一阶线性方程与常数变易法习题集及解答

§2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答求下列方程的解 1．

=x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx

c dx +)

=e x [-21e x

-(x x cos sin +)+c] =c e x -21

(x x cos sin +)是原方程的解。

2．

+3x=e t 2 解：原方程可化为：

=-3x+e t 2 所以：x=e ?

-dt

3 (?e t 2 e -?-dt

3c dt +)

=e t 3- (51

e t 5+c)

=c e t 3-+5

e t 2 是原方程的解。

3．dt ds =-s t cos +2

t 2sin

解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2

?e dt dt ?3c + )

=e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )

=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。

4．

dx dy n x x e y n

=- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x

)(c dx e

x e e

y dx

x n

n x dx

x n

+??=?-

)(c e x x n += 是原方程的解. 5．

dx dy +1212--y x

解：原方程可化为：

dx dy =-1212+-y x

=-dx

x e

y 2

12(c dx e

x x +?

-2

21)

)

(ln 2+=x e

)(1

ln 2?+-

-c dx e

=)1(12

ce x + 是原方程的解.

6． dx dy 2

4xy x x += 解：dx dy 23

4xy x x +=

=23

x +x y

令

u = 则 ux y = dx dy =u dx du x +

因此：dx du x u +=2u x

u dx du =

dx du u =2

c x u +=3

1 c x x u +=-33 （*）将

u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

()2

1()2

27.(1)12(1)1

(),()(1)1(1)(())

1(1)dx

P x dx

x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++??

==+?

?++??

P(x)dx

解：方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23

(1)()

,()(())

dy y x c dy y dx x y dx x y dy y y

Q y y y

e y

Q y dy c -+++==+=??==?

?+??2

243P(y)dy P(y)dy

P(y)dy

1)dx+c)

=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。 8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为： x=e e 23

y dy c y

y cy

y ++? =y( =即 x= +cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。

()()()19.

),()(())

01a

dx P x dx a

x P x dx

P x dx

a a dy ay x a dx x x

a x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==

??==?

?+==?为常数解：（方程的通解为： y=1x+1

=x (dx+c)

x x

当时，方程的通解为

y=x+ln/x/+c 当时，方程01a a a

≠a 的通解为 y=cx+xln/x/-1 当，时，方程的通解为

x 1

y=cx +-

1()()()310.1

(),()1

(())

(*)

dx P x dx x P x dx

P x dx dy

y x dx dy y x dx x

P x Q x x x e e x

e e Q x dx c x x dx c c

--+==-+=-=??==

?+++

??33解：方程的通解为： y=1

=x x =4x 方程的通解为：　y=4

()

3333

233232332311.

2()2()()2,()2(())

((2)p x xdx

p x p x x dy

xy x y dx xy x y dx

xy x y dx

xy x dx

y z

xz x dx

P x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-?

==?

?+-??2

3-2

x dy

解：两边除以y dy

dy 令方程的通解为： z= =e 2

2)1

1)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。

2221

1()()222ln 1

12.(ln 2)424

ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())

ln 1(())(P x dx

P x dx dx dx x

x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x x y dy x y y dx x x dy x y dx x x y z dz x z dx x x

x P x Q x x x

z e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++

=-=-==-==-

?=+??=-+=??解：两边除以令方程的通解为：222ln ())

ln 1424

ln 1

:()1,424

x dx c x x c x x c x y x -+=++++=?方程的通解为且y=0也是解。

222(2)2122xydy y x dx dy y x y dx xy x y =--==-

这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以

， 212

dy y y dx x =- 令2y z =

2dz dy y dx dx

= 22211dz y z

dx x x

=-=-

P(x)=

Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式

()dx dx

x x z e e dx c -??=-+?

=2x x c +

22y x x c =+

14 23y dy e x dx x

+= 两边同乘以y

e 22

()3y y

dy e xe e dx x += 令y e z =

dz dy e dx dx

= 22

2233dz z xz z z dx x x x

+==+ 这是n=2时的伯努利方程。两边同除以2z

22131dz z dx xz x =+ 令1

T z

21dT dz dx z dx =- 231

dT T dx x x

-=+

P （x ）=3x - Q(x)=21

x -

由一阶线性方程的求解公式

3321()dx dx x x

T e e dx c x

--??=+?

=321

()2x x c --+

=131

2x cx ---+

131

()12z x cx ---+=

131

()12y e x cx ---+=

231

2y y x e ce x -+= 2

312

y x x e c -+=

331dy dx xy x y =+

33dx

yx y x dy

=+ 这是n=3时的伯努利方程。两边同除以3x

21dx y

y x dy x

=+ 令2x z -=

32dz dx x dy dy

-=-

3222dz y

y dy x

=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y - 由一阶线性方程的求解公式 223(2)ydy

ydy

z e y e dy c ---?

?=-+?

3(2)y y e y e dy c --+? =2

21y y ce --++

22(1)1y x y ce --++= 2

22(1)y y y x e y ce e --++= 2

2222(1)y e x x y cx -+=

16 y=x e +0()x

y t dt ?

()x dy

e y x dx =+ x dy

y e dx

=+ P(x)=1 Q(x)=x e 由一阶线性方程的求解公式

11()dx dx

x y e e e dx c -??=+?

=()x x x e e e dx c -+? =()x e x c +

0()()x

x x x e x c e e x c dx +=++?

c=1 y=()x e x c +

17 设函数?(t)于-∞

?(t+s)=?(t)?(s)

试求此函数。

令t=s=0 得?(0+0)=?(0)?(0) 即?(0)=2(0)? 故(0)0?=或(0)1?= （1）当(0)0?=时 ()(0)()(0)t t t ????=+= 即()0t ?=

(t ?∈-∞,+∞)

(2) 当(0)1?=时 '0

()()

()lim

t t t t t t

????→+?-=?=0

()()()

lim

t t t t t

????→?-?

()(()1)

lim

t t t t

???→?-?=0

(0)(0)

()lim

t t t t

????→?+-?

='(0)()t ??

于是

'(0)()d t dt

??= 变量分离得'(0)d dt ???= 积分 '(0)t ce ??= 由于(0)1?=，即t=0时1?= 1=0ce ?c=1 故'

(0)()t t e ??=

20.试证：

（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）

之解；

（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而()y y x =:

是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+:

，其中c 为任意常数.

（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明：

()()dy

P x y Q x dx

=+ （2.28） ()dy

P x y dx

= （2.3）

（1）

设1y ，2y 是（2.28）的任意两个解则

1()()dy P x y Q x dx =+ （1） 2

2()()dy P x y Q x dx

=+ （2）（1）-（2）得

()

1212()()d y y P x y y dx

-=- 即12y y y =-是满足方程（2.3）所以，命题成立。

（2）

由题意得：

()

()dy x P x y dx

= （3） ()

()()()d y x P x y x Q x dx =+:

: （4） 1）先证y cy y =+:

是（2.28）的一个解。于是 ()()34c ?+ 得

()()()cdy d y

cP x y P x y Q x dx dx

+=++:

()

()()()d cy y P x cy y Q x dx

+=++:

: 故y cy y =+:

是（2.28）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成cy y +:

的形式设1y 是(2.28)的一个解则

1()()dy P x y Q x dx

=+ （4’

）于是（4’）-（4）得

11()

()()d y y P x y y dx

-=-:

: 从而 ()1P x dx

y y ce cy ?

-==:

即 1y y cy =+:

所以，命题成立。

（3）

设3y ，4y 是（2.3）的任意两个解则

3()dy P x y dx = （5） 4

4()dy P x y dx

= （6）于是（5）c ?得 3

3()cdy cP x y dx

即 33()

()()d cy P x cy dx = 其中c 为任意常数

也就是3y cy =满足方程（2.3）（5）±（6）得

34()()dy dy P x y P x y dx dx ±=± 即

3434()

()()d y y P x y y dx ±=± 也就是34y y y =±满足方程（2.3）所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；

（6）

曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；

解：设(,)p x y 为曲线上的任一点，则过p 点曲线的切线方程为

'()Y y y X x -=-

从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(,0),(0,')'

x y xy y -

- 即横截距为 '

y x y -

，纵截距为 'y xy -。由题意得：（5） 2'y xy x -= 方程变形为

2dy

y x dx =- 1

dy y x dx x =-

于是 1

()(())dx dx x

x y e x e dx c -??=-+?

ln ln (())x x e x e dx c -=-+? 1

(())x x x dx c -=-+?

(())x x dx c x =-+?g

()x x c =-+ 2x cx =-+

所以，方程的通解为2y x cx =-+。（6）'2

x y

y xy +-=

方程变形为

22dy y x x

dx =- 11

22dy y dx x =-

于是 1

()221(())2

dx x x y e e dx c -??=-+?

11ln ln 2

1(())2

x x e

e dx c -=-+?

112

(())2

x x dx c -

=-+?

21(())2

x x dx c -=-+?g

1122

()x x c =-+ 12

x cx =-+

所以，方程的通解为12

y x cx =-+。 22．求解下列方程。（1）0')1(2=+--xy y x 解：1

11'2

2----=

x y x xy y )1

1(12122?+?--?=---c e x e

y dx

x x

=]/

1/111[/1/2

1222

12c dx x x x +----?

=]/

1/[/1/2

322

c x dx

x +--

=c x x +-/1/2

（2） '3sin cos sin 0y x x y x --=

2sin sin cos cos dy y x dx x x x

=+ P(x)=1

sin cos x x

Q(x)=2sin cos x x

由一阶线性方程的求解公式

12sin cos sin cos sin ()cos dx dx x x

x x x y e e dx c x

-??=+?

sin (sin )cos x

xdx c x +? =sin (cos )cos x x c x -+

=sin tgxc x -

迭代法求解线性方程组的研究

迭代法求解线性方程组的研究【摘要】:本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi 迭代法，Gauss-seidel 迭代法，SOR 迭代法，并且介绍了现代数值计算软件MATLAB 在这方面的应用，即分别给出三个迭代法的数值实验。【关键字】:Jacobi 迭代法 Gauss-seidel 迭代法 SOR 迭代法数值实验一．引言迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。设有方程组 b Ax = …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式 f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式 f Bx x k k +=+)() 1( …③ 式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。对任意的初始向量) 0(x ，由式③可求得向量序列 ∞0)(}{k x ，若*) (lim x x k k =∞ →，则*x 就是方程①或方程②的解。此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性质。本文介绍三种解线性方程组的最主要的三种迭代法：Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法。本文结构如下：第二部分介绍Jacobi 迭代法及其数值实验，第三部分介绍Gauss-Seidel 迭代法及其数值实验，第四部分介绍SOR 迭代法及其数值实验，第五部分总结。二．雅克比（Jacobi ）迭代法 1. 雅克比迭代法的格式设有方程组

),,3,2,1(1 n i b x a j j n j ij ==∑= …① 矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠ 从式①中第i 个方程中解出x ，得其等价形式 )(1 1 1j n j j ij ii i x a b a x ∑≠=-= …② 取初始向量),,,() 0()0(2)0(1) 0(n x x x x =，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式： )(11 1)() 1(∑≠=++-=n j j i k j ij ii k i b x a a x …③ 也可记为矩阵形式： J x J k F B x k +==) () 1( …④ 若将系数矩阵A 分解为A=D-L-U ，式中 ???? ? ? ? ??=nn a a a D 2211， ?? ? ?? ?? ? ??=--00 00121323121nn n n a a a a a a L ， ?? ? ??? ? ? ? ?=--00 00122311312n n n n a a a a a a D 。则方程Ax=b 变为 b x U L D =--)( 得 b x U L Dx ++=)( 于是 b D x U L D x 1 1 )(--++=

MATLAB代码解线性方程组的迭代法

解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x;

if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵

第六章解线性方程组的迭代法

第五章解线性方程组的迭代法本章主要内容：迭代法收敛定义，矩阵序列收敛定义，迭代法基本定理，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，系数矩阵为严格对角占优阵的采用雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代的收敛性。教学目的及要求：使学生了解迭代法收敛定义，迭代法基本定理，掌握雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法。教学重点：雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法。教学难点：迭代法基本定理的证明以及作用。教学方法及手段：应用严格的高等代数、数学分析知识，完整地证明迭代法基本定理，讲清雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的关系，介绍雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法在编程中的具体实现方法。在实验教学中，通过一个具体实例，让学生掌握雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的具体实现，并能通过数值计算实验，揭示高斯-塞德尔迭代法是对雅可比迭代法的一种改进这一事实。教学时间：本章的教学的讲授时间为6学时，实验学时4学时。教学内容：一迭代法定义对于给定的线性方程组x Bx f =+，设它有唯一解*x ，则 **x Bx f =+ (6.1) 又设(0)x 为任取的初始向量，按下述公式构造向量序列 (1)(),0,1,2,k k x Bx f k +=+=L (6.2) 这种逐步代入求近似解的方法称为迭代法（这里B 与f 与k 无关）。如果() lim k k x →∞ 存在（记为*x ），称此迭代法收敛，显然*x 就是方程组的解，否则称此迭代法发散。迭代法求方程近似解的关键是是讨论由(6.1)式所构造出来的向量序列() {} k x 是否收敛。为此，我们引入误差向量 (1)(1)*k k x x ε++=- 将(6.2)式与(6.1)式相减，我们可得 (1)*()*()k k x x B x x +-=- (1)(),0,1,2,k k B k εε+==L 递推下去，得 ()(1)2(2)(0)k k k k B B x B x εε--====L

常微分方程的解线性方程组的迭代法

实验五解线性方程组的迭代法【实验内容】对1、设线性方程组 ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??-=???????????????? ?????????????????? ? ?--------------------------211938134632312513682438100412029137264 2212341791110161035243120 536217758683233761624491131512 013012312240010563568 0000121324 10987654321x x x x x x x x x x ()T x 2,1,1,3,0,2,1,0,1,1*--= 2、设对称正定系数阵线性方程组 ?? ? ????? ??? ? ? ??---=????????????? ??????????????? ??---------------------4515229 23206019243360021411035204111443343104221812334161 2065381141402312122 00240424 87654321x x x x x x x x ()T x 2,0,1,1,2,0,1,1*--= 3、三对角形线性方程组

?? ? ?? ? ????? ??? ? ? ??----=???????????????? ?????????????????? ??------------------5541412621357410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000 14100000000 1410987654321x x x x x x x x x x ()T x 1,1,0,3,2,1,0,3,1,2*---= 试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol 迭代法和SOR 方法计算其解。【实验方法或步骤】 1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法加以比较； 2、分别对不同精度要求，如54310,10,10---=ε由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢； 3、对方程组2，3使用SOR 方法时，选取松弛因子ω=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者； 4、给出各种算法的设计程序和计算结果。程序：用雅可比方法求的程序： function [x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200;

阶线性方程与常数变易法习题及解答

§ 一阶线性方程与常数变易法习题及解答求下列方程的解 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解. 5．dx dy +1212--y x x =0

解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 212(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(12x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 23 4xy x x += 解：dx dy 23 4xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2 u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

求解线性方程组——超松弛迭代法(c)

求解线性方程组——超松弛迭代法 #include #include using namespace std; float *one_array_malloc(int n); //一维数组分配float **two_array_malloc(int m,int n); //二维数组分配float matrix_category(float* x,int n); int main() { const int MAX=100;//最大迭代次数 int n,i,j,k; float** a; float* x_0; //初始向量 float* x_k; //迭代向量 float precision; //精度 float w; //松弛因子 cout<<"输入精度e:"; cin>>precision; cout<>n; a=two_array_malloc(n,n+1); cout<>a[i][j]; } } x_0=one_array_malloc(n); cout<>x_0[i]; } x_k=one_array_malloc(n);

cout<<"输入松弛因子w (1>w; float temp; //迭代过程 for(k=0;k

线性方程组的迭代法及程序实现

线性方程组的迭代法及程序实现学校代码:11517 学号:200810111217 HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING 毕业论文题目线性方程组的迭代法及程序实现学生姓名专业班级学号系 (部)数理科学系指导教师职称完成时间 2012年5月20日河南工程学院毕业设计(论文)任务书题目:线性方程组的迭代法及程序实现专业:信息与计算科学学号 : 姓名一、主要内容: 通过本课题的研究,学会如何运用有限元方法来解决线性代数方程组问题,特别是Gaussie-Seidel迭代法和Jacobi迭代法来求解线性方程组。进一步学会迭代方法的数学思想,并对程序代码进行解析与改进,这对于我们以后学习和研究实际问题具有重要的意义。本课题运用所学的数学专业知识来研究,有助于我们进一步掌握大学数学方面的知识,特别是迭代方法。通过这个课题的研究,我进一步掌握了迭代方法的思想,以及程序的解析与改进,对于今后类似实际问题的解决具有重要的意义。

二、基本要求: 学会编写规范论文,独立自主完成。运用所学知识发现问题并分析、解决。 3.通过对相关资料的收集、整理,最终形成一篇具有自己观点的学术论文,以期能对线性方程组迭代法的研究发展有一定的实践指导意义。 4.在毕业论文工作中强化英语、计算机应用能力。完成期限: 2012年月指导教师签名:专业负责人签名: 年月日目录中文摘要....................................................................................Ⅰ英文摘要 (Ⅱ) 1 综述 1 2 经典迭代法概述 3 2.1 Jacobi迭代法 3 2.2 Gauss?Seidel迭代法 4 2.3 SOR(successive over relaxation)迭代法 4 2.4 SSOR迭代法 5 2.5 收敛性分析5 2. 6 数值试验 6 3 matlab实现的两个例题8 3.1 例1 迭代法的收敛速度8 3.2 例 2 SOR迭代法松弛因子的选取 12致谢16参考文献17附录19

[整理]一阶线性方程与常数变易法习题及解答.

§2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答求下列方程的解 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c d x e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解. 5．dx dy +1212--y x x =0

解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 21 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 2 34xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2 u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

数值分析5-用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

作业六：分别编写用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=B的标准程序，并求下列方程组的解。可取初始向量 X(0) =(0，0，0)’；迭代终止条件||x(k+1)-x(k)||<=10e-6 （1） = （2） = Jacobi迭代法：流程图开始判断b中的最大值有没有比误差大给x赋初值进行迭代求出x，弱到100次还没到，警告不收结束

程序 clear;clc; A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; b=[1;4;3]; e=1e-6; x0=[0;0;0]'; n=length(A); x=zeros(n,1); k=0; r=max(abs(b)); while r>e for i=1:n d=A(i,i); if abs(d)100 warning('不收敛'); end end x=x0;

程序结果（1）

（2）

Gauss-Seidel迭代法：程序 clear;clc; %A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; %b=[1;4;3]; A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; b=[-12;20;3]; m=size(A); if m(1)~=m(2) error('矩阵A不是方阵'); end n=length(b); %初始化 N=0;%迭代次数 L=zeros(n);%分解A=D+L+U,D是对角阵，L是下三角阵，U是上三角阵U=zeros(n); D=zeros(n); G=zeros(n);%G=-inv(D+L)*U d=zeros(n,1);%d=inv(D+L)*b x=zeros(n,1); for i=1:n%初始化L和U for j=1:n if ij U(i,j)=A(i,j); end end end for i=1:n%初始化D D(i,i)=A(i,i); end G=-inv(D+L)*U;%初始化G d=(D+L)\b;%初始化d %迭代开始 x1=x; x2=G*x+d; while norm(x2-x1,inf)>10^(-6)

线性方程组的迭代求解java

线性方程组的迭代求解摘要迭代法是一种逐次逼近方法，在使用迭代法解方程组时，其系数矩阵在计算过程中始终不变。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行。迭代法具有循环的计算方法，方法简单，适宜解大型稀疏矩阵方程组本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR 迭代法，并且介绍了软件JA V A在这方面的应用。关键词： Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；计算

SOLUTION OF LINEAR EQUATIONS OF ITERATION WITH THE EXPERIMENTAL ABSTRACT Iteration is a kind of method to solve questions by step-by-step approximation. When we are getting the solution of linear equations by using iteration, the coefficient matrix is always staying the same in computation process. Computer could operate fastly so that it is suitable for operating again and again. Iteration is easy to operate to solve the large matrix equations by using a calculate method called circulation. This summary understanding of linear equations three kind of iteration, Jacobi iteration, Gauss-Seidel iteration, successive over relaxation method ,and introduce modern software JA V A in this respect. Key words:Jacobi iteration; Gauss-Seidel iteration; Successive Over Relaxation method ; calculating

常数变易法

常数变易法的解释注：本方法是对崔士襄教授写的《“常数变易法”来历的探讨》论文的解释。思路并非本人原创。特此注明。背景详见本人前一篇博文。我们来看下面的式子： y’＋P(x).y ＝ Q(x) (1) 对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分）。所以我们的思维就集中在如何将（1）式的x和y分离上来。起初的一些尝试和启示先直接分离看一下： dy/dx＋P(x)·y ＝ Q(x) ＝> dy ＝ ( Q(x)－P(x).y ).dx (2) 从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设y/x ＝ u ＝ > y ＝ u·x . 将y ＝ u·x代入(1)式: u’·x＋u＋P(x)·u·x ＝ Q(x) ＝> u’·x＋u·(1＋P(x)·x) ＝ Q(x) ＝> du/dx·x ＝ Q(x)－u(1＋P(x)·x) ＝> du ＝ [Q(x)－u·(1＋ P(x).x)].(1/x).dx (3) 这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。比如说，对于（3）式，如果x＝－1/P(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果P(x)＝0，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为x和P(x)等于几是你无法干预的。不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。Ok，好戏开场了。进一步：变量代换法

SOR迭代法求解线性方程组

实验三：用SOR 迭代法求解线性方程组 ?????? ? ??=??????? ????????? ??----------74.012.018.168.072.012.006.016.012.001.103.014.006.003.088.001.016.014.001.076.04321x x x x 取初始点T x )0,0,0,0()0(=，松弛因子05.1=ω，精度要求610-=ε。 1，建立SOR.m 函数文件，此函数文件可调用，程序源码如下： function [x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M) if nargin==4 eps= 1.0e-6;%精度要求 M = 200; elseif nargin<4 error; return elseif nargin ==5 M = 200; end if(w<=0 || w>=2) error; return; end D=diag(diag(A)); %求A 的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A 的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A 的上三角阵 B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U); f=w*inv((D-L*w))*b; x=B*x0+f; n=1; %迭代次数 while norm(x-x0)>=eps x0=x; x =B*x0+f; n=n+1; if(n>=M) disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end

2，输入矩阵。并根据要求调用函数，运行结果如下图所示：即经过7次迭代算出结果，且求得： 1.27151.28440.48581.2843x ?? ? ?= ? ???

江苏大学-常微分方程-3-7 - 一阶线性方程与常数变易法

2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equation and constant variation formula ) [教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli 方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子. [教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程. [教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标] 1. 熟练运用常数变易公式; 2. 知道 ? dx bx sin e ax 计算和一些三角函数恒等式; 3. 知道电学一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识Bernoulli 方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程. 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation ） (1) 称形如y p(x)dx dy =的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续；称形如 q(x)y p(x)dx dy +=的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中q(x) p(x),连续且q(x)不恒为零. (2) 当0y ≠时，改写 y p(x)dx dy =为 1C dx p(x)|y |ln ,dx p(x)y dy dx, p(x)y dy +===???，其中?dx p(x)表示P(x)的一个原函数(antiderivative). 因此，y p(x)dx dy =通解(general solution)为1C p(x)dx e C ~ ,e C ~y =?±=，此外y=0也是解. 综上， y p(x)dx dy =的解为C ,e C y p(x)dx ?=为任意常数. (3) 常数变易法：如何求 q(x)y p(x)dx dy +=的解呢？假定上述线性非齐次方程有如下形式的解 ?=p(x)dx e C(x)y ，则代入原方程来确定C(x)， q(x)p(x)C(x)e e p(x) C(x)e (x)' C dx dy p(x)dx p(x)dx p(x)dx +?=?+?=，即q(x)e (x)' C p(x)dx =?，C q(x)dx e C(x) q(x), e (x)' C p(x)dx -p(x)dx +? =? =?-，此处C 为

Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

一．问题描述用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值。使用了两倍的存储空间，浪费了存储空间。若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量 ) 1(+k i x 时，用最新分量 ) 1(1 +k x ， ???+) 1(2 k x ) 1(1 -+k i x 代替旧分量 ) (1 k x ， ???) (2 k x ) (1 -k i x ，可以起到节省存储空间的作用。这样就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法。二．算法设计将A 分解成U D L A --=，则b x =A 等价于b x =--U)D (L 则Gauss-Seidel 迭代过程 ) ()1()1(k k k Ux Lx b Dx ++=++ 故 ) ()1()(k k Ux b x L D +=-+ 若设1 )(--L D 存在，则 b L D Ux L D x k k 1)(1)1()()(--+-+-= 令 b L D f U L D G 11)()(---=-=，

则Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为 f Gx x k k +=+) () 1( 其迭代格式为 T n x x x x ) ()0()0(2)0(1)0(，，，???= (初始向量)， ) (1 1 1 1 1 )()1()1(∑∑-=-+=++--=i j i i j k j ij k j ij i ii i i x a x a b a x )210i 210(n k ???=???=，，，；，，，或者 ?? ???--=???=???==?+=∑∑-=-+=+++) (1)210i 210(111 1)()1()1()()1(i j i i j k j ij k j ij i ii i i i k i k i x a x a b a x n k k x x x ，，，；，，，三．程序框图

常数变易法原理

常数变易法原理 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

常数变易法原理我们来看下面的式子： y’＋P(x).y＝Q(x) (1) 对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分）。所以我们的思维就集中在如何将（1）式的x和y分离上来。起初的一些尝试和启示先直接分离看一下： dy/dx＋P(x).y＝Q(x) dy＝[Q(x)－P(x).y].dx (2) 从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设y/x＝u→ y＝u.x .将y＝u.x代入(1)式: u’.x＋u＋P(x).u.x＝Q(x) → u’.x＋u.(1＋P(x).x)＝Q(x)→du/dx.x ＝Q(x)－u(1＋P(x).x) →du＝[Q(x)－u.(1＋P(x).x)].(1/x).dx (3) 这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。比如说，对于（3）式，如果x＝－1/P(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果P(x)＝0，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为x和P(x)等于几是你无法干预的。

不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。Ok，好戏开场了。进一步：变量代换法筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果会让你跌破眼镜。y＝u·v就是这么符合要求的一个函数。其中u和v都是关于x的函数。这样求y对应于x的函数关系就转变成分别求u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现——非也，u和v都非常有用，看到下面就知道了。让我们看看讲代换y＝u·v代入（1）式会出现什么： u’.v＋u.(v’＋P(x).v)＝Q(x) (4) 如果现在利用分离变量法来求u对应于x的函数关系，那么u·(v’＋ P(x)·v)就是我们刚刚遇到的没法把u单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。怎么变这是v的用处就有了。令v’＋P(x)·v＝0，解出v对应x的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。 dv/dx＋P(x)·v＝0 →v＝C1.e^(-∫P(x)dx) (5)

数值计算_第4章解线性方程组的迭代法

第4章解线性方程组的迭代法用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似，对方程组进行等价变换，构造同解方程组(对可构造各种等价方程组，如分解，可逆，则由得到)，以此构造迭代关系式（4.1）任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列。若迭代序列收敛，设的极限为，对迭代式两边取极限即是方程组的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。我们将看到，不同于非线性方程的迭代方法，解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质，与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空间少，程序实现简单，尤其适用于大型稀疏矩阵；不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件，其中是矩阵的特征根。事实上，若为方程组的解，则有再由迭代式可得到

由线性代数定理，的充分必要条件。因此对迭代法(4.1)的收敛性有以下两个定理成立。定理4.1迭代法收敛的充要条件是。定理4.2迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径因此，称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径，需要求解矩阵的特征值才能得到，通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的工作。前面已经提到过，若||A||p矩阵的范数，则总有。因此，若，则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单，其中于是，只要迭代矩阵满足或，就可以判断迭代序列是收敛的。要注意的是，当或时，可以有，因此不能判断迭代序列发散。

在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时，则停止迭代计算，视为方程组的近似解（有关范数的详细定义请看3.3节。） 4.1雅可比（Jacobi）迭代法 4.1.1 雅可比迭代格式雅可比迭代计算元线性方程组（4.2）写成矩阵形式为。若将式（4.2）中每个方程的留在方程左边，其余各项移到方程右边；方程两边除以则得到下列同解方程组：记，构造迭代形式

迭代法解线性方程组

迭代法解线性方程组作业沈欢00986096 北京大学工学院，北京100871 2011年10月12日摘要由所给矩阵生成系数矩阵A和右端项b，分析系数矩阵A，并用Jacobi迭代法、GS迭代法、SOR(逐步松弛迭代法)解方程组Ax=b 1生成系数矩阵A、右端项b,并分析矩阵A 由文件”gr900900c rg.mm”得到了以.mm格式描述的系数矩阵A。A矩阵是900?900的大型稀疏对称矩阵。于是，在matlaB中，使用”A=zeros(900,900)”语句生成900?900的零矩阵。再按照.mm文件中的描述，分别对第i行、第j列的元素赋对应的值，就生成了系数矩阵A，并将A存为.mat文件以便之后应用。由于右端项是全为1的列向量，所以由语句”b=ones(900,1)”生成。得到了矩阵A后，求其行列式，使用函数”det(A)”,求得结果为”Inf”,证明行列式太大，matlaB无法显示。由此证明，矩阵A可逆，线性方程组 Ax=b 有唯一解。接着，判断A矩阵是否是对称矩阵(其实，这步是没有必要的，因为A矩阵本身是对称矩阵，是.mm格式中的矩阵按对称阵生成的)。如果A是对称矩阵，那么 A?A T=0 。于是，令B=A?A T,并对B求∞范数。结果显示： B ∞=0,所以，B是零矩阵，也就是：A是对称矩阵。然后，求A的三个条件数： Cond(A)= A ? A?1 所求结果是，对应于1范数的条件数为：377.2334;对应于2范数的条件数为：194.5739;对应于3范数的条件数为：377.2334; 1

从以上结果我们看出，A是可逆矩阵，但是A的条件数很大，所以，Ax=b有唯一解并且矩阵A相对不稳定。所以，我们可以用迭代方法来求解该线性方程组，但是由于A的条件数太大迭代次数一般而言会比较多。 2Jacobi迭代法 Jacobi迭代方法的程序流程图如图所示：图1:Jacobi迭代方法程序流程图在上述流程中，取x0=[1,1,...,1]T将精度设为accuracy=10?3，需要误差满足： error= x k+1?x k x k+1