递归最小二(RLS)自适应均衡算法

第三章 递归最小二乘(RLS)自适应均衡算法

§3.1 引言

在自适应滤波系统中，最陡梯度(LMS )法由于其简单获得了广泛的应用。但各种LMS 算法均有收敛速度较慢(收敛所需码元数多)，对非平稳信号的适应性差(且其中有些调整延时较大)的缺点。究其原因主要是LMS 算法只是用以各时刻的抽头参量等作该时刻数据块估计时平方误差均最小的准则，而未用现时刻的抽头参量等来对以往各时刻的数据块均作重新估计后的累积平方误差最小的原则(即所谓的最小平方(LS )准则)。

为了克服收敛速度慢，信号非平稳适应性差的缺点，根据上述内容，可采用新的准则，即在每时刻对所有已输入信号而言重估的平方误差和最小的准则(即LS 准则)。从物理概念上可见，这是个在现有的约束条件下利用了最多可利用信息的准则，即在一定意义上最有效，信号非平稳的适应性能也应最好的准则。这样建立起来的迭代方法就是递归最小二乘(RLS ：Recursive Least Square )算法，又称为广义Kalman 自适应算法。

用矩阵的形式表示RLS 算法非常方便，因此我们首先定义一些向量和矩阵。假定在时刻t ，均衡器的输入信号为t r ，线性均衡器对于信息符号的估计可以表示为

∑-=--=K

K

j j t j

r t c

t I

)1()(? 式(3-1)

让)1(-t c j 的下标j 从0=j 到1-=N j ，同时定义K t v t y +=)(，则)(?t I

变为 ∑-=--=1

)()1()(?N j j

j t y t c t I )()1(t Y t C N N

-'= 式(3-2) 其中)1(-t C N 和)(t Y N 分别为均衡器系数)1(-t c j ，1,,1,0-=N j Λ和输入信号

)(j t y -，1,,1,0-=N j Λ的列向量。

类似的，在DFE 均衡器结构中，均衡器系数)(t c j ，1,,1,0-=N j Λ的前11+K 个系数为前向滤波器系数，剩下的112--=K N K 为反馈滤波器系数。用来预测

)(?t I 的数据为21~,~,,,11K t t t K t I I r r --++Λ，其中21,~K j I j t ≤≤-为判决器先前作出判决的数

据。这里，我们忽略判决器判错的情况，因而21,~

K j I I j t j t ≤≤=--。同时为方便起见定义

?????-≤<≤≤=--+-+)

1()

0()(1111N j K I K j v j t y j K t j K t 式(3-3)

因此

])1(,),1(),([)('+--=N t y t y t y t Y N Λ

],,,,,,[2111'=--++K t t t t K t I I r r r ΛΛ 式(3-4)

§3.2 RLS 自适应算法

RLS 算法对于)(?t I 的估计可以从下面的式子得到。假定我们的观测向量为

)(n Y N ，t n ,,1,0ΛΛ=，我们期望得到均衡器的系数向量)(t C N 使得均方误差的加

权平方和

∑=-=t

n N n t t n e w n 0

2|),(|)(ε 式(3-5)

最小。其中误差定义为

)()()(),(n Y t C n I t n e N N

N '-= 式(3-6)

w 代表遗忘因子，10<

道特性为时变的情况非常合适。

关于权向量)(t C N 的)(n ε最小化便得到下面的线性方程

)()()(t D t C t R N N N = 式(3-7) 其中)(t R N 为信号的自相关矩阵，定义为

∑=-'=t

n n N n t N n Y n Y w t R 0*)()()( 式(3-8)

)(t D N 为互相关向量

∑=-=t

n N n t N n Y n I w t D 0

*)()()( 式(3-9)

式(3-7)的解为著名的Wiener －Hopf 方程

)()()(1

t D t R t C N N

N ?=- 式(3-10) 为了避免复杂的求逆运算，引入一N N ?矩阵

)()(1

t C t P N

N -= 式(3-11) 由式(3-8)有

∑=-'=

t

n N

N n

t N n Y n Y w

t R 0

*

)()()( )()()1(*

t Y t Y t wR N

N N '+-= 式(3-12) 又由矩阵求逆引理有：

??????-'+-'---=-----)()1()()1()()()1()1(1)(*

11

*11

1

t Y t R t Y w t R t Y t Y t R t R w t R N N N N N N N N N

式(3-13) 在上式中定义)()(1

t R t P N

N -=，令 )()1()()(*

n Y t P t Y t N N N N -'=μ 式(3-14)

)

()

()1()(*t w t Y t P t K N N N N μ+-=

式(3-15) )(t N μ为一标量，)(t K N 为一N 维矢量，称为Kalman 增益向量。则

[])1()()()1(1

)(-'--=t P t Y t K t P w

t P N N

N N N 式(3-16) 假定我们在式(3-16)两边右乘以)(*

t Y N

， )]()1()()()()1([1)()(*

**

t Y t P t Y t K t Y t P w t Y t P N N N N N N N N -'--=

)]}()()()]({[1

t t K t K t w w

N N N N μμ-+=

)(t K N = 式(3-17)

因此，Kalman 增益向量可以被定义为)()(*

t Y t P N

N 。 由于

)()()(t D t P t C N N N =

)()()1()(*

t Y t I t wD t D N

N N +-= 式(3-18) 我们得到 )]()()1()][1()()()1([1)(*

t Y t I t wD t P t Y t K t P w

t C N N N N N N N +--'--=

)()1()(1)1()1(*

t Y t P t I w

t D t P N N N N -+--=

)1()1()()('

---t D t P t Y t K N N N

N

)()1()()()(1*

t Y t P t Y t K t I w

N N N N -'-

)]1()()()[()1('

--+-=t C t Y t I t K t C N N N N 式(3-19)

)1()(-'t C t Y N N

为均衡器在t 时刻的输出，也就是 )1()()(?-'=t C t Y t I N

N 式(3-20) 而

)()(?)()1,(t e t I t I t t e N

N ≡-=- 式(3-21) 为期望信号与估计信号之间的误差。因此，)(t C N 可以根据下式来递推更新

)()()1()(t e t K t C t C N N N N +-= 式(3-22)

式(3-22)表明：

t 时刻最佳的)(t C N 值可由1-t 时刻的最佳)1(-t C N 值加一修正量得到。这就是递推最小二乘算法或Kalman 算法。

将上述在推导过程中出现的各式予以整理，可得到正规RLS 算法的计算步骤。由于此算法为迭代型，故应在已得迭代式组外，还注意在计算的初始部分设置合理的初始值组。根据经验设定则一般可得到较快的收敛效果。由于矩阵)(t R N 类似于统计自相关矩阵，而向量)(t D N 近似于互相关向量。应该注意到)(t R N 不是一个Toeplitz 矩阵，对于较小的t ，)(t R N 可能处于病态条件；因而通常初始时需要在

)(t R N 上加上一个N I δ，δ为一个1>>的正常数，N I 为单位阵。由于对于过去的信

号引入了指数权，加上N I δ的作用将随着时间增加而减弱。

正规RLS 算法的计算步骤如下：

步骤1：初始化：令0)0()0(==N N Y C ， 式(3-23)

N N I t P δ=)((δ一般取>>1的正数)，0=n 式(3-24)

步骤2：更新1+=t t

)1()()()(-'-=t C t Y t I t e N N

N 式(3-25) )()1()()(*

t Y t P t Y t N N N

N -'=μ 式(3-26) )

()()1()(t w n Y t P t K N N

N N μ+'-= 式(3-27)

)]1()()()1([1

)(-'--=t P t Y t K t P w

t P N N

N N N 式(3-28) )()()1()(t e t K t C t C N N N N +-= 式(3-29)

在一次迭代当中，正规RLS 算法所需的计算量为乘法N N 532+次，除法1次，

加(减)法N N 5.15.22+次。

我们看到均衡器系数随时间的变化量等于预测误差乘以Kalman 增益向量。由于)(t K N 为N 维， )(t K N 的每一个元素有效地控制着均衡器每一个系数，因而能够得到快速的收敛性质。相反，最陡梯度算法(steepest-descent algorithm )均衡器系数的更新可表示为

)()()1()(*

t e t Y t C t C N N

N N ?+-= 式(3-30) 唯一变化的参数为步长?。

图 3.1给出了这两个算法初始收敛速度的比较，信道选自[3],具有固定参数

26.00=f ，93.01=f ，26.02=f 。信道的特征值为11/min max =λλ。均衡器的所有

系数在初始迭代时置为0。最陡梯度算法的步长选为020.0=?。与最陡梯度算法相比RLS 算法具有较快的跟踪性能和收敛性能。这对于时变信道来说极为重要。例如，短波(HF )信道变化非常快，用梯度算法无法对信号进行均衡。而Kalman 算法就能够足够快地跟踪这种变化。

图3.1 Kalman 算法与梯度算法性能比较

§3.3 几种改进型快速跟踪的RLS 算法

§3.3.1 指数遗忘的加窗RLS 算法和Reset-RLS 算法

RLS 算法广泛的应用于自适应滤波，系统辨识与信号预测。该算法只有在方程误差为0均值的高斯白噪声以及系统模型非时变时才能保证渐进趋于真值。该算法的另一个显著特点是，为了减小预测中的噪声影响，当参数慢慢趋向于真值时，增益向量便接近于0。因此，RLS 算法就有可能跟踪不上信道参数的变化。

为了解决这一问题，在实践当中，人们提出了许多改进的RLS 算法。例如指数遗忘的加窗RLS 算法，避免了增益向量变成0。这一算法的优点是它对于信道参数的变化总是能够起到预防的作用；然而也因为非0的增益向量使得该算法对

信道的扰动和噪声都非常敏感。另外一个方法是一旦检测到信道的变化，就重新初始化迭代协方差矩阵)(t P ，如何检测信道参数的变化就成为该算法的关键。在实际操作中，我们可以通过设置适当的门限来检测信道的突跳。一旦迭代误差超过该门限，RLS 算法便被重新初始化。我们称此方法为复位RLS (Reset －RLS )算法。

§3.3.2 SPRLS 算法

在文献[4]中Park 和Jun 提出了SPRLS 算法(Self －Perturbing Least Squares Algorithm )。它是一种基于前向预测误差来调整RLS 算法的迭代矩阵，前向预测误差越大，意味着信道发生变化的可能性越大。我们再次给出正规RLS 算法：

)()()1(?)(?t e t k t t +-=θθ 式(3-31) )()1(?)()(t t t y t e T φθ--= 式(3-32) )

()1()(1)

()1()(t t P t t t P t k T

φφφ-+-=

式(3-33) )1()()()1()(---=t P t t k t P t P T φ 式(3-34) δ/)0(I P = 式(3-35) 0)0(?=θ 式(3-36) 其中，t 为离散采样时刻，)(?t θ要预测的滤波器权向量，)(t y 是期望的输出信号，)()()(*t n t t y T

+=φθ，*θ为信道的真值向量，)(t n 为量测噪声，)(t e 为前向预测误差，)(t k 为自适应增益向量。

SPRLS 算法在(3-34))(t P 的迭代式中加入一项与预测误差有关的项，即 I t e NINT t P t t k t P t P T ?-?+---=)]1([)1()()()1()(2γβφ 式(3-37) 其中β为常数，)(t e 为前向预测误差，定义为

)()(?)()(t t t y t e T φθ-= 式(3-38)

NINT 函数为四舍五入取整函数，γ为灵敏增益系数，根据系统量测噪声的大小调整其大小，I 为单位阵。

在迭代矩阵中加上一项与前向预测误差有关的项，我们称之为自扰动项。当信道发生变化时, 迭代矩阵受到前向预测误差的扰动，变成非0从而跟踪信道的变化。该误差平方在SPRLS 算法中起着关键的作用，当5.0)(2

当信道参数发生突跳时，该算法比其它普通的RLS 算法性能要好。这一算法在信道参数变化很大而噪声很小时确实很有效，然而当噪声电平很高时上述算法几乎不能工作，原因在于信道参数的变化以及噪声的影响都可能导致较大的前向预测误差。针对上述问题，J.Jiang 和R.Cook 在文献［5］中提出了一个新的方案,也就是我们下面将要介绍的MRLS 算法。

§3.3.3 MRLS 算法

在MRLS 算法当中，迭代矩阵的更新基于一个观测向量与预测向量相关矩阵的函数。由于相关性，这种算法不仅在噪声存在的情况下非常稳健，而且能够快速的跟踪信道参数的变化。

正规RLS 算法的迭代公式已经给出。我们可以看出当迭代时间很长时，增益向量)(t k 已经趋于0，即使信道参数已经改变，)(t θ 和)1(-t θ也非常接近，也就是说RLS 算法失去了跟踪能力。因此 J.Jiang 和R.Cook 提出只要信道参数变化就在)(t P 的迭代式中加上一项正的对角阵，即

I t M y

y f NINT t P t t k t P t P n ?-?+---=|})1(,,,?,[|{)1()()()1()(σγβφ 式(3-39) 2

1

11

12

)(?)(1

)(1

)]1(,,,?,[n

t M

t i t M

t i n i y

i y M i y M

t M y

y f σσ--=-∑∑---=---= 式(3-40)

β、γ定义如同SPRLS 算法。M 代表了运行窗口的大小，它取决于噪声的强度。一旦该扰动项被激活，它便一直起作用直到f 函数的返回值接近于0。

从式(3-40)可以看出，f 函数是包括)(t y 的自相关函数，)(t y 与)(?t y

的互相关函数，以及噪声方差的代数和。由于)(t n 是高斯白噪声，与)(t φ不相关，很容易看出，不管噪声强度多大，当预测参数已经收敛到真值时，一个相当大的M 就使得f 函数的返回值为0。当然，M 的选择应当正比于噪声的方差。另一方面，在任何

噪声电平下，当θ?不等于*θ时，f 函数的值非0。也就是说f 函数对于信道参数的变化很敏感而对于噪声不敏感。由于采用了运行窗口M ，该算法对于信道参数变化的检测有一个时延。M 越大，收敛的速度越慢。事实上这一算法也是在检测时延和抗噪声之间的一种折衷。

结果表明，在噪声很大的情况下，这种改进的RLS 算法可以很好的跟踪时变信道。因为该算法要调整M 的大小，为方便起见我们称这种改进算法为MRLS 算法。

§3.3.4 ISPRLS 算法

虽然MRLS 算法的性能要优于SPRLS 算法，但其灵敏参数γ以及M 窗口的大小要根据噪声的强度进行选择，仍然很不方便。于是Kwang －Seop Eom 等在文献

［6］中提出另一种基于Kalman 滤波的改进型SPRLS 算法。我们称之为ISPRLS 算法(Improved Self-Perturbing Recursive Least Squares Algorithm )。它不需要在不同的噪声条件下改变灵敏参数及窗口大小，能够很好的克服噪声的影响，快速的跟踪信道。

我们同样假定)(t P 为N N ?协方差矩阵，)(t φ为输入向量，)(t y 为系统输出向量，)(?t θ为滤波器的权向量，)(t e 为前向预测误差，)(t Q 为一自扰动项。ISPRLS 算法如下：

)

()1()(1)

()1()(t t P t t t P t k T

φφφ-+-=

式(3-41) )()1(?)()(t t t y t e φθ--= 式(3-42) )()()1(?)(?t e t k t t +-=θθ 式(3-43) )()1()]()([)(t Q t P t t k I t P T +--=φ 式(3-44)

)(t Q 对于决定该算法的性能是否良好是一个关键的因素。因此)(t Q 的设计是

主要要解决问题。为了避免根据噪声的大小来确定参数，该算法基于Kalman 滤波的原理设计出一个新的自扰动项。

假定在某一时刻m t =，系统的真值参数从0)0(θθ=变到m t θθ=)(，时变系统可以表示为

)()}({)1()(m t t t t m --+-=δθθθθ 式(3-45) )()()()(t n t t t y T +=φθ 式(3-46) 其中)(m n -δ为ker Kronec delta 函数。)(t n 为方差为2σ的量测噪声。由Kalman 滤波原理可以得到式(3-44)中的)(t Q 为

I t e E NINT t Q ?-?=|})]([|

{)(2

2

2σσγβ 式(3-47)

其中)]([2t e E 可以由)(2t e 代替，

)()1()1()(222t e t e t e ρρ-+-= 式(3-48)

ρ为实常数，10<<γ。

在式(3-47)和(3-48)中，ρ和γ不需要根据噪声的大小进行选择。因为分母上的

2σ会自动根据噪声的大小来调整)(t Q 。

前面介绍的四种改进型的RLS 算法应用的背景均为信道估值(辨识)，鉴于自适应辨识与自适应均衡都属于自适应滤波系统，我们也期望这些改进型的RLS 算

法应用于均衡器时可以获得较好的性能。在下面一节，我们将给出各种算法的计算机仿真以及结果分析。

§3.4 计算机模拟及结果分析

本节通过计算机模拟来比较各种RLS算法的跟踪能力和收敛性能。在上述SPRLS、MRLS、ISPRLS三种具有相同思想的改进型RLS算法中，由于SPRLS 对于噪声过于敏感，相比MRLS、ISPRLS算法性能较差，故我们选取正规RLS，Reset-RLS，MRLS，ISPRLS这几种算法分别用在信道估值和信道均衡中，并进行了比较。

§3.4.1 计算机仿真

仿真1，我们选择文献［4］中的例子，在不同的信噪比下比较Reset-RLS和ISPRLS的均方误差性能。假定未知信道的参数在第70次迭代时由[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 ]变为[0.8 0.9 1.3 1.1 -0.7 0.1 0.9 1.5 -0.2 -0.3]，Reset-RLS在信道变化时重新启动迭代，而ISPRLS在不同信噪比情况下参数不用改变。

图3.2 均方误差曲线

图3.3 均方误差曲线

可以看出，Reset-RLS与ISPRLS对于突变信道的跟踪能力大体相当。但这时Reset-RLS需要对于信道参数的变化实时地检测，门限的选取便成为该算法的关键因素。而ISPRLS算法只是在迭代矩阵中加进一项扰动项，该扰动项会对信道参数的变化作出反应，而无需另外进行专门的检测。

仿真2，我们选择正规RLS，MRLS，ISPRLS三种算法进行比较，信道条件同仿真1，仍在第70次迭代时发生突变。

图3.4 参数误差曲线

图3.5 参数误差曲线

图中给出的是信道参数估计的误差曲线，参数预测误差被定义为θ

θ?*-，我们取2－范数，即2

2221n

x x x x +++=Λ。可以看出，在第70次迭代信道发生变化时，MRLS 算法和ISPRLS 算法可以迅速的跟上信道的变化，具有较快的收敛能力。MRLS 和ISPRLS 算法相比正规RLS 对于信道的突跳具有快速的跟踪能力和收敛性能。MRLS 和ISPRLS 相比，由于MRLS 的运行窗口M 的限制，在刚开始迭代时，它对于信道的跟踪有一段时延。而且在信噪比较低时(10dB 、0dB )，由于在MRLS 和ISPRLS 算法中多加的扰动项受到噪声的影响，在信道突跳前的一段时间，两者收敛时的参数误差要大于正规RLS 算法。因而较好的选择应该将正规RLS 与MRLS 或ISPRLS 结合起来，在信道不变时，用正规RLS 就能达到较好的收敛效果，一旦信道发生变化，启动MRLS 或ISPRLS 快速的跟踪上信道的变化，可见MRLS 和ISPRLS 算法对于时变信道快速的跟踪能力。我们将它们用在均衡系统中，下面的仿真给出了算法的模拟结果。

仿真3，将MRLS ，ISPRLS 算法应用于信道均衡，采用线性均衡器，信号为2PSK ，信道采用复值信道，在第70次迭代时信道参数从[1+0j 0+0j 0.5*(0.996+0.087j) 0+0j 0.3*(0.985+0.174j)] 变为[1+0j 0.3*(0.996+0.087j) 0+0j 0.2*(0.985+0.174j) 0+0j]。

图3.6 均方误差曲线

图3.7 均方误差曲线

从曲线可以看出，在高信噪比情况下(30dB、20dB)，ISPRLS这种改进型算法，在信道发生突跳时具有较快的跟踪能力和较好的收敛性能，MRLS算法略优于RLS算法，但二者的跟踪能力明显不如ISPRLS算法。在低信噪比情况下(10dB、0dB),MRLS和ISPRLS算法却显示不出它们对于正规RLS算法性能的改善。信道的变化早已淹没在很强的噪声之中，区分不开。这与在仿真2当中MRLS和ISPRLS 算法的优良性能似乎还有一定的差距。我们期望的改进型RLS算法用与均衡系统时，在低信噪比下仍不具有较好的性能。在下一节中我们将从自适应滤波的角度来分析问题的实质。

§3.5 信道辨识与信道均衡

相同的算法用于信道辨识与信道均衡时，却有着不同的效果。这使得我们不得不探讨一下，同属于自适应滤波系统的信道辨识和信道均衡到底存在着什麽区别？

§3.5.1 自适应模拟系统和自适应逆模拟系统

自适应滤波系统分为自适应模拟系统和自适应逆模拟系统。自适应模拟系统与辨识可以用一个自适应系统模拟一个未知的、可以随时间慢变的系统。自适应逆模拟则可消除信号在器件和煤质中传输所受到的影响。信道辨识属于自适应模

拟系统，而信道均衡属于自适应逆模拟系统。

图3.8 自适应模拟系统

一个单输入单输出的未知系统(或称被控系统)的自适应模拟示于图3.8，被控系统与自适应滤波器有相同的输入激励。自适应滤波器调整自身以得到一个与未知系统相匹配的输出，通常是得到一个未知系统输出最好的最小均方拟合。这种拟合的程度与自适应系统的可调权系数(即“自由度”)有关。

如图中所示，假定未知系统的传输函数为)(z P ，自适应滤波器达到稳态后的传输函数为)(z H ，信号的相关函数和互相关函数定义为

][)(*

n k k

xx x x E n +=φ 式(3-49) ][)(*

n k k

xd d x E n +=φ 式(3-50) 上两式的Z 变换)(z xx Φ及)(z xd Φ分别表示信号的功率谱和互功率谱。

若自适应滤波器是一个横向滤波器结构，则由维纳滤波理论，输出均方误差ξ可表示为

]Re[2|][|2W P RW W d E T H -+=ξ

∑∑∑∞-∞=∞

-∞

=∞

-∞

=---+

=l m l dx l xx

m

l

xx l w m l w w )(2)()0(*φφ

φ 式(3-51)

其中W 为滤波器的权向量，

][*T X X E R = 式(3-52) ][*X d E P = 式(3-53)

令上式对权的导数为零，可得最小均方误差时的权向量opt W ，对每个权分量，则有

0)(2)(2=--=??∑∞

-∞

=k m k w w xd m xx m k φφξ

式(3-54) 于是

∑∞

-∞

==-l xd xx opt

k l k w

),()(φφ ∞<<∞-k 式(3-55)

上式左边是一个卷积的形式，经Z 变换后成为两部分的乘积，于是，可得到最佳权向量的Z 变换

)

()

()(z z z H xx xd opt ΦΦ=

式(3-56)

因此，最佳权的Z 变换是信号x 和d 之间的互功率谱与自适应模拟器的输入x 的功率谱之比。由于

)()()()(z z z P z xn xx xd Φ+Φ=Φ 式(3-57)

若假定系统噪声k n 与输入k x 相互独立，则上式右边第二项为零，由此知

)()(z P z H opt = 式(3-58)

即自适应模拟器的传输函数就是未知系统的传输函数。

式(3-58)表明，当自适应模拟系统具有足够的“自由度”去匹配未知系统的输出或输入时，不可能同时匹配系统噪声k n 。事实上，内部系统噪声表现在系统输出一般可看成是一个加性噪声，并认为该噪声与系统本身的输出是不相关的。若自适应模型为线性组合器，并且它的权值已调到使均方误差达到最小，则其最小均方误差解将主要由被控系统的冲激响应所决定，而不是受噪声存在的影响。但自适应收敛过程还是会受到噪声的影响。另外，系统模拟和辨识还与输入信号谱或统计特性有关，一般要求输入信号谱足够宽或统计相关性足够小，才能得到好的模拟和辨识结果。

图3.9 自适应逆模拟系统

图3.9是一个自适应系统用作逆模拟的情况。自适应滤波器的输入为未知被控系统的输出，而它的输出将为未知系统输入的最小均方组合。由图可知，逆模型的输入功率谱(z 在单位圆上)为

),()(|)(|)(2z z z P z nn ss xx Φ+Φ=Φ jw e z = 式(3-59) 同样假定系统噪声k n 和输入信号k s 独立，由于

)()()()()(*

*z z z P z z nd ss dx xd Φ+Φ=Φ=Φ

)()(*z z P ss Φ= jw e z = 式(3-60)

因此，逆模拟的最佳传输函数

)()(|)(|)()()()()(2

*z z z P z z P z z z H nn ss ss xx xd opt Φ+ΦΦ=ΦΦ= 式(3-61) 若系统内部噪声为零，则上式为

)

(1

)(z P z H opt =

式(3-62) 即此时逆模型的传输函数为被控系统传输函数的倒数。事实上，也可以证明式(3-61)和式(3-62)对所有的z 都成立。

从式(3-61)看出，自适应逆模拟和自适应模拟不同，系统噪声k n 和被控系统输出信号一起作为自适应滤波器的权输入，因而对权值的最小均方解产生影响，同时也影响自适应收敛的情况。在图3.9的整个逆模拟系统中，若被控系统为一个全零点FIR 滤波器，则自适应滤波器模型将是一个全极点的递归滤波器，由此，存在自适应滤波器的稳定性和收敛性问题。其所有极点均应位于z 平面的单位圆之内。若考虑自适应滤波器的因果可实现性，通常可在期待响应k d 通道中插入一定的时间延迟。

§3.5.2 自适应滤波算法的跟踪性能和收敛性能

对于自适应滤波算法而言，跟踪性能和收敛性能是两个很重要的考察指标。跟踪是一个稳态过程。相比之下，收敛是一个暂态过程。因而要训练一个自适应滤波器的跟踪能力，就必须从暂态阶段过渡到稳态阶段，这就需要不断的调整滤波器的参数。而且，收敛的速度与跟踪能力是算法的两个不同的性质。一个具有好的收敛性质的自适应滤波算法不一定具有快速的跟踪能力，相反具有快速跟踪能力的算法也不一定具有好的收敛性能。

信道辨识和信道均衡都是自适应滤波系统，但跟踪性能却是一个特殊问题。自适应滤波算法用于系统辨识与用于信道均衡或者加性噪声中的信号恢复却有很大的不同。

实际中动态的系统可能来自两种情况。

1． 参考信号可能是时变的。譬如，当自适应横向滤波器用于动态系统的系 统辨识时，这种情况就会出现。此时，自适应横向滤波器的输入向量的自相关矩阵保持不变，而输入向量与参考向量的互相关矩阵却是时变形式。

2． 自适应滤波器的输入随机过程是动态的。这种情况发生在自适应横向滤波器用于均衡一个时变信道时。此时，自适应横向滤波器的输入向量的自相关矩阵以及输入向量与参考向量的互相关矩阵都是时变形式。因而，时变信道均衡的

图3.10 信道辨识

跟踪性能的数学分析比起系统辨识问题而言要复杂得多。

因而，一个时变系统的跟踪性能，不仅取决于所采用的滤波器类型，而且也是个较特殊问题。

§3.5.3 自适应均衡器的均方误差

下面让我们来分析一下无限长度线性均衡器的均方误差。我们知道在信号为

复值的情况下，均方误差函数被定义为22|?|||k

k

k

I

I E e E J -==。J 为均衡器系数的二次函数。

在第二章中我们曾经给出，基于最小均方误差准则的均衡器，按照正交性原

理，应有

,0}]{[*=-

--=-∑l j K

K

j j

k j k r r

c I E +∞<<∞-l 式(3-63)

即就是

),()(**l k k j l j j k j

r I E r r E c

-∞

-∞

=--=∑ +∞<<∞-l 式(3-64)

将

lj L

n j l n n l

k j k N f f r r

E δ00

**)(+=∑=-+--

?

??≤-+=-其它,0||,0L

j l N x lj j

l δ 式(3-65) ?

?

?≤≤-=--其它,00

,)(**

l L f r I E l l

k k 式(3-66) 将式(3-65)和(3-66)代入(3-64)并对方程两边取z 变换得到

)(])()()[(1*01*--=+z F N z F z F z C 式(3-67)

因而基于MMSE 准则的均衡器传递函数为

1*1*)()()

()(N z F z F z F z C +=

-- 式(3-68) 当噪声白化滤波器被包含在)(z C 里时，我们可以得到均衡器的传输函数

1*)()(1

)(N z F z F z C +=

'-

)(1

N z X +=

式(3-69)

我们注意到)(z C '与基于最大失真准则的均衡器传递函数式(2-7)仅在于(3-69)表达式中分母上的噪声功率谱密度0N 。当0N 与信号相比非常小的情况下，使得峰值失真)(c D 最小的均衡器系数与使得均方误差J 最小的均衡器系数相当。也就是，当00→N 时，最大失真准则与最小均方误差准则可以得到相同的解。因而，当

00=N 时，最小均方误差准则对码间干扰可以得到完全的抵消。另一方面，当00≠N 时，在均衡器的输出端则存在剩余码间干扰和加性噪声。

我们通过计算均方误差函数的最小值()min J 可以得到剩余码间干扰和加性噪

声。当均衡器的传递函数如式(3-68)定义时，由于)?()(||**2k

k k

k k

I

e E I e E e E J -==，由正交化条件可得0)?(*=k

k I e E ，由此得出

)(*m in k

k I e E J = ∑∞

-∞

=--=j k

j k j k I r E c I E )(||*

2

∑∞

-∞

=--

=j j j

f c

1 式(3-69)

我们注意到(3-69)中的求和为}{j c 和}{j f 的卷积在0点的值。因而，如果}{k b 定义这两个序列的卷积，那末(3-69)的求和就等于0b 。序列}{k b 的z 变化等于

)()()(z F z C z B =

01

*1*)()()

()(N z F z F z F z F +=-- 0

)()

(N z X z X +=

式(3-70)

0b 为

?=

dz z

z B j b )

(210π ?+=

dz N z X z z X j ]

)([)

(210π 式(3-71)

通过变量代换jwT e z =可以得到

dw N e X e X T

b T

T

jwT

jwT ?+=

//0

0)()

(2ππ

π

式(3-72) 将式(3-72)代入式(3-69)最后可以得到最小均方误差的表达式 ?+-

=T

T

jwT

jwT dw N e X e X T J //0

min

)()

(21ππ

π

?+=

T T

jwT

dw N e X N T //0

)(2ππ

π

dw N T n w H T

N T T

T

n ?∑

∞-∞

=-++=

//0

2

1

|)/2(|2ππ

ππ

式(3-73)

在存在码间干扰且1)(=jwT e X 的情况下，

min 1N N J +=

式(3-74) 显然10min ≤≤J ，而且输出信噪比∞γ与min J 的关系为 m in

m in

1J J -=

∞γ 式(3-75) 当存在剩余误差与加性噪声时，该式也成立。

由上面的分析可以看出，均方误差的最小值是受噪声功率谱密度限制的。这也从数学表达式上说明了为什麽自适应均衡系统对噪声非常敏感。

在这一节当中，我们从自适应模拟与逆模拟，自适应滤波算法的跟踪、收敛性能，以及均衡器的最小均方误差三个方面说明了自适应滤波器用在信道辨识与信道均衡中的差异。由此我们从理论上解释了为什麽相同的RLS 算法用在信道辨识与信道均衡中算法的跟踪性能有较大的差异。对于时变信道，普通均衡算法都难以达到很好的收敛性能和跟踪能力，尤其在短波衰落信道中，信号电平在短时间内就会发生数次深度衰落的情况，更是远远无法适应。进一步寻找新的更加行之有效的均衡算法，这无疑要求我们要开辟新的思路。

从前面的仿真结果及分析可以看到，在信号与加性噪声不相关的情况下(一般情况下均可以满足)，信道辨识不受噪声的影响，可以完全的模拟出系统的传输函数，而且对于时变的信道，一些改进型的算法具有很好的收敛能力和快速的跟踪性能，因而我们期望可以在最短的时间内完全的估计出信道参数。然后通过估出的信道参数来完成均衡的任务。在最近的十年当中，国外的一些学者对基于信道估值的均衡算法进行了一些研究，我们也循着这个思路，针对在短波瑞利衰落信道，研究了基于信道估值的均衡技术。这就是我们下一章将要论述问题。