2020年电大离散数学(本)期末考试题库及答案
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0 ? 2020 年电大离散数学（本）期末考试题库及答案
一、单项选择题
1．设 P ：a 是偶数，Q ：b 是偶数。R ：a + b 是偶数，则命题“若 a 是偶数，b 是偶数，则 a + b 也是偶数”符号化为（D ． P Q→R）。 2．表达式? x （P （x ，y ） ∨ Q （z ） ∧ ? y （Q （x ，y ）→ ? zQ （z ））中? x 的辖域是（P （x ，y ） Q （z ）。 3．设 S 1 = ?, S 2 = {?}, S 3 = P ({?}), S 4 = P (?) 则命题为假的是（ S 2 ∈ S 4 ）。 4．设 G 是有 n 个结点的无向完全图，则 G 的边数（ 1/2 n （n-1）。 5．设 G 是连通平面图，有 v 个结点，e 条边，r 个面，则 r=（ e-v+2）。 6．若集合 A ={1，{2}，{1，2}}，则下列表述正确的是( {1}
A )．
7．已知一棵无向树 T 中有 8 个顶点，4 度、3 度、2 度的分支点各一个，T 的树叶数为( 5 )．
?0 ?1 8．设无向图 G 的邻接矩阵为 ?
1 ? ?
1 ??1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1?
1?
? 则 G 的边数为( 7 )． 0 ?
? 0??
9．设集合 A ={a }，则 A 的幂集为({，{a }} )． 10．下列公式中 (A B (A B ) )为永真式．
11．若 G 是一个汉密尔顿图，则 G 一定是( 连通图 )．
12．集合 A ={1, 2, 3, 4}上的关系 R ={
13．设集合 A ={1，2，3，4，5}，偏序关系是 A 上的整除关系，则偏序集上的元素 5 是集合 A 的（极大元 ）．
14．图 G 如图一所示，以下说法正确的是 ( {(a, d ) ,(b, d )}是边割集 ) ． 图一 15．设 A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（( ? x )(A (x )∧B (x )) ）． 16．若集合 A ={1，2}，B ={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是(A B ，且 A B )．
17．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图一所示，则下列结论成立的是 ( （d ）是强连通的 )．
?0 1 1 0 ?
1 0 0 1 18．设图 G 的邻接矩阵为 ?
1 0 0 0 ? ?
1 0 0 ??0 1 0 1 0?
1?
? 则 G 的边数为( 5 )． 0 ?
? 0??
19．无向简单图 G 是棵树，当且仅当(G 连通且边数比结点数少 1 )． 20．下列公式 ((P (Q P ))(P (P Q )) )为重言式．
21．若集合 A ＝{ a ，{a }，{1，2}}，则下列表述正确的是({a }A )．
22．设图 G ＝
) ．
v ∈V
23．命题公式（P∨Q）→R 的析取范式是 (（P∧
Q ）∨R )
24．下列等价公式成立的为(P
(
Q P ) P (P Q ) )．
25．设 A ={a , b }，B ={1, 2}，R 1，R 2，R 3 是 A 到 B 的二元关系，且 R 1={, }，R 2={, , }，R 3={, }，则（ R 2 ）不是从 A 到 B 的函数．
26．设 A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R 是 A 上的整除关系，B ={2, 4, 6}，则集合 B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 (无、2、无、2)．
1 1
r
27．若集合 A 的元素个数为 10，则其幂集的元素个数为（1024）．
28．如图一所示，以下说法正确的是 (e 是割点)． 图一
29．设完全图 K n 有 n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ n 为奇数）时，K n 中存在欧拉回路．
30．已知图 G 的邻接矩阵为 ，则 G 有（ 5 点，7
边 ）．二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1．设 A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若 A ∧ C ? B ∧ C ，那么 A ? B 是 重言 式（重言式、矛盾式或可满足式）。 2．命题公式（P→Q） ∨ P 的主合取范式为 (P ∨ Q ) ∧ (?P ∨ Q )
。 3．设集合 A={ ? ，{a}}
，则 P （A ）=
{?,{?},{{a }},{?,{a }}}
。
4．设图 G =〈V ，E 〉， G ′=〈V′，E′〉，若
V′=V,E′ E
,则 G′是 G 的生成子图。
5．在平面 G =〈V ，E 〉中，则 ∑deg(r i
) = 2|E| ，其中 r i
（i=1，2，…，r ）是 G 的面。6．命题公式 P ∧ ?P 的真值是 假（或 F ，或
i =1
0）
．
7．若无向树 T 有 5 个结点，则 T 的边数为 4 ． 8．设正则 m 叉树的树叶数为 t ，分支数为 i ，则(m -1)i =
t-1
．
9．设集合 A ={1，2}上的关系 R ＝{<1, 1>,<1, 2>}，则在 R 中仅需加一个元素 <2, 1>
，就可使新得到的关系为对称的．
10．(
x )(A (x )→B (x ，z )∨C (y ))中的自由变元有 z ，y ．
11．若集合 A={1，3，5，7}，B ={2，4，6，8}，则 A ∩B = 空集（或）
．
12．设集合 A ={1，2，3}上的函数分别为：f ={<1,2>,<2,1>,<3,3>,}，g ={<1,3>,<2,2>,<3,2>,}，则复合函数 g f = {<1, 2>, <2, 3>, <3,
2>,}
．
13．设 G 是一个图，结点集合为 V ，边集合为 E ，则 G 的结点度数之和为 2|E |（或“边数的两倍”）
．
14．无向连通图 G 的结点数为 v ，边数为 e ，则 G 当 v 与 e 满足
e=v -1
关系时是树． 15．设个体域 D ＝{1, 2, 3}， P (x )为“x 小于 2”，则谓词公式(x )P (x ) 的真值为
假（或 F ，或 0）
．
16．命题公式 P → (Q ∨ P ) 的真值是 T （或 1）
．
17．若图 G=
18．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素
0 ，则该序列集合构成前缀码．
19．已知一棵无向树 T 中有 8 个结点，4 度，3 度，2 度的分支点各一个，T 的树叶数为 5
．
20．(
x )(P (x )→Q (x )∨R (x ，y ))中的自由变元为 R (x ，y )中的 y ．
21．设集合 A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4, 5}，R 是 A 到 B 的二元关系， R = {< x , y > x ∈ A 且y ∈ B 且x , y ∈ A ? B } 则 R 的有序对集合为 {<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3, 3>
．
22．设 G 是连通平面图，v , e , r 分别表示 G 的结点数，边数和面数，则 v ，e 和 r 满足的关系式 v -e +r =2 ．
23．设 G ＝
条边，可以确定图 G 的一棵生成树．
24．无向图 G 存在欧拉回路，当且仅当 G 连通且
所有结点的度数全为偶数
． 25．设个体域 D ＝{1,2}，则谓词公式 ?xA (x ) 消去量词后的等值式为
A (1)A (2)
．
26．设集合 A ＝{a ，b }，那么集合 A 的幂集是 {,{a ,b },{a },{b }}
．
27．如果R1和R2是A 上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．
28．设图G 是有 6 个结点的连通图，结点的总度数为 18，则可从G 中删去 4 条边后使之变成树．
29．设连通平面图G 的结点数为 5，边数为 6，则面数为 3 ．
30．设个体域D＝{a, b}，则谓词公式(x)A(x)∧（x）B（x）消去量词后的等值式为(A (a)∧A (b))∧(B（a）∨B（b）) ．
31. 设集合 A={0，1 ，2} ，B={l ，2 ，3 ，剖，R 是 A 到 B 的二元关系，R= {
32. 设 G 是连通平面图，v，e ，r 分别表示 G 的结点数，边数和面数，则v，e 和 r 满足的关系式v-e+r=2
33.G=
34. 无向图 G 存在欧拉回路，当且仅当 G 所有结点的度数全为偶数且_ 连通
35. 设个体域 D={ 1, 2 } ，则谓词公式xA(x)消去量词后的等值式为A(1)∧A(2)
三、化简解答题
11．设集合 A={1，2，3，4}，A 上的二元关系 R，R={〈1，1〉，〈1，4〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，2〉，〈3，3〉，〈4，1〉，〈4，4〉}，说明 R 是A 上的等价关系。
解从 R 的表达式知，?x ∈A,(x, x) ∈R, 即 R 具有自反性；
三、逻辑公式翻译
1．将语句“今天上课．”翻译成命题公
式．设 P：今天上课，则命题公式为：
P．
2．将语句“他去操场锻炼，仅当他有时间．”翻译成命题公式．
设 P：他去操场锻炼，Q：他有时间，则命题公式为：P Q．
3．将语句“他是学生．”翻译成命题公
式．设P：他是学生，则命题公式为：
P．
4．将语句“如果明天不下雨，我们就去郊游．”翻译成命题公式．
设P：明天下雨，Q：我们就去郊游，则命题公式为：P Q．
5．将语句“他不去学校．”翻译成命题公
式．设P：他去学校，P．
6．将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公
式．设P：他去旅游，Q：他有时间，P Q．
7．将语句“所有的人都学习努力．”翻译成命题公式．
设P(x)：x 是人，Q(x)：x 学习努力，（x）(P(x)Q(x))．
8．将语句“如果你去了，那么他就不去．”翻译成命题公
式．设P：你去，Q：他去，P Q．
9．将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公
式．设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，P Q．
10．将语句“所有人都去工作．”翻译成谓词公式．
设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作， (x)(P(x)Q(x))．
11．将语句“如果所有人今天都去参加活动，则明天的会议取消．”翻译成命题公
式．设P：所有人今天都去参加活动，Q：明天的会议取消，P Q．
12．将语句“今天没有人来．”翻译成命题公
式．设P：今天有人来，P．
13．将语句“有人去上课．”翻译成谓词公式．
设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课， (x)(P(x) Q(x))．
1 1. 将语句"如果小李学习努力，那么他就会取得好成绩. "翻译成命题公式.
设 P：小李学习努力，Q:小李会取得好成绩，P→Q
12. 将语句"小张学习努力,小王取得好成绩. "翻译成命题公式.
设 P：小张学习努力，Q:小王取得好成绩，P∧Q
四、判断说明题
1．设集合A={1，2}，B={3，4}，从A 到B 的关系为f={<1, 3>}，则f 是A 到B 的函
数．错误．因为 A 中元素 2 没有 B 中元素与之对应，故 f 不是 A 到 B 的函数．
v 5 d v 4 e
g
f a
h
n
v
b v 3
2．设 G 是一个有 4 个结点 10 条边的连通图，则 G 为平面图．
错误． 不满足“设 G 是一个有 v 个结点 e 条边的连通简单平面图，若 v≥3，则 e≤3v -6．”
3．设 N 、R 分别为自然数集与实数集，f ：N→R，f (x )=x +6，则 f 是单射．
正确． 设 x 1，x 2 为自然数且 x 1x 2，则有 f (x 1)= x 1+6
x 2+6= f (x 2)，故 f 为单射．
4．下面的推理是否正确，试予以说明．
(1) （x ）F （x ）→G （x ） 前提引入 (2) F （y ）→G （y ） US
（1）．错误．
（2）应为 F （y ）→G （x ），换名时，约束变元与自由变元不能混淆． 5．如图二所示的图 G 存在一条欧拉回路．
图二
错误． 因为图 G 为中包含度数为奇数的结点．
6．设 G 是一个有 6 个结点 14 条边的连通图，则 G 为平面图．
错误． 不满足“设 G 是一个有 v 个结点 e 条边的连通简单平面图，若 v ≥3，则 e ≤3v -6．” 7．如果 R 1 和 R 2 是 A 上的自反关系，则 R 1∪R 2 是自反的．
正确． R 1 和 R 2 是自反的，x
A ，
8．如图二所示的图 G 存在一条欧拉回路．
v 1
c
图二
正确． 因为图 G 为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数．
9．┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为永真
式． 正确．
┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）与 P 组成的析取式， 如果 P 的值为真，则┐P ∧（P →┐Q ）∨P 为真，
如果 P 的值为假，则┐P 与 P →┐Q 为真，即┐P ∧（P →┐Q ）为真，
也即┐P ∧（
P →┐Q ）∨P 为真， 所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真
式． 另种说明：
┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是由┐P ∧（P →┐Q ）与 P 组成的析取式， 只要其中一项为真，则整个公式为真．
可以看到，不论 P 的值为真或为假，┐P ∧（P →┐Q ）与 P 总有一个为真， 所以┐P ∧（P →┐Q ）∨P 是永真式． 或用等价演算┐P ∧（P →┐Q ）∨P T
10．若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合 A 的最大元为 a ，最小元不存在．
1 1 0 ? ?
图一
正确．
对于集合 A 的任意元素 x ，均有
正确，R 1 和 R 2，是自反的，x∈A,
如图二所示的图中存在一条欧拉回路.
正确，因为图 G 为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数。
五．计算题（每小题 12 分，本题共 36 分） 1．试求出（P ∨Q ）→（R ∨Q ）的析取范式．
（P ∨Q ）→（R ∨Q ）
┐(P ∨Q )∨（R ∨Q ） (┐P ∧┐Q )∨（R ∨Q ） (┐P ∧┐Q )∨R ∨Q （析取范式）
2．设 A ={{1}, 1, 2}，B ={ 1, {2}}，试计算（1）（A ∩B ）
（2）（A ∪B ）
（3）A （A ∩B ）．
（1）（A ∩B ）={1}
（2）（A ∪B ）={1, 2, {1}, {2}} （3） A （A ∩B ）={{1}, 1, 2}
3．图 G =
（3）求出 G 权最小的生成树及其权值．
（1）G 的图形表示如图一所示：
a ο 3 ο d 2
4
1
5
ο ?ο
b 1
c
图一
?0
1 1 1?
（2）邻接矩阵： ? 0 1 ?
?1 1 0 1?
? ?
?1 1 1 ?
a ο ?3 ο d （3）最小的生成树如图二中的粗线所示：
1 2
4
5
ο ο 权为：1+1+3=5
b 1 c
图二
4．画一棵带权为 1, 2, 2, 3, 4 的最优二叉树,计算它们的
权． 最优二叉树如图三所示 12 .
ο
图二
1 0 1 1 ? ?
图三
权为 13+23+22+32+42=27
5．求（P ∨Q ）→R 的析取范式与合取范式．
（P ∨Q ）→R （P ∨Q ）∨R
(P ∧Q )∨R （析取范式）
(P ∨R )∧(Q ∨R) （合取范式）
6．设 A ={0，1，2，3}，R ={
R =, S ={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>} R S =，
S -1= S ，
r (R )=I A ={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}．
7．试求出（P ∨Q ）→R 的析取范式，合取范式，主合取范式．
（P ∨Q ）→R ┐(P ∨Q )∨R (┐P ∧┐Q )∨R （析取范式）
(┐P ∨R )∧ (┐Q ∨R )（合取范式）
((┐P ∨R )∨(Q ∧┐Q ))∧ ((┐Q ∨R )∨(P ∧┐P )) (┐P ∨R ∨Q )∧(┐P ∨R ∨┐Q )∧ (┐Q ∨R ∨P ) ∧(┐Q ∨R ∨┐P )
(┐P ∨Q ∨R )∧(┐P ∨┐Q ∨R )∧ (P ∨┐Q ∨R )
8．设 A ={{a , b }, 1, 2}，B ={ a , b , {1}, 1}，试计算
（1）（A
B ） （2）（A ∪B ） （3）（A ∪B ）（A ∩B ）．
（1）（A
B ）={{a , b }, 2}
（2）（A ∪B ）={{a , b }, 1, 2, a , b , {1}}
（3）（A ∪B ）（A ∩B ）={{a , b }, 2, a , b , {1}}
9．图 G =
2、1、2、
3、6、1、4 及 5，试
（1）画出 G 的图形； （2）写出 G 的邻接矩阵；
（3）求出 G 权最小的生成树及其权值． （1）G 的图形表示为：
（2）邻接矩阵：
?0 1 1 ? 0 0 ?1 0 0 ? ? 1 1 ??1
1 1
0 1?
1 ?
1 1?
?
0 ? 1 0??
（3）粗线表示最小的生成树，
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
离散数学题库及答案
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
离散数学期末试题
离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
安徽大学期末试卷离散数学上卷及参考答案.doc
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群 19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设 离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P 离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 安徽大学2006-2007学年第1学期 《离散数学》期末考试试卷（A卷） （时间120分钟） 开课院（系、部）姓名学号. 一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列语句中，哪个是真命题（）A、 4 2= + x； B、我们要努力学习； C、如果ab为奇数，那么a是奇数，或b是偶数； D、如果时间流逝不止，你就可以长生不老。 2．下列命题公式中，永真式的是（） A、P Q P→ →) (； B、P P Q∧ → ?) (； C、Q P P? ? ∧) (； D、) (Q P P∨ →。3．在谓词逻辑中，令) (x F表示x是火车；) (y G表示y是汽车；) , (y x L表示x比y快。 命题“并不是所有的火车比所有的汽车快”的符号表示中哪些是正确的（） I.)),()()((y x L y G x F y x →∧??? II.)),()()((y x L y G x F y x ?∧∧?? III. )),()()((y x L y G x F y x ?→∧?? A 、仅I ； B 、仅III ； C 、I 和II ； D 、都不对。 4．下列结论正确的是：（ ） A 、若C A B A =，则 C B =； B 、若B A B A ?，则B A =； C 、若C A B A =，则C B =； D 、若B A ?且D C ?，则D B C A ?。 5．设φ=1A ，}{2φ=A ，})({3φρ=A ，)(4φρ=A ，以下命题为假的是（ ） A 、42A A ∈； B 、31A A ?； C 、24A A ?； D 、34A A ∈。 6．设R 是集合},,,{d c b a A =上的二元关系， },,,,,,,,,,,{><><><><><><=b d d b a c c a a d d a R 。下列哪些命题为真（ ） I.R R ?是对称的 II. R R ?是自反的 III. R R ?不是传递的 A 、仅I ； B 、仅II ； C 、I 和II ； D 、全真。 离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ （2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={离散数学期末试题及答案完整版
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