LINGO在数学建模中的应用

一、LINGO简介

LINGO[1]是美国LINDO系统公司开发的求解数学规划系列软件中你的一个,它

的主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题,LINGO的不同版本对模型的

变量总数、非线性变量数目、整型变量数目和约束条件的数量做出不同的限制.

LINGO的主要功能特色为:

(1)既能求解线性规划问题,也有较强的求解非线性规划问题的能力;

(2)输入模型简练直观;

(3)运行速度快、计算能力强.

(4)置建模语言,提供几十个部函数,从而能以较少语句,较直观的方式描述较

大规模的优化模型;

(5)将集合的概念引入编程语言,很容易将实际问题转换为LINGO模型;

(6)能方便地与EXCEL、数据库等其他软件交换数据.

LINGO像其他软件一样,对他的语法有规定,LINGO的语法规定如下:

（1）求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示;

(2) 每个语句必须以字母开头,由字母、数字和下划线所组成,昌都不超过32个字符,不区分大小写;

(3)每个语句必须以分号“;”结束,每行可以有多个语句,语句可以跨行;

(4)如果对变量的取值围没有特殊说明,则默认所有决策变量都非负;

(5)LINGO模型以语句“MODEL”开头,以语句“END”结束,对于比较简单的模型,这这

两个语句可以省略.

LINGO提供了五十几个部函数,使用这些函数可以大大减少编程工作量,这些

函数都是以字符@开头,下面简单介绍其中的集合操作函数和变量定界函数及用

法.

集合是LINGO建模语言中最重要的概念,使用集合操作函数能够实现强大的功

能,LINGO 提供的常用集合操作函数有@FOR(s:e)、@SUM(s:e)、@MAX(s:e)、@MIN(s:e)等.@FOR(s:e)常用在约束条件中,表示对集合s 中的每个成员都生成一个约束条件表达式,表达式的具体形式由参数e 描述;@SUM(s:e) 表示对集合s 中的每个成员,分别得到表达式e 的值,然后返回所有这些值的和;@MAX(s:e) 表示对集合s 中的每个成员,分别得到表达式e 的值,然后返回所有这些值中的最大值;@MIN(s:e) 表示对集合s 中的每个成员,分别得到表达式e 的值,然后返回所有这些值中的最小值.

LINGO 默认变量的取值可以从零到正无穷大,变量定界函数可以改变默认状态,如对整数规划,限定变量取整数,对0-1规划,限定变量取0 1或.LINGO 提供的变量定界函数有:@BIN(X)、@BND(L,X,U)、@GIN(X)、@FREE(X).@BIN(X)限定X 为0或1,在0-1规划中特别有用;@GIN(X)限定X 为整数,在整数规划中特别有用;@BND(L,X,U)限定L ＜X ＜U,可用作约束条件;@FREE(X)取消对X 的限定,即X 可以取任意实数.

二、LINGO 在线性规划中的应用

具有下列三个特征的问题称为线性规划问题(Linear program)[2]简称LP 问题,其数学模型称为线性规划(LP)模型.

线性规划问题数学模型的一般形式为:求一组变量(1,2,,)j x j n =L 的值,使其满足

1122max(min),n n z c x c x c x =+++L

21111221112112222211

22***.

0,1,2,,,

,..n j n n n n nn nn n n x j n

a x a x a x

b a x a x a x b s t a x a x a x b ??

?????≥=??+++++++++L L L L L

式中“*”代表“≥”、“ ≥”或“=”.

上述模型可简写为

1

max(min),n

j j j z c x ==∑

1*0,1,2,,,1,2,,..n

ij j j j

i a x x j n b i m s t =????≥=?=∑L L 其中,变量j x 称为决策变量,函数1

n

j j

j z c x

==

∑称为目标函数,条件

1

*n

j j

i

j c x b =∑称为约

束条件,0j x ≥ 称为非负约束.在经济问题中,又称j c 为价值系数,i b 为资源限量. 线性规划在科学决策与经营管理中实效明显[3],但是对于规模较大的线性模型,其求解过程非常繁琐,不易得出结果.而 LINGO 中的部集合函数有@FOR(s:e)、@SUM(s:e)、@MAX(s:e)、@MIN(s:e)等,可以用这些集合函数使程序编程简单可行,下面举例说明.

例1 某工厂有两条生产线,分别用来生产M 和P 两种型号的产品,利润分别为200元每个和300元每个,生产线的最大生产能力分别为每日100和120,生产线没生产一个M 产品需要1个劳动日(1个工人工作8小时称为1个劳动日)进行调试、检测等工作,而每个P 产品需要2个劳动日,该工厂每天共计能提供160个劳动日,假如原材料等其他条件不受限制,问应如何安排生产计划,才能使获得的利润最大？

解 设两种产品的生产量分别为1x 和2x ,则该问题的数学模型为:

目标函数 12max 200300z x x =+

约束条件 1212100,120,160,0,1,2.

i x x x x x i ≤??≤?

?+≤??≥=?

编写LINGO 程序如下:

MODEL:

SETS:

SHC/1,2 /:A,B,C,X; YF/1,2,3 /:J;

ENDSETS

DATA:

A=1,2 ; B=100,120; C=200,300;

ENDDATA

MAX=@SUM(SHC:C*X);

@FOR(SHC(I):X(I)

程序运行结果如下

Global optimal solution found.

Objective value: 29000.00 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost

A( 1) 1.000000 0.000000

A( 2) 2.000000 0.000000

B( 1) 100.0000 0.000000

B( 2) 120.0000 0.000000

C( 1) 200.0000 0.000000

C( 2) 300.0000 0.000000

X( 1) 100.0000 0.000000

X( 2) 30.00000 0.000000

J( 1) 0.000000 0.000000

J( 2) 0.000000 0.000000

J( 3) 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 29000.00 1.000000 2 0.000000 50.00000 3 90.00000 0.000000 4 0.000000 150.0000

最优解为12100,30,x x ==最优值为29000.00z =.即每天生产100个M 产品30个P 产品,可获得29000元利润.

三、LINGO 在整数规划和0-1规划中的应用

1 求解整数规划

整数规划[4]分为整数规划和混合整数规划,要求全部变量都为非负整数的数学规划称为纯整数规划,只要求部分变量为非负整数的数学规划称为混合整数规划.下面只讨论约束条件和目标函数均为线性的整数规划问题,即整数线性规划问题(以下简称整数规划,记为ILP),其数学模型的一般形式是

()1max min n

j j j z c x ==∑,

()()11,2,,..01,2,,n

ij j i j j j a x b i n s t x j n x =?≤=???≥=?????

∑L L 全为整数或部分为整数。 ()1 且称线性规划问题

()1max min ,n

j j j z c x ==∑

()()11,2,,,..01,2,,.

n

ij j i j j a x b i m s t x j n =?≤=???≥=?

∑L L ()2 为整数规划问题的松弛问题.

显然,整数规划()1的可行域是其松弛问题()2的可行域的一个子集.如果线性规划()2的最优解为()0

x ,相应的规划规划()1的最优解为*x ,则必然有()0

*cx cx ≤.

LINGO 的部函数@GIN(X)是限定X 为整数,因此,LINGO 对整数规划的求解是可行的.下面举例说明:

例2 某疗养院营养师要为某类病人拟订本周蔬菜类菜单,当前可供选择的蔬菜品种、价格和营养成分含量,以及病人所需养分的最低数量见表1,病人1周需14份蔬菜,为了口味的原因,规定每周的卷心菜不多于2份,萝卜不多于3份,其他蔬菜不多于4份且至少1份.在满足要求的前提下,制定费用最少的一周菜单方案. 表1 可供蔬菜养分含量和价格

解 用

i

x 表示7种蔬菜的份数,i a 表示蔬菜单价,i b 表示每周最低营养需

求,ij c 表示第i 种蔬菜的第j 种养分含量,建立如下整数规划模型