2019各地中考数学压轴题题集

2018各地中考数学压轴题汇编

23．（12分）如图1，在直角坐标系中，已知点A （0，2）、点B （-2，0），过点B 和线段OA 的中点C 作直线BC ，以线段BC 为边向上作正方形BCDE.

（1）填空：点D 的坐标（），点E 的坐标为（）.

（2）若抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 经过A 、D 、E 三点，求该抛物线的解析式.

（3）若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC 同时向上平移，直至正方形的顶点E 落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动.

①在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为s ，求s 关于平移时间t （秒）的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围. ②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.

24．（本题满分11分）已知抛物线

362

++=

bx x y 经过

A （2，0）．设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点

B ．（1）求b 的值，求出点P 、点B 的坐

标；

（2）如图，在直线 y=

x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不

存在，请说明理由；

（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．

A P

B x y

O x y 3=

25.（本小题满分10分）已知抛物线1C 的函数解析式为2

3(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线1C 经过点(0,3)-，

方程2

30ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。（1）求抛物线1C 的顶点坐标.

（2）已知实数0x >，请证明：1x x +

≥2,并说明x 为何值时才会有1

2x x

+=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线2C ，设1(,)A m y ，2(,)B n y 是2C 上

的两个不同点，且满足：0

90AOB ∠=，0m >，0n <.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式。

（参考公式：在平面直角坐标系中，若11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则P ，Q 两点间的距离为

222121()()x x y y -+-）

24．（12分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝8cm ，点E ，F ，G 分别从点A ，B ，C 三点同时出发，沿矩形

的边按逆时针方向移动，点E ，G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△EFG 的面积为S （cm 2

）．（1）当t ＝1秒时，S 的值是多少？

（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围．

（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E ，B ，F 为顶点的三角形与以F ，C ，G 为顶点的三

角形相似？请说明理由．

25．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111(,)P x y 与222(,)P x y 的“非常距离”，给出如下定义：若1212||||x y x y ≥--，则点111(,)P x y 与点222(,)P x y 的非常距离为12||x x -；若1212||||x y x y -<-，则点111(,)P x y 与点222(,)P x y 的非常距离为12||y y -；例如：点1P （1，2），点2P （3，5），因为3|1|5||2-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为|235|-=，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线

PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）．（1）已知点A （1

-，0），B 为y 轴上的一个动点，

①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值．

（2）已知C 是直线3

y x =+上的一个动点，

①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；

（第24题图）

2 3

y x

Q P 2

P 1 图1

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应点E和点C的坐标．

图

26．如图半径分别为m ，n （0＜m ＜n ）的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P ，Q 两点，且点P （4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H ．（1）求两圆的圆心O 1，O 2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O 1，O 2之间的距离d ；

（3）令四边形PO 1QO 2的面积为S 1，四边形RMO 1O 2的面积为S 2．

试探究：是否存在一条经过P ，Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，

请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

25、(本小题12分).如同，抛物线

233

2++

-=x x y 与x 轴交于C 、A 两点，与y 轴交于点B ，OB=4点O 关于直线AB 的对称点为D ，E 为线段AB 的中点. （1）分别求出点A 、点B 的坐标（2）求直线AB 的解析式（3）若反比例函数x

y =

的图像过点D ，求k 值. （4）两动点P 、Q 同时从点A 出发，分别沿AB 、 AO 方向向B 、O 移动，点P 每秒移动1个单位，点Q 每秒移动

个单位，设△POQ 的面积为S ，移动时间为t,问：S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，

并求出此时的t 值，若不存在，请说明理由.

26.如图，在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，AC=8cm,BC=4cm,D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连结DE.点P 从点A 出发，

沿折线AD-DE-EB 运动,到点B 停止．点P 在AD 5的速度运动，在折线DE-EB 上以1cm/s 的速度

运动.当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 落在线段AC 上.设点P 的运动时间为t （s ）.

（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为 cm （用含t 的代数式表示）. （2）当点N 落在AB 边上时，求t 的值.

（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S(cm 2

)，求S 与t 的函数关系式. （4）连结CD.当点N 与点D 重合时，有一点H 从点M 出发，在线段MN 上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M 连续做

往返运动，直至点P 与点E 重合时，点H 停止往返运动；当点P 在线段EB 上运动时，点H 始终在线段MN 的中点处. 直接写出在点P 的整个运动过程中,点H 落在线段CD 上时t 的取值范围.

P A

Q O C 2

26．如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，

得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．

（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

22．如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

26．(12分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．

(1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD；

(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；

设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．

26．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．

①移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

24. 如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，

交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；

（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；

（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t 之间的函数关系式，并指出t的取值范围．

25．如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C

（1）求点C的坐标；

（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB

于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；

（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．

25．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．

（1）求证：△BMD∽△CNE；

（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？

（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x 为何值时，y有最大值？并求y的最大值．

28. （本题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y=1

x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点

（1）求M，N的坐标；

（2）在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值.

29.（10分）如图，已知抛物线

与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y

轴的正半轴交于点C.

⑴点B 的坐标为 ▲ ，点C 的坐标为 ▲ （用含b 的代数式表示）；

⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.

O C

24.已知,纸片⊙O 的半径为2,如图1,沿弦AB 折叠操作. (1)如图2,当折叠后的AB 经过圆心O 时,求AB 弧的长;

(2)如图3,当弦AB=2时,求折叠后AB 弧所在圆的圆心O′到弦AB 的距离; (3)在图1中,再将纸片⊙O 沿弦CD 折叠操作.

①如图4,当AB∥CD,折叠后的CD 弧与AB 弧所在圆外切于点P,设点O 到弦AB 、CD 的距离之和为d ，求d 的

值；

②如图5，当AB 与CD 不平行，折叠后的CD 弧与AB 弧所在圆外切于点P 时,设点M 为AB 的中点，点N 为

CD 的中点.试探究四边形OMPN 的形状,并证明你的结论.

23．如图，矩形OABC 中，A （6，0）、C

B C D N

l 1

l 2

（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是；②∠CAO=度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．

（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

23．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

25.如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）当BC=1时，求线段OD的长；

（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

25．抛物线

的顶点在直线y=x+3上，过点F （﹣2，2）的直线交该抛物线于点M 、N 两点（点M 在

点N 的左边），MA⊥x 轴于点A ，NB⊥x 轴于点B ．

（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值；（2）设点N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF=NB ；（3）若射线NM 交x 轴于点P ，且PA?PB=

，求点M 的坐标．

29．如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线2

y x bx c =-

++过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．

25．(满分14分)如图，在□ OABC 中，点A 在x 轴上，∠AOC=60o

，0C=4cm ．OA=8cm ．动点P 从点0出发，以1cm

／s 的速度沿线段O A →A B 运动；动点Q 同时．．从点O 出发，以 a c m ／s 的速度沿线段O C →C B 运动，其中一点先到达终点B 时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t 秒．

(1)填空：点C 的坐标是(______，______)，对角线OB 的长度是_______cm ；