2013年广州市二模理科数学试题及答案

广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）

理科数学试题

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题每小题选出答案后:用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：

Sh油，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 对于任意向量a、b、c,下列命题中正确的是

A. |a.b|= |a| |b|

B. |a+b|=|a|+丨b丨

C. (a.b)c =a (b-c)

D. a.a =|a|2

2. 直线y=kx +1与圆x2+y2-2y=0的位置关系是

A.相交

B.相切

C.相离

D.取决于k的值

3. 若1-i(i是虚数单位）是关于x的方程x2+2px +q=0(p、q∈R)的一个解，则p+q=

A. -3

B. -1

C. 1

D. 3

4. 已知函数y=f(x )的图象如图l 所示，则其导函数y=f '(x)的图象可能是

5. 若函数*))(6cos(N x y ∈+

=ωπω的一个对称中心是()0,6π,则ω的最小值为 A.1 B. 2 C. 4 D. 8

6. 一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示.若一个平 行于圆

锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l:7的上、下两部分，则截面

的面积为

B. π B π4

7. 某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万 元.年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年 限（即使用多少年的年平均费用最少）是

A. 8 年

B. IO 年

C. 12 年

D. 15 年

9. 记实数x 1，x 2,…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2,…，x n } ,最小数为min{x 1，x 2,…，x n }则max{min{x+1，x 2 - x + 1, -x +6}}=

A. 43

B. 1

C. 3

D. 27

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

(-)必做题（9-13题）

9.某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔数量之比依次为 2:3:4. 现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样 本容量n =____

10.已知a 为锐角，且)4cos(=+π

a 11.用0，1，2，3,4，5这六个数字，可以组成____个没有重复数字且能被5整除的五

位数（结果用数值表示）.

12.已知函数 f(x) =x 2 - 2x ，点集 M = {(X ,Y )| f(x) +f(y)≤2}，N = {(X , Y )| f{x)-f{y)0}，则M N 所构成平面区域的面积为______

13.数列{a n }的项是由l 或2构成，且首项为1，在第k 个l 和第k+ 1个l 之间有2k -1 个

2，即数列{a n } 为：1, 2，1, 2，2，2，1，2，2，2，2，2, 1, …，记数列 {a n }的前n 项和

为S n ，则S 20=________; S 2013 =_____.

(二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14.(几何证明选讲选做题）

15.(坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，已知点A (1, sin 2

θ=4cos θ上任意一点，设点P 到直 线ρcos θ + 1 = 0的距离为d ，则丨PA 丨+ d 的最小值为_______.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分）

某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到 三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m, BC = 70m, CA =50m.假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内.

(1)求BAC ∠的大小;

(2)求点O 到直线BC 的距离

17.(本小题满分12分）

已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边A B、BC、CD、DA的中点.

(1) 在正方形

(2) 从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量f的分布列与数学期望ξ

E.

18.(本小题满分14分）

=

=

EA

CE

图3).将ΔADE沿DE折起到ΔA1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连结A1B、A1C (如图4).

(1) 求证：A

1

D丄平面BCED;

(2) 在线段BC上是否存在点P，使直线PA

1与平面A

1

BD所成的角为600？若存在，求出

PB的长；若不存在，请说明理由

19.(本小题满分W 分）

巳知a >0,设命题p:函数f (x)=x 2-2ax+ 1-2a 在区间[0,1]上与x 轴有两个不同 的交点；命题q: g(x) =|x-a|-ax 在区间（0, + ∞ )上有最小值.若q p ∧?)(是真命题，求实数a 的取值范围.

20.(本小题满分14分）

经过点F (0，1)且与直线y = -1相切的动圆的圆心轨迹为M 点A 、D 在轨迹M 上， 且关于y 轴对称，过线段AD (两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、 C.

(1) 求轨迹M 的方程；

(2) 证明：CAD BAD ∠=∠；

(3) 若点D 到直线AB 的距离等于

||22AD ，且ΔABC 的面积为20，求直线BC 的方程.

21.(本小题满分14分）

设a n 是函数*)(1)(23N n x n x x f ∈-+=的零点.

(1)证明：0

23...21<+++