金融工程讲义 第三讲 投资组合(portfolio)理论基础

第三讲 投资组合(portfolio)理论基础

一．单个资产的收益和风险 1．期望收益(expected return)

数学期望(mathematical expectation)的定义：

若离散型随机变量X 的可能值为),2,1( =i x i ，其概率分布为

{}i i p x X P ==， ,2,1=i

则当：

∞<∑∞

=i i i

p x

1

时，称X 的数学期望存在，并且其数学期望记作EX ，定义为：

i i i p x EX ∑∞

==1

对于风险资产而言，其未来的收益是一个随机变量。在不同的经济条件下，这个随机变量将取不同的值，而每一种经济条件的出现都有其概率。把资产收益的不同取值乘以不同经济条件出现的概率，就能够对该资产未来的收益做出估计。

用公式表示为：

i n

i i i i r p p p r E ∑

=---=1

1

1

)( 式中，i r 为该资产收益的第i 状态的取值；i p 为资产收益取值i r 的概率；)(r E 为该资产的期望收益。

例题：已知某种证券在市场状况较好的情况下的投资收益率为45%，在市场状况较差的情况下的投资收益率为-15%，又已知未来市场状况转好的可能性为60%，市场状况转坏的可能性为40%，则该证券的期望收益为多少？

%2121.006.027.0%)40%15(%60%45)r (E ==-=?-+?=

练习题：假设某种证券资产在A 情况下的收益率为35%，在B 情况下的投资收益率为15%，在C 情况下的投资收益率为-20%。A 、B 、C 三种情况发生的概率分别为20%，50%和30%，求这种证券资产的预期收益。

2．收益的方差(Variance)

方差(variance)和标准差(standard deviation)的定义：

设X 为一个随机变量(random variable)，其数学期望EX 存在，则称EX X -为X 的离差(deviation)，进一步，如果2

)(EX X E -也存在，则称2

)(EX X E -为随机变量X 的方差，记作DX 或VarX ，并称DX 为X 的标准差。

在数学上，方差反映的是一个随机变量对于其数学期望的偏离程度。同时，由于我们把投资的风险定义为投资收益偏离预期收益的潜在可能性，因此我们可以用预期收益的方差来作为衡量风险的标准。

注：方差是数据组中各数据值与其算术平均数(arithmetic mean)离差平方的算术平均数，用符号“2

σ”(σ的读音为sigma)来表示。方差的平方根就是标准差，用符号“σ”来表示。在Excel 中可以用VAR 函数计算一组数据的方差。

用公式表示为：

21

2

))((r E r p i n

i i -=∑=σ

即：

∑=-=

n

i i

i

r E r p 1

2

))

((σ

方差或者标准差的数值越大就表示投资收益偏离预期收益的幅度越大，也就意味着投资的风险越大。

例题：已知某种证券在市场状况较好的情况下的投资收益率为45%，在市场情况较差的情况下的投资收益率为-15%，又已知未来市场状况转好的可能性为60%，市场状况转坏的可能性为40%，则该证券期望收益的方差和标准差为多少？

注：在Excel 中可以用SUMSQ 函数作平方（和）运算，也可以用POWER （幂）函数作平方运算，用SQRT 函数作求平方根运算。

题解：

2939

.00864.00864.021%)15%(%40%)21%45(%60222===--?+-?=σσ

练习题：假设某种证券资产在A 情况下的收益率为35%，在B 情况下的投资收益率为15%，

在C 情况下的投资收益率为-20%。A 、B 、C 三种情况发生的概率分别为20%，50%和30%，求这种证券资产预期收益的方差和标准差。

二．投资组合的风险与收益 1．投资组合的构成

资产组合就是由几种资产构成的组合。投资者可以按照各种比率（或者称为比重或权重）将其财富分散投资于各种资产上，假设投资者选择投在n 种资产上的比重为1w 、2w 、…、

n w ，则有如下限制条件：

1121==+++∑=n

i i n w w w w

s. t. 0≥i w ,n i ,,2,1 =

其中：

n =投资组合所包括的资产种类的数量 i =某种特定的资产

i w =分配给第i 种资产的比重

例题：2005年9月12日至9月16日的一个交易周内，按成交量排名的前20位股票如下表

所列。假设A 投资组合是在自9月12日开盘至9月16日收盘的这段投资期间内由这20种股票的每种股票各100股所构成的一个投资组合，则问每一股股票在A 投资组合中所占的权重为多少？

名次

股票代码

股票简称

开盘价

收盘价

持有股数

1600050中国联通 2.67 2.691002600019G 宝 钢 4.45 4.461003600028中国石化 4.32 4.251004600005武钢股份 3.66 3.691005600036招商银行 6.86 6.851006600210G 紫 江 2.5 2.551007600015华夏银行 4.3 4.41008600688上海石化 3.8 3.91009600900G 长 电7.727.5310010600030G 中 信0 5.110011600177雅 戈 尔 3.93 3.8610012600247G 物 华 2.53 2.8110013600027华电国际 3.08 3.1710014600029南方航空 2.75 2.7910015600086*ST多 佳 1.6 1.7610016600816*ST安 信 2.69 3.0210017600851海欣股份 3.78 4.2710018600797浙大网新 3.73 3.8210019600642G 申 能 5.72 5.9910020

600747

大显股份

2.35

2.52

100

演示用Excel 计算每种股票的权重(weight)。

2．投资组合的收益

投资组合的收益率取决于两个因素：各种资产的类别；各种资产的投资比率。投资组合的期望收益率记作)(p R E ，其大小等于投资组合中各种资产的平均收益率与各自的投资比重的乘积之和，即：

)()(1

i n

i i p R E w R E ∑==

其中：

n =投资组合所包括的资产种类的数量

)(i R E =第i 种资产的期望收益率 i W =分配给第i 种资产的比重

例题：求上一个例题中的A 投资组合的收益为多少？

演示用Excel 计算投资组合的收益。

3．投资组合的风险

按照方差的定义，投资组合的方差可以按照下面的方法算出。

21

2

))()((p i n

i i p R E R E w -=∑=σ

即：∑=-=

n

i p

i

i

p R

E R E w 1

2))()((σ 例题：求上一个例题中的A 投资组合的方差和标准差为多少？

演示用Excel 计算投资组合的方差和标准差。

三．资产的相关关系和投资组合的风险规避 1．资产的相关关系(dependency relationship) ⑴随机向量的协方差(covariance)

协方差的定义：设),(Y X 为二维随机向量，EX ，EY 均存在，如果

[]))((EY Y EX X E --存在，则称其为随机变量X 与Y 的协方差，记作),cov(Y X ，即：

[]))((),cov(EY Y EX X E Y X --=

注：在Excel 中可以用COVAR 函数计算两组数据的协方差。

⑵相关系数(coefficient of correlation)

相关系数的定义为：设),(Y X 是一个二维随机向量，X 和Y 的方差均存在，且均为正，则称

DY

DX Y X Y X ),cov(,=

ρ

为X 与Y 之间的相关系数。

注：“ρ”的读音为“rho ”。

⑶用协方差形式表示的投资组合的风险

如果将资产i 和资产j 之间的协方差记为ij σ，则投资组合的方差也可以表示为：

∑∑===n i ij n

j j i p w w 11

2

σσ

进一步的投资组合的方差的公式也可以写成：

j i j i j n

i n

i

j j i n

i i i p w w w ,11

1

2

2

2

2ρσσσσ∑∑∑=>==+=

例题：假如我们要构造一个能源投资的Ace 组合，我们选择了雪佛龙德士古(Chevron Texaco)

石油公司和巴罗德(Ballard)燃料电池公司。由于燃料公司提供了替代汽油的清洁能源，所以这两家公司的股票价格运动方向相反。我们设4.0-=ρ，雪佛龙德士古公司股票的标准差和预期回报分别是：%18=c σ，%21=c r 。巴罗德公司股票的标准差和预期回报分别是：

%16=b σ，%15=b r 。求解Ace 组合的标准差和预期回报。

注：“Ace ”一词的英文解释是：“An expert in a given field ”。

题解：

18.015.05.021.05.0=?+?=a r

[]%4.87)16185.05.04.0(2)165.0()185.0(222=????-?+?+?=a σ

%34.9=a σ

⑷用矩阵的形式表示的投资组合的风险：

设有n 种证券其收益为i x ),,2,1(n i =，i x 为随机变量，以向量的形式可表示为：

????

?

?

??????='=n n x x x x x x x 2121),,,(

其数学期望和方差（协方差矩阵）分别为：

????

?

???????==?????????

???=n n x E x E x E x E μμμμ 2121)()()()( ij x x E x σμμ=='--=∑))(()var(

设投资组合投资于第i 种证券的比例为i ω ),,2,1(n i =,用向量表示就是：

????

?

?

??????='=n n ωωωωωωω 2121),,,(

根据前面的假设，由于约束条件为

11

=∑=n

i i

ω

，因此上式也可以写成下述向量的形式：

11='ω

某一投资组合的期望收益就是该组合中所有证券期望收益的加权平均。其数学表达式为：

ωμωω='=')()(x E x E

投资组合的方差为：

))())((()(2''-''-'='x E x x E x E x ωωωωωσ

)))())((((ωω'--'=x E x x E x E ωω))()((('--'=x E x x E x E

∑'=ωω

注： “μ”的读音为“mu ”,“ω”的读音为“omega ”。

2．分散投资、资产相关性和风险的规避

我们已知投资组合的方差)(2p σ可以表示为：

∑∑===n i ij n

j j i p w w 11

2

σσ

当投资者对每种资产进行等额投资时，也就是n

i 1

=

ω，将其带入上式，则有： ∑∑∑∑∑=≠=====+==n i n

i

j j ij

n

j

i i ij

ij n i n

j n n n

p 11

21

2

1122

1

1

1)(σ

σσσ (1)

如果将协方差的平均值记为：

∑∑=≠=-=n i n

i

j j ij n n 11

21σσ 那么，可以把（1）式进一步简化为：

σσσ221

2

2

1)(n n n n

p n j

i i ij -+=∑== σσσn

n n

p n

i i 1

1

)(1

22

2

-+

=∑=……………（2） 当资产组合充分多元化时，也就是+∞→n 时，对（2）式求极限可得（当然假设各证券收益的方差有界）；

σ

σσσ=???

??-+

=∑=+∞→+∞→n

i i n n n n n p 1

222

11

lim )(lim (3)

当资本市场上的资产不是处于完全不相关状态时（这也是资本市场上的一般情况），

0=ij σ不全成立，因而0=ij σ不一定成立。由此我们可以得出重要的结论：当投资组合中

包含有很多风险资产时，对于整个组合的风险而言，个别资产的风险（2

i σ）将不再起作用，而各资产之间的协方差虽然存在着正负相抵的可能，但并不能完全消除。

进一步，如果资产组合中的资产两两不相关，此时0=ij σ，投资组合的风险通过分散化投资可以完全消除。但是这种情况在现实生活中不可能出现，因为资本市场上的资产价格不可避免地会受到某个共同因素的影响，不可能表现为完全不相关的情况。

现在我们来考虑资本市场上的一般情况，即资产不是处于完全不相关时的情况。由（3）式我们知道充分的分散化能够消除资产组合的部分风险，但不能消除组合的全部风险。可以消除的那部分风险称为非系统性风险(unsystematic risk)，也就是（2）中的第一项

∑=n

i i

n 1

22

1σ

；不能够完全消除的那部分风险称为系统性风险(systematic risk)，也就是（2）

式中的第二项

σn

n 1

-。 非系统性风险是某一资产所特有的风险，它是影响特定资产收益的风险因素。例如，对于某一发行证券的企业而言，该企业新产品开发的失败或者应收账款产生呆账等都是只对该企业所发行证券有影响的非系统性风险。而系统风险则对市场上所有的资产都产生影响，如银行利率的下降或者通货膨胀率的上升都不可避免地会影响到整个市场。 试想一下，若有一名投资者构建了一个包括市场上所有资产的投资组合，而且存在一个包括市场上所有资产的市场指数，那么投资者所要做的仅仅是让每种资产的投资比例等于计算市场指数时该资产的权重，就可以完全消除个别资产的非系统性风险。这名投资者所要承担的风险仅仅是指数的波动，也就是系统性风险。