韦达定理的运用

一元二次方程跟与系数关系（韦达定理）的应用

一教材分析

本节教学内容为“韦达定理的应用”，此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的关系”中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标:

二教学目标

1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。

2、提高学生综合应用能力

三教学重难点

重点:运用韦达定理解决方程中的问题

难点:如何运用韦达定理

四教学过程

(一 ) 回顾旧知，探索新知

上节课我们学习了韦达定理，我们回忆一下什么是韦达定理?

如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x

那么a

c x x a b x x =?-=+2121, {老师:由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根与系数的关系，如果在方程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢?今天我们将来探讨这个问题。)

(二) 举例分析

例已知方程0652=-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。

请同学们分析解题方法:

思路:应用解方程的方法，带入法

解法一:把X=2代入方程求的K=-7

把K=-7代入方程:06752=--x x 运用求根公式公式解得5

3,221-==∴x x 提问:同学们还有没有其它方法呢?

启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理建立一个关系，求解方程。

解法二:设方程的两根为21,x x ，则21,2x x =是未知数

用韦达定理建立关系式5

3,56222-=∴-=x x 7,5

3,27,52212-=-==∴-=∴-=+k x x k k x 对比分析，第二种方法更加简单

总结:在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某

些代数式的值

例2 不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的

（1）平方和；（2）倒数和

方法小结:

(1)运用韦达定理求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用2121,x x x x ?+的代数式表示。

(2)格式、步骤要求规范: ①将方程的两根设为。 ②求出2121,x x x x ?+的值。 ③将所求代数式用2121,x x x x ?+的代数式表示。 ④ 将2121,x x x x ?+的值代人并求值。

三综合运用巩固新知

1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是

解

：

2、设21,x x 是方程03422

=-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。

(1)()()1121++x x (2)()2

21x x - (3)2

112x x x x + 3 已知方程032=+-

m x x 的两根差的平方是17，求M 的值

板书设计

韦达定理及其应用

韦达定理及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，则，。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【要点讲解】 1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。

★★★例2若，且，试求代数式的值。思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。 4．研究方程根的情况

韦达定理的运用

一元二次方程跟与系数关系（韦达定理）的应用一教材分析本节教学内容为“韦达定理的应用”，此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的关系”中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标: 二教学目标 1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。 2、提高学生综合应用能力三教学重难点重点:运用韦达定理解决方程中的问题难点:如何运用韦达定理四教学过程 (一 ) 回顾旧知，探索新知上节课我们学习了韦达定理，我们回忆一下什么是韦达定理? 如果)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 那么a c x x a b x x =?- =+2121, {老师:由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根与系数的关系，如果在方程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢?今天我们将来探讨这个问题。) (二) 举例分析例已知方程0652 =-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。请同学们分析解题方法: 思路:应用解方程的方法，带入法解法一:把X=2代入方程求的K=-7 把K=-7代入方程:06752 =--x x 运用求根公式公式解得5 3,221- ==∴x x 提问:同学们还有没有其它方法呢? 启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理建立一个关系，求解方程。

解法二:设方程的两根为21,x x ，则21,2x x =是未知数用韦达定理建立关系式 5 3 ,5622 2-=∴-=x x 7 ,5 3 ,27 ,5 2212-=-==∴-=∴-=+k x x k k x 对比分析，第二种方法更加简单总结:在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某些代数式的值例2 不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的（1）平方和；（2）倒数和方法小结: (1)运用韦达定理求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用2121,x x x x ?+的代数式表示。 (2)格式、步骤要求规范: ①将方程的两根设为。 ②求出2121,x x x x ?+的值。 ③将所求代数式用2121,x x x x ?+的代数式表示。 ④ 将2121,x x x x ?+的值代人并求值。三综合运用巩固新知 1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是解： 2、设 2 1,x x 是方程03422 =-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。

韦达定理在解析几何中的应用

韦达定理在解析几何中的应用陈历强一，求弦长在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式： ∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +?=)1](4)[(221221k x x x x +-+ 或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣2 11k + ? =) 11](4)[(2 21221k y y y y + -+ ，立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。请看下面的例子：例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。解：易知直线的方程为y=2(x-2 p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x- 2 p ) 消去x 得 y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d= 2 5p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________. 分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得 x 1+x 2= 1 4162 +k k = 4得k= 2 1.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数

韦达定理及其应用

韦达定理及其应用 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0 后，由恒等式可得，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。 4．研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程的实根符号判定有下述定理： ⑴方程有二正根，ab<0，ac>0； ⑵方程有二负根，ab>0，ac>0； ⑶方程有异号二根，ac<0； ⑷方程两根均为“0”，b=c=0，； ★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。 ⑴二根均大于1； ⑵一根大于1，另一根小于1。思路设方程二根分别为，，则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。

利用韦达定理巧解数列通项

龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/921390095.html, 利用韦达定理巧解数列通项作者：郭炅来源：《科教导刊》2017年第35期摘要本文介绍了从一元二次方程的角度去看待连续两项的对称二次式，通过韦达定理实现条件的降次，化简，从而求出数列的通项。把方程的思想运用于数列中，实现了知识的交汇，有利于提高学生的解题能力。关键词高中数学数列通项韦达定理巧解数列中图分类号：G633.6 文献标识码：A DOI：10.16400/https://www.360docs.net/doc/921390095.html,ki.kjdkz.2017.12.036 Abstract This paper presents a new way to treat symmetric quadratic expression whose adjacent terms are consecutive from the angle of quadratic equation of one unknown. It is based on Viete theorem to simplify and reduce the order of the equations so as to calculate the general term of sequence. Applying the method of equations realizes the comprehensive use of knowledge and can help improve students’ problem solving ability. Keywords high school mathematics； general term of sequence；Viete theorem； clever solution to the progression problems 求数列的通项公式是数列问题中的重要题型之一，它通常作为解题的着眼点和关键点，是高考中的重点，比赛中的难点。在求解数列通项问题中，一种是已知数列类型和数列中的几项求通项，另一种是由给出的递推式求通项，所以求解通项公式的方法灵活、策略多变。而对于二次多项递推式，由于项数较多且二次项比较难处理，很难通过常规方法解决。但是从二次方程的角度去联想，若能利用二次方程的韦达定理，通过两个根找到新的关系式，就能够起到化繁为简的作用，有意想不到的效果。对于形如的连续两项的对称二次式，可以利用韦达定理求出通项。解：已知整理得 ① 由于其为对称式，交换①式中和可得 ② ②式中用代替得到

蝴蝶定理

一、蝴蝶定理的发展历程简介：。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P、Q，则PM＝QM 由于此图形似只蝴蝶飞舞，故此定理因此而得名：蝴蝶定理。此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，有意思的是，迟到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。笔者结合自己的证明和收集别人的研究，整理证法十种，以飨读者。证法1 （证∠POM＝∠QOM）作CF、DE的弦心距OG、OH，连OM，则OM⊥AB且OGPM四点共圆。 ∴∠POM＝∠PGM…①。同理，∠QOM＝∠QHM…② ∵△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE ∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，∴MF﹕FG＝MD﹕DH ∠F＝∠D ∴△MFG∽△MDH，∴∠MGF＝∠MHD…③

由①②③得：∠POM＝∠QOM ∴PM＝QM 证法2 （作△PMD′≌△QM D）作C关于直线OM的对称点C＇连C＇M交⊙O于D＇，则AC弧＝BC＇弧，MD＇＝MD，∠PMD＇＝∠QMD ∠CPM＝0.5AF弧＋0.5BC＇C弧＝0.5AF弧＋0.5AC弧＋0.5CC＇弧＝0.5FCC＇弧＝∠FD＇M 从而PFD’M四点共圆。 ∴∠PD’M＝∠PFM＝∠D ∴在△PD’M与△QDM中 ∠PD’M＝∠D MD’＝MD ∠PMD’＝∠QMD ∴△PMD’≌△QMD ∴PM＝QM 证法3 （利用梅氏定理）延长CF、ED相交于G点。

教案韦达定理

教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标 1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力； 2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养逻辑思维及创新思维能力。二、教学重点、难点 1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导． 2．教学难点：韦达定理的灵活应用．三、课前练习： x2+2x﹣4=0 3x2+2x﹣6=0 2x2﹣5x﹣3=0 x 1+x 2 =? x 1 +x 2 =? x 1 +x 2 =? x 1?x 2 =? x 1 ?x 2 =? x 1 ?x 2 =? （一）定理的发现及论证问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？ x1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根． ∴ a ac b b x 2 4 2 1 - + - =， a ac b b x 2 4 2 2 - - - =.()0 4 2≥ -ac b

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则 1212b c x +x =x x =a a -?，。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。其逆命题：如果12x x ，满足1212b c x +x =x x =a a -?，，那么12x x ，是一元二次方程 ()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。（1）、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。韦达（法国1540－1603）

韦达定理应用资料资料全

韦达定理的应用一、典型例题例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。解：设另一个根为x1，则相加，得x 例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和. 解：∵又 ∴代入得，∴新方程为例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为 ∴，。 ∴以为根的一元二次方程即为.

例4：解方程组解：设∴. ∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6. ∴解方程组∴可解得例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。又a，b为方程两根。∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且 ∴∴ ∴m=5或6 当m=6时，∴m=5 ∴S. 例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根 ①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴m>7

②∵ ∴不存在这样的情况。 ③ ∴m<7 ④ ∴m=7 ⑤ ∴m=15.但使 ∴不存在这种情况【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于 2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q= 3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（） A．±8 B.8 C.－8 D.±4 4. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？ 5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值围。

韦达定理及其应用

韦达定理及其应用集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式的值。思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。

说明由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。 4．研究方程根的情况将韦达定理和判别式定理相结合，可以研究二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程的实根符号判定有下述定理： ⑴方程有二正根，ab<0，ac>0； ⑵方程有二负根，ab>0，ac>0； ⑶方程有异号二根，ac<0； ⑷方程两根均为“0”，b=c=0，； ★★★例5设一元二次方程的根分别满足下列条件，试求实数a的范围。 ⑴二根均大于1； ⑵一根大于1，另一根小于1。思路设方程二根分别为，，则二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。

浅谈韦达定理的应用(105620)

浅谈韦达定理的应用齐贤学校匡双霞【趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间的应用： 1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。 2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。 3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。 4. 一元二次方程的验根。 5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。 6. 与判别式的综合应用。【中考真题欣赏】例1 (2001年河南省)已知关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数根,?y 1,y 2是关于y 的方程y 2 +(2-b)y+4=0的两个根,二次方程. 解析 ∵关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, ∴ △ = (4b)2 -4×4×7b=0, 即b 2-7b=0. ∴b 1=0, b 2=7. 当b=0时,,关于y 的方程化为y 2+2y+4=0, 因△=4-16=-12<0,方程无解. 当b=7时,关于y 的方程可化为y 2-5y+4=0,

韦达定理推广的证明.doc

韦达定理推广的证明

证明：当＝b^2- 4ac≥0时 ,方程 ax^2+bx+c=0(a≠ 0) 有两个实根 ,设为 x1,x2. 由求根公式 x ＝(- b±√Δ )/2a,不妨取 x1 ＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(- b+ √Δ)/2a, 则： x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+ √Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(- b+ √Δ)/2a] =[(-b)^2-]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a. 综上 ,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a. 烽火 TA000DA 2014-11-04 若 b^2-4ac=0则方程有两个相等的实数根若 b^2-4ac<0则方程没有实数解韦达定理的推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n 次方程∑AiX^i=0 它的根记作X1,X2?,Xn 我们有 ∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ∑XiXj=( -1)^2*A(n-2)/A(n) ? ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中∑是求和，Π是求积。如果一元二次方程在复数集中的根是，那么由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代

数基本定理，而代数基本定理却是在 1799 年才由高斯作出第一个实质性的论性。 (3)以 x1 ，x2 为根的一元二次方程 (二次项系数为 1) 是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法 ) 在分解二次三项式 ax^2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 X1,x2 ，那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．另外这与射影定理是初中必须射影定理图掌握的 . 韦达定理推广的证明设 x1 ，x2 ，??， xn 是一元 n 次方程∑AiX^i=0 的 n 个解。

韦达定理及其应用

韦达定理及其应用【趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？已知：①a2+2a-1=0,②b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求( 221 ab b a ++ )2004的值。解析由①知1+21 a - 2 1 a =0, 即(1 a )2-2· 1 a -1 =0,③ 由②知(b2)2-2b2-1=0,④ ∴1 a ,b2为一元二次方程x2-2x-1=0的两根. 由韦达定理,得1 a +b2=2, 1 a ·b2=-1. ∴ 221 ab b a ++ =[( 1 a +b2)+ 2 b a ]2004=(2-1)2004=1. 点评本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达定理求解,?难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab2≠0,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解. 【知识延伸】例1已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为71 4 ,求a的值.

韦达定理教案

1 教案：韦达定理一、教学目标 1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力； 2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养逻辑思维及创新思维能力。二、教学重点、难点 1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导． 2．教学难点：韦达定理的灵活应用．三、教学过程（一）定理的发现及论证的值的两根，如何求是方程，提出问题：已知3320132βαβα+=--x x 1.你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）—4和7 问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？观察、思考、探索：2x 2 -5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？问题2；对于一元二次方程的一般式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）是否也具备这个特征？结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，a c x x a b x x =-=+2121,那么结论2．如果方程x 2 +px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．

2 结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．（二）定理的应用例1、关于x 的方程x 2 -2x +m=0 的一根为2 ，求另一根和m 的值。 3222 32.,2310,. 11(1)(2)(1)(1)(3)(4)|| 5x x αβαβαβαβαβαβ--=++++-+例已知是方程的两根不解方程，求下列各式的值（）例2、已知06,221=+-k x x x x x 的方程是关于的两个实数根且115)(212221=+-x x x x ，求k 值。例3已知实数b a ,分别满足的值求且b a b a b b a a 11,22,2222+≠=+=+ （三）总结一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，为进一步学习使用打下坚实基础．韦达定理的内容 ①如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-a b ， x 1·x 2= a c ②如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．

韦达定理及其应用竞赛题

韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，则，。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【要点讲解】 1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。解（1）当a=b时，；（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得，ab=1. 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式的值。思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定

理，得， ∴ 2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。解（1）由韦达定理知，。，。所以，所求方程为。（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0)，(1 -)。 -,1)或(0, 1 -,0)，(0,1)，(2,1)，(2 于是，得以下七个方程，，，，， 1 x2= -，其中0 1 x2= +无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。x2= +，0 x 1 + 2 3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。

韦达定理(含答案)-

第三讲充满活力の韦达定理一元二次方程の根与系数の关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出の数学家韦达发现の．韦达定理简单の形式中包含了丰富の数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数の值；运用韦达定理，求代数式の值；利用韦达定理并结合根の判别式，讨论根の符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题の基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩の数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例1】已知α、β是方程012=--x x の两个实数根，则代数式)2(22-+βααの值为．思路点拨所求代数式为α、βの非对称式，通过根の定义、一元二次方程の变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +の值为( ) A ． 22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22 123 或2 思路点拨可将两个等式相减，得到a 、b の关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x の两实根，这样就为根与系数关系の应用创造了条件．注：应用韦达定理の代数式の值，一般是关于1x 、2x の对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式の求值常用到以下技巧： (1)恰当组合； (2)根据根の定义降次； (3)构造对称式．【例3】已知关于x の方程：04 )2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程の两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m の值及相应の1x 、2x ．思路点拨对于(2)，先判定1x 、2x の符号特征，并从分类讨论入手．

韦达定理及其应用竞赛题

【内容综述】设一元二次方程宀肚…。佃弄°）有二实数根可和也，贝U “f 的关系, 为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【要点讲解】 1. 求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a , b 为实数，且以+力十l = n , “ + 十1 = （］，求石打的值。思路注意a , b 为方程Q +覽+1 = 0的二实根；（隐含A 土 0）。解（1）当a=b 时，（2）当说护■^时，由已知及根的定义可知，a ，b 分别是方程*打"1二D 的两根，由韦达定理得 .b d _ 盘2 +於 _ ?4对'一M)_ [-餌一*1 ..—4 — ---- ---------- -- -------------------- - ----------------- -- / L? h ■ 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式对，工扌程的系数表达出来。一般地，设可「丁为方程宀E = D 的二根，'-卅+对，则有递推关系。其中n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a ，b 值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若榊3=疏+1 ,池27-1 = 口且聊5|,试求代数式也G 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为宀，由根的定义知m n 为方程*-z = 0的二不等实根，再由韦达定理, 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a ， b ，c 称之 b 电等都可以用方的值。

高中数学椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题. 定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：2 2AB OM b k k a ?=- 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有 1212 AB y y k x x -=-，22 1122 22 2222 11x y a b x y a b ?+=????+=?? 两式相减得：2222 1212 22 0x x y y a b --+=整理得：22 2 1222 212y y b x x a -=--，即2 121221212()()()()y y y y b x x x x a +-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以 0012 001222OM y x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ?=- 定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22 221x y a b -=弦AB

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每（AB 不平行y 轴）的中点，则有2 2AB OM b k k a ?= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212 AB y y k x x -=-，22 1122 22 2222 11x y a b x y a b ?-=????-=?? 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：22 2 1222 212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a +-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012 001222OM y x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ?= 例1、已知椭圆22 221x y a b -=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（） A 、 1 2 B 、2 C 、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且1 2 OM k =-，根据定理有2212b a =，即 222 2112 a c e a -=-= ，解得e =，所以B 答案正确. 例2、过椭圆22 1164 x y + =内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程. 解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知1 4 AB OM k k ?=-，显然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为1 1(2)2y x -=--，即 240x y +-=.

判别式与韦达定理的应用

【学习课题】九上补充内容综合应用根的判别式和韦达定理【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系 2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值【学习过程】学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________ △＞0?__________△=0 ?_____________△＜0 ?__________ （2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2 x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________ 解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论：（1）若a 、c 异号 ? ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根；（2）有一个根为1 ? a+b+c=0 ；（3）有一个根为—1 ? a —b+c=0；（4）有一个根为0 ? c=0 （5）有两个正根 ??????+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ? ?? ???+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ????0021＜△＞x x （8）两根同号 ????≥002 1＞△x x （9）两根互为相反数????=?=+0 0021b x x △＞（10）两根互为倒数????=≥102 1x x △ （11）一根为正，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＞△＞（12）一根为负，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＜△＞（13）两根均为0?b=c=0 (14) 一根比a 大，一根比a 小????--0 ))(021＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不等式组即可求出k 的值。

韦达定理的应用

韦达定理 x 型韦达定理 24．【2018河北廊坊八中高三模拟】设圆2 2 4280x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点 ()2,0B 且与x 轴不重合， l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （1）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（2）设()0,2Q ，过点()1,2P --作直线l '，交点E 的轨迹于,M N 两点 (异于Q ),直线 ,QM QN 的斜率分别为12,k k ，证明 12k k +为定值. 【答案】(1) ()221084 x y y +=≠ (2)见解析. 解析（1）如图，因为AD AC =， //EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以 EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+=，又圆A 的标准方程为()2 2 232x y ++=，从而42AD =，所以42EA EB +=,有题设可知()()2,0,2,0A B -，

424EA EB AB +=>=由椭圆的定义可得点E 的轨迹方程为()22 1084 x y y +=≠. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，当l '的斜率不存在时，此时:1l x '=-此时容易解出,M N 的坐标14141,,1,22???? --- ? ? ? ???，此121414 22422 k k +=+ +-=时. 综上可知124k k +=. 点睛（1）动点的轨迹问题，先考虑动点是否有几何性质，然后利用曲线的定义写出曲线方程.（2）解析几何中的定点定值问题，通常把目标转化为1212,x x x x +（或1212,y y y y +）的整体，再用韦达定理转化即可. 25．【2018湖南株洲高三质检一】已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>与直线:0 l bx ay -=

韦达定理与习题

韦达定理与习题Revised on November 25, 2020

一. 本周教学内容：韦达定理的应用二. 重点、难点：灵活应用韦达定理与推论(韦达定理的逆定理) 三.知识回顾在初中数学的学习中，韦达定理及其逆定理的应用是很广泛的，主要有如下的应用： 1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。 2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。 3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。 4. 一元二次方程的验根。 5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。 6. 与判别式的综合应用。【典型例题】例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。解：设另一个根为x则相加，得x 例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x，x，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和解：∵ 又

∴代入得， ∴新方程为例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根解：∵二次实数方程实根共轭。 ∴若是，则另一根为 ∴，。 ∴以为根的一元二次方程即为. 例4：解方程组解：设 ∴. ∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6. ∴解方程组

∴可解得例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b。则2。又a，b为方程两根。 ∴ab=4m（m-2） ∴S 但a，b为实数且 ∴ ∴ ∴m=5或6 当m=6时， ∴m=5 ∴S. 例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根 ①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数