本身并不具有压缩功能。之所以将它用于图像压缩，是因为生成的小波图像具有与原图像不同的特性，表现在图像的能量主要集中于低频部分，而水平、垂直和对角线部分的能量则较少；水平、垂直和对角线部分表征了原图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息，具有明显的方向特性。低频部分可以称作亮度图像，水平、垂直和对角线部分可以称作细节图像。对所得的四个子图，根据人类的视觉生理和心理特点分别作不同策略的量化和编码处理。人眼对亮度图像部分的信息特别敏感，对这一部分的压缩应尽可能减少失真或者无失真，例如采用无失真DPCM编码；对细节图像可以采用压缩比较高的编码方案，例如矢量量化编码，DCT等。目前比较有效的小波变换压缩方法是Shapiro提出的小波零树编码方案。

零树编码算法是目前公认的效率最高的小波系数处理算法，可以在相同的压缩倍数下得到最好的复现图像质量，而且是嵌入式编码，能非常精确地控制压缩倍数。这一点对于序列图像压缩是至关重要的，因为如果不能精确地控制压缩倍数，无论是网络传输还是文件存储都会有很大的问题。

具体算法过程是一幅图像经过二维离散小波变换后，可以得到指定分解尺度下的小波系数。利用快速算法，将二维的小波变换分解为两个一维的运算，分别用高通与低通滤波器，进行一级分解与重构,进一步分解得到的变换系数在高尺度与低尺度之间有一定的相关性，Shapiro正是利用了这种相关性将零树引入小波编码中，EZW思想可以表述如下：一个小波系数x，对于一个给定的阈值T，如果|x|

最终得到的重要系数对应四种符号，即ZTR、IZ、POS、NEG，可以考虑用两个比特来表示它们。另外为了达到给定的精度还有一个辅助图来标记重要系数的精确重构值。

具体的步骤如下：

(1)对图像进行N级小波分解，求得系数图。

(2)对最大尺度的LL N计算出均值，确定初始量化阈值T0。

(3)用初始阈值对各级小波系数进行如上零树判断，确定符号，记入重要系数编码表内；

这里IZ、ZTR的重构值为0，POS的重构值为T0+ T0/2，NEG 的重构值为-(T0+ T0/2)。当

出现零树根的系数时，它所衍生出的系数在下个小尺度编码时不考虑，只需扫描标记为

孤立零、重要系数的即可，这样可以提高编码效率。

(4)为了完成嵌入编码，实现逐次逼近量化，对检出的重要值，即POS、NEG，可以进一步

精确确定它们的重构值：

如果重要值 x> T0+ T0/2，则记为POS1，重构值为T0+T0/2 + T0/4；

如果重要值 T0

如果重要值-(T0+ T0/2)

如果重要值 x<-(T0+ T0/2)，则记为NEG1 ，重构值为-(T0+ T0/2) - T0/4，；

将POS1和NEG1记为“1”，POS0和NEG0记为“0”，记在辅助表中。用（x-精细重

构值）代替原来的系数x，形成剩余系数图。

(5)将阈值T0减半，再进行如上操作，直到剩余系数图中的值均为零或达到给定的要求为止。

3.2小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。

在信号处理领域，对原始信号进行变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，获得更多的信息，而这些信息是原来信号没有直接提供的（隐含的），目前，已经有许多变换应用于信号处理，最基本的是频域变换和时域变换，最熟悉的莫过于傅里叶变换FourierTransform），然而，傅里叶变换只能分别对信号的时域和频域进行观察，不能把二者有机地结合起来。为了解决此问题，引入了短时傅里叶变换( Fourier Transform），该变换能够给出信号的时间和频率的二维分布，在短时傅里叶变换中，其窗口宽度是一个恒定的值，不能根据信号局部特征调整其窗口宽度。为此，引入了小波变换，解决了以上问题。

小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变、时间窗和频率窗都可改变的时频局部分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为数学显微镜。在大尺度下，可以将信号的低频信息（全局）表现出来，在小尺度下，可以将信号的高频（局部）特征反映出来。

小波分析的图像最基本的特征是边缘,因此图像处理中研究最多是边缘检测. 图像的边缘点是指图像信号强度发生急剧变化的位置,它包含了图像的绝大部分信息. 边缘检测对于图像处理和计算机视觉来说,是一个重要课题. 一般情况下,图像在不同的尺度下表现出不同的边缘特性.近几十年来,对边缘检测已产生不少经典算法,如梯度算子、Sobel 算子、拉普拉斯算子、Kinsch 算子和Roserfeld 算子等.但近二十年间,随着计算机技术、VLSI 技术的迅速发展,有关图像处理方面的研究已取得了很大的发展. 尤其是近年来迅速发展起来的小波(wavelet) 理论,为图像处理带来了新的理论和方法. 基于小波变换的方法在图像边缘检测应用中取得了非常良好的效果.

边缘检测的基本要求是:低错判率和高定位精度. 低错判率要求不漏掉实际边缘,不虚报边缘;高定位精度要求把边缘以等于或小于一个像素的宽度确定在它的实际位置上.边缘检测是图像分析的重要内容. 小波理论为图像边缘检测提供了一个多尺度逼近. 用不同尺度函数平滑信号,且从它们的一阶导数或二阶导数中检测剧烈的变化点. 一个低通滤波器的脉冲响应应该为平滑函数.多尺度边缘检测方法是先磨光原信号,再由磨光后信号的一阶或者二阶导数检测出原信号的剧变点(也就是边缘了) .

在高分辨率下,细节较多,边缘较粗;在较低分辨率下,细节被平滑掉,能得到效果较好的图像边缘,可以较清晰地分辨出图像轮廓特征. 特别是小波变换的多分辨率分析,能为检测

出的边缘提供由粗到细的不同尺度的结果,可以方便地根据需要选取适当的精度. 小波具有良好的时频局部性,很利于检测图像边缘,

3.3在工程技术等方面的应用：包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。

小波变换在生物医学信号处理中的应用１生物医学应用领域的小波性质小波可分解为以下二部分：重复信息（可进行连续小波变换［ＣＷＴ］或小波帧变换）和非重复信息（正交、半正交或双正交基波信号）。重复信号通常作为信号分析特征提取和处理的首选信息，因为其提供了真实的位移标量；对于非重复信号，在做一些类型的数据压缩或该正交分量为一种重要成分时，应用该种信号更符合要求，不过若仅仅从计算方面作考虑，这两种信号成分并没有必要划得很清楚。用Ｍａｌａｔ快捷算法来分解小波基波在数量级点比重复分析要快得多，甚至比可用的最快算法还要快。对于第一种成分研究，由于存在投入和收益的折衷问题，许多研究人员对非重复小波信息进行分解研究并取得了满意的成果。

WT 对生物医学信号的维信号的处理在以下几个方面：

1生物声学

Khadral 等人首先提出, WT 能够作心脏声音时间-频率分析的有力工具。WT的这种特殊应用已通过其他时间-频率方法的对比得到了证明, 而且Obaidat 还指出WT 能够提取到一些别的方法无法得到的声音成分( 如第二心音中主动脉瓣和肺动脉瓣的声音信息) , Akay 等人还分析了更复杂的涡流杂音, 他们还通过基本的小波统计法来检测动脉狭窄疾病中, 血管舒张药物对涡流杂音的影响。最近这些小波变换的应用, 使人想起1942 年由Munnheimer 提出的用于提取心音信号中各成分的模拟倍频程滤波单元, 这种作为心脏声音放大系统组成部分的滤波单元, 通过抑制高幅度低频率的信号成分可用来提取如杂音等其他方法无法获得的微弱成分。

2 心电信号( ECG)

ECG 信号判别中QRS 波极为关键,过去已有许多算法可利用, 不过最近推出一种以小波基数为依据的判别法, 可得到极好的判别效果( 对心律失常的MIT / BIH检测率达99. 8%) , Senhadji 等人曾以小波基数特征作为正常与非正常的心脏信号判别依据。小波变换也已用于心室晚电位( VLP) 的检测, VLP 为弱信号, 频率约为40Hz, 与冠心病、心肌炎、心律失常等疾病有关, VLP 波典型地出现在QRS 复合波的尾部和ST 段的起始部分, 另外也可能出现在QRS 复合波中。虽然用别的时间-频率方法可完成此检测任务, 但Khadra和Dickaus 的实验结果表明, 用WT 检测的准确率最高。小波变换也用于检查各种生理状态下心率的波动变化情况, 不过小波频谱技术方面的优点仍需用更多的实验来证明。

3 脑电信号( EEG)

1) 捕捉检测: EEG 对癫痫病的诊断尤为重要, 早期主要是通过对EEG 中瞬态特征波形( 尖峰波) 的捕捉来获得有用信息,随着捕捉技术的发展, 捕捉对象由瞬态波形逐步发展到类似振荡波形的规律性高幅度信号, 用这些特征波来反映一群神经元的非正常放电。随病人不同, 这些波的形状和大小也不同, 由于这种原因, 小波变换又成为检测的有力手段。首先通过神经外科手术, 把电极直接置于大脑皮层表面,得到头皮内EEG 信号, 这种情况下实时处理显得尤为重要, 使得快速连续小波变换( CWT ) 算法随着客观需要而得到发展。对头皮EEG 的研究, 由于信号衰减和背景噪声( 电流移动产生) 干扰使检测工作很困难, 这时WT 仍不适为上乘选择, 先驱们已作了这方面的试验, Kalayci 和Ozdamar建立起了神经网络用来判别以下两种类型的信号: ( 1) 短时的非正常EEG 段, 中间有类峰( 有或无尖峰复合波) ; ( 2) 与其他运动相关的信号。WT 的另一种相关应用是内植头皮电极对胎儿的头皮信号进行分析, 目前正进行着各种努力来进一步简化不同病症基本特性的检测, 如高幅度信号代表缓慢动作,而低幅度信号表示快速动作, 这种方法可用来作为研究药物对大脑活动影

响的依据。2) 激发电位: 通过激发反应电位( ERP’s) 的加入可大大提高EEG 的灵敏度, 同时也在EEG 中引入了外加的声觉、视觉或体觉刺激信号。加入刺激后, 根据潜伏期的长短来区分产生的电信号是刺激直接作用的结果( 潜伏期< 100ms) 还是大脑智力情况的反映( 潜伏期> 100ms) 。ERP 信号通常由多路同步信号发生器产生( 一般为100～600 路) , 经过噪声衰减并通过集平均获得。T hako r 等人用小波性质对由ERP 产生的体觉刺激反应波形进行研究, 证明了逆反应时间的长短与神经元情况有关( 如大脑皮层缺氧等) , 另外用付立叶基数分析也能得到类似的结果。由于信号发生器的数目有限, 信号经集平均后仍有部分残余噪声, 这时测到的信号由主要信号( ERP) 和假定为稳定的噪声组成。噪声衰减方案中, 由Bert rand 等人提出的设计小波域内的维纳滤波器的方法较好, 这时候小波变换优于付立叶变换,后者更适用于信号和噪声均稳定的情况( 用传统的维纳滤波器) 。Lim 等人曾报导,对与呼吸相关的ERP 信号, 只需去掉与小波滤波相关的前面三个小波段就可得到较好的噪声衰减效果。这种技术的好处是可以减少信号发生器的数目, 最后不经平均就可提取ERP 信号; 另一种做法是通过较少的小波系数来重建单个ERP 信号。系数的选择主要是以对信号+ 噪声还是单独对噪声进行分析为基础。Carmona 和Hudgins 用另一种完全不同的方法来减弱ERP 中的噪声, 他们用Mallat 和zhong 的非线性除噪声算法来从小波最大值处重建ERP 信号。

3.4在图像去噪方面应用：图像去噪方面主要是联合多尺度变换图像去噪，近年来，基于图像去噪算法的研究主要集中在用单一变换对图像进行处理。事实上，不同的变换方法，能够有效地表示一幅图像的不同部分或不同的特征。小波变换在处理一维，也就是点奇异性时具有独特的优势，脊波变换在处理线奇异性时比较有效，曲波变换在处理曲线奇异性时能够达到更稀疏的表示等。一些研究提出了一种有效的图像处理方法：小波与多尺度变换联合图像去噪方法。此方法有多种形式，其中一种形式是将小波变换融合进多尺度变换中，以实现一种新的多尺度变换，然后再利用这种新的多尺度变换进行图像去噪。例如将Contourlet 变换中第一步的LP 滤波器改用小波变换来代替，在小波变换后的各LH、HL、HH高频子带上再用方向滤波器得到小波-Contourlet 变换后的系数矩阵。然后就可以将这种小波

-Contourlet 联合多尺度变换应用到图像去噪中。方法实现步骤：

（1）对加噪图像进行小波-Contourlet 变换，得到不同尺度不同方向上的变换系数；（2）对变换系数进行分层硬阈值处理；

（3）对处理后的变换系数进行反变换进而得到去噪后的图像。

还有一种形式是根据图像各部分的特性，对图像进行分块处理，分别利用各种变换表示方法的优点对其进行分块分类分解表示。例如文献[31]中基于小波包变换在处理图像中的平滑区域时能够起到较好的效果，而Curvelet 变换可以更好地逼近线性奇异高维函数，对图像的边缘区域有最稀疏的表示。在上述基础上提出了基于二者联合的图像去噪算法[31]，在对含噪图像进行分割后，分别对线性区域和平滑区域采用Curvelet 阈值去噪处理和小波包阈值去噪处理。该方法充分发挥了二者各自的优势，实验表明，它对图像的去噪效果要优于单纯的Curvelet 或小波包去噪方法。另一种同样将小波变换与Ridgelet 变换联合，首先用脊波表示图像中的1 维奇异，再用小波表示图像中的0 维奇异，利用脊波和小波各自的优点，扬长补短，从而提出基于脊波与小波变换的联合图像去噪方法（RWT）。

该方法具体描述为：首先利用脊波分解中较大的系数探测图像的线性特征，即2 维图像的主要方向信息特征，然后利用这些系数重构图像，并用原含噪图像减去该重构图像得到残差图像，因线性特征并不包含图像中的点状噪声信息，因此通过设置比较小的脊波系数阈值可将点状噪声留在残差图像中，重构图像将主要包含图像中的方向信息、边缘等1 维奇异特征；对于残差图像，再利用小波阈值去除残留在其中的点状奇异，即噪声；最后将去噪后的残差图像与脊波重构图像相加得到最终去噪结果。理论分析和实验结果都表明，与传统的小波阈

值方法或脊波去噪方法相比较此方法有明显的去噪效果。该方法不但可以保持图像的边缘和良好的视觉特性，而且去噪后图像的峰值信噪比可再提高将近2 dB，算法处理的时间复杂度为O（N log（N））。

4、小波理论的发展趋势

小波分析理论虽然在许多应用领域已取得了一定的成果, 但专家预言小波分析的真正高潮还没有到来, 因为小波分析还面临着许多问题和机遇：

(l)小波理论尚不完善, 除一维小波理论比较成熟以外,高维小波、向量小波的理论还远非人们所期待的那样, 特别是各类小波, 如正交小波、双正交小波及向量小波、二进小波、离散小波的构造和性质的研究。也许向量小波及高维小波的研究能够为小波分析的应用开创一个新天地。

(2)最优小波基选取方法的研究。虽然国内外已有一些最优基选取方法的研究, 但缺乏系统规范的最佳小波基选取方法。

(3)目前小波分析软件远不如有限差分方法、有限元方法等软件成熟和完善, 更无大型系统权威的小波分析软件, 作为商品的高水平小波分析软件几乎没有。

(4)基于神经网络的智能处理技术没有小波理论的嵌人很难取得突破。非线性科学的研究正呼唤小波分析, 也许非线性小波分析是解决非线性科学问题的理想工具。