北邮工程数学答案

一、设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 运算关系表示下列事件：

1． A 发生，B 与C 不发生：_______________________ 2． A 、B 、C 中至少有一个发生：___________________ 3． A 、B 、C 中至少有两个发生：___________________ 4． A 、B 、C 中不多于一个发生。_____________________ 二、填空

1． 设A 、B 为两个事件，且5.0)()(,7.0)(===B P A P B A P ，则

（1）=)(B A P ___________， （2）=)(B A P __________;

2．若事件A 发生必导致事件B 发生，且==)(,4.0)(A B P A P 则____,=)(AB P ____; 3．若A 、B 为任意两随机事件，若)(),(),(AB P B P A P 已知，则

=)(B A P ______________，=)(A P _______________;

4． 设有三事件A 1、A 2、A 3相互独立，发生的概率分别为1p 、2p 、3p ，则这三事件中至少有一个发生的概率为__________________,这三事件中至少有一个不发生的概率为_______;

5． 若随机变量X ～B （5，0.3）,则P ｛X =3｝=___________________________,

P ｛X ≥4｝=__________________________________________; 6． 设随机变量X ～B ),(p n ，且EX =2.4,DX =1.44,则X 的分布列为

{}==k X P __________________________________________, {}==3X P __________________________________________;

7．已知随机变量X 的概率密度函数为

),(221

)(8

)1(2

∞-∞=

--

x e x f π

则EX =______，DX =______，X 的分布函数=)(x F __________________;

8．设X ～N （1.5,4）,则P ｛︱X ︱＜3｝＝_________________;

(已知)9878.)25.2(,7734

.0)75.0(=Φ=Φ 9．若X ～N （==-)(,2

2222Y E e

Y e x

则），且，μμσμ___________;

10．设随机变量X 的概率密度为=?

??≤>=-k x x ke x f x 则常数0,00

,)(3_________。

11．设随机变量X ～U ［1，3］，则=??

?

??X E 1_________。

12．设随机变量X ～π==λλ则且,2)(),(2X E _________。 13．设舰艇横向摇摆的随机振幅X 服从瑞利分布，其概率分布密度为

??

???>=-其他,00

,)(2

2

22x e x x f x σσ

σ＞0，则E （X ）=___________。

14．已知（X

且知X 与Y 相互独立，则α和β分别为_____,_____。 15．已知（X ，Y ）的分布律为

则：（1）E （X ）=__________ （2）E （Y ）=__________ 三、单项选择题

1．一批产品共100件，其中有5件不合格，从中任取5件进行检查，如果发现有不合格产品就拒绝接受这批产品，则该批产品被拒绝接受的概率为 （ ）

A ．51005

95C C B ．1005 C ．51005951C C - D ．4

1

151********??

? ????? ??C 2．设A 、B 为两事件，===)(,4.0)()()(B P A P B A P B A P 则且 （ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6

D ．1

3若X x F 为)(的分布函数，则F （1.5）= ( ) A ．0.8 B ．0.5 C ．0 D ．1

4．设随机变量X 的概率分布密度为

=??

?<<=a a x x x f 则其他

,

0,3)(2

( )

A ．

41 B ．2

1

C ．1

D ．2 5．设随机变量X 与Y 独立，其方差分别为6和3，则D （2X －Y ）= （ ） A ．9 B ．15 C ．21 D ．27 6．设随机变量X 与Y 独立，X 的概率密度为

?

?

?<<=???

??>=其他的概率密度为其他

,01

0,2)(,0

2

,8)(3

y y y f Y x x x f Y X 则E （XY ）= （ ） A ．

34 B ．35 C ．37 D ．3

8

四、某产品每批中都有三分之二合格品，检验时规定：先从中任取一件，若是合格品，

放回，再从中任取一件，如果仍为合格则接受这批产品，否则拒收，求一批这种产品被拒收的概率，以及三批产品中至少有一批被接收的概率。

五、袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列两种取法在袋中取球：（1）从袋中有放回地取三次球，每次取一球，（2）从袋中无放回地取三次球，每次取一球（或称从袋中一次取三个球），在以上两种取法中均求A =｛恰好取得2个白球｝的概率。

六、将n 个球放入N 个盒子中去，试求恰有n 个盒子各有一球的概率（n ≤N ）。

七、为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a 和b ，每个报警系统单独使用时，系统a 有效的概率为0.92，系统b 有效的概率为0.93，而在系统a 失灵情况下，系统b 有效的概率为0.85，试求：（1）当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）在系统b 失灵情况下，系统a 有效的概率。

八、设有一箱产品是由三家工厂（甲、乙、丙）生产的，已知其中

2

1

产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占

4

1

，已知甲、乙两厂产品的2%是次品，丙厂产品的4%是次品。试求：（1）任取一件是次品又是甲厂生产的概率；（2）任取一件是次品的概率；（3）任取一件已知是次品，问它是甲厂生产的概率。

九、设某工厂实际上有96%的产品为正品，使用某种简易方法验收，以98%的概率把本来为正品的产品判为正品，而以5%的概率把本来是次品的产品判为正品。试求经简易验收法被认为是正品的确是正品的概率。

十、对以往数据进行分析表明，当机器开动调整良好时，产品的合格率为90%，而当机器不良好时，其产品的合格率为30%；机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求某日首件产品是合格品时，机器调整良好的概率。

十一、两批产品一样多，一批全部合格，另一批混有

4

1

的次品，从任一批中取一产品检测后知为合格品，又将其放回，求仍在这一批产品中任取一件为次品的概率。

十二、由统计资料可知，甲、乙两城市，一年中雨天的比例分别为20%和18%，且已知甲下雨时，乙也下雨的概率为60%。试求甲、乙至少有一地出现雨天的概率。

十三、一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出零件不再放

回去，求第三次才取得正品的概率。

十四、三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为

51、31、4

1

。问能将此密码译出的概率是多少？

十五、已知某工厂生产某种产品的次品率为0.01，如果该厂以每10个产品为一包出售，并承诺若发现包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率？若以20个产品为一包出售，并承诺多于2个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率。

十六、设有20台同类设备由一人负责维修，并假定各台设备发生故障的概率为0.01，且各台设备是否发生故障彼此相互独立，试求设备发生故障而不能及时维修的概率，若由3人共同维修80台设备情况又如何？

十七、用近似计算公式n k e

k p p k n k k

n k ,,2,1,0!)1( =≈-???

? ??--λλ计算上面第十六题。

十八、某保险公司发现索赔要求中有15%是因被盗而提出的，现在知道1998年中该公司共收到20个索赔要求，试求其中包含5个或5个以上被盗索赔的概率。

十九、设随机变量X 的密度函数为

?????

≤

≤-=其他,

022,cos )(ππx x A x f

求（1）系数A ；（2）?

??

?

??<

<40πX P ；（3）求X 的分布函数。 二十、一种电子管的使用寿命为X 小时，其密度函数为

?????<≥=100

,0100

,100

)(2x x x

x f

设其仪器内装有三个上述电子管（每个电子管损坏与否相互独立的），试求

（1）使用150小时内没有一个电子管损坏的概率； （2）使用150小时内只有一个电子管损坏的概率。 二十一、设随机变量X 的密度函数为

k x x e x k x f kx

(0,00,2

)(23??

?

??<≥=-＞0）

求X 的概率分布函数)(x F 。

二十二、设连续型随机变量X 的分布函数

?????<≥+=-0,0

,)(2

2

x x be a x F x

求：（1）常数;,b a （2）P ｛－1≤X ≤1｝； （3）X 的分布密度)(x f

二十三、设k 在［0，5］上服从均匀分布，求方程 02442

=+++k xk x

有实根的概率。

二十四、设X 服从参数015.0=λ的指数分布（1）求P ｛X ＞100｝；（2）如果要使 P ｛X ＞x ｝＜0.1，问x 应在哪个范围？

二十五、设测量某地到某一目标的距离时带有随机误差X ，已知X ～N （20，600），（1）求测量误差的绝对值不超过30的概率；（2）如果接连三次测量，各次测量相互独立，求至少有一次误差绝对值不超过30的概率。

二十六、设随机变量X 的分布列为

求（1）Y =－2X 的分布列；（2）Y =X 的分布列。

二十七、若随机变量X ～N （0，1），求Y =X 2的分布密度。

二十八、若随机变量X 的密度为,2

1)(x

e x

f -=（－∞，+∞），求Y =︱X ︱的概率密度。

二十九、设二维随机变量（X ，Y ）的分布列为

（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布列； （2

）判断X 与Y 是否独立； （3）求P ｛X +Y ＜3}； （4）求E (XY ）。

三十、设随机变量X 的分布列为

且Y =X 2－1

求（1）Y 的分布列；（2）（X ，Y ）的联合分布列；（3）判断X 与Y 是否独立。

三十一、设随机变量X 与Y 独立，且X 在［0，0.2］上服从均匀分布，Y 的分布密度为

???≤>=-0

,00

,5)(5y y e y f y Y

求（X ，Y ）的分布密度及P ｛Y ≥X ｝。

三十二、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

??

?<<<<+=其他,0

1

0,10,),(y x y x y x f

（1）求P ｛X+Y ≤1｝；（2）问X 与Y 是否相互独立？

（3）求E （X+Y ）和D （X+Y ）。

三十三、设二维连续随机变量（X ，Y ）的密度函数为

???≤≤≤≤=其他

,01

0,20,),(2y x Axy y x f

求（1）常数A ；（2）关于X 的边缘分布密度);(x f X （3）关于Y 的边缘分布密度);(y f Y （4）EX 。 三十四、设X

求：EX ，EX 2，DX 三十五、设（X ，Y ）的分布密度为

??

???≤≤≤≤+=其他,02

0,20),(81

),(y x y x y x f

求),(Y X ρ。