例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______
必修五基本不等式题型分类(绝对经典)
一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习 教学 重点 基本不等式 教学 难点 基本不等式的应用 教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式 教学步骤及教学内容一、教学衔接： 1、检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。 二、内容讲解： 1．如果那么当且仅当时取“=”号）. 2．如果那么（当且仅当时取“=”号） 3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 三、课堂总结与反思： 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结 四、作业布置： 见讲义 管理人员签字：日期：年月日 作1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差 备注：
基本不等式复习
知识要点梳理 知识点：基本不等式 1．如果（当且仅当时取“=”号）. 2．如果（当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求的最小值； （2）若 （3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值变式1：已知 类型二：含“1”的式子求最值
2．已知且，求的最小值. 变式1：若 变式2： 变式3：求函数 类型三：求分式的最值问题 3. 已知，求的最小值 变式1：求函数
最新高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答
不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2
一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入
高中数学必修五-不等式知识点精炼总结
高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质：8条性质.
(2)一元二次不等式： +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O
一元二次不等式的求 解流程： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式： 高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0； （3）2x 2 +ax +2 > 0； 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ
高中数学必修五教案-基本不等式
第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤（一） 教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 教学重点： 2 a b +≤的证明过程； 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 2a b +≤ ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。（教师提问→学生思考→师生总结） ②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ ： 用分析法证明：要证 2a b +≥， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2（4）， 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８ x 3y 3.
必修五不等式大复习-知识点加练习-适合整章复习
必修五不等式综合 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若 ,a b c d ><，则a c b d ->-） ，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除， 但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 练习一、： （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c -> ->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 练习二;（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21 log log 21+t t a a 和的大小 （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积
高中数学必修五 第3章 不等式 同步练习 3.4基本不等式(含答案)
《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．12 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则133y x x =--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且141x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ．1 1 1 a b c ++≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ． 22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤+ Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<
必修五-不等式知识点汇总复习课程
必修五-不等式知识点 汇总
不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 0>? 0=? 0a ）的图象 ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= ) )((212x x x x a c bx ax y --=++= c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a
基本不等式的应用(适合高二必修五)
基本不等式的应用 一．基本不等式 1.（1）若R b a,，则ab b a 22 2 (2)若R b a,，则2 2 2 b a ab （当且仅当b a 时取“=”）2. (1) 若* ,R b a ，则 ab b a 2 (2) 若 * ,R b a ，则a b b a 2（当且仅当 b a 时取“=”） (3)若 * ,R b a ，则2 2 b a ab (当且仅当b a 时取“=”） 3.若0x ，则12x x (当且仅当1x 时取“=”）;若0x ，则12x x (当且仅当1x 时取“=”） 若0x ，则11122-2x x x x x x 即或 (当且仅当b a 时取“=”） 4.若0ab ，则2a b b a (当且仅当b a 时取“=”）若0ab ，则 22-2a b a b a b b a b a b a 即 或 (当且仅当b a 时取“=”） 5.若R b a,，则2 ) 2 (2 2 2 b a b a （当且仅当b a 时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、 证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋1 2x 2 （2）y ＝x ＋ 1 x 解：（1）y ＝3x 2 ＋ 1 2x 2≥23x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x · 1x ＝2； 当x ＜0时，y ＝x ＋ 1x = －（－x －1 x ）≤－2x · 1x =－2 ∴值域为（－∞，－ 2]∪[2，+∞） 解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54 x ，求函数142 45 y x x 的最大值。 解：因45 0x ，所以首先要“调整”符号，又1(42) 45 x x 不是常数，所以对42x 要进行拆、凑项， 5,5 404 x x ， 1142 5 43 45 5 4y x x x x 231 当且仅当15454x x ，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max 1y 。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
高中数学数学人教A版必修五第三章第三节基本不等式基础练习
数学必修五第三章第四节基本不等式 班级 学号 姓名 一 知识巩固 1、重要不等式： 2、基本不等式： 3、基本不等式求最值定理： ； 。 4、基本不等式求最值定理应满足的三个条件是： ， ， 。 5最常用的形式：()0,02>>≥+k x k x k x 二、实践应用 1、应用于求最值 （一）例题讲解 1．已知正数,a b 满足10ab =，则2+a b 的最小值是 ( ) A ． B ． C ． D ．2．函数1 ()(2)2 f x x x x =+>-最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知函数4 ()1,(0)f x x x x =--<，则此函数的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．9 4．若1 02x << ，则 ） A ．1 B ．12 C ．1 D ．1 8 5．已知函数()5f x x =-，当19x ≤≤时，()1f x >恒成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．133 m < B ．5m < C ．4m < D ．5m ≤ 6．在函数①1y x x =+，②sin 2(0)2sin x y x x π=+<<，③42x x y e e =+-，④2y =， ⑤1 y x x =+中，最小值为2的函数的序号是______.③⑤
（二）应用练习 1．若0a >，0b >且24a b +=，则1 ab 的最小值为（ ） A ．2 B ． 12 C ．4 D ． 1 4 2．若x ，y 是正数，且12 1x y +=，则xy 有( ) A ．最大值8 B ．最小值1 8 C ．最小值8 D ．最大值 18 3．已知01x <<，则(33)x x -取最大值时x 的值为（ ）． A ．13 B ．12 C ．2 3 D ． 34 4．设正数x ,y 满足x + 4y =40 ,则 lgx +lgy 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．2 5．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．26 D ．42 6．下列函数中,最小值为22的是 A ．2y x x =+ B ．2sin (0)sin y x x x π=+<< C ．e 2e x x y -=+ D ．2log 2log 2x y x =+ 7.已知函数()9 411 y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则+a b 等于（） A ．-3 B ．2 C ．3 D ．8 8．已知0a >，0b >，则11 2ab a b ++的最小值是（ ） A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 9．若实数x,y 满足xy=1,则+的最小值为______________. 10．周长为12的矩形，其面积的最大值为____________； 11、函数= y ()10x x -的最大值为 . 12．已知(2,5)x ∈-，求(2)(5)y x x =+-的最大值，以及y 取得最大值时x 的值． 13．（1）已知1x >，求1 21 x x + -的最小值； (2)已知0x >，求4 2y x x =--的最大值；
最新必修五不等式知识点
不等式的基本知识 1 （一）不等式与不等关系 2 1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质： 3 (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, 4 (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) 5 (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, 6 bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) 7 (5) 倒数法则：b a a b b a 110,> 8 (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 9 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 10 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号11 ——结论） 12 3、应用不等式性质证明不等式 13 （二）解不等式 14 1、一元二次不等式的解法 15 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 16 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，17 ac b 42-=?，则不等式的解的各种情况如下表： 18
0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 002>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(0 2>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ??????-≠a b x x 2 R 的解集)0(0 2><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 19 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次20 项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通21 过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，22 写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<112023 23
高中数学必修五《基本不等式》培优专题
高中数学——基本不等式培优专题 目录 培优（1）常规配凑法 培优（2）“1”的代换 培优（3）换元法 培优（4）和、积、平方和三量减元 培优（5）轮换对称与万能k法 培优（6）消元法（必要构造函数求异） 培优（7）不等式算两次 培优（8）齐次化 培优（9）待定与技巧性强的配凑 培优（10）多元变量的不等式最值问题 培优（11）不等式综合应用
培优（1） 常规配凑法 1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ，则22y x +的最大值为_____________ 3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1 1)((≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值 是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -++ +1 1 的最小值是_____________ 5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab b a =+3 2，则ab 的最小值是_____________ 6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则 b b a 21 4+ -的最小值是_____________
7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11 111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ） A.23 B.22 C.3 D.2 培优（2） “1”的代换 8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9
数学必修五 第三章 不等式 知识点总结
数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结： 1、 比较实数大小的依据：①作差：0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b ->>?>时,1a a b b =?=,1a a b b ?<时，,1a a b b =?=,1a a b b 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为0且二次项的系数大于0；②计算相应的判别式；③当0?≥时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。（大于0取两边，小于0取中间）.含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论：①二次项系数的正负；②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系；③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布：一般借助二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的等价条件，常常用以下几个关键点去限制：（1）判别式；（2）对称轴；（3）根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根，则12,x x 的分布情况列表如下：（画出函数图象并在理解的基础上记忆）
5、一元高次不等式()0 f x f x>常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤如下：①将()最高次项的系数化为正数；②将() f x分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过）；④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念：①线性约束条件：由关于,x y的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y的线性约束条件；②目标函数：要求最值的关于,x y的解析式，如：22 z x y =+，
高中数学必修五同步练习题库：基本不等式(选择题：较难)
基本不等式（选择题：较难） 1、若正数满足，且的最小值为18，则的值为（） A．1 B．2 C．4 D．9 2、，动直线过定点A，动直线过定点，若 与交于点(异于点)，则的最大值为 A． B． C． D． 3、若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 4、若，，，则的最小值是 A． B． C． D． 5、如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于 两点，且，则的最小值 为（） A．2 B． C． D． 6、若，，，则的最小值是 A． B． C． D．
7、已知实数满足，则的最大值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 8、如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点 四点，则的最小值为（） A． B． C． D． 9、已知，则的最小值为（） A． B． C． D． 10、已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（） A．3 B．4 C． D． 11、半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则 的最小值是（） A．2 B．0 C． D．
12、抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦 的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（） A．1 B． C．2 D． 13、抛物线的焦点为F，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足 ．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（） A． B． C． D． 14、已知，且满足，那么的最小值为（） A．3﹣ B．3+2 C．3+ D．4 15、曲线（）在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（） A．10 B．9 C．8 D． 16、函数的值域为（） A． B． C． D． 17、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点 (异于点)，则的最大值为 A． B． C． D．
《基本不等式》典型例题
高中数学必修五典题精讲 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜ 31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜ 3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=6 1时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值12 1. 解法二：∵0＜x ＜31,∴3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［2 31x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1?=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x 1=-［(-x)+)(1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ )(1x -≥2,当且仅当-x=x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+ x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x ＞-1,∴x+1＞0.
(完整word版)高中数学必修五基本不等式练习题
基本不等式练习题 一、单项选择 1. 已知0x >，函数4y x x =+的最小值是（ ） A ． 4 B ．5 C ． 6 D ．8 3. 在下列函数中，最小值为2的是（ ） A x x y 1+= B x x y -+=33 C )101(lg 1lg <<+=x x x y D )2 0(sin 1sin π<<+=x x x y 4. 已知)0,0(135>>=+y x y x ，则xy 的最小值是 （ ） A ．15 B ．6 C ．60 D ．1 5. 已知 1,1x y >> 且16xy =，则22log log x y ?（ ） A ．有最大值2 B ．等于4 C ．有最小值3 D ．有最大值4 6. 若R b a ∈,，且0>ab ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．ab b a 222>+ B ．ab b a 2≥+ C ．ab b a 211>+ D ．2≥+b a a b 7. 若正数b a 、满足3++=b a ab ，则b a +的取值范围是（ ） A ．),9[+∞ Ｂ．),6[+∞ C ．]9,0( D ．)6,0( 8. 已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+.若存在两项,m n a a 使得14m n a a a =，则 19m n +的最小值为( ) A 83 B 114 C 145 D 176 9.设0=+b a b a ,则ab 的最大值为( )
① b a ab ab +>2，② b b a a -->，③ 22234b ab b a ->+，④ 22>+ab ab 恒成立的序号为 23.(,)x y 在直线23x y +=上移动，则24x y +的最小值为 24.知0,0,8x y x y xy >>++=，则x y +的最小值是__________． 25.)21(,2 10x x x -<<则的最大值是_________. 26.＞0，则= y 24x x +的最大值是___________. 27.实数,x y 满足2244x y x y +=+,则88x y +的取值范围是________ 28.知b a ,都是正实数，函数b ae y x +=2的图像过点（0,1），则b a 11+的最小值是 . 29.实数,a b 满足221a b +=且 c a b <+，恒成立，则c 的取值范围是____________． 30.若x 、y 为正整数，且满足4161x y +=，则x y +的最小值为_________； 31.)0,0(1>>=+b a b a ，则 b a 11+的最小值为 32.y x ,均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为 ． 三、解答题 33.知,a b 是不相等的正常数，实数,(0,)x y ∈+∞. （Ⅰ）求证：222 ()a b a b x y x y ++≥+，并指出等号成立的条件； （Ⅱ）求函数211(),(0,)122 f x x x x =+∈-的最小值，并指出此时x 的值． 34.制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米．
高中数学必修五第三章复习知识点及题型
必修五第三章 不等式 一．不等关系与不等式 1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >． 例1 对于实数判断下列命题真假：,,,c b a （1）若;,bc ac b a <>则 (2);,2 2b a bc ac >>则若 (3)22,0b ab a b a >><<则若 (4) .0,0,1 1, <>>>b a b a b a 则若 例2（1）.已知x ∈R,则22+x 与2的大小关系是?( ). A.22 +x >2 B.222 ≥+x C.22 +x <2 D.222≤+x （2）.2)2(-≥n m 等价的是( ). A.2)2(-≤n m B.m n ≥-2)2( C.m n ≤-2)2( D.2)2(-n ? 0=? 0a 的图象 方程02 =++c bx ax )0(>a 的根 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 没有实数根 )0(02>>++a c bx ax )0(02 ><++a c bx ax 例3（1）2. 函数122-+=x x y 的定义域是 ( ) A.{} 34>-++bx ax 的解为3 12 1<<-x ，则b a +等于 ( ) A.10 B.-10 C.14 D.-14 （3） 对于任意的实数x ，不等式04)2(2)2(2 <----x a x a 恒成立，实数a 的取值范围是( ) A.()2，∞- B.(]2，∞- C.()22，- D.(]22，- （4） 解关于的不等式)0(01)1(2 ><++-a x a ax . 例4.解不等式（1）()()()0321≥-+-x x x （2）()()()0321>-+-x x x （3）() ()()()032112≤-+-+-x x x x x （4）()()()()032112 >-+-+x x x x （5）012<-+x x （6）221≤-+x x （7）027313222 ≥+-+-x x x x 例5（1）.已知不等式22 622 >++++x x kx kx 对任意R x ∈恒成立，求k 的取值范围。 （2）函数()()862++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求k 的取值范围 。 （3）若不等式0122 ≤--+a x x 对一切[]0,2-∈x 恒成立，求实数a 的取值范围 。
