大半径短圆弧的误差分析及测量方法

【摘要】大半径短圆弧（一般为30?以下圆心角所对应

的圆弧）的测量一直是精密测量中的一道难题，主要原因是采样策略和敏感系数引起测量误差，所以测量的重复性差。本文以多年的实际操作经验为基础，通过分析误差原因，提出一种精度高、效率高的大半径短圆弧样板量具和零件的测量处理方法，并在工作中取得良好效果。

【关键词】大半径短圆弧；误差分析；测量方法

在工件测量中，经常有一些大半径短圆弧测量要求，在仅提出半径尺寸要求（有时包括圆心坐标要求），而无形状

公差要求，或者仅有较大范围的半径尺寸公差要求的情况下，短圆弧的半径（圆心）的直接测量是无法实现的，甚至有文章提出在圆心角一定小的情况下，圆弧是不可测的。本文分析了测量误差原因，提出在有形状公差要求或合理的半径尺寸公差要求的前提下，可以通过测量短圆弧形状误差，达到判定工件是否合格的目的，进而也说明了圆弧的参数（半径和圆心位置）固然重要，其第三参数形状公差（轮廓度或圆度）在工件特征控制中的重要性。

1.大半径短圆弧的测量误差分析

由测量原理，三坐标测量机（CMM）直接测得的是被测

工件上一些特征点的坐标位置，为了获得被测参数值，需要通过测量软件的数据处理和运算。因此，被测参数的测量准确度主要与CMM 的系统误差、测头系统误差、工件形状误差、算法误差、环境误差、采样策略和敏感系数等因素有关。而对于大半径短圆弧测量，采样策略和敏感系数对准确度的影响更大。

1.1采样策略引起的误差

采样策略是指如何在被测物体表面合理安排采样点，采集多少点最为合理，且使检测误差达到最小。所谓合理是指在同一台测量机上，在相同的环境下，测量同一个零件，怎样安排测量点的位置和测量点数，可以获得较高的测量准确度，且耗费的时间比较经济。采样数量和采样位置会影响测量结果的原因在于：（1）被测元素并非理想元素，存在形状误差。（2）CMM 采点及计算方法有局限性，存在测量误差。

下面以圆形工件为例说明采样策略对测量结果的影响。图1所示工件的实际圆形具有三叶形误差，第一次测量选取1，2，3 三点时，测得的直径为最小；第二次测量选取4，5，6三点时，测得的直径最大。由于工件在三坐标测量台上是任意摆放的，测量结果可能是两次测量结果之间的任意值。这是被测元素形状误差对测量结果的影响。

1.2敏感系数引起的误差

敏感系数也称为误差放大系数，是测量值误差与测量机

精度的比值，常用“敏感系数”来量化表示结论和初始参数之间的关系，即用它来评价测量点误差对被测结果的影响。例如用三点来测圆弧，是用每两点连线的中垂线相交来求圆弧半径及中心点位置，当这三点所夹中心角越小时，各点的精度对两点中垂线相交点位置影响就越大。测量机测空间点坐标精度很高，但并不等于对具体几何特征（例如圆弧）的测量结果精度很高，这是因为从点坐标到具体几何特征的测量结果需要有一个计算的过程，其中很多问题是数学方法产生的。测量机的数学方法一般是基于空间解析几何的运算，这种数学方法方法应当重复性好，并为生产所接受。

采用三点测“两大夹一小”的大半径短圆弧时，大半径短圆弧的圆心角对圆心位置及半径测量的敏感系数如下公

式所示，与“两小夹一大”的大半径短圆弧的敏感系数公式相同，仅误差数据符号相反。

其中：为圆心坐标误差放大倍数；为半径测量误差放大倍数；为圆心坐标误差；为半径误差；为测量机精度；为大半径短圆弧对应圆心角。

该公式表明，当圆心角较小，圆弧较短时，较小的精度误差被成倍放大，形成了很大的测量误差，可将原本符合形状公差及尺寸要求的圆弧，测量成为不合格产品。例如当

e=0.005mm，圆心角小于10°时，半径测量误差将高达

2.625mm，那么这扩大了500 倍后的误差结果显然是无法接

受的，所以大半径短圆弧是无法用通常测量圆的方法来进行。

2.减小误差的测量方法

通过分析技术文献，研究人员提出了多种大半径短圆弧测量改进方法，例如密集采点法、分段密集采样的圆心的最小二乘法、圆的最小二乘法+最小条件逼近法、圆心固定法、极径测量法、坐标测量法。但这些测量方法有的精度低，有的耗时长，可操作性较低。为解决上述问题，在实际测量工作中可采用了如下测量处理方法，基本原理和步骤简要介绍于下。

上述分析说明，由于敏感系数的存在，使圆弧半径和圆心位置的测量数据不可信，不能通过直接测量大半径短圆弧的半径与圆心位置的方法来评价工件是否合格。但是这并不能说明大半径短圆弧是不能测量的，关键在于圆弧形状公差的设计以及形状误差的测量。那么，要避开敏感系数的唯一办法，就是间接测量圆弧的形状误差。当然，如此测量的前提是，图纸必须有该圆弧形状的公差要求。

在实际生产中，为完成大半径短圆弧的精密测量，确定工件加工是否合格，我们假设该段圆弧的圆心位置与半径尺寸为理论值，然后均匀测量圆弧上多点的坐标得到各半径值，确定其形状误差是否符合要求，以此推断假设是否成立。大半径短圆弧的圆心坐标与半径值，在图纸上标有名义值和公差值。从数学角度讲，零件上那大半径短圆弧已设计确定。

这圆心坐标与半径值是一对完全相关量，只要确定了圆心坐标值，就能相应确定半径值。无论从设计大半径短圆弧的使用功能角度，还是从加工大半径短圆弧的工艺角度来说，都是以圆心坐标为基准值来计算圆弧。

3.总结

本文分析了大半径短圆弧测量误差的产生原因，发现圆弧圆心角越小，圆心坐标和半径误差越大。在此基础上提出了一种方便操作、精度高的改进测量方法，按照流程进行一系列操作，即可快速准确判定工件是否合格，大大提高了大半径短圆弧特征的测量效率。在实际工作中，笔者多次运用该测量方法测量小段圆弧，结果令人满意。相信随着测量技术的不断提升，会出现更多经济可行的测量方法。

参考文献：

[1]张国雄.三坐标测量机[M].天津：天津大学出版社，1999.

[2]王文书.三坐标测量机对大半径短圆弧的测量实践[J].上海计量测试，2010（4）：44-45.

作者简介：

张梅（1963-）女，长春市人，长春轨道客车股份有限公司转向架制造中心生产部工程师.研究方向：计量。

形位误差测量方法

摘要：跳动测量是生产实践中应用较广泛的一种测量方法，检测方式简单实用，又具有一定的综合控制功能。形位误差测量径向圆跳动、全跳动、端面圆跳动实验一、实验目的：跳动测量是生产实践中应用较广泛的一种测量方法，检测方式简单实用，又具有一定的综合控制功能。本实验的目的是： 1、掌握形位公差检测原则中的跳动原则。 2、形状误差不大时，用以代替同轴度测量。 3、分析圆度误差与径向跳动的各自特点。二、实验内容： 1、模拟建立理想检测基准。 2、径向圆跳动、全跳动、端面圆跳动的测量。 3、根据指示表读数值，确定各种跳动量。三、实验仪器：偏摆仪、测量表架、指示表。四、实验方法：调整偏摆仪两端顶尖同轴，以两顶尖的轴线模拟公共基准，被测工件对顶无轴向移动且转动自如，采用跳动原则，看指示表读数，确定跳动量。具体检测方法见下表。

五、实验步骤： 1、径向圆跳动测量：（1）将指示表安装在表架上，指示表头接触被测圆柱表现，指针指示不得超过指示表量程的1/3，测头与轴线垂直，指示表调零。（2）轻轻使被测工件回转一周，指示表读数的最大差值即为单个测量截面上的径向跳动。（3）按上述方法在若干个正截面上测量，分别记录，取各截面上测的跳动量中的最大值作为该零件的径向圆跳动。（4）将测量记录填表2-2。

2、径向全跳动测量（1）按上述方法在被测工件连续转动过程中，同时让指示表沿基准轴线方向作直线移动。（2）在整个测量过程中，指示表读数最大差值即为该零件的全跳动。（3）所测数据填表2-2。 3、端面圆跳动测量（1）将指示表测头与被测的台阶表面接触，注意指示表指针指示不得超过指示表量程的1/3，指示表读数调零。（2）轻轻转动工件一周，指示表读数最大差值即为单个测量圆柱面上的端面圆跳动。（3）按上述方法，在任意半径处测量若干个圆柱面，取各测量圆柱面上测得的跳动中最大值作为该零件的端面圆跳动。（4）所测数据填表2-2。六、实验记录表表2-2 径向圆跳动、全跳动、端面圆跳动实验记录

数值运算的误差分析(精)

实验一数值运算的误差分析 1.问题的提出任何数值计算都是一种近似计算，于是研究此误差的来源及防止在整个数值计算中占非常重要的地位。首先是误差的分类、其次是估计误差的工具最后是一些避免误差产生及传播的手段。 1)模型误差：实际问题用数学模型刻画时要忽略一些因素，从而造成数学的量和实际的量的误差称为模型误差 2)观测误差：数学模型用到一批数它可能是观测得到的也可能是计算到的，这种数据误差造成数学量的近似。 3)截断误差：通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。例如，函数)(x f 用泰勒（Taylor ）多项式 n n n x n f x f x f f x p ! )0(!2)0(!1)0()0()(2'''++++= 近似代替，则数值方法的截断误差是： εε(,)! 1()()()()(1 )1(+++=-=n n n n x n f x p x f x R 4)舍入误差：最后用近似的方法计算数据有误差的数学问题要用有限位数字，这就要求进行基本的四舍五入计算，由此引起的误差称为舍入误差。例如用3.14159近似代替π，产生的误差 0000026.03014159=-=πR 为舍入误差。 2.误差与有效数字 1)绝对误差： 2)相对误差： 3)有效数字：若近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字，表示 ()() 1121*101010---?++?+?±=n n m a a a x ，其中是),,1(n i a i =0到9中的一个数字，0≠i a ，m 为整数，且 1*102 1 +-?≤ -n m x x

测量气缸圆度圆柱度的方法及步骤

测量气缸圆度、圆柱度的方法及步骤 ①准备清洗干净的持修气缸体一台，与其内径相适应的外径千分尺、量缸表及清洁工具等。 ②将气缸孔内表面擦试洁净。 ③安装、校对量缸表。 ④用量缸表测量气缸孔第一道活塞环上止点处于平行于曲轴轴线方向的直径，记入检测记录。 ⑤在同一剖面内测量垂直于曲轴轴线方向的直径，记入检测记录。 ⑥上述两次测量值之差的一半即为该剖面的圆度误差。 ⑦用上述方法测量气缸孔第一道活塞环上止点至最后一道活塞环下止点行程的中部，将这一横剖面的圆度误差，记入检测记录。 ⑧用同样方法测量距气缸孔下端以上30mm左右处横剖面的圆度误差，记入检测记录。 ⑨三个圆度误差值中，最大值即为该气缸孔的圆度误差。 ⑩上述3个测量横剖面，6个测量值，其中最大值与最小值之差的一半，即为该气缸孔的圆柱度误差。 11上述方法只适用于待修或在用气缸套筒的一般检测。如要取精确测值，则应选多个横剖面、纵剖面测量，而且在对同一横剖面、纵剖面上进行多点测量，方能检测出圆度、圆柱度误差的值。 12气缸磨损圆柱度达到0.174~0.250mm或圆度己达到0.050~0.063mm（以其中磨损量最大一个气缸为准）送大修。

JT3101-81中规定：磨缸后，干式气缸套的气缸圆度误差应不大于0.005mm,圆柱度误差不大于0.0075mm湿式气缸套的气缸的圆柱度误差应不大于 0.0125mm. 13确定修理尺寸：气缸磨损超过允许限度或缸壁上有严重的刮伤、沟槽和麻点，均应采取修理尺寸法将气缸按修理尺寸搪削加大。气缸修理尺寸的确定方法：先测量磨损最大的气缸最大磨损直径，加上加工余量（以直径计算一般为0.1~0.2mm），然后选取与此数值相适应的一级修理尺寸。当策动机气缸圆度，圆柱度误差超过规定的标准时，如汽油机的圆度误差超过0.05mm 或者圆柱度误差超过 0.20mm 时，联合最大磨耗尺寸视情进行修理尺寸法镗缸或者更换缸套修理用量缸表测量气缸圆度误差,在同一横向截面内,在平行于曲轴轴线方向和垂直于曲轴轴线方向的两个方位进行测量,测得直径差之半即为该截面的圆度误差沿气缸轴线方向测上、中、下三个截面,如图3-40所示上面至关于活塞上止点第一道活塞环相对应的气缸处;中间取气缸中部;下面取活塞下止点时最下一道活塞环对应的气缸位置测得的最大圆度误差即为该气缸的圆度误差测量气缸圆柱度误差凡是用量缸表在活塞行程内一股取上中下三处(如图3-41所示)气缸的各个方向测量,找出该缸磨耗的最大处气缸磨耗最大直径与活塞在下止点时活塞环运动地区范围以外,即距气缸套下部平面10MM范围内的气缸最小内径的差值的半壁,就是该气缸的圆柱度误差图：测量气缸磨耗量图：在活塞行程上、中、下三处测量气缸图：测量气缸磨耗量图：在活塞行程上、中、下三处测量气缸气缸磨耗的测量要领凡是用量缸表对气缸磨耗进行测量具体测量要领如下： 1 ．把内径百分表装在表杆的上端，并使表盘朝向测量杆的勾当点，以便于观察，使表盘的短针有 1-2mm 的压缩量

形位公差检测方法

一、轴径在单件小批生产中，中低精度轴径的实际尺寸通常用卡尺、千分尺、专用量表等普通计量器具进行检测；在大批量生产中，多用光滑极限量规判断轴的实际尺寸和形状误差是否合格；；高精度的轴径常用机械式测微仪、电动式测微仪或光学仪器进行比较测量，用立式光学计测量轴径是最常用的测量方法。二、孔径单件小批生产通常用卡尺、内径千分尺、内径规、内径摇表、内测卡规等普通量具、通用量仪；大批量生产多用光滑极限量规；高精度深孔和精密孔等的测量常用内径百分表（千分表）或卧式测长仪（也叫万能测长仪）测量，用小孔内视镜、反射内视镜等检测小孔径，用电子深度卡尺测量细孔（细孔专用）。三、长度、厚度长度尺寸一般用卡尺、千分尺、专用量表、测长仪、比测仪、高度仪、气动量仪等；厚度尺寸一般用塞尺、间隙片结合卡尺、千分尺、高度尺、量规；壁厚尺寸可使用超声波测厚仪或壁厚千分尺来检测管类、薄壁件等的厚度，用膜厚计、涂层测厚计检测刀片或其他零件涂镀层的厚度；用偏心检查器检测偏心距值，用半径规检测圆弧角半径值，用螺距规检测螺距尺寸值，用孔距卡尺测量孔距尺寸。四、表面粗糙度借助放大镜、比较显微镜等用表面粗糙度比较样块直接进行比较；用光切显微镜（又称为双管显微镜测量用车、铣、刨等加工方法完成的金属平面或外圆表面；用干涉显微镜（如双光束干涉显微镜、多光束干涉显微镜）测量表面粗糙度要求高的表面；用电动轮廓仪可直接显示Ra0.025～6.3μm 的值；用某些塑性材料做成块状印模贴在大型笨重零件和难以用仪器直接测量或样板比较的表面（如深孔、盲孔、凹槽、内螺纹等）零件表面上，将零件表面轮廓印制印模上，然后对印模进行测量，得出粗糙度参数值（测得印模的表面粗糙度参数值比零件实际参数值要小，因此糙度测量结果需要凭经验进行修正）；用激光测微仪激光结合图谱法和激光光能法测量Ra0.01～0.32μm的表面粗糙度。五、角度 1．相对测量：用角度量块直接检测精度高的工件；用直角尺检验直角；用多面棱体测量分度盘精密齿轮、涡轮等的分度误差。 2．直接测量：用角度仪、电子角度规测量角度量块、多面棱体、棱镜等具有反射面的工作角度；用光学分度头测量工件的圆周分度或；用样板、角尺、万能角度尺直接测量精度要求不高的角度零件。 3．间接测量：常用的测量器具有正弦规、滚柱和钢球等，也可使用三坐标测量机。 4．小角度测量：测量器具有水平仪、自准直仪、激光小角度测量仪等。六、直线度

实验四圆度误差的测量

实验四圆度误差的测量一．实验目的 1.了解光学分度头、电感测微仪的工作原理和使用方法； 2.学会用光学分度头、电感测微仪测量圆柱体的圆度； 3.学会用最小二乘法、最小区域法处理测量的实验数据。二．测量对象 φ22、公差等级8级、圆度误差9um的圆柱体工件三、测量仪器仪器名称：光学分度头、电感测微仪刻度值：6′′，1um 仪器测量范围：360°，±30um 四、测量原理 1、最小包容区法最小包容区法是以最小区域圆为评定基准圆来评定圆度误差，最小区域圆是包容被测圆的轮廓且半径差Δr为最小的两同心圆。它符合最小条件，所评定的圆度误差值（两同心最小区域的半径差）最小。此方法的特征是用两同心圆包容被测实际圆时，至少应有内外交替的四点接触。当被测圆的实际轮廓曲线已绘出，则可用以下方法来确定最小区域圆和圆度误差值。（1）模板比较法将绘好的被测实际圆轮廓的图形放在有光学放大装置的仪器的投影屏上看，再将刻有一组等间距同心圆的透明模板紧贴在图形上面。调整仪器投影的放大倍率，是其中两同心圆恰好包容被测实际圆图形，并且至少有四个内外相间的接触点a,c与b,d则模板上此两包容圆即为最小区域圆。其半径差Δr除以图形的放大倍率M，即为符合最小包容区的圆度误差值。 f=Δr/M （2）作图法用作图法可逐步寻找最小区域圆心，其方法如下： ①在实际圆轮廓图形的中心附近任意找一点O1，以O1为圆心，找图形上的最远点A并以O1 A为半径作圆Ⅰ，将实际圆的图形全部包容在内。 ②在O1 A的连线或延长线上找第二个圆心O2，要使以O2为圆心，以O1 A为半径所做的圆Ⅱ，能通过实际圆图形上的另一点，即O1 A=O2B，并仍将实际圆的图形全部包容在内，O2点为AB连线的垂直平分线与O1 A的交点。 ③在被直线AB分成两部分ACB和ADC的图形上，各找一至圆Ⅱ的距离为最大的点。 ④作CD连线的垂直平分线与AB连线的垂直平分线相交于O点，O点即为所搜寻的最小区域圆的圆心。 ⑤以O为圆心，以OA和OC为半径作两同心圆，即为最小区域圆，全部实际圆轮廓都应包容子啊此两同心圆内，此两同心圆的半径差Δr为圆度误差值。 (3)计算法

测量误差及其处理的基本知识

第五章测量误差及其处理的基本知识 1、测量误差的来源有哪些？什么是等精度测量？答：测量误差的来源有三个方面：测量仪器的精度，观测者技术水平，外界条件的影响。该三个方面条件相同的观测称为等精度观测。 2、什么是系统误差？什么是偶然误差？它们的影响是否可以消除？答：系统误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均相同，或按一定规律变化的误差。偶然误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均不固定，或看上去没有一定规律的误差。系统误差的影响采取恰当的方法可以消除；偶然误差是必然发生的，不能消除，只能削弱偶然误差的影响。 3、举出水准测量、角度测量及距离测量中哪些属于系统误差？答：水准仪的i 角误差，距离测量时钢尺的尺长误差，经纬仪的视准轴误差、横轴误差和竖盘指标差等都属于系统误差。 4、评定测量精度的指标是什么？何种情况下用相对误差评定测量精度？答：测量中最常用的评定精度的指标是中误差，其绝对值越大精度越低。当误差大小与被量测量的大小之间存在比例关系时，采用相对误差作为衡量观测值精度的标准。例如距离丈量，采用往返丈量的相对误差作为评定精度的指标。所谓相对中误差(简称相对误差)就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D ）之比，并将分子化为1表示K =| |/1||m D D m = 。 5、观测值中误差如何计算？答：设在相同条件下对某量进行了n 次观测，得一组观测值L 1、L 2、……Ln ，x 为观测值的算术平均值， i v 表示观测值改正数，即 11L x v -= 22L x v -= ．．．．．． n n L x v -= 则中误差 [] 1-±=n vv m 6、算术平均值及其中误差如何计算？

形位误差测量与实验

形位误差测量与实验实验3-1直线度误差的测量（一）实验目的 1．掌握用水平仪测量直线度误差的方法及数据处理。 2．加深对直线度误差含义的理解。 3．掌握直线度误差的评定方法。（二）实验内容用合象或框式水平仪按节距法测量导轨在给定平面内的直线度误差，并判断其合格性。（三）实验器具： 1．合象水平仪或框式水平仪 2．桥板（四）测量原理及器具介绍为了控制机床、仪器导轨及长轴的直线度误差，常在给定平面（垂直平面或水平平面）内进行检测，常用的测量器具有框式水平仪、合象水平仪、电子水平仪和自准直仪等测定微小角度变化的精密量仪。由于被测表面存在直线度误差，测量器具置于不同的被测部位上时，其倾斜角将发生变化，若节距（相邻两点的距离）一经确定，这个微小倾角与被测两点的高度差就有明确的函数关系，通过逐个节距的测量，得出每一变化的倾斜度，经过作图或计算，即可求出被测表面的直线度误差值。合象水平仪因具有测量准确、效率高、价格便宜、携带方便等特点，在直线度误差的检测工作中得到广泛采用。合象水平仪的结构，主要由微动螺杆、螺母、底盘水准仪、棱镜、放大镜、杠杆以及具有平面和V形工作面和底座等组成。合象水平仪是利用棱镜将水准器中的气泡像复合放大，以提高读数时的对准精度，利用杠杆和微动螺杆传动机构来提高读的精度和灵敏度,其工作原理见本指导书第二篇。合象水平仪置于被测工件表面上，若被测两点相对自然水平线不等高时，将引起两端的气泡像不重合，转动度盘使气泡像重合，此时合象水平仪的读数值即为该两点相对自然水平面的高度差，刻度盘读数与桥板跨距L之间的关系为： h=i·L·a 框式水平仪是一种测量偏离水平面的微小角度变化量的常用量仪，它的主要工作部分是水准器。水准器是一个封闭的玻璃管，内表面的纵剖面具有一定的曲率半径，管内装乙醚或酒精，并留有一定长度的气泡。由于地心引力作用，玻璃管内的液面总是保持水平，即气泡总是在圆弧玻璃管的最上方。当水准器的下平面处于水平时，气泡处于玻璃管外壁刻度的正中间，若水准器倾斜一个角度α，则气泡就要偏离最高点，移动的格数与倾斜的角度α成正比。由此，可根据气泡偏离中间位置的大小来确定水准器下平面偏离水平的角度。框式水平仪的分度值有0.1mm/m，0.05mm/m，0.02mm/m三种。如果水平仪分度值为0.02mm/m，则气泡每移动一格，表示导轨面在1m长度上两测量点高度差为0.02mm（或倾斜角为4〞）。

实验一圆度与圆柱度误差测量

实验一圆度与圆柱度误差测量一、实验目的 1．掌握圆度误差及圆柱度误差的测量方法； 2．学会对测量数据的处理，加深对基本概念的理解； 3．了解测量工具结构并熟悉它的使用方法。二、圆度与圆柱度误差测量原理 1．圆度误差及测量、评定方法圆度误差为包容同一横截面实际轮廓，且半径差为最小的两同心圆间的距离f，如图1.1所示。圆度误差最小包容区域的判别方法是：由两同心圆包容被测实际轮廓时，至少有4个实测点内、外相间地在两个圆周上(即同心圆的内、外接点至少两次交替发生)，如图1.1 所示。圆度误差最小区域的同心圆圆心，通常是和零件的测量回转中心不一致。图中，O点是测量时的回转中心，O’ 测量点是圆度误差的评定中心。测量圆度误差的方法，主要有：圆度仪测量，两点法测量圆度误差，三点法测量圆度误差。这里只介绍两点法测量圆度误差。两点法测量圆度误差(检测方案代号：3—3) 用千分尺在垂直于轴线的固定截面的直径方向进行测量，测量截面一周中直径最大差一半即为单个截面的圆度误差。如此测量若干个截面。取其最大的误差值作为该零件的圆度误差。 2．圆柱度误差圆柱度误差是指包容实际表面且半径差为最小的两同轴圆柱面间的半径差f。圆柱度误差综合地反映了圆柱面轴线的直线度误差、圆度误差和圆柱面相对素线间的平行度误差。用它来综合评定圆柱面的形状误差是比较全面的，常用在精度要求比较高的圆柱面。 3．圆柱度误差的检测与评定方法圆柱度误差的评定方法有：（1）用圆度仪测量，（2）用两点法测量。这里只介绍两点法测量圆度误差。 ‘ 测量时，将被测件放在精确平板上，并紧靠直角座；在被测件回转一周过程中，测量一个横截面上的最大与最小读数差；如此测量若干个横截面，然后取整个测量过程中，所有读数中的最大与最小读数差的一半作为图1.3 两点法测量圆柱度误差

误差的估算

第三节误差的估算由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。广义地讲，两种情况的处理都属于误差计算。然而，间测量是由直测量决定的，以直测量为基础的，间测量的误差是由直测量通过给定的函数关系确定的。因此，狭义地讲，常把直测量的误差计算称为误差计算，而将间测量的误差计算叫误差传递。此外，由于严格意义上的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为误差的估算，而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。一、直测量的误差估算 1．算术平均误差在测量列{}i X 中，各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。记为X ?。按定义 ∑=-=?n i i X X n X 101 或 ∑=?=?n i i X n X 1 1 其中0X X X i i -=?。当n 较大时，可用下式估算为 () 1--= ?∑n n X X X i 此法比前法得到的偏差要大些。 2.绝对误差误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差，如上面的i X ?，X ?。而广义的绝对误差还有后面要讨论的x S ，x σ，σ，Q 等。 3.相对误差绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。记为r E 。其估算方法为 %100??= X X E r 广义地讲，后面要讨论的 X S x 、 X σ 等都可叫相对误差。 4.标准误差(实验标准差) 按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为x σ。即

()∑=-=n i i x X X n 1 201σ 需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。因此，标准误差x σ只能通过偏差进行估算。常用的估算方法有：最大偏差法、极差法、Bessel 法等，它们的估算结果基本一致。应用上，一般使用Bessel 方法。由统计理论可推导出，对有限次测量的Bessel 标准偏差x S 的计算公式(Bessel 公式)为： () ∑=--=n i i x X X n S 1 2 11 或 ?? ??????????? ??--=∑∑==2 112 111n i i n i i x X n X n S 即最后是用x S 代替x σ。通常所说的标准误差，实际上就是x S 。 5.算术平均值的标准差算术平均值的标准差与实验标准差的关系为 x x S n S ?= 1 类似的关系还有算术平均值的平均差与算术平均差的关系 X n X ??= ?1 而且x S X 80.0≈?。二、间测量的误差计算（误差的传递）上面所讨论的误差计算方法是对直测量而言的，在此基础上我们可以进一步讨论间测量的误差计算问题。我们知道，间测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间测量的误差，它们之间的这种关系叫误差的传递，相应的计算公式叫误差传递公式。下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用于一些具体情况。 1.误差传递公式的一般形式设间接测量量f 与彼此独立的直接测量量x 、y 、z (只取3个)间的函数关系为 ()z y x f f ,,= 测量结果用平均值和绝对误差表示为 x x x ?±=

实验一基本电工仪表的使用与测量误差的计算

电工电子实验指导理工组：张延鹏

实验一基本电工仪表的使用与测量误差的计算一、实验目的 1．熟悉实验台上仪表的使用和布局； 2．熟悉恒压源与恒流源的使用和布局； 3．掌握电压表、电流表内电阻的测量方法； 4．掌握电工仪表测量误差的计算方法。二、实验原理通常，用电压表和电流表测量电路中的电压和电流，而电压表和电流表都具有一定的内阻，分别用R V 和R A 表示。如图1-1所示，测量电阻R 2两端电压U 2时，电压表与R 2并联，只有电压表内阻R V 无穷大，才不会改变电路原来的状态。如果测量电路的电流I ，电流表串入电路，要想不改变电路原来的状态，电流表的内阻R A 必须等于零。但实际使用的电压表和电流表一般都不能满足上述要求，即它们的内阻不可能为无穷大或者为零，因此，当仪表接入电路时都会使原来的状态发生变化，使被测的读数值与电路原来的实际值之间产生误差，这种由于仪表内阻引入的测量误差，称之为方法误差。显然，方法误差值的大小与仪表本身内阻值的大小密切相关，我们总是希望电压表的内阻越接近无穷大越好，而电流表的内阻越接近零越好。可见，仪表的内阻是一个十分关键的参数。通常用以下方法测量仪表的内阻。 1.用“分流法”测量电流表的内阻设被测电流表的内阻为R A ，满量程电流为I m ，测试电路如图1-2所示，首先断开开关S ，调节恒流源的输出电流 I ，使电流表指针达到满偏转，即I =I A =I m 。然后和上开关 S ，并保持I 值不变，调节电阻箱R 的阻值，使电流表的指针在1/2满量程位置，即I A = I S = I m / 2 则电流表的内阻R A =R 。 2.用“分压法”测量电压表的内阻设被测电压表的内阻为R V ，满量程电压为U m ，测试电路如图1-3所示，首先闭合开关S ，调节恒压源的输出电压U ，使电压表指针达到满偏转，即 U =U V =U m 。然后断开开关S ，并保持U 值不变，调节电阻箱R 的阻值，使电压表的指针在1/2满量程位置，即U V = U m = U m / 2 可调恒压源 R V U m 图1-3 图1-2 可调恒流源 R 1

形位公差表示方法及其误差的测量

形位公差表示方法及其误差的测量零件加工后，不仅有尺寸误差，构成零件几何特征的点、线、面的实际形状或相互位置与理想几何体规定的形状和相互位置还不可避免地存在差异，这种形状上的差异就是形状误差，而相互位置的差异就是位置误差，统称为形位误差。形位公差的项目与符号形位公差包括开状公差与位置公差，而位置公差又包括定向公差和定位公差，具体包括的内容及公差表示符号如下图所示: 形状公差 1、直线度符号为一短横线(-)，是限制实际直线对理想直线变动量的一项指标。它是针对直线发生不直而提出的要求。 2、平面度符号为一平行四边形，是限制实际平面对理想平面变动量的一项指标。它是针对平面发生不平而提出的要求。 3、圆度符号为一圆(○)，是限制实际圆对理想圆变动量的一项指标。它是对具有圆柱面(包括圆锥面、球面)的零件，在一正截面(与轴线垂直的面)内的圆形轮廓要求。 4、圆柱度符号为两斜线中间夹一圆(/○/)，是限制实际圆柱面对理想圆柱面变动量的一项指标。它控制了圆柱体横截面和轴截面内的各项形状误差，如圆度、素线直线度、轴线直线度等。圆柱度是圆柱体各项形状误差的综合指标。

5、线轮廓度符号为一上凸的曲线(⌒)，是限制实际曲线对理想曲线变动量的一项指标。它是对非圆曲线的形状精度要求。定向公差 1、平行度(∥) 用来控制零件上被测要素(平面或直线)相对于基准要素(平面或直线)的方向偏离0°的要求，即要求被测要素对基准等距。 2、垂直度(⊥) 用来控制零件上被测要素(平面或直线)相对于基准要素(平面或直线)的方向偏离90°的要求，即要求被测要素对基准成90°。 3、倾斜度(∠) 用来控制零件上被测要素(平面或直线)相对于基准要素(平面或直线)的方向偏离某一给定角度(0°~90°)的程度，即要求被测要素对基准成一定角度(除90°外)。定位公差 1、同轴度(◎) 用来控制理论上应该同轴的被测轴线与基准轴线的不同轴程度。 2、对称度符号是中间一横长的三条横线，一般用来控制理论上要求共面的被测要素(中心平面、中心线或轴线)与基准要素(中心平面、中心线或轴线)的不重合程度。 3、位置度符号是带互相垂直的两直线的圆，用来控制被测实际要素相对于其理想位置的变动量，其理想位置由基准和理论正确尺寸确定。

圆柱度误差测量方法讲解

圆柱度指在垂直于回转体轴线截面上，被测实际圆（柱）对其理想圆（柱）的变动量，以形成最小包容区域的两同心圆（柱）面的半径差计算。常用的近似测量方法有两点法、三点法、坐标测量法等。 1、两点法按图1所示方法测出各给定横截面内零件回转一周过程指示表的最大示值与最小示值，并以所有各被测截面示值中的最大值与最小值的一半作为圆柱度误差值。图1 2、三点法按图2所示方法测出各给定横截面内零件回转一周过程指示表的最大示值与最小示值的一半作为圆柱度误差值。图2

3、三坐标测量法通常是在三坐标测量机上按要求测量被测零件各横截面轮廓各测点的坐标值, 再利用相应的计算机软件计算圆柱度误差值。利用圆度仪测量圆柱度时, 将被测圆柱体工件沿垂直轴线分成数个等距截面放在回转台上, 回转台带动工件一起转动; 3个传感器安装在导轨支架上, 并可沿导轨做上下的间歇移动, 逐个测量等距截面, 获取含有混合误差的原始信号(测量原理图如图3所示)。测量传感器拾取的原始信号中不仅包含有被测工件的各个截面的圆度误差母线的直线度误差, 而且还含混入了导轨的直行运动误差及回转台的回转运动误差。将上述误差相分离, 并依据最小二乘圆心进行重构出实际圆柱面轮廓, 然后采用国标规定的误差评定方法得到被测圆柱面的圆柱度误差。图3 三坐标测量机(Coordinate Measuring Machine, CMM) 是指在一个六面体的空间范围内，能够表现几何形状、长度及圆周分度等测量能力的仪器，又称为三坐标测量仪或三次元。三坐标测量机能够在用测头所确定的三维空间（xyz空间）坐标系内, 由光学刻尺或激光干涉仪进行测量。通过测头和测量对象的接触, 由测头的坐标来获取对象的形状信息。三坐标测量机通常由本体、侧头、各轴移动量的测量、显示装置、电子计算机及其外围设备、驱动控制部分以及软件等构成。

测量误差基本知识

四、测量误差基本知识 1、测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么？ 2、产生测量误差的原因有哪些？偶然误差有哪些特性？ 3、何谓标准差、中误差和极限误差？ 4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。计算其算术平均值x、一测回的中误差m及算术平均值的中误差m x。表4-1 5、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差?=α+β+γ-180?，其结果如下：?1=+3"，?2=-5"，?3=+6"，?4=+1"，?5=-3"，?6=-4"，?7=+3"，?8=+7"，?9=-8"；求此三角形闭合差的中误差m?以及三角形内角的测角中误差mβ。

图 4-1 6、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）α和β，其测角中误差均为m=±20"，根据角α和角β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差m γ。 7、量得某一圆形地物直径为64.780m ，求其圆周的长S 。设量测直径的中误差为±5㎜，求其周长的中误差m S 及其相对中误差m S /S 。 8、对某正方形测量了一条边长a =100m ，a m =±25mm ；按S=4a 计算周长和P=a 计算面积，计算周长的中误差m 和面积的中误差p m 。 9、某正方形测量了四条边长a 1=a 2=a 2=a 4=100m ，m =m =m =m =±25mm ；按 S=1a +2a +3a +4a 计算周长和P=（1a ?2a +3a ?4a ）/2计算面积，求周长的中误差m 和面积的中误差p m 。 10．误差传播定律应用（1）（1）已知m a =m c =m ，h=a-b ，求m 。（2）已知a m =m =±6"，β=a-c ，求βm 。（3）已知a m =m =m ，S=100(a-b) ，求m 。（4）已知D=() h S -，m =±5mm ，m =±5mm ，求m 。

形位公差之圆度误差测量方法介绍

形位公差之圆度误差测量方法介绍摘要在机械制造中，经常会加工轴、套筒等回转体类零件，这些零件需要配合起来使用，这就要求不仅满足尺寸精度要求，同时还要满足形位精度要求。圆度属于形位公差中的一种，其测量方法主要有回转轴法、三点法、两点法、投影法和坐标法以及利用数据采集仪连接百分表法等。圆度圆度是表示零件上圆的要素实际形状，与其中心保持等距的情况。即通常所说的圆整程度。圆度公差圆度是限制实际圆对理想圆变动量的一项指标，其公差带是以公差值t为半径差的两同心圆之间的区域。圆度公差属于形状公差，圆度误差值不大于相应的公差值，则认为合格，下图为圆度公差标注图：圆度误差的评定原则圆度误差评定有4种主要方法。 ①最小区域法：以包容被测圆轮廓的半径差为最小的两同心圆的半径差作为圆度误差。 ②最小二乘圆法：以被测圆轮廓上相应各点至圆周距离的平方和为最小的圆的圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓的两同心圆的半径差即为圆度误差。 ③最小外接圆法：只适用于外圆。以包容被测圆轮廓且半径为最小的外接圆圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓的两同心圆半径差即为圆度误差。 ④最大内接圆法：只适用于内圆。以内接于被测圆轮廓且半径为最大的内接圆圆心为圆心，所作包容被测圆轮廓两同心圆的半径差即为圆度误差. 圆度误差测量方法圆度测量方法主要有回转轴法、三点法、两点法、投影法和坐标法、直接利用我们太友科技的数据采集仪连接百分表法。 1、回转轴法利用精密轴系中的轴回转一周所形成的圆轨迹（理想圆）与被测圆比较，两圆半径上的差值由电学式长度

传感器转换为电信号，经电路处理和电子计算机计算后由显示仪表指示出圆度误差，或由记录器记录出被测圆轮廓图形。回转轴法有传感器回转和工作台回转两种形式。前者适用于高精度圆度测量，后者常用于测量小型工件。按回转轴法设计的圆度测量工具称为圆度仪。 2、三点法常将被测工件置于V形块中进行测量。测量时,使被测工件在V形块中回转一周，从测微仪（见比较仪）读出最大示值和最小示值，两示值差之半即为被测工件外圆的圆度误差。此法适用于测量具有奇数棱边形状误差的外圆或内圆，常用2α角为90°、120°或72°、108°的两块V形块分别测量。 3、两点法常用千分尺、比较仪等测量，以被测圆某一截面上各直径间最大差值之半作为此截面的圆度误差。此法适于测量具有偶数棱边形状误差的外圆或内圆。 4、投影法常在投影仪上测量，将被测圆的轮廓影像与绘制在投影屏上的两极限同心圆比较,从而得到被测件的圆度误差。此法适用于测量具有刃口形边缘的小型工件。 5、坐标法一般在带有电子计算机的三坐标测量机上测量。按预先选择的直角坐标系统测量出被测圆上若干点的坐标值x、y，通过电子计算机按所选择的圆度误差评定方法计算出被测圆的圆度误差。 6、利用数据采集仪连接百分表法

第2章测量误差的计算基础

第二章测量误差的计算基础测量误差与概率统计学关系密切，下面介绍与测量误差有关的数学基础知识。一、算术平均值对某个被测量x 进行n 次测量，所得的n 个测量值(x i ，i=1，2，…，n)的代数和除以n 而得的商，称为算术平均值。即如果有n 个测量值x 1，x 2，…，x n ，那么式中：x —算术平均值； n —测量次数； x i —第i 个测量值。对于不含系统误差的测量列在重复性条件或复现性条件下得出n 个观测结果x n ，随机变量x 的期望值μx 的最佳估计是n 次独立观测结果的算术平均值x (x 又称样本平均值)。 [例2—1) 在重复条件下对某被测量重复测量5次，测量值为0.3，0.4，0.7，0.5，0.9，求其算术平均值。 [解] )(154321x x x x x n x ++++= )9.05.07.04.03.0(5 1++++= =0.56(取0.6) 二、残余误差

(一)定义测量列中的某个测得值(x i )和该测量列的算术平均值(x )之差为残余误差)(i υ，简称残差。 [例2—2] 在重复条件下对某被测量重复测量5次，测量值为：10.4，10.5，10.7，10.6，10.8。求残余误差)(i υ。 [解] )8.106.107.105.104.10(5 1++++=x =10.6 1υ=10.4-10.6=-0.2； 2υ=10.5-10.6=-0.1； 3υ=10.7-10.6=+0.1； 4υ=10.6-10.6=0； 5υ=10.8-10.6=+0.2。 (二)应用判断x ，i υ计算是否正确，可用∑i υ=0来判定（算术平均值特性之一，算术平均值的另一个特性是：∑2i υ=最小）。当x 计算修约结果产生修约误差时，∑i υ≠0，此时应满足：式中：n —测量次数； m —保留位数末位的以10为底幂的指数。如在[例2—2]中： 0)2.0(0)1.0()1.0()2.0(54321=+++++-+-=++++=∑υυυυυυi 说明；x ，i υ的计算结果正确。 [例2-3] 在重复条件下，对某被测量重复测量7次，测量值为：10.4，

误差基本知识及中误差计算公式

测量中误差测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点：（1）具有一定的范围。（2）绝对值小的误差出现概率大。（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。（4）数学期限望等于零。即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。

§2衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。一.中误差方差 ——某量的真误差，[]——求和符号。规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值）， n为观测值个数。 2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。 V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有：二.相对误差 1.相对中误差=

2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差）常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即：。 §3误差传播定律一.误差传播定律设、…为相互独立的直接观测量，有函数，则有：二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有：权其中，为任意大小的常数。当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m0，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。

基本电工仪表的使用及测量误差的计算(精)

实验一基本电工仪表的使用及测量误差的计算一、实验目的 1. 熟悉实验台上各类电源及各类测量仪表的布局和使用方法。 2. 掌握指针式电压表、电流表内阻的测量方法。 3. 熟悉电工仪表测量误差的计算方法。二、原理说明 1. 为了准确地测量电路中实际的电压和电流，必须保证仪表接入电路后不会改变被测电路的工作状态。这就要求电压表的内阻为无穷大；电流表的内阻为零。而实际使用的指针式电工仪表都不能满足上述要求。因此，当测量仪表一旦接入电路，就会改变电路原有的工作状态，这就导致仪表的读数值与电路原有的实际值之间出现误差。误差的大小与仪表本身内阻的大小密切相关。只要测出仪表的内阻，即可计算出由其产生的测量误差。以下介绍几种测量指针式仪表内阻的方法。 2. 用“分流法”测量电流表的内阻如图1-1所示。A 为被测内阻(R A )的直流电流表。测量时先断开开关S ，调节电流源的输出电流I 使A 表指针满偏转。然后合上开关S ，并保持I 值不变，调节电阻箱R B 的阻值，使电流表的指针指在1/2 满偏转位置，此时有 I A ＝I S ＝I/2 ∴ R A ＝R B ∥R 1 可调电流源 R 1为固定电阻器之值，R B 可由电阻箱的刻度盘上读得。图 1-1 3. 用分压法测量电压表的内阻。如图1-2所示。 V 为被测内阻(R V )的电压表。测量时先将开关S 闭合，调节直流稳压电源的输出电压，使电压表V 的指针为满偏转。然后断开开关S ，调节R B 使电压表V 的指示值减半。此时有：R V ＝R B ＋R 1 电压表的灵敏度为：S ＝R V /U (Ω/V) 。式中U 为电压表满偏时的电压值。 4. 仪表内阻引起的测量误差（通常称之为方可调稳压源法误差，而仪表本身结构引起的误差称为仪表基图 1-2 本误差）的计算。

形位公差及其检测方法

形位公差及其检测方法一、概念：定义：形状公差：单一实际要素形状所允许的变动全量。位置公差：关联实际要素的位置对基准所允许的变动全量。形位公差：形状公差与位置公差的总称。它控制着零件的实际要素在形状、位置及方向上的变化。形位公差带：用以限制实际要素形状或位置变动的区域。由形状、大小、方向和位置四个要素所确定。公差原则：形位公差与尺寸公差之间的相互关系。包括独立原则与相关要求。独立原则：图样上给出的尺寸公差与形位公差各自独立，彼此无关，分别满足要求的公差原则。相关要求：图样上给定的尺寸公差和形位公差相互有关的公差要求。具体可分为

形位公差带的形式：二、形状误差与形状公差：

项目公差带定义示例说明公差带是距离为公差值t 的两平行直线之间的区域在给定平面内圆柱表面上的任一素线必须位于轴向平面内，距离为0.02的两平行线之间 0.02 在给定方向上、当给定一个方向公差带是距离为公差值t的两平行平面之间的区域棱线必须位于箭头所示方向距离为公差值0.02的两平行平面内 0.02 、当给定两个互相垂直的两个方向公差带为截面边长t1*t2的四棱柱内的区域棱线必须位于水平方向距离为公差值0.02，垂直方向距离为0.01的四棱柱内 0.01 0.02 3、在任意方向公差带是直径为公差值t的圆柱面的区域 d 圆柱体的轴线必须位于直径为公差值0.02的圆柱面内直线度平面度公差带是距离为公差值t的两平行平面之间的区域上表面必须位于距离为公差值0.1的两平行平面内 0.1 圆度公差带是在同一正截面上半径差为公差值t的两同心圆之间的区域在垂直于轴线的任一正截面上,该圆必须位于半径差为公差值0.02的两同心圆之间

圆度测量

圆度测量方法: 回转轴法、三点法、两点法、投影法和坐标法等方法。 (1)回转轴法: 利用精密轴系中的轴回转一周所形成的圆轨迹（理想圆）与被测圆比较，两圆半径上的差值由电学式长度传感器转换为电信号，经电路处理和电子计算机计算后由显示仪表指示出圆度误差，或由记录器记录出被测圆轮廓图形。回转轴法有传感器回转和工作台回转两种形式（图1）。前者适用于高精度圆度测量，后者常用于测量小型工件。按回转轴法设计的圆度测量工具称为圆度仪。（2）三点法：常将被测工件置于V形块中进行测量（图2）。测量时,使被测工件在V形块中回转一周，从测微仪（见比较仪）读出最大示值和最小示值，两示值差之半即为被测工件外圆的圆度误差。此法适用于测量具有奇数棱边形状误差的外圆或内圆，常用2α角为90°、120°或72°、108°的两块V形块分别测量。（3）两点法：常用千分尺、比较仪等测量，以被测圆某一截面上各直径间最大差值之半作为此截面的圆度误差。此法适于测量具有偶数棱边形状误差的外圆或内圆。（4）投影法：常在投影仪上测量，常在投影仪上测量，将被测圆的轮廓影像与绘制在投影屏上的两极限同心圆(图3)比较,从而得到被测件的圆度误差。此法适用于测量具有刃口形边缘的小型工件。

（5）坐标法：一般在带有电子计算机的三坐标测量机上测量。按预先选择的直角坐标系统测量出被测圆上若干点的坐标值x、y，通过电子计算机按所选择的圆度误差评定方法计算出被测圆的圆度误差。圆度误差评定就是将双绞线导线横截面的实际轮廓与理想圆比较的过程。圆度误差评定方法： ①最小区域法：以包容被测圆轮廓的半径差为最小的两同心圆的半径差作为圆度误差。

误差的计算

误差的计算一、单次直接测量误差的计算在实际工作中，我们有时不可能进行重复的测量，或者在测量精度要求不高的情况下只进行一次的测量，称之为单次直接测量。在物理实验中，特别是在电学实验中，经常采取单次测量。因此，如何估计单次测量的误差，是物理实验中的一重要问题。单次直接测量的测得值就作为其最佳值，其测量误差可以用仪器本身的误差（仪器误差）来计算。仪器误差是指仪器在规定的作用条件下，正确地使用仪器时，可能产生的最大误差，用Δ仪表示。对仪器误差的估计，我们可分以下几种情况进行讨论： 1、有刻度的仪器仪表如果未标出精度等级或精密度，取其最小分度值的一半作为测量仪器误差 Δ仪。 2、标有精度的仪器仪表对于标有精度的仪器，可以取精度的1/2作为测量仪器误差Δ仪。 3、标有精度等级的仪器仪表可按仪器的标牌上（或说明书中）注明的精度等级及相关公式计算误差。 4、停表和数字显示的仪器仪表取末位的1为测量人仪器误差。仪器误差遵从均匀分布规律，即在误差范围（-Δ仪，+Δ仪）内，各种误差出现的概率都相等。面在这个误差范围以外，误差不可能出现。其分布曲线如图所示，这与正态分布是不同。根据均匀分布理论，仪器的标准误差和仪器误差有如下关系：（6）因此，单次测量的标准绝对误差为：（7）二、多次直接测量误差的计算在条件许可的情况下，我们总是采用多次测量，求其算术平均值作为最佳值。设对一个物理量x 进行了n 次等精度测量，测量值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n 。则其算术平均值为：（8）其绝对误差为：（9）若测量列中n 次测量结果是唯一值，或测量列算术平均的标准误差，相对于仪器的标准误差非常小，则多次直接测量取，即多次直接测量的误差可以用下式表示：（10） 3仪仪?= σ3仪仪单?= =σσ∑==n i i x n x 11) 1()(1 2 --= ∑=- n n x x n i i x σ?? ?<>=)()(仪仪仪σσσσσσσx x x 图2-3均匀分布曲线