高考极限问题求解的十大策略

高考极限问题求解的十大策略

刘才华 （湖北省广水市一中 432700）

极限是高考的重点，也是高考常考内容，是联系初等数学和高等数学的桥梁.本文归纳了高考极限问题求解的十大策略,供同学们参考.

一、根据连续的定义求极限

若函数()f x 在点0x x =处连续，则0

0lim ()()x x f x f x →=，这样将求极限转化为求函数值.

例1 （1998年上海春季卷）若2313

lim 23x x ax x →++=+，则a =__________. 解 ∵函数233

()3x ax f x x ++=+在1x =处连续，

∴2313

lim

(1)3

x x ax f x →++=+424a +==，∴4a =. 二、根据导数的定义求极限 函数()f x 在0x x =的导数为0

000

()()

lim

()x x f x f x f x x x →-'=-，这样将求极限值转化为函数

在一点处的导数.

例２（2006年重庆卷）已知函数2()()x

f x x bx c e =++,其中,b c R ∈为常数.若

24(1)b c <-,且0

()lim

4x f x c

x

→-=,试证：6-≤b ≤2. 解 ∵(0)f c =，且2()[(2)]x f x x b x b c e '=++++， ∴(0)f b c '=+，又根据导数定义，

0()()(0)

lim

lim (0)0

x x f x c f x f f b c x x →→--'===+-. 4b c +=，

由已知条件得

24(1)b c <-，

∴2

412b b +-≤0,

∴6-≤b ≤2.

三、利用无穷等比递缩数列求和公式求极限

若数列{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，则前n 项和的极限s =1

lim 1n n a s q

→∞

=

-,

这样利用公式求极限值.

例３（2006年湖南卷）数列{}n a 满足:11

3

a =

,且对于任意的正整数m ,n 都有m n a += m n a a ?,则12lim()n n a a a →∞

+++= ( )

（A ）

12 （B ）23 (C)3

2

(D)2 解 ∵对于任意的正整数m ,n 都有m n m n a a a +=?， ∴取1m =，则1113n n n a a a a +=?=

，∴11

3

n n a a +=， ∴数列{}n a 是无穷等比数列且公比1

3

q =

， ∴12lim()n n a a a →∞+++ =11a q -1

1

312

13

==-.∴选(A). 四、有理化求极限

若分子或分母是无理式，则可对分子或分母有理化后再求极限. 例４（2006

年陕西卷）n 等于（ ）

（A ）0 （B ）14 （C ）1

2

（D ）1 解

n

n =

lim

4n n

→∞=

lim n →∞

= 21

42

=

=. ∴选（C ）.

五、分类讨论求极限

若极限式中含有参数，并且极限值因参数的取值不同而变化，应对参数的取值进行分类讨论.

例５（2005年天津卷）已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++++ (n N *∈，0a >，

b >0) .求1

lim

-∞→n n

n u u .

解 1221 n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++++ ，且0,0a b >>， 若

1b

a

=即a b =，则(1) n n u n a =+； ∴11

(1)(1)lim lim lim n n n n n n n u n a n a a u na n -→∞→∞→∞-++===； 若1b a ≠即a b ≠，则111

[1()] =

1n n n n n b

a a

b a u b a b a

+++--=--， ∴111n n n n n n u a b u a b

++--=-， 当0a b >>时，∴111

()lim lim lim

1()n

n n n n

n

n n n n

n b a b u a b a a b

u a b a ++→∞→∞→∞---===--； 当0a b <<时，∴11

1

()lim

lim lim ()1n n n n n n

n n n n

n a

a b u a b b b a u a b b

++→∞→∞→∞---===--. a (a ≥0)b >， ∴1

lim

n

n n u u →∞-=

b (0)a b <<. 六、等式两边取极限建立方程求极限

若数列{}n a 的极限存在，则1lim lim n n n n a a +→∞

→∞

=.这样建立关于极限值的方程，通过解方

程求极限.

例６ （2004湖北卷） 已知0a >，数列{}n a 满足1a a =,11n n

a a a +=+

， 1,2,n = ．已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞

→=lim （将A 用a 表示）

；

解 ∵lim n n a →∞

存在，且lim n n A a →∞

=，

∴在等式11

n n

a a a +=+

两边取极限， 则有11lim lim()n n n n

a a a +→∞

→∞

=+

， ∴1A a A

=+

，即2

10A aA --=，

∴A =0A >，

∴A =

七、和式或积式化简求极限

若极限式是和式或积式，可先对极限式变形化简后再求极限．

例７（2006年辽宁卷）2222464646()()...()

57

5757lim 545454

()()...()656565n n n n n →∞-+-++--+-++-=______. 解 2222464646

()()...()

57

5757lim 545454

()()...()656565n n n n n →∞-+-++--+-++- 2222444666(...)(...)

55

5777lim 555444

(...)(...)666555

n n n n n →∞+++-+++=+++-+++

4161[1()][1()]5577

111111()()575

7lim lim 514111

[1()][1()]()()665565

111165

n n n n

n n n n n n →∞→∞------==------ 51()7lim

15()16

n

n n

→∞-==--. 八、换元法求极限

若极限式的形式比较复杂，不便于利用已知，可利用换元法化简极限式再求极限. 例８（2005年江西卷）若1

(1)lim

11x f x x →-=-,则11

lim (22)

x x f x →-=-（ ）

（A ）-1 （B ）1 （C ）12-

（D ）2

1 解 令1t x =-，则0

()

lim

1t f t t

→=，令22s x =-， 则1012lim

lim (22)()x s s

x f x f s →→-

-=- 011

lim 2()2

s s f s →=-=-. ∴选(C).

九、洛比达法则求极限 若极限式0

()

lim

()

x x f x g x →把0x x =代入时，出现00或∞∞时，并且()f x 、()g x 在点0x x =处

可导，则0

()lim

()

x x f x g x →=0()

lim

()x x f x g x →''. 例９（2004

年辽宁卷）x π→=__________.

解 ∵ 将x π=代入时出现0

，

∴x π→

x π→'

=

cos ()(sin )

lim

x x x x π

π→+--=

lim ()sin )]x x x x π

π→=--

=-

十、两边夹法则求极限

若数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足不等式n b ≤n a ≤n c (1,2,)n = ，

且l i m l i m n

n n n b c A →∞

→∞

==，

则lim n n a A →∞

=．这样将求一个数列的极限转化为求其它数列的极限．

例10 （2005年湖北卷） 已知不等式

1123++…[]211

log ,2

n n +>其中n 是大于2的整数，[]2log n 表示不超过2log n 的最大整数。设{}n a 的各项为正，且满足1(0),n a b b a =>≤

1

1

n n na n a --+，2,3,4,n =…

（I ）证明[]

22,3,4,5,2log n b

a n

b n <

=+…

（II ）猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限值． 解 （I ）略．

（II ）数列{}n a 有极限， ∵由（I ）知 2202[log ]

n b

a b n <<+，

且lim 0n →∞

2

2lim

2[log ]n b

b n →∞=+0=，

根据两边夹法则，则lim 0n n a →∞

=．