随机过程课文例题(考试必备)

定义1.10 设随机变量X 的分布函数为F(x),称

∞<<-∞=====?∞

∞-t x dF e e E d t g itx itX ),()()( 为X 的特征函数.

特征函数的性质:

(1) g(0)=1,|g(t)|≤1,g(-t)=-

------t g ）（ .

(2) g(t)在）

，（∞∞-上一直连续. (3) 若随机变量X 的n 阶矩EX n 存在，则X 的特征函数g （t ）可微分n 次，且当k ≤n 时，

有k k k i 0g EX =）（）（。 (4) g(t)是非负定函数。即对任意正整数n 及任意实数n 321t ...,t t t ，，和复数n 21z ...z z ，，

，，有

0)(g 1,≥-∑=l k n l k l k z z t t 。

(5) 若n X X X (21)

，是相互独立随机变量，侧n X X X X +++=...21的特征函数)()...()()(21t g t g t g t g n =其中)(t g i 是随机变量i X 的特征函数，i=1,2，…,n.

(6) 随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。

例1.2 设X 服从B （n ，p ），求X 的特征函数）（t g 及EX 、EX 2

、DX 。

解 X 的分布例为

,,...1,0,1,)k (n k p q q p c X P k n k k n =-===- ∑∑=-=-==

n k k n k it k n n k k n k k n itk q pe c q p c e t g 00)()( =n

it q pe )(+。

又性质知 np q pe dt d i

ig EX t n it =+-=-==0')()0(, ,)()1()0()(2202

22''22p n npq q pe dt d g i EX t n it +=+-=-== npq EX EX DX =-=22)(

例1.3 设X~N （0,1），求X 的特征函数）（t g .

解 :?∞∞=

-2x it .e 21t g 2dx —）（π 由于|ixe

22

x itx -|=2x 2e |x |—,且∞

2dx —π，

故可对（1,2）式右端在积分号求导，得 ??∞∞--∞∞--==)(221

t g 2222x itx x itx de e i dx ixe ππ

）（’ =--∞

∞--22

2x itx ixe i π?∞

∞--dx e t

x itx 22

2π

=—tg （t ），

于是得微分方程 0)()(g '=-t tg t 分离变量方程有.)

()(tdt t g t dg -= 两边积分的,21)(ln 2c t t g +-

= 故方程通解为c t e t g +-=221)(.

由于g （0）=1，所以c=0，于是X 得特征函数为22

)(t e t g -=

例1.4 随机变量X 的特征函数为）

（t X g ,b aX Y +=,其中a ，b 为任意实数，证明Y 的特征函数)(t g Y 为 )()(at gx e t g itb Y =.

证 ][)()(b aX it Y e

E t g += =][)(itb X ta i e e E =)(g ][x )(at e e E e itb X ta i itb =

定义1.12 设X 是非负整数值随机变量,分布列

,....,1,0,p k ===k k X P ）（

则称∑∞======0)()(k k k X s p

s E d s P

为X 的母函数。母函数有以下性质：

（1） 非负整数随机变量的分布列有其母函数唯一确定。

（2） 设P(s)是X 的母函数，若EX 存在，则EX=P ’（1），

若DX 存在，则DX=2

]1[11）（’）（’）（’’P P P -+.

（3） 独立随机变量只和的母函数等于母函数之积.

（4） 若....21，

，X X 是相互独立且同分布的非负整数值随机变量，N 是与....21，，X X 独立的非负整数随机变量，则∑==N k k X

Y 1的母函数))(()(s P G S H =，其中G （s ）、P （s ）

分别是N 、X 1的母函数。

例1.6 设商场在一天的顾客数N 服从参数1000=λ的泊松分布，又设每位顾客所花费的钱X i 服从N （100,502），求商店的日销售额Z 的平均值。

解 由条件可知10010001==EX EN ，,故由（1.6）式

10000010010001=?=?=EX EN EZ （元）

例1.7 设商场一天内的顾客到达人数N 是参数为λ的泊松随机变量，每个顾客在该商场的消费是相互独立的。其消费金额（元）都服从[0,a]上的均匀分布，求商场一天平均营业额。

解：记X 为商场一天的营业额，i Y 为第i 个顾客在商场的消费金额N i ,...,2,1=，则∑==N

i i Y X 1。

,...,2,1,0,!)(==

=-k e k k N P k λλ N i a EY i ,....2,1,2

1== 由（1.8）式∑∞

====0

)()|(k k N P k N X E EX

∑∑∞=====o

k N i i k N P k N Y

E )()|(1

∑∑∞====o

k N i i

k N P Y E )()(1

∑∞==??=o

k k N P EY

k )(1

∑∞==??=1

1)(k k N P k EY

λa EN EY 2

11=

?=（元） 第二章

例2.5 设随机过程 ，

＞）（0),sin()cos(t t t Z t Y X θθ+= 其中,Y 、Z 是相互独立的随机变量，且20σ====DZ DY EZ EY ，,求{X （t ），t ＞0}的均值函数)(t m X 和协方差函数）

（t s B X ,. 解 由数学期望的性质

0)sin()cos()]

sin()cos([)(=+=+=EZ t EY t t Z t Y E t EX θθθθ

因为Y 与Z 相互独立，故

)]()([),(),(t X s X E t s R t s B x X ==

)]sin()cos()][sin()cos([t Z t Y s Z s Y E θθθθ++=

）2

2()sin()sin()()cos()cos(Z E t s Y E t s θθθθ+=

])[(cos 2θσs t -=.

定义2.4 设}),({},),({T t t Y T t t X ∈∈是两个二阶矩过程,侧称 T t s t m t Y s m s X E d t s B Y X XY ∈--====,))],()())(()([(),(

为}),({}),({T t t Y T t t X ∈∈与的互协方差函数,称

)]([).(t Y s X E d t s R XY ）（====

为}),({}),({T t t Y T t t X ∈∈与的互相关函数.

如果对任意T t s ∈,,有0),(=t s B XY ,则称}),({}),({T t t Y T t t X ∈∈与互不相关.

显然有 ).()(),().(t m s m t s R t s R Y X XY XY -=

例 2.8 设)(t X 为信号过程, )(t Y 为噪声过程.令）

）（t Y t X t W ()(+=,则）

（t W 的均值函数为））（t m t m t m Y X W ()(+=, 其相关函数为

)]()()][()([,t Y t X s Y s X E t s R W ++=）（

)]()([)]()([)]()([)]()([t Y s Y E t X s Y E t Y s X E t X s X E +++= ),(),(),(),(t s R t s R t s R t s R Y YX XY X +++=