数学必修四知识点汇总

数学必修四知识点梳理

第一章 三角函数、三角恒等变换

一、角的概念的推广

●任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。 ●正角、负角、零角

按逆时针方向旋转成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角， 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。

可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。

●象限角、轴线角

当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。 ●终边相同角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k ?360°,k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

二、弧度制

●角度定义制 规定周角的

360

1

为一度的角，记做1°， 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。 ●弧度制定义

1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad 。

2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。 ●弧度数

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是r

l =||α。 α的正负由角α的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。

三、任意角的三角函数

●任意角的三角函数的定义

设α是一个任意大小的角，α的终边上任意点P 的坐标是（x,y ），它与原点的距离r

（0r =

>），那么

1、比值

y r 叫做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=。 2、比值x r 叫做α的余弦，记做cos α，即cos x

r α=。

3、比值y x 叫做α的正切，记做tan α，即tan y

x

α=。

另外，我们把比值

x y 叫做α的余切，记做cot α，即cot x y α=；把比值r

x

叫做α的正割，记做sec α，即sec r

x

α=

；把比值r y 叫做α的余割，记做csc α，即csc r y α=。

对于一个确定的角α，上述的比值是唯一确定的，它们都可以看成从一个角的集合到一个

比值的集合的映射，是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数。

●诱导公式一

终边相同角的同一个三角函数的值相等。 sin(2)sin k απα+?=， cos(2)cos k απα+?=，

tan(2)tan k απα+?=，以上k ∈Z 。

利用此公式，可以把球求任意角的三角函数值化为求0到2π角的三角函数值。 ●正弦线、余弦线、正切线

1、如图所示，设任意角α的终边与单位圆交于点P （x,y ）

s i n 1y y

y r α=

==， c o s 1

x x

x r α===。

过点P （x,y ）作P M ⊥x 轴于M ，我们把线段MP ，OM 了方向的有向线段：当MP 的方向与y y 轴的负方向一致时，MP 是负的。因此，有向线段MP 的符号与点P 纵坐标的符号总是

一致的，且|MP|=|y|，即总有MP=y 。同理也有OM=x 成立。从而sin y MP α==，cos x OM α==。

我们把单位圆中规定了方向的线段MP ，OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线。

2、如图所示，过A （1,0）作x 轴的垂线，交α的终边OP 的

延长线（当α为第一、四象限角时）或这条终边的反向延 长线（当α为第二、三象限角时）于点T ，借助于有向线

段OA ，AT ，我们有tan y AT AT x OA

α=

==。于是，我们 把规定了方向的线段AT 叫做α的正切线。

特别地，当α的终边在x 轴上时，点A 与点T 重合，

tan 0AT α==；当α的终边落在y 轴上时，OP 与垂线平行，正切线不存在。

四、同角三角函数的基本关系

●同角三角函数的基本关系

根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数间的基本关系。 由三角函数定义有sin y r α=

，cos x r α=，tan y x

α=。 ①222

2

2

222

2sin cos ()()1y x x y r r r r r

αα++=+===，即22sin cos 1αα+=。 ②当()2k k Z π

απ≠+

∈时，sin tan (,)cos 2

k k Z απ

ααπα=≠+∈，

即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于α角的正切（其中,2

k k Z π

απ≠+∈）

。 ●关于公式22sin cos 1αα+=的深化

()

2

1sin sin cos ααα±=±

sin cos αα

=±

sin

cos

2

2

α

α

=+

sin 4cos 4sin 4cos 4=+=--

sin 4cos 4=-

五、正弦、余弦的诱导公式

●0°~360°之间角的划分

对于任何一个0°到360°的角，以下四种情形有且仅有一种成立：

[0,90)180 [90,180)180 [180,270)360 [270,360)αβαββαβαβ?∈?-∈??+∈??-∈?

●诱导公式二

s i n ()s i n παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=。 ●诱导公式三 s i n ()s i n αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-。

●诱导公式四 s i n ()

s i n παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-。

以上几个诱导公式可以叙述为 ：对于2()k k Z απ+?∈，则α-，πα±的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号。 也可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”。 ●诱导公式五

s i n c o s 2παα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???

。 ●诱导公式六 s i n c o s 2παα??+=

???，cos sin 2παα??

+=- ???

。 可以概括为：

2

π

α±的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加

上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

也可以简单地说成“函数名改变，符号看象限”。

六、两角和与差的正弦、余弦、正切

●两角和的正弦、余弦、正切

()s i n s i n c o s c o s s i n αβα

βαβ+=?+?，

()c o s c o s c o s s i n s i n αβα

βαβ+=?-?

，

()t a n t a n

t a n 1t a n t a n

αβαβαβ++=

-。

●两角差的正弦、余弦、正切

()s i n s i n c o s c o s s i n αβα

βαβ-=-，

()c o s c o s c o s s i n

s i n αβα

βαβ-=+，

()t a n t a n

t a n 1t a n t a n

αβαβαβ--=

+。

此处公式较多，可熟记两角和的三个公式，两角的差

()αβ-可以看做()αβ+-，进行

推导。

●积化和差公式

1

s i n c o s [s i n ()s i n ()]

2αβαβαβ?=++-， 1

c o s s i n [s i n ()s i n ()]

2αβαβαβ?=+--， 1

c o s c o s [c o s ()c o s ()]

2αβαβαβ?=+--， 1

s i n s i n [c o s ()c o s ()]

2

αβαβαβ?=-+--。 ●和差化积公式 s i n s i n 2s i n c o s 2

2

αβ

αβ

αβ+-+=

?

，

s i n s i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--=

?，

c o s c o s 2c o s c o s 22αβαβ

αβ+-+=?，

c o s c o s 2s i n s i n 22

αβαβ

αβ+--=-?。

七、二倍角的正弦、余弦、正切

●二倍角的正弦、余弦、正切 s i n 22s i n c o s

ααβ=

?， 2222

c o s 2c o s s i n 2c o s 11

2s i n ααααα

=-=

-=-，

2s i n 22t a n

t a n 2c o s 21t a n ααααα

=

=

-。 ●公式的逆向变换及相关变形

2

2

21s i n 2s i n c o s c o s (s i n c o s )

αααααα±=+

?=±， 2

2

1cos 2cos ,1cos 2sin 2

2

α

α

αα+=-=，

2

1c o s (1c o s 2)2

αα=+，21

sin (1cos 2)2

αα=

-。 ●半角公式

s i n 2

α

=

c o s 2

α

=，

t a n 2

α

=

八、正弦函数、余弦函数的图像和性质

●正弦函数、余弦函数图像的画法

1、几何法

利用单位圆中的正弦线作出正弦函数图像。 2、五点法

观察正弦函数的图像，可以看出，下面五个点在确定正弦函数的形状时有重要作用： （0,0），（

,12

π

-）

，（,0π），（3,12

π

-）

，（2,0π）。 这五点描出后，正弦函数y=sinx ，x ∈[0,2π]图像形状就基本确定了。 同样，（0，1），（

,02

π）

，（,1π-），（3,02π

），（2,1π）这五个点描出后，余弦函数

y=cosx ，x ∈[0,2π]的图像形状就基本确定了。

用光滑曲线将五个点连接起来，再将这段曲线向左、向右平移，每次平移2π个单位，

就得到了y=sinx ，y=cosx ，x ∈R 的图像。 3、正弦曲线、余弦曲线

我们把正弦函数y=sinx ，x ∈R 和余弦函数y=cosx ，x ∈R 的图像分别叫做正弦曲线和

余弦曲线。 ●定义域、值域

●周期性

1、一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值

时，都有f(x+T)=f(x)。那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

2、对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正整数，那么这个最

小的正整数就叫做f(x)的最小正周期。、 3、因为sin(2)sin x k x +=，cos(2)cos ()x k x k Z +=∈，对于任意整数k ，2k π都是正弦函数和余弦函数的周期，其中2π是它们的最小正周期。

4、周期函数不见得总有最小正周期，如f(x)=c(x ∈R),其中c 为常数，其周期T 可以是

任意实数。周期函数的周期不唯一，若T 是f(x)的周期，则kT(k ∈Z)也在定义域内，因此周期函数的定义域一定是无限集。 ●奇偶性

1、奇函数、偶函数的定义

对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为这一定义域

内的奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。 2、由诱导公式可知s i n ()s i n (x x x R -=-

∈，cos()cos ()x x x R -=∈，

tan()tan ()x x x R -=-∈，故y=sinx （x ∈R ）是奇函数，y=cosx （x ∈R ）是偶函数。

3、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。 ●单调性

1、对于函数s i n (),[2

,2]()2

2

y x x R

k k k Z π

π

ππ=∈-+∈是它的增区间，

3[2,2]()2

2

k k k Z π

π

ππ+

+

∈是它的减区间。 2、对于函数cos (),[2,2]()y x x R k k k Z πππ=∈-∈是它的增区间，

[2,2]()k k k Z πππ+∈是它的减区间。

九、函数sin()y A x ω?=+的图像

●A 对y=Asinx 的图像的影响

要得到函数y=Asinx （A>0，A ≠1）的图像，可以看做把y=sinx 的图像上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当00，A ≠1，x ∈R ）的值域是[-A ，A]，最大值为A ，最小值是-A 。 特别地，推广到一般的情形，函数y=A ·f(x)（A>0，A ≠1）的图像，也可以看做y=f(x)的图像上各点保持横坐标不变，而纵坐标变为原来的A 倍得到的。容易发现，A 不会改变函数的周期，即y=f(x)若为周期函数且周期是T ，则y=A ·f(x)（A>0，A ≠1）的周期也是T 。

●ω对y=sin ωx 的图像的影响

函数y=sin ω（ω>0，ω≠1）的图像，可以看做把y=sinx 的图像上所有的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的

ω

1

倍，而各点的纵坐标保持不变得到的。

y=sin ω（ω>0，ω≠1，x ∈R ）的值域是[-1，1]，但其周期由y=sin ω的周期2π改变为ω

π

2，

即y=sin ω（ω>0，ω≠1）得周期是2π的

ω

1

倍。

推广到一般的情形，将函数y=f(x)的图像上各点纵坐标保持不变，而横坐标伸长（当0<ω<1时）或缩短（当ω>1时）为原来的

ω

1

倍，即可得到函数y=f(ωx)（ω>0，ω≠1）

的图像；若y=f(x)是周期函数且周期为T ，则y=f(ωx)的周期为

ω

T

。

●?对y=sin(x+?)的图像的影响 函数y=sin(x+?)的图像（其中?≠0），可以看做把y=sinx 的图像上所有的点向左（当?>0）或向右（当?<0时）平移|?|个单位而得到的。由于图像仅进行了左右平移变换，故函数的最值和周期都不会发生变化。

一般地，将函数y=f(x)的图像沿x 轴向左（当?>0时）或向右（当?<0时）平移|?|个单位，即可以得到y=f(x+?)的图像。 ●函数y=Asin(ωx+?)的图像

一般情况下，函数y= Asin(ωx+?)的图像可以用下面方法得到：先把y=sinx 的图像上所有的点都沿x 轴向左（当?>0时）或向右（当?<0）时平移|?|个单位，再把所得各点的横坐标缩短（ω>1）或伸长（0<ω<1）为原来的

ω

1

倍（纵坐标保持不变），最后将所有的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0

一般我们都是按照先平移、后缩放的程序得到变换后的图像，当然也可以先缩放、再平移，但要注意的是，应先将解析式变形为y=Asin[ω(x+ω

?

)]的形式，即缩放后，左右平移的单位为|

ω

?

|。 当y=Asin(ωx+?)（A>0，ω>0），x ∈[0,+∞]时，它可以表示一个振动，则A 表示振动过程中离开平衡位置的最大距离，又叫振幅；往复振动一次所需的时间叫做振动的周期（T ），T=

ω

π

2；单位时间内振动的次数为频率f ， π

ω

21=

=

T f ；?ω+x 叫做相位，x=0时，相位?叫做初相。

十、正切函数的图像和性质

●正切函数的图像 1、根据x x x x x x tan cos sin )cos()sin()tan(=--=++=

+πππ，其中x ∈R ，且Z k kx x ∈+≠,2

π

，

推出正切函数的周期为π。 2、根据x x x cos sin tan =

，要使tanx 有意义，必须使cos x ≠0，即Z k kx x ∈+≠,2

π

，故正切函数的定义域为{}Z

k k x R x x ∈+

≠∈,2

|π

π且。

3、根据正切函数的第定义域和周期，我们取)2

,2(π

π-∈x 的图像，而后向左、右扩展，

得)2

,2(,tan π

π-

∈=x x y 的图像，而后向左、右扩展，得R x x y ∈=,tan 且Z k kx x ∈+

≠,2

π

的图像，如图，并把他叫做正切曲线。

●正切函数的性质

1、定义域：?

???

??∈+

≠∈Z k k x R x x ,2|π

π且。 2、值域：R ，函数无最大值、最小值。

3、周期：π

4、奇偶性：奇函数

5、单调性：在每一开区间Z k k k ∈+-

),2

,

2

(ππ

ππ

内均为增函数。必须注意两个问题：

①正切函数)(),2

,2

(,tan Z k k k x x y ∈+

-

∈=π

ππ

π是单调增函数，

但不能说函数在其定义域内是单调增函数； ②函数

)0,0)(tan(>>+=ω?ωA x A y ，其定义域由不等式

)(2

Z k k x ∈+

≠+π

π?ω得到，其周期为ω

π

=

T 。 正切函数在开区间()Z k k k ∈++-

)2

,

2

(ππ

ππ

内都是增函数，但并不在整个定义域上为

增函数，利用正切函数单调性比较两个角正切值的大小时，要利用诱导公式把角化到同一单调区间再比较，或直接利用正切式。

正切函数的图像既可以类似地由正切线的几何方法作出，又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图，这里三个点为)1,4

(),1,4

(),0,(--

+

π

ππ

ππk k k ，直线2

π

π+

=k x ，

直线2

π

π-

=k x ，其中Z k ∈。作出三个点和这两条渐近线，便可得到x y tan =在一个

周期上的简图。

正、余弦函数与正切函数同是中心对称图形（注意正、余弦函数同时也是轴对称图形）。函数x y tan =的对称中心的坐标是))(0,2

(

Z k k ∈π

。 十一、已知三角函数值求角

●反正弦函数的概念 1、定义： 在]2

,2[π

π-

∈x 上，若)11(sin ≤≤-=a a x ，则x 叫做a 的反正弦，记做arcsin a 。 2、理解：

①“arcsin a ”是一个整体，它表示一个角（弧度制）； ②“arcsin a ”表示角的范围是]2

,2[π

π-； ③这个角的正弦值为a ；

④当|a|>1时，arcsin a 无意义。 ●反余弦函数的概念 1、定义

在],0[π∈x 上，若)11(cos ≤≤-=a a x ，则x 叫做a 的反余弦，记做arccos a 。 2、理解：

①“arccos a ”是一个整体，它表示一个角（弧度制）； ②这个角的范围是],0[π； ③这个角的余弦值为a ； ④当|a|>1时无意义。 ●反正切函数的概念 1、定义： 在)2

,2(π

π-

∈x 内，若)(tan R a a x ∈=，则x 叫做a 的反正切，记做arctan a 。 2、理解：

①“arctan a ”是一个整体，它表示一个角（弧度制）； ②这个角的范围是)2

,2(π

π-

；

③这个角的正切值是a 。

第二章 平面向量

一、平面向量的基本概念

●向量的定义

既有大小，又有方向的量叫做向量。

向量有两个要素：即大小和方向。要注意将向量与仅有大小的数量进行区分。

●用有向线段表示向量

1、有向线段：将线段AB的端点规定一个顺序，以A为起点（也称始点），以B为终点，则线段AB就具有了方向，即由A只想Ｂ，我们把具有方向的线段叫做有向线段，记做

有向线段AB。

2、规定线段AB的长度是有向线段的长度，记做|

|AB。

3、有向线段的三个要素：起点、方向、长度。

4、用有向线段表示向量要注意两点：

①有向线段的方向就是向量的方向；

②有向线段的长度就是向量的大小。

●几个重要定义

1、零向量：长度为零的向量叫做零向量。记做0，零向量的方向是任意的，它对应的几

何图形是一个点。

2、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

3、相等向量：长度相等且方向相同的非零向量叫做相等向量，记做a=b；规定所有的零

向量都相等。

4、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，任一向量a都

与它自身是平行向量；规定零向量与任一向量是平行向量。

二、向量的加法与减法

●向量的加法

1、定义：设=a，=b，则向量叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=+=。求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

特别地，对于零向量与任一向量a，都有0+a=a+0=a。

2、向量加法的三角形法则

根据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则。使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体步骤是把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合，即用一个字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。

3、向量加法的平行四边形法则

向量加法还可以用平行四边形法则，先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹得对角线就是这两个已知向量的和。

●向量的减法

1、相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作-a，规定：零向量的相反向量仍是零向量。

性质①-（-a）=a；②a+（-a）=（-a）+a=0

2、两个向量的差

向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)。

3、向量的减法

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

法则：如图所示，已知a,b，在平面内任取一点O，作=a，=b，

O a b

a-b

则BA =a-b 。即a-b 表示从减向量b 的终点指向被减向量a 的终点的向量。

用三角形法则求两个向量的差的步骤是：1、将两向量平移，使它们的起点重合；2、将平移后的两向量的终点相连；3、差向量是指向被减向量。也就是：作平移，共起点，两尾连，指被减。

三、实数与向量的积

●实数与向量的积得定义

一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记为λa ，它的长度与方向规定如下： 1、|λa|=|λ||a|；

2、当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ=0时，λa=0，这时λa 的方向是任意的。 对于λa 。

1、从代数角度来看，①λ是实数，a 是向量，它们的积任然是向量；②λa=0的条件是

a=0或λ=0。

2、从几何的角度来看，对于长度（模）而言，①当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示

向量a 的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长了|λ|倍；②当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向（0<λ<1）或反方向（-1<

λ<0）上变为原来的

|

|1 。并且我们看到向量之间的数乘关系有助于解决平面几何中

平行、相似问题。 ●实数与向量的积得运算律

设λ，μ∈R ，a ，b 是向量，则 ① λ(μa)=( λμ)a ； ② (λ+μ)a=λa+μa ； ③ λ(a+b)=λa+λb 。 ●向量共线的充要条件

1、当向量a=0时，a 与任一向量b 共线；

2、当向量a ≠0时，讨论向量b 与a 的共线问题，有下面的定理：

定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件有且只有一个实数，使得b=λa 。 对这个定理，要分类去理解：

① 当λ=0时，b=λa=0，这时b 与a 共线，其本质是零向量与任一向量共线； ② 当λ>0时，b=λa 可由a 同向伸缩得到，因此，b 与a 共线。

③ 当λ<0时，b=λa 可由a 反向伸缩得到，所以，b 与a 也是共线的。

值得注意的是：①这个定理的内容里面，不包含0与0共线的情况，因为a ≠0；②强调a ≠0是必要的，否则定理就失去必要性。如b ≠0，a =0时，b 与a 共线是成立的，但此时b=λa 是不成立的。 ●平面向量的基本定理

如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e 1+λ2e 2。

其中，e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

这个定理实质是：只要向量e 1不平行于e 2，平面内的任一向量a 都可以用e 1与e 2表示出来，而且表示形式a=λ1e 1+λ2e 2是唯一的。

例如，0=0e 1+0e 2，2e 1=2e 1+0e 2，……

对于a=λ1e 1+λ2e 2，有时我们也说λ1e 1+λ2e 2是e 1与e 2的线性组合，或者说a 可以被e 1，e 2表示。

四、平面向量的坐标运算

●平面向量的坐标表示

在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a=xi+yj ，由于a 与数对(x ，y)是一一对应的，因此把(x ，y)叫做向量a 的坐标，记作a=(x ，y)，其中x ，y 分别叫作a 在x 轴、y 叫做在y 轴上的坐标。 注：

(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

●两个向量相等的充要条件

设向量a=xi+yj ，b=x ’i+y ’j ，则： a=xi+yj=（x ，y ）， b=x ’i+y ’j=（x ’，y ’）。 于是我们得到),(),(y x y x b a ''=?=。即y y x x b a '='=?=且 ●平面向量的坐标运算

若()()2211,,,y x b y x a ==，则()2121,y y x x b a ±±=±。 若()()2211,,,y x B y x A ，则()1212,y y x x --= 若a=(x,y)，则λa=(λx, λy)

若()()0,,,,2211≠==b y x b y x a ，则0//1221=-?y x y x b a

若()()2211,,,y x b y x a ==，则()2121,y y x x b a ??=?，若b a ⊥，则

02121=?+?y y x x

●向量平行的坐标表示

设()()2211,,,y x b y x a ==，则b ∥a （a ≠0）?x 1y 2-x 2y 1=0。

由向量平行的充要条件易知()()()332211,,,,,y x C y x B y x A 共线的充要条件为（x 2-x 1）（y 3-y 1）-（x 3-x 1）（y 2-y 1）=0，而不是

1

313121

2y y x x y y x x --=--。

凡遇到与平行有关的问题时，一般要考虑运用向量平行的充要条件： ①b ∥a ?b=λa （a ≠0，λ∈R ）。 ②b ∥a （a ≠0）?x 1y 2-x 2y 1=0，其中()()2211,,,y x b y x a ==。

由两点间距离公式可知： 若a=（x ，y ），则|a|=

22y x +，与a 共线的单位向量为|

|a a

±

五、线段的定比分点

●线段的定比分点

定义：设P 1，P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1，P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使21pp p λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。当点P 在线段21P P 上时，

0>λ；当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上时，λ<0

在这个定义中，要注意三个问题： 第一，21PP P P λ=λ=2

1的形式，因为对向量从来没有定义过除法。

第二，21PP P λ=中的P 1，P ，P 2是有顺序的，顺序从左至右排列是P 1→P →P 2，即始点→分点→终点。

第三，21PP P P λ=中的P 1，P ，P 2三个点互不重合，因此，01≠P P ，02≠PP ，从而λ应满足λ≠0且λ≠-1。 ●定比分点的坐标公式

??

???++=++=λ

λλλ112121y y y x x x

上式称为有向线段21P P 的定比分点坐标公式（使用公式时），要注意始点、终点的顺序性）。 ●中点坐标公式

当λ=1时，分点P 为线段21P P 的中点，即有??

??

?

+=+=222

1

21y y y x x x ， 上式称为中点坐标公式。

五、平面向量的数量积及运算律

●向量a 与b 的数量积

1、非零向量的数量积

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把θcos |b ||a |叫做a 与b 的数量积（或内积、点积），记为b a ?，即θcos |b ||a |=?b a 。 2、零向量与任一向量的数量积

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

由以上定义可知，两个向量的数量积是一个实数。 ●数量积b a ?的几何意义

1、b 在a 的方向上的投影，如图，设两个非零向量a 与b 的夹角为θ。

对于?<

对于a =与b =的夹角是0°或180°的情况，规定b 在a 的方向上的投影时OB ，如图：

2、b a ?的几何意义

由θcos |b ||a |=?b a 可知，非零向量a 与b 的数量积b a ?的几何意义是数量积b a ?等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积。 ●平面向量数量积运算律

已知向量a ，b ，c 和实数λ，则 1、a b b a ?=?（交换律）。 2、)()()(b a b a b a λλλ?=?=?。 3、c b c a c b a ?+?=?+)(。

值得注意的是平面向量的数量积不满足结合律，这是因为b a ?与c b ?的结果是数据，因此，c b a ??)(与)(c b a ??都是没有意义的。

●向量数量积b a ?的性质

设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则： 1、θcos ||a e a a e =?=?。 2、0=??⊥b a b a 。

3、当a 与b 同向时，||||b a b a =?；

当a 与b 反向时，||||b a b a -=?。

1

O （B 1）

b

θ

a

B

b

a

1

特别地，2

||a a a =?，或a a a ?=||。

今后，a a ?可以简记为2

a 。 4、|

|||cos b a b

a ?=

θ。

5、||||||b a b a ≤?。

六、平面向量数量积得坐标表示

●平面向量数量积得坐标表示

设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，即i=（1，0），j=（0，1）。且a ，b 为两个非零向量，a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2）。则0=?=?i j j i ，1=?i i ，1=?j j 。 故)()(2211j y i x j y i x b a +?+=?

2

211221221j y y j i y x j i y x j x x ?+?+?+?= 2121y y x x ?+?=。

即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 ●向量的长度和两点间距离公式 1、向量的长度（模）

若a=（x ，y ），则222

22||,||y x a y x a +=

+=。

2、两点间的距离公式 设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ）， 则22)()(||B A B A y y x x AB -+-=

。

●两向量垂直的充要条件 若a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2）， 则02121=?+??⊥y y x x b a 。

●两向量夹角公式的坐标表示 若a=（x 1，y 1），b=（x 2，y 2），设a 与b 夹角是θ。 由b a ?=a （x 1，y 1）?（x 2，y 2）=x 1?x 2+y 1?y 2 且θθcos cos ||||2

2222121?+?+=??=?y x y x b a b a ，

∴2

2

2

22

12

12121|

|||cos y x y x y y x x b a b

a +?+?+?=

??=

θ。

八、平移

●平移

设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有的点按照同一方向移动同样的长度，得到图形F ’，这一过程叫做图形的平移。

将一个图形平移，图形的形状、大小不变，只是在坐标平面内的位置发生了变化。因此，平移前后，图形中那些与位置无关的量，图形上任意两点间的距离等不发生变化，而图形上各点的坐标、图形的解析式等会发生变化。 平移具有可逆性。 ●平移公式

设P （x ，y ）是图形上任一点，它在F ’上的对应点为Ｐ（ｘ’，y ’），向量),(k h P P ='，则有P P OP P O +=，

即（x ’，y ’）=（x ，y ）+（h ，k ）， ??

?+='+='∴k

y y h

x x

这个公式叫做点的平移公式。

使用时要注意平移前后坐标的顺序区别。