二维正态分布

第14讲 二维正态分布 中心极限定理

教学目的：了解二维正态分布，理解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯

定理。

教学重点：独立同分布的中心极限定理。

教学难点：应用独立同分布的中心极限定理解决实际问题。 教学学时：2学时 教学过程:

第四章 正态分布

§4.4 二维正态分布

定义 若二维连续随机变量),(Y X 的联合概率密度为

]

)

()

)((2)

([)

1(212

2

2

2

2

2

121

),(y

y y

x y x x

x y y x r x r

y

x e

r

y x f σ

μσ

σμμσ

μσπσ

-+

---

----=

（ +∞<<∞-+∞<<∞-y x , ）

则称),(Y X 服从二维正态分布，记作 ),,,,(~),(222r N Y X x y x σσμμ。其中y x μμ,，

1|| ,0 ,0<>>r y

x

σ

σ

都是分布的参数。

),(y x f 满足概率密度的两条基本性质：

（1）0),(≥y x f 。 （2）?

?

+∞

∞

-+∞

∞

-=1),(dxdy y x f 。

下面我们来讨论二维正态分布的边缘分布问题。 随机变量X 的边缘概率密度为

??∞+∞--∞

+∞--=

=dy e

r

dy y x f x f y x u y

x X )

,(2

121

),()(σ

πσ

其中

]

)())((2)

([

)

1(21),(2

2

2

2

2

y

y y x y x x

x y y x r x r y x u σμσσμμσμ-+-----=

2

2

22

])

([

)1(212)(x

x y

y

x

x x r y r x σμσ

μσμ--

--+

-=

设

t x r y r

x

x y

y

=--

--])

([

121

2

σμσ

μ，则有

?∞

+∞--

--

=

dt e

e

x f t

x x

X x

x 2

2)(2

2

2

21

)(σμπσ

22

2)(21x x x x

e σ

μσ

π--

=

由X 与Y 的对称性可求得Y 的边缘密度为

)(y f Y 22

2)(21y y y y

e σ

μσ

π--

=

由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布，并且可以知道

)(,)(),(),(Y D X D Y E X E y

x y x =

=

==σ

σμμ

下面我们可以看到参数r 为随机变量Y X ,的相关系数。

)

()

()]}

()][({[)

()(),cov(),(Y D X D Y E Y X E X E Y D X D Y X Y X R --=

=

??+∞

∞-+∞

∞---=

dxdy y x f y x y x y

x ),())((1

μμσ

σ

r =（定积分计算略）

注 由第三章的内容可知，若随机变量X 与Y 相互独立，则相关系数0),(=Y X R ；但是，当0),(=Y X R 时，X 与Y 却不一定相互独立。然而，在正态分布的情形下，当相关系数0),(==r Y X R 时，二维正态分布的联合概率密度可化为

]

)()

[2122

22

21),(y

y x

x y x y

x e

y x f σ

μσμσ

πσ-+--=

2

2

2)(21x x x x

e σ

μσ

π--

=

.

2

2

2)(21y

y y y

e

σμσ

π--

=.)()(y f x f Y X

所以，若随机变量),(Y X 服从二维正态分布，则随机变量X 与Y 相互独立的充要条件是0=r 。

例1 若随机变量X 与Y 相互独立，都服从标准正态分布)1,0(N ，求随机变量 函数22Y X Z +=的概率密度。

解 由于X 与Y 都服从标准正态分布)1,0(N ，概率密度分别为

2

2

21)(x

X e

x f -=

π

，2

2

21)(y

Y e

x f -

=

π

又随机变量X 与Y 相互独立，联合概率密度为

2

2

2

21),(y x e

y x f +-=

π

由此得随机变量22Y X Z +=的分布函数

)()()(2

2

z Y

X

P z Z P z F Z ≤+=≤=

当0≤z 时，显然有0)(=z F Z ；当0>z 时，有 dxdy

e

z F z

y x y x Z ??

≤++-

=

2

2

2

22

21)(π

2

20

2

1212

z z

e

d e

d -

-

-==??

ρρθπ

π

ρ

所以z 的分布函数为

???

??

≤>-=-0

01)(2z z e

z F z Z

由此得z 的概率密度为

???

??≤>=-0

021)(2z z e

z f z

Z 注 若随机变量X 与Y 相互独立，都服从标准正态分布)1,0(N ，则随机变量函数22Y X Z +=的分布称为自由度为2的2χ分布。

§4.5 中心极限定理

中心极限定理是研究在适当的条件下独立随机变量的部分和∑=n

i i X 1

的分布收敛于

正态分布的问题。

定理1 （林德伯格（Lindeberg ）—列维（Levy ）中心极限定理）设相互独立的随机变量 ,,,,21n X X X 服从同一分布，且 μ=)(i X E ， ,,,2,1,0)(2

n i X D i =>=σ，

则对于任意实数x ，有

?∑∞

--

=∞→=??

?

????

???????≤-x

t

n i i n dt e

x n n X P 2

12

21lim π

σμ

定理的证明略，仅对定理的含义作一些说明。

设∑

==

n

i i

n X Y 1

，则有

∑∑====

=n

i n

i i i n n X E X E Y E 11)()()(μ

∑∑====

=n

i n

i i i n n X D X D Y D 1

1

2

)()()(σ σ

σ

σn n Y n ==

2

)(

又设随机变量σ

μ

σn n X Y Y E Y Z n

i i

n n n n ∑=-=

-=

1

)

()

(，则n Z 的分布函数

=≤=)()(x Z P x F n Z )(

1

x n n X P n

i i ≤-∑

=σ

μ

趋于标准正态分布函数。

结论 设相互独立的随机变量n X X X ,,,21 服从同一分布，已知均值为μ，方差为

02

>σ

，但分布函数未知。当n 充分大时，随机变量n X X X ,,,21 的和∑

==

n

i i

n X Y 1

将近

似地服从正态分布),(2σμn n N 。

推论 设相互独立的随机变量n X X X ,,,21 服从同一分布，已知均值为μ，方差为

02

>σ

，但分布函数未知。当n 充分大时,∑

==

n

i i

X n

X 1

1近似服从正态分布),

(2

n

N σ

μ。

由推论知，不论n X X X ,,,21 服从什么分布，只要它们相互独立且服从同一分布，则它们的平均数X ，当n 充分大时，总是近似地服从正态分布。

例2 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的。问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候?

解 令),260,2,1( 0

1 =??

?=k k k X K 个分机不用外线

第个分机要用外线第，26021,,,X X X 是260个相

互独立的随机变量，且04.0)(=i X E 。26021X X X m +++= 表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的x 使%95}{≥

?

∞

--

≈

??

?

????

?

?

?--≤

--=

t

dt

e

p p p x p p p m P x m P 2

2

21)1(260260)

1(260260}{π

查得95.09505.0)65.1(>=Φ，故取65.1=b 。于是有

61.1504.026096.004.026065.1260)1(260≈?+???

=+-=p p p b x

也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候。

例3 用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，

一箱内装200袋味精。求一箱味精净重大于20500克的概率。

解 设一箱味精净重为X 克，箱中第k 袋味精的净重为k X 克，200,,2,1 =k 。则

200

21,,,X X X 是相互独立的随机变量，且100)(,100)(==k k X D X E ，200,,2,1 =k 。

故

2100

)(,

20000)(,20000)()(20021===+++=X D X D X X X E X E

因而有

}20500{1}20500{≤-=>X P X P

0002.0)54.3(12100

5002

100

200001=Φ-≈?

??

?

?

?≤

--=X P

定理2 （德莫佛（De Movire ）—拉普拉斯（Laplace ）中心极限定理）设在独立试验序列中，事件A 发生的概率为p )10(<

?∞

--

∞→=??

????????≤--x

t

n n dt e

x p np np Y P 2

2

21)1(lim π

证 随机变量i X 表示事件A 在第i 次试验中发生的次数),,2,1( n i =，则这些随机变量相互独立，服从相同的“0-1”分布，且有 ,,,2,1),1()(,)(n i p p X D p X E i i =-==，

则∑

==

n

i i

n X Y 1

。由定理1知

?∑∞

--

=∞→∞→=

???

?

???

???????≤--=??

?????

?

??≤--x

t

n i i n n n dt e

x p np np X P x p np np Y P 2

12

21)1(lim )1(lim π

注 在n 次独立试验中，事件A 发生的次数),(~p n B Y n 。定理2说明：当n 充分大时，服从二项分布的随机变量n Y 将近似地服从正态分布。一般来说，当n 较大时，二项分布的概率计算非常复杂，这时我们可以用正态分布来近似地计算二项分布。计算

公式为

})

1()

1()

1({

}{)

1(21212

1

p np np n p np np m p np np n P n m n P p p C n n n k n k

n k k n --≤

--≤

--=≤≤=-∑

=-

))

1((

))

1((

12p np np n p np np n --Φ---Φ≈

例4 设随机变量X 服从)8.0,100(B ，求}10080{≤≤X P 。 解

)

)

1(100)

1()

1(80(

}10080{p np np p np np X p np np P X P --≤

--≤

--=≤≤

≈)2

.08.01008080(

)2

.08.010080100(

??-Φ-??-Φ

5.05.01)0()5(=-=Φ-Φ=

例5 某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电量多少是相互独立的。求：

（1） 同一时刻有8100户以上用电的概率。

（2） 若每户用电功率为100W ，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的

概率供应居民用电？

解 （1）设随机变量n Y 表示在10000户中同时用电的用户，则),8.0,10000(~B Y n 于是402.08.010000)1(,80008.010000=??=-=?=p np np 。 所求概率为

)50)

1(5.2()100008100(≤--≤

=≤≤p np np Y P Y P n n

≈0062.09938.01)5.2()50(=-=Φ-Φ

（2）若每户用电功率为100W ，则n Y 户用电功率为100n Y W 。设供电站功率为Q W,则由题意得

)40

8000

100/)

1((

)100

()100(-≤

--=≤

=≤Q p np np Y P Q Y P Q Y P n n n

≈975

.0)40

8000

100/(

=-ΦQ

查表可知975.0)96.1(=Φ，故96

.140

8000

100/=-Q ，807840=Q 。所以，电站供电功率

不应少于807.84kW 。