第十册 教材知识全解 质数和合数

3 质数和合数

课标要求全解

目标指南

1.掌握质数和合数的意义，了解1的特殊性。

2.能判断一个数是质数还是合数，找出100以内的质，熟记20以内的质数。

3.理解质因数和分解质因数的意义，并会分解质因数。

重点难点

重点：判断质数、合数的方法。

难点：质数、合数同奇数、偶数的区别。

教材知识全解

知识讲解

知识点一质数和合数的意义

问题导入找出1～20各数的因数，看看它们的因数有什么规律?

过程讲解

1.找出1-20各数的因数：

1的因数有1 2的因数有1，2。

3的因数有1，3。4的因数有l，2，4。

…………

15的因数有1，3，5，15。16的因数有1，2，4，8，16。

17的因数有1，17。18的因数有1，2，3，6，9，18。

19的因数有1，19。20的因数有1，2，4，5，10，20。

判断一个数是合数还是质数，关键看它含有因数的个数。

像2，3，5，7，…这样的数叫做质数，也叫做素数。

像4，6，8，9，…这样的数叫做合数。

3.1的特殊性：质数有两个因数，合数有两个以上因数，1既不符合质数的意义，也不符合合数的意义，因此1既不是合数，也不是质数。

归纳总结一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(或索数)；一个数，如果除了1和它本身外，还有其他的因数，这样的数叫做合数。

拓展提高 1.按因数个数的多少给自然数(0除外)分类，可以分三类：质数、合数和1。

2.自然数的个数是无限的，合数和质数的个数也是无限的，没有最大的合数和最大的质数；有最小的质数和最小的合数，最小的质数是2，最小的合数是4。

知识点二制作100以内的质数表

问题导入找出100以内的质数，做一个质数表。

方法讲解

方法一：报据质数和合数的意义，看每个数的因数个数，找出100以内的质数，然后做成一张表格。

方法二：筛法：划掉2、3、5、7每个质数的所有倍数，它们本身除外。先划掉1；2是质数，留下，把2后面所有2的倍数划去；2后面没划去3，把3留下，再把3后面所有3的倍数划去；一直划到7的倍数，就把所有合数都划掉了。如图所示：

归纳总结制作100以内质数表的方法：(1)根据质数、合数的意义找出100以内质数，然后制成表格。(2)用“筛法”找出100以内质数，划去10以内质数的所有倍数(它们本身除外)，找出100以内的质数，然后制成表格。

拓展提高 1.质数中只有2是偶数，2是唯一的偶质数。除2外，其他质数都是奇数。但奇数不完全是质数。例如9、15是奇数.但不是质数，是合数。

2.偶数和合数之间有一定联系：除2外，所有的偶数都是合数；但合数不完全是偶数。例如45和51是合数，但不是偶数。

知识点三质因数和分解质因数的意义

问题导入下面的几个合数，都写成了几个质数相乘的形式。质数和合数有什么关系?

6＝2×3 28＝2×2×7 30＝2×3×5

意义讲解

1.质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数。

解题关键

只有合数才能分解质因数，才能有质因数。

2.分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。

3.质因数和分解质因数的区别：质因数是一个具体的数，而且必须是质数，它是相对于

某个合数而言。而分解质因数不是一个具体的数，而是把一个合数进行拆分的过程，使之是几个质数相乘的形式。

拓展提高 1.质因数和因数的区别：因数可以是任何数，可以是1和0，也可以是质数和合数。质因数只能是合数的因数，不能单独存在，而且必须是质数，才能称为某个数的质因数。例如：4是12的因数，但不是12的质因数。

2.质因数和质数的区别：质数是对一个数的性质而言，它是独立存在的；质因数只相对某一合数而言，不独立存在，只有是质数时才能称为质因数，例如：1是10的因数，但1不是质数，因此不是10的质因数。

知识点四分解质因数的方法

问题导入把60分解质因数。

方法讲解

方法一：“树枝”图式分解法。

(1)先把60分解成两个数相乘形式，60分解成2×30。

(2)2是质数，不需再分解；30是合数，需再进行分解；直到所有因数是质数为止。

(3)写出分解结果。合数后面写等号，然后把分解出的质数用连乘形式写在等号后。

分解过程如图所示：

要点提示

“树枝”图式分解质因数写时较麻烦，一般不采用这种方法。

也可以先把60分解成6×10或4×15，然后再依次分解。如图：

从60的分解过程可以看出，60的质因数是2、3、2、5这四个数，分解过程中只是2、2、3、5的顺序不同。

知识回顾

短除法是除法的简化，“”是短除符号，相当于除法中的除号。

方法二：短除法分解质因数。

1.把要分解的数60写在短除号里。

2.用60的质因数去除，一般从最小的质因数开始。

3.直到商是质数为止。

4.把除数和商写成相乘形式。

分解过程如下：

60＝2×3×2×5

分解方式不仅有以上一种，还有其他分解方式，也可以按如下方式分解：

60＝3×5×2×2 60＝5×3×2×2 60＝3×2×5×2

归纳总结 1.分解质因数的方法：(1)“树枝”图式分解法；先把合数写成两个数相乘形式，然后看这两个因数是质数还是合数。如果是合数，就要继续再分解成两个数相乘的形式，直到所有因数都是质数为止，最后把这个合数用质数相乘的形式表示出来。(2)短除法分解质因数：除数一定用质数，一般按照从小到大的顺序，从最小的质数开始除。如果商是合数，就一直除下去，直到最后的商是质数为止，然后把各个除数和商写成相乘的形式。

2.分解质因数的书写方法：把要分解的数写在等号的左边，把它的质因数相乘写在等号右边。

误区警示

误区一把21分解质因数。

3×7×1＝21

错解分析分解过程中商7已经是质数，还用7除，所写商1不是质数，书写时21放在等号左边，除数和商应放在右边。

正确解答

21＝3×7

温馨提示不能把质因数相乘写在等子左边，合数写在右边，那是一个算式，不是分解质因数。分解时，商不能是1，1不是质数。

误区二判断：质数5的倍数还是质数。(√)

错解分析5的倍数是5与其他非零自然数的乘积，除了5乘1是5本身外，其他积至少含有5、另一个自然数、积本身、还有1等因数，应是合数，如2×5＝10，3×5＝15，…其中10、15均是合数。

正确解答(×)

温馨提示一个质数的倍数不都是质数，除它本身外，其他倍数都是合数，一个合数的倍数都是合数。

考点题库

1.(重点题)把苹果放入相应的筐内。

答案：奇数：1 17 311 87

偶数：2 8 0 156

质数：2 311 17

合数：8 87 156

2.(难点题)我能填得对。

(1)1～20中，既是奇数又是质数的有( )，既是奇数又是合数的有( )，既是偶数又是质数的是( )，既是偶数又是合数的有( )，既不是质数，也不是合数的是( )。(2)一个三位数，百位上是奇数又是合数的最小自然数，十位上是一位数的最大质数，个位上是最小的合数，这个数是( )。

答案：(1)3，5，7，11，13，17，19 9，15

2 4，6，8，10，12，14，16，18，20 1

(2)974

3.(易错题)我能做判断。

(1)两个质数相乘，积是合数。( )

(2)偶数不全是合数，奇数不都是质数。( )

(3)奇数与偶数相乘，积一定是合数。( )

(4)一个合数的因数个数比一个质数的因数个数多。( )

答案：(1)√(2)√(3)×1×2=2，2是质数。(4)√

4.(变式题)我来猜—猜。

(1)它是一个小于45的两位数；它是一个质数，其数字之和是7，数字之差是1，这个数是_____________。

(2)它是一个三位数；它是偶数，它是222的倍数，其数字之和是12，这个数是___________。

(3)把一个数分解质因数，这个数含有2个质因数2，1个质因数7，这个数是___________。答案：(1)43 (2)444 (3)28