PowerQuery技巧之Splitter类函数总结

PowerQuery技巧之Splitter类函数总结
PowerQuery技巧之Splitter类函数总结

Splitter.SplitByNothing和Splitter.SplitTextByWhitespace,暂且就分为没什么卵用类吧。

先看自动生成的公式,比如选按逗号分隔,拆分位置为

Splitter.SplitTextByEachDelimiter({","}, QuoteStyle.Csv, false)

共三个参数,第一参数为指定的分割符,这个一会再讲;第二参数为QuoteStyle.Type,有两个参数可选分别为QuoteStyle.None 和QuoteStyle.Csv,可以分别用引号字符"选项,实际上并没有什么卵用,一般可以省略。

第三参数为靠左还是靠右,false为靠左,true为靠右,也就是上图中"最左侧的分隔符"和"最右侧的分隔符"的区别。

= Table.SplitColumn(源, "成绩",Splitter.SplitTextByEachDelimiter({","},null,true))

下面开始一个个过,先看第一类按分隔符。有三个函数,其中ByDelimiter只有两个参数,没有最后一个靠左靠右模式的参数,第一参数为text。ByAnyDelimiter和ByEachDelimiter都有三个参数,第一参数都为list。

ByDelimiter就是只指定一个分隔符,全部按这个分隔符拆,遇到就拆,这个不难理解。

ByAnyDelimiter则是上一个的加强版,也是见一次拆一次,但是它的第一参数可以以list的形式指定多个分隔符,比如{","," "}就是遇到逗号和空格都拆。但它竟然也有第三参数的靠左靠右模式,反正我是想不通有什么存在的意义,暂且省略不填吧。ByEachDelimiter第一参数也是list,但不同的是列表中的每个分隔符都是指定位置的。你可以想象成在纸上把列表中的分隔符都写出来,比如{","," "},那么遇到第一个逗号进行一次拆分,然后把逗号划掉,后面再遇到就不拆了,再找下一个分隔符继续拆分。此时的第三参数就有意义了,填true和false决定了是按从左还是从右的顺序开始找分隔符。

再看第二类按字符数拆分,发现区别不大,拆分函数变了Splitter.SplitTextByRepeatedLengths(3),又试一下靠左模式,Splitter.SplitTextByPositions({0,3},false)。

第一参数就是第一节拆分出来的字符串的位置边界,尝试改改这个边界:Splitter.SplitTextByPositions({2,6},false)

再试下Splitter.SplitTextByPositions({0,3,6,9},false))

让我想到菜市场卖肉的师傅说:指哪儿切哪儿。。。

Splitter.SplitTextByLengths({3,3,3,99},false)表示不服!你有我够直接吗?

还有一个Splitter.SplitTextByRanges没讲到,Splitter.SplitTextByRanges({{0,3},{3,6}},false)

语法为{{初始点1,长度1},{初始点2,长度2},...}

至于第三类没什么卵用类的Splitter.SplitTextByWhitespace,Splitter.SplitByNothing,我是真的暂时还没发现它们有什么卵用。。。

当然,spiltter类函数不仅只能作为Table.SplitColumn的参数,也可以拿出来单独使用,如果我们在编辑栏填上参数:

可以看到返回的还是一个函数,那我们在后面再次给一个list参数,就能够按照指定的规则将文本分割:

= Splitter.SplitTextByLengths({5,5,3})("powerquery爱好者")

专题13幂函数知识点归纳

3 幂函数知识点归纳 一、 幂函数定义:对于形如:() x f x α=,其中α为常数.叫做幂函数 定义说明: 1、 定义具有严格性,x α 系数必须是1,底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的,可分为五类: 1)1α>时图像是竖立的抛物线.例如:()2x f x = 2)=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3)01α<< 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2 x f x = 4)=0α时图像是除去(0,1)的一条直线.即() 0x f x =(0x ≠) 5)0α<时图像是双曲线(可能一支).例如 ()-1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧:指数越大,图像相对位置越高(指大图高) ②幂指数互为倒数时,图像关于y=x 对称 ③结合以上规律,要求会做出任意一种幂函数图像 练习:做出下列函数的图像: 1、1α> ①3 y x =或53y x = ②2y x =或43y x = ③32y x =或74 y x = 2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12 y x = 3、0α< ①2 y x -= ②1 y x -= ③32 y x - = ④43 y x =— 三、 幂函数的性质 y=x

3 幂函数的性质要结合图像观察,随着α取值范围的变化,性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关,通常化分数指数幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性:α>0时,在(0,+∞)单调递增:α=0无单调性;α<0时,在(0,+∞)单调递减 4、 过定点:α>0时,过(0,0)、(1,1)两点;α≤0时,过(1,1) 5、 由 ()0 x f x α=>可知,图像不过第四象限 四、 幂函数类型题归纳 (一) 定义应用: 1、下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21 (1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = 2、若幂函数()y f x = 的图像过点2????? ,则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()() 22 1 44m m f x m m x --=--是幂函数,且经过原点,则实数m 的值为__________. 4、已知函数()()2 2 k k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <,则k 的值为________ ,函数()f x 的 解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ? ? ∈--- ???? ,已知幂函数()f x x α=是偶函数,且在区间()0,+∞上是减函数,则满足要求的α值的个数是__________. 6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数,集合()(){} |M x f x g x ==,则集合M 中 元素的个数是( ) (A)1或2或0 (B) 1或2或3(C)1或2或3或4 (D)0或1或2或3 (二) 图像及性质应用 1、 右图为幂函数y x α =在第一象限的图像,则 ,,,a b c d 的大小关系是 ( ) ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> d y=x ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 2、如图:幂函数n m y x =(m 、n N ∈,且m 、n 互质)的图象在第一,二象限,且不经过原点,则有 ( ) ()A m 、n 为奇数且 1m n < ()B m 为偶数,n 为奇数,且1m n > ()C m 为偶数,n 为奇数,且1m n < b c

隐函数的求导方法总结

河北地质大学 课程设计(论文)题目:隐函数求偏导的方法 学院:信息工程学院 专业名称:电子信息类 小组成员:史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日

摘要 (3) 一.隐函数的概念 (3) 二.隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)

摘要 本文讨论了一元隐函数,多元隐函数的存在条件及相关结论,总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例,目的是更好的计算隐函数的求导 关键字:隐函数 偏导数 方法 一.隐函数的概念 一般地,如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ,在一定条件下,当x 取某区间的任一 值时,相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在,那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如,方程013 =-+y x 表示一个函数,因为当变量x 在()∞+∞-, 内取值时,变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二.隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P (x 。,y 。)在某一领域内具有连续偏导数, 且0),(=οοy x F ,0),(≠οοy x F y ,则方程0),(=y x F 在点(x 。,y 。)的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =,它满足条件)(οοx f y =,并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点(1,1)的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数,且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ,并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ,y F =-2y ,)1,1(F =0,)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知,方程2x -2y =0在点(1,1)的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数,当x=1时,y=1的隐函数为y=x ,且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数:
z=x+iy i2=-1 ,x,y 分别称为 z 的实部和虚部,记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π<θ?≤π ,
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ,
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ;利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分:
定义:设函数 w=f(z)定义在区域 D 内,C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线,把曲线 C 任意分成 n 个弧段,设分点为
A=z0 ,z1,…,zk-1,zk,…,zn=B,在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1,弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时,
不论对 c 的分发即?k 的取法如何,Sn 有唯一的极限,则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为:
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时,f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题:计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲

导数及其应用(知识点总结)

导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率:()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义:()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000;. 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率. 4、常见函数的导数公式: ①'C 0=; ②1')(-=n n nx x ;③x x cos )(sin '=; ④x x sin )(cos '-=; ⑤a a a x x ln )('=;⑥x x e e =')(; ⑦a x x a ln 1)(log '=;⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则: ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????; ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????; ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????. 6、在某个区间(),a b 内,若()0f x '>,则函数()y f x =在这个区间内单调递增; 若()0f x '<,则函数()y f x =在这个区间内单调递减. 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤: (1)确定函数()y f x =的定义域; (2)求导数'' ()y f x =; (3)解不等式'()0f x >,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式'()0f x <,解集在定义域内的部分为减区间. 8、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=.当()00f x '=时: ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值. 9、求解函数极值的一般步骤: (1)确定函数的定义域 (2)求函数的导数f ’(x) (3)求方程f ’(x)=0的根 (4)用方程f ’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格 (5)由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是: ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值; ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

幂函数题型归纳

幂函数知识点归纳及题型总结 一、 幂函数定义:对于形如:() x f x α=,其中α为常数.叫做幂函数 定义说明: 1、 定义具有严格性,x α系数必须是1,底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的,可分为五类: 1)1α>时图像是竖立的抛物线.例如:()2x f x = 2)=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3)01α<< 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4)=0α时图像是除去(0,1)的一条直线.即() 0x f x =(0x ≠) 5)0α<时图像是双曲线(可能一支).例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧:指数越大,图像相对位置越高(指大图高) ②幂指数互为倒数时,图像关于y=x 对称 ③结合以上规律,要求会做出任意一种幂函数图像 三、幂函数的性质 幂函数的性质要结合图像观察,随着α取值范围的变化,性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关,通常化分数指数 幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性:α>0时,在(0,+∞)单调递 增:α=0无单调性;α<0时,在(0,+∞)单调递减 4、 过定点:α>0时,过(0,0)、(1,1)两

点;α≤0时,过(1,1) 5、 由 ()0 x f x α=>可知,图像不过第四象限 一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义 (1)下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = (2(3 2 3 1. (1)、函数3 x y =的图像是( ) (2)右图为幂函数y x α =在第一象限的图像,则,,,a b c d 的大小关系是 ( )

高一数学幂函数知识点总结

高一数学幂函数知识点总结 一、一次函数定义与定义式: 自变量x和因变量y有如下关系: y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。 即:y=kx(k为常数,k≠0) 二、一次函数的性质: 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k 即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质: 1.作法与图形:通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k,b与函数图像所在象限: 当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大; 当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。 当b>0时,直线必通过一、二象限; 当b=0时,直线通过原点 当b<0时,直线必通过三、四象限。 特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数 的图像。 这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通 过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式: 已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的 表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照 某个确定的对应关系f,使对于函数A中的任意一个数x,在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数: z=x+iy i2=-1 ,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π<θ?≤π,Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ,y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ;利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分: 定义:设函数w=f(z)定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有

向曲线,把曲线C 任意分成n 个弧段,设分点为A=z 0 ,z 1,…,z k-1,z k ,…,z n =B ,在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点?k 并作和式S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)= ∑f (?k )n k ?1?z k 记?z k = z k - z k-1,弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时,不论对c 的分发即?k 的取法如何,S n 有唯一的极限,则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为: ∫ f (z )dz c =lim δ 0 ∑ f (?k )n k ?1 ?z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c ?.当C 为闭曲线时,f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题:计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 (1) 解:当C 为闭合曲线时,∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时,∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续,则积分∫zdz c 存在,设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k ?1(k ?1)(z k -z k-1) 有可设?k =z k ,则 ∑2= ∑Z n k ?1(k ?1)(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等。所以

指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

(一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r as =a r+s (a>0,r 、s∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r bs (a>0,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y =a x a>1 0

图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,00时,0d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作log N a x=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 (1)对数的性质(0,1 a a >≠ 且):①1 log0 a =,②log1 a a =,③log N a a N =,④log N a a N =。(2)对数的重要公式:

幂函数知识点总结与练习题

幂函数 (1)幂函数的定义: 一般地,函数y x α =叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限,图象无限接近x 轴与y 轴. ④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当q p α= (其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q p y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q p y x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q p y x =是非奇非偶函数. ⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α =∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下 方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上

方,若1x >,其图象在直线y x =下方. 幂函数练习题 一、选择题: 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 ( ) A .y x =43 B .y x =32 C .y x =-2 D .y x =-14 2.函数2 -=x y 在区间]2,2 1[上的最大值是 ( ) A . 4 1 B .1- C .4 D .4- 3.下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) A .3 x y -= B .3 -=x y C .3 2x y = D .13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是 ( ) A . B . C . D . 5.下列命题中正确的是 ( ) A .当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C .若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D .幂函数的图象不可能出现在第四象限 6.函数3 x y =和3 1 x y =图象满足 ( ) A .关于原点对称 B .关于x 轴对称 C .关于y 轴对称 D .关于直线x y =对称 7. 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ) A .是奇函数又是减函数 B .是偶函数又是增函数 C .是奇函数又是增函数 D .是偶函数又是减函数 8.如图1—9所示,幂函数α x y =在第一象限的图象,比较1,,,,,04321αααα的大小( ) A .102431<<<<<αααα B .104321<<<<<αααα 1α 4α 2α

复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念:z = x ? iy , x, y 是实数,x = Rez,y = lmz.r-_i. 注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小 2.复数的表示 1)模:z =y/x2+y2; 2)幅角:在z = 0时,矢量与x轴正向的夹角,记为Arg z (多值函数);主值arg z是位于(-二,二]中的幅角。 3)arg z与arctan y之间的关系如下: x y 当x 0, argz=arctan工; x [ y y - 0,arg z = arctan 二当x : 0, x y y :: 0,arg z = arctan 「愿 L x 4)三角表示:z = z COST i sinv ,其中二-arg z ;注:中间一定是“ +"号 5)指数表示:z = z e旧,其中日=arg z。 (二)复数的运算 仁加减法:若z1= x1iy1, z2= x2 iy2,贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y2 2.乘除法: 1 )若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2,则 ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ; 乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy ?- 丫2为 -- = --------- = ----------------------- = -------------- T i -------------- Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x;y;x;y f 2)若乙=乙e°,z2= z2e°, _则 3.乘幂与方根e i "'2 ; 土評匀) Z2 Z2

1)若z =|z (cos日+isin 日)=|z e旧,则z"=上"(cosnT +i sin 用)=上"d吩。 2)若z =|z (cos日+isin 日)=|ze吩,贝U 阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" )(k =0,1,2[|I n—1)(有n个相异的值)l n n丿 (三)复变函数 1?复变函数:w = f z,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2?复初等函数 1)指数函数:e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导,处处解析;且e z= e z。 注:e z是以2二i为周期的周期函数。(注意与实函数不同) 3)对数函数:Lnz=lnz i(argz 2^:)(k=0, _1,_2[|[)(多值函数); 主值:In z = ln z +iargz。(单值函数) * 1 Lnz的每一个主值分支In z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且Inz z 注:负复数也有对数存在。(与实函数不同) 3)乘幂与幂函数:a b= e bLna(a = 0);z b= e bLnz(z = 0) 注:在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且z b二bz b‘。 iz -iz iz -iz e -e e e sin z cosz 4)三角函数:sin z ,cos z ,t gz , ctgz = 2i 2 cosz si nz sin z,cos z 在z 平面内解析,且sin z 二cosz, cosz =—si nz 注:有界性sin z兰1, cosz兰1不再成立;(与实函数不同) z -z z - z e -e e +e 4)双曲函数shz ,chz二 2 2 shz奇函数,chz是偶函数。shz, chz在z平面内解析,且shz 二chz, chz = shz。 (四)解析函数的概念 1 ?复变函数的导数

复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用 §1.留数1.(定理柯西留数定理): 2.(定理):设a为f(z)的m阶极点, 其中在点a解析,,则 3.(推论):设a为f(z)的一阶极点, 则 4.(推论):设a为f(z)的二阶极点 则 5.本质奇点处的留数:可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数:

即,等于f(z)在点的洛朗展式中这一项系数的反号 7.(定理)如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),设为,则f(z)在各点的留数总和为零。 注:虽然f(z)在有限可去奇点a处,必有,但是,如果点为f(z)的可去奇点(或解析点),则可以不为零。 8.计算留数的另一公式: §2.用留数定理计算实积分 一.→引入 注:注意偶函数 二.型积分 1.(引理大弧引理):上 则 2.(定理)设

为互质多项式,且符合条件: (1)n-m≥2; (2)Q(z)没有实零点 于是有 注:可记为 三.型积分 3.(引理若尔当引理):设函数g(z)沿半圆周 上连续,且 在上一致成立。则 4.(定理):设,其中P(z)及Q(z)为互质多项式,且符合条件:(1)Q的次数比P高; (2)Q无实数解; (3)m>0 则有 特别的,上式可拆分成:

及 四.计算积分路径上有奇点的积分 5.(引理小弧引理): 于上一致成立,则有 五.杂例 六.应用多值函数的积分 §3.辐角原理及其应用 即为:求解析函数零点个数 1.对数留数: 2.(引理):(1)设a为f(z)的n阶零点,则a必为函数的一阶极点,并且 (2)设b为f(z)的m阶极点,则b必为函数的一阶极点,并且 3.(定理对数留数定理):设C是一条周线,f(z)满足条件: (1)f(z)在C的内部是亚纯的;

指数、对数及幂函数知识点小结及习题

指数函数、对数函数及幂函数 Ⅰ.指数与指数函数 1.指数运算法则:(1)r s r s a a a +=; (2)() s r rs a a =; (3)()r r r ab a b =; (4)m n m n a a =; (5)m n n m a a - = (6),||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2. 指数函数: 【基础过关】 类型一:指数运算的计算题 此类习题应牢记指数函数的基本运算法则,注意分数指数幂与根式的互化,在根式运算或根 指数函数 01 图 象 表达式 x y a = 定义域 R 值 域 (0,)+∞ 过定点 (0,1) 单调性 单调递减 单调递增

式与指数式混合运算时,将根式化为指数运算较为方便 1 、5+的平方根是______________________ 2、 已知2=n a ,16=mn a ,则m 的值为………………………………………………( ) A .3 B .4 C .3 a D .6 a 3、 化简 (b a b +-的结果是………………………………( ) A 、a - 、a a D 、2b a + 4、已知0.001a = ,求:413 3 223 3 8(14a a b a b -÷-+=_________________ 5、已知1 3x x -+=,求(1)1 12 2 x x - +=________________(2)332 2 x x -+=_________________ 6 、若y y x x -+=,其中1,0x y ><,则y y x x --=______________ 类型二:指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域,注意到负数没有偶次方根;此外应牢记指数函数的图像及性质 函数) (x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 1、若集合A={ 113x x y -= },B={ x s A B =?= 则____________________ 2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数 1(2)x y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中,满足f(x+1)=1 2f(x)的是……………………………………………( ) A 、()1 12x + B 、 1 4x + C 、2x D 、

复变函数积分方法总结定稿版

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复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数: z=x+iy i2=-1 ,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ θ称为主值-π<θ≤π,Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ,y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ;利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分: 定义:设函数w=f(z)定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有

向曲线,把曲线C 任意分成n 个弧段,设分点为A=z 0 ,z 1,…,z k-1,z k ,…,z n =B ,在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点k 并作和式S n =∑f ( k )n k ?1(z k -z k-1)= ∑f ( k )n k ?1z k 记z k = z k - z k-1,弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k ≤n {S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时,不论对c 的分发即k 的取法如何,S n 有唯一的极限,则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为: ∫ f (z )dz c =lim δ 0 ∑ f ( k )n k ?1 z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c ?.当C 为闭曲线时,f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题:计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 (1) 解:当C 为闭合曲线时,∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (k )n k ?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时,∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续,则积分∫zdz c 存在,设k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k ?1(k ?1)(z k -z k-1) 有可设k =z k ,则 ∑2= ∑Z n k ?1(k ?1)(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等。所以

基本初等函数和函数的应用知识点总结

基本初等函数和函数的应用知识点总结 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根, 其中n >1,且n ∈N * . ◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m , )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 因为负数对一些分数次方无意义,0的负数次方无意义。 2、指数函数的图象和性质 a>1 0

高考数学知识点:幂函数知识点_知识点总结

高考数学知识点:幂函数知识点_知识点总结 定义: 形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域: 当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域 性质: 对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x0的所有实数,q不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。 总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下: 如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数,0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到: (1)所有的图形都通过(1,1)这点。 (2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。 (5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。 (6)显然幂函数无界。

复变函数与积分变换重点公式归纳

复变函数与积分变换 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数: y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数:)sin (cos y i y e e w x z +== 性质:(1)单值.(2)复平面上处处解析,z z e e =)'((3)以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== (k=0、±1、±2……) 性质:(1)多值函数,(2)除原点及负实轴处外解析,(3)在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数:2cos iz iz e e z -+= i e e z iz iz 2sin --= 性质:(1)单值 (2)复平面上处处解析 (3)周期性 (4)无界 5、反三角函数(了解) 反正弦函数 )1(1 sin 2z iz Ln i z Arc w -+== 反余弦函数 )1(1 cos 2-+= =z z Ln i z Arc w

三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈ x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第二象限角:{}()90360180360k k k Z αα??+<<+∈ 第三象限角:{}()180 360270360k k k Z αα??+<<+∈ 第四象限角: {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 锐角: {}090αα<< 小于90的角:{}90αα< 任意角的概念 弧长公式 角度制与 弧度制 同角三角函数的基本关系式 诱导 公式 计算与化简 证明恒等式 任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 已知三角函数值求角 和角公式 倍角公式 差角公式 应用 应用 应用 应用 应用 应用 应用

5、若α为第二象限角,那么 2 α 为第几象限角? ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.01801≈=?π 815730.571801'?=?≈? =π 8、角度与弧度对应表: 角度 0? 30? 45? 60? 90 120? 135? 150? 180? 360? 弧度 6π 4π 3π 2π 23π 34π 56 π π 2π 9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,22r x y =+. 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号 口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.(简记为“全s t c ”) 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 ? 270 360 弧度 6 π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π 32 π 2π sin α 0 12 22 32 1 32 22 12 1 0 cos α 1 32 22 12 1 2- 22- 32- 1- 0 1 tan α 0 33 1 3 无 3- 1- 3 3 - 无 r y) (x,α P

幂函数知识点总结及练习题

幕函数 ①图象分布:幕函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象?幕函数是偶函数时, 图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限 ②过定点:所有的幕函数在(0,)都有定义,并且图象都通过点(1,1)? ③单调性:如果0,则幕函数的图象过原点,并且在[0,)上为增函数?如果0, 则幕函数的图象在(0,)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴. ④奇偶性:当为奇数时,幕函数为奇函数,当为偶数时,幕函数为偶函数.当q(其 P q 中p, q互质,p和q Z ),若p为奇数q为奇数时,则y x p是奇函数,若p为奇数q为 q q 偶数时,则y x p是偶函数,若p为偶数q为奇数时,则y x p是非奇非偶函数. ⑤图象特征:幕函数y x ,x (0,),当1时,若0x1,其图象在直线y x下 方,若x 1,其图象在直线y x上方,当1时,若0x1,其图象在直线y x上 方,若x 1,其图象在直线y x下方.

、选择题: 幕函数练习题 F列函数中既是偶函数又是,0)上是增函数的 是 A. 4 3 x3B . y x2 C. y x 2 D. y 2. 函数 y x 2在区间【1,2]上的最大值是 A. B . 1 C . 4 D 3. 4 F列所给出的函数中,是幕函数的是 A. 4. 函数 ( ) ( ) x3 1 5. F列命题中正确的是 A. 0时函数y x 的图象是一条直线 B . 幕函数的图象都经过( 0, 0)和(1 , 占 八 、、 C. 若幕函数y x是奇函数,则y x D . 6. A. 幕函数的图象不可能出现在第四象限 1 x3图象满足 .关于x轴对称 函数y x3和y 关于原点对称 B 函数y x | x |,x R,满足 A. C. 是奇函数又是减函数 是奇函数又是增函数 是定义域上的增函数 ( ) .关于y轴对称 .是偶函数又是增函数 D.是偶函数又是减函数 .关于直线y x对称 A . 1 3 0 4 2 B. 0 1 2 3 4 C 2 4 0 3 1 D 3 2 0 4 1 &如图1 —9所示,幕函数y 1 1 1 1

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