(完整版)平面向量知识归纳和题型总结材料

平面向量

章节分析:

向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体, 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.

向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等.

对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.

平面向量的概念、几何运算和基本定理

1.向量的相关概念

2.向量的线性运算

3.向量的共线定理

非零向量a r 与向量b r 共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b a =λr r

。

延伸结论:,,A B C 三点共线//AB AC ?u u u r u u u r ?当且仅当有唯一R λ∈,使AB AC =λu u u r u u u r

4.平面向量的基本定理

如果12,e e u r u u r

是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量a r ,有且只有一对实数

λ1,λ2使:1122a e e =λ+λr u r u u r ,其中不共线的向量12,e e u r u u r

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

练习:（1）已知12,e e u r u u r 是平面向量的一组基底,11122122,a x e y e b x e y e =+=+r u r u u r r u r u u r

,

①若a b =r r 当且仅当12x x =且12y y =.②若0,a =r r

则120x x ==.

（2）如图,OA OB u u u r u u u r 为单位向量，||23OC =u u u r ，其中,OA OB u u u r u u u r 的夹角为120o

，,OA OC u u u r u u u r 的夹

角为30o

。若OC OB OA =λ+μu u u r u u u r u u u r ，求,λμ的值。

5.一个常用结论:ABC △中, M 为边BC 的中点, 则有:2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r

.

练习:设ABC ?的重心为点G ,设,.AB a AC b ==u u u r r u u u r r 试用,a b r r

表示AG u u u r .

典型例题分析:

知识点一:基本概念 例1.

1.如果12,e e u r u u r

是平面α内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有( )

①12+u r u u r

e e λμ(,λμ∈R )可以表示平面α内的所有向量;平面α内的所有向量都可以表示成

12+u r u u r

e e λμ(,λμ∈R )。

②对于平面α中的任一向量a 使12=+r u r u u r

a e e λμ的λ,μ有无数多对;

③若向量1112+u r u u r e e λμ与2122+u r u u r e e λμ共线,则有且只有一个k R ∈,21221112()k +=+u r u u r u r u u r

e e e e λμλμ

④若实数λ,μ使12+=u r u u r e e λμ0r

,则0λμ==. A.①② B.②③ C.③④ D.② 练习:1) 判断下列命题的真假

(1)向量AB 与向量CD 为共线向量,则D C B A ,,,四点共线. (2)若=AB CD 则四边形ABCD 为平行四边形.

(3)若向量a b r r ∥,b c r r P 则a c r r P . (4),a b r r 是两个向量,则||||||a b a b +<+r r r r

当且仅当,a b r r 不共线时成立

知识点二:向量的线性运算 例1. 化简:

(1);AB BC CA ++u u u r u u u r u u u r (2)();AB MB BO OM +++u u u r u u u r u u u r u u u u r (3);OA OC BO CO +++u u u r u u u r u u u r u u u r (4);AB AC BD CD -+-u u u r u u u r u u u r u u u r (5);OA OD AD -+u u u r u u u r u u u r (6);AB AD DC --u u u r u u u r u u u r (7).NQ QP MN MP ++-u u u r u u u r u u u u r u u u r

例 2.如图,四边形ABCD ,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,求证:2AB DC EF +=u u u r u u u u r u u u r

.

练习:（1)已知ABC △三个顶点A ,B ,C 及平面内一点P ,若PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r

,则 ( ) A .P 在ABC △内部 B .P 在ABC △外部 C .P 在AB 边所在直线上 D .P 在线段BC 上

(2)设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,O 为任意一点,则OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r

=

. .2 C.3OM D.4AOM B OM OM u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r

知识点三:平面向量基本定理和共线定理

例1.1）已知12,e e u r u u r 为不共线向量,1232,a e e =-r u r u u r 122,b e e =-+r u r u u r 1274c e e =-r u r u u r 用,a b r r

表示c r .

2) 设1e u r ,2e u u r 是两个不共线的向量,已知122AB e ke =+u u u r u r u u r ,1223CB e e =+u u u r u r u u r ,122CD e e =-u u u u r u r u u r 若A ,B ,D 三点共线,求k 的值.

例2. 证明:平面内三点,,A B C 共线

?存在两个均不为0的实数,m n ,

使,OA mOB nOC =+u u u r u u u r u u u r

且 1.m n +=

练习: 证明:平面内三点,,A B C 共线

?存在三个均不为0的实数,,l m n ,

使0,lOA mOB nOC ++=u u u r u u u r u u u r r

且0.l m n ++=

向量数量积及坐标运算

一、基本知识回顾: 1、已知向量,,a b r r 其中1122(,),(,)a x y b x y ==r r

:向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.在

1、 判断下列命题的真假

1）若向量//a b r r ,//b c r r ,则//a c r r . 2）若,a b b c ?=?r r r r

则a c =r r

3）()(),a b c a b c ??=??r r r r r r 4）22

2()2a b a a b b ±=±?+r r r r r r

5）a b a b =?=r r r r

6）00,00a a ?=?=r r r r

2、已知(4,2),(,3)a b x ==r r

.若//a b r r ,则=x ;若a b ⊥r r ,则=x .

3、已知),3,7(),1,4(-B A 则与AB u u u r 同向的单位向量是 ,与AB u u u r

平行的单位向量是 .

4、已知点(1,5)A -和向量(2,3)a =r

,若3AB a =u u u r r ,则点B 的坐标为

5、已知(5,5),(6,3)a b =-=--r r ,(1,8)c =r

,若a mb nc =+r r r ,求实数.,n m

6、已知(1,0),(2,1)a b ==r r ,则

|3|a b +=r r 7）下列各组向量中,可以作为平面基底的是（ ）

A.12(0,0),(2,1)e e ==-u r u u r

B. 12(4,6),(6,9)e e ==u r u u r

C.12(2,5),(6,4)e e =-=-u r u u r

D. 1213(2,3),(,)24

e e =-=-u r u u r

8）已知//a b r r ,3,4,a b ==r r

则a r 在b r 方向上的投影为

二、典型例题讲解

例1:1）已知3,4,a b ==r r a r 与b r 的夹角为4

3π

,求:

（1）a r 在b r 方向上的投影（2）(32)(2)a b a b -?-r r r r

（3）a b +r r

2）4、在直角ABC △中,CD 是斜边AB 上的高,则下列等式不成立的是（ ）

A.2||AC AC AB =?u u u r u u u r u u u r

B.2||BC BA BC =?u u u r u u u r u u u r

C.2||AB AC CD =?u u u r u u u r u u u r

D.22||||

AC AB BA BC CD AB ???=u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r （）（）

3）已知向量21,e e ρρ夹角为o

60，b a e t e b e e a e e ρρ?ρρρρρρρ与若212121,72,1,2+=+===的夹角为锐角，求t 的范围。

练习:1）已知向量a r ,b r 满足1,2,2,a b a b ==-=r r r r 则a b +=r r

2）在ABC ?中，已知8,7,120,AB BC ABC ==∠=o

求边AC 的长度

例2: 1）已知(2,3),A (4,3)B -,点P 在线段AB 的延长线上,且3||||2

AP PB =u u u r u u u r

,求点P 的坐

标（若点P 在直线AB 上） 2）在ABC ?中,点P 在BC 上,且PC BP 2=,点Q 是AC 的中点,若),3,4(=PA )5,1(=PQ ,

则=BC

例3:已知向量)21,sin (--=→

θa m ,)cos ,2

1

(θ=→n .

（Ⅰ）当2

2

=a ,且→→⊥n m 时,求θ2sin 的值;

（Ⅱ）当0=a ,且→m ∥→

n 时,求θtan 的值.

解:（Ⅰ）当22=a 时,)2

1

,sin 22(

--=→θm , Θ →→⊥n m , ∴由0=?→

→n m , 得2

2

cos sin =

+θθ,………3分 上式两边平方得2

12sin 1=+θ, 因此,2

1

2sin -

=θ.……………6分 （Ⅱ）当0=a 时,)1,sin (--=→

θm , 由→

m ∥→

n 得41cos sin =

θθ .即2

1

2sin =θ.………9分 θ

θ

θ2

tan 1tan 22sin +=

Θ,∴32tan +=θ或 32-.…………12分 例4、已知向量)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos x x b x x a -==ρρ. 且]2

,0[π

∈x

1)当b a ρρ⊥时,求x 的集合; 2)求b a ρ

ρ+; 3）求函数4||y a b a b =?-+r r r r 的最小值

4）求函数2||y a b a b =?-λ+r r r r

的最小值

5）若()b a b a x f ρρρρ+-?=λ2的最小值是2

3

-,求实数λ的值.

练习:1）设,a b r r 是不共线的两非零向量,若||||a b =r r ,且,a b r r 夹角为60o

,求t 为何值时,||

a t

b -r r 的值最小.

2）已知向量a r =33(cos ,sin ),22x x b r =(cos ,sin )22x x -且x ∈[,]34ππ

-.

（1）求a r ·b r 及|a r +b r

|;

(2)若()f x = a r ·b r -|a r +b r

|,求()f x 的最大值和最小值.

向量与三角形

平面向量的应用十分广泛.由于三角形中的有关线段可以视为向量,线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示,这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件,在这类问题中,往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质, 因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强.

三角形之心

一、 外心.

三角形外接圆的圆心,简称外心. 是三角形三边中垂线的交点. （下左图）

二、 重心

三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.

掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.（上右图）

三、垂心

三角形三条高的交点,称为三角形的垂心.（下左图）

四、内心

三角形内切圆的圆心,简称为内心. 是三角形三内角平分线的交点.

三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（上右图）

知识点一、三角形形状与向量

1、已知向量321,,OP OP OP 满足条件321=++OP OP ,且1|||||321===OP OP ,求证

321P P P ?是正三角形.

2、O 是ABC ?所在平面上的一点,若0)2()(=-+?-OA OC OB OC OB , 则ABC ?是 三角形.

3、已知非零向量,AB AC u u u v u u u v 和BC uuu v 满足()0||||AB AC BC AB AC +?=u u u v u u u v

u u u v u u u u v u u u u v

且||||AC BC AC BC ?=?u u u v u u u v u u u u v u u u u v ,则ABC ?为 .

4、若O 为ABC ?所在平面内一点,

-+=则ABC ?的形状为 （ ）

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C. 等腰三角形

D. 等边三角形 5、已知非零向量与满足0(

=?+

2

1

=

,则△ABC 为 （ ）

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

D.等边三角形

思路分析:

1.根据四个选择支的特点:本题可采用验证法来处理,不妨先验证等边三角形,刚好适合题意,则可同时排除其他三个选择支,故选D.

2.|

||

|AC AB +

ABC 的内心,则由0

|

|||(

=?+AC AB 知,=（等腰三角形的三线合一定理）;21=

,所以3

π

=∠A ,即△ABC 为等边三角形,故选D.

知识点二、三角形的“心”与向量

重心

在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,根据向量加法的平行四边形法则,可得

AD AC AB 2=+.这说明AC AB +所在的直线过BC 的中点D ,从而一定通过ABC ?的

重心.另外,G 为ABC ?的重心的充要条件是0=++GC GB GA 或

)(3

1

OC OB OA OG ++=,（其中O 为ABC ?所在平面内任意一点）,这也是两个常用的

结论.

例1.已知C B A ,,是平面上不共线的三点,O 是ABC ?的外心,动点P 满足1[(1)(1)(12))]()3

OP OA OB OC R =-λ+-λ++λλ∈u u u r u u u r u u u r u u u r

,则P 的轨迹一定通过ABC ?的（ ）

A.内心

B.垂心

C.外心

D.重心 思路分析:取AB 边的中点M,则OM 2=+,

由1[(1)(1)(12))]()3OP OA OB OC R =-λ+-λ++λλ∈u u u r u u u r u u u r u u u r

可得

322()3(12)OP OM OC OC OM OM MC =++λ-=++λu u u r u u u u r u u u r

u u u r u u u u r u u u u r u u u u r

,所以

MC MP 3

21λ

+=

)(R ∈λ,即点P 的轨迹为三角形中AB 边上的中线,故选D. 垂心

在ABC ?中,由向量的数量积公式,可得0)(

=?+

BC ,这说明

C

AC B

AB cos ||cos ||+

所在直线是BC 边上的高所在直线,从而它一定通过△ABC 的垂

心.

例:若动点P 满足(),0||cos ||cos AB AC

OP OA AB B AC C

=+λ+λ>u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r ,则点P 轨迹一定通过ABC ?的（ ） A 、外心 B 、内心 C 、垂心 D 、重心

例2.点O 是ABC ?所在平面内的一点,满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

,则点O 是ABC ?的 （ ）

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点

思路分析:由OA OB OB OC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r

,得0)(=?=-?,所以⊥,即AC OB ⊥.同理BC OA AB OC ⊥⊥,.因此O 是ABC ?三条高的交点,故选D. 练习:点O 是ABC ?所在平面内的一点,满足

=+22||||=+22||||22||||+,则点O 是ABC ?的（ ）

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点 内心

在ABC ?中,由两单位向量相加,|

||

|AC AB +

所在直线是∠A 的平分线所在的直线,

从而一定经过ABC ?的内心.

例 3 O 是平面上定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足

(),[0,)||||

AB AC

OP OA AB AC =+λ+λ∈+∞u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u

r u u u r ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

思路分析:设()'||AB AB AB =u u u r u u u u r u u u r 为AB u u u r 上的单位向量,()'||

AC

AC AC =u u u r

u u u u r u u u r 为AC u u u r 上的单位向量,则|

||

|(AC AB +的方向为∠BAC 的角平分线的方向,又[)+∞∈,0λ, 所以

(+λ与(+的方向相同,而()||||AB AC

OP OA AB AC =+λ+u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u

r u u u r ,所以点P 在上移动,故P 的轨迹一定是通过△ABC 的内心,选B.

外心

1、如图已知G 为ABC ?内的一点,若222

GA GB GC ==u u u r u u u r u u u r ,则G 点为ABC ?的 心 2、O 是ABC ?所在平面上的一点,若动点P 满足

()2

cos cos OB OC AB AC OP AB B

AC C

+=+λ+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

,(0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹通过ABC ?的 心.