第八届全国高中青年数学教师优质课大赛：空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计(陈巴尔)

《空间向量的正交分解及其坐标表示》

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浙江省温州中学陈巴尔

各位专家评委、老师们：

大家好！我是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔.有机会参加本次全国青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸.

我的课题是《空间向量的正交分解及其坐标表示》，下面我就根据课程标准，结合我对教材的理解和所教学生的实际情况，从教学背景、教学目标、教学策略、教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明.希望各位专家评委、老师们对我的这节课例，多提宝贵意见.

一、教学背景分析

（一）教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版选修2-1第三章《空间向量与立体几何》的3.1.4节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授课.

本章知识结构

《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算之前，意义十分明显，就是借助空间向量基本定理的建立，从而得出空间向量坐

标的定义，从而完成从向量到坐标的转化

．．．．．．．．．，进而为后面的立体几何问题的解决服务.

但同时，学生已经在之前的必修4中学习过平面向量的相关知识.

因此，按照教学参考的教学建议，“宜多引导学生与平面向量及其运算作类比．．，引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会其中的数学思想方法：类比与归纳．．．．．，体验数学在结．构．上的和谐性．．．与在推广过程中的问题，同时教学过程中，还应注意维度．．增加．．所带

来的影响.”

“又因为教材在本章专门安排了一个‘阅读与思考 向量概念的推广与应用’，把二维向量，三维向量，推广．．

为高维向量，并说明了其应用. 有条件的地区，可以引导学生学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质向多维推广．．．．

.” 而事实上，之前学生所学习的向量共线定理，本质也是一样的，因此，

仔细研究教材的编写意图．．．．，我们会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了一个重要的承上启下．．．．

的作用，即：完成了从必修4到选修2-1中的向量共线定理，

平面向量基本定理，空间向量基本定理对比与统一

．．．．．

．．．．．，同时通过教材的阅读与思考环节，又将学生带入了高维向量的世界，完成了一个学生对于不同维度下向量空

间结构

．．的认识的升华过程，巧妙至极！

（二）学生学情分析

在现行教材编写与教学过程安排中，学生已经在必修4中学习了平面向量的相关知识. 而在本节内容之前，学生又学习了空间向量的运算，因此具有了一定的基础知识储备.

因此，借助平面向量基本定理，类比得到空间向量基本定理分解的存在性是

容易

．．. 同时有了平面向量坐标的定义，得到．．的，但是证明唯一性具有一定的难度

空间坐标的定义是容易

．．．的理解却

．．的，但是学生对于单位正交基底的选择的合理性

是模糊

．．的.

因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：

重点：学生通过平面向量的类比与归纳，得到空间向量基本定理的表述形式，以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义.

难点：类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的证明，与坐标定义中选择单位正交基底的合理性．

二、教学目标设置

依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：

1、通过类比

．．平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定理的表述形式；

2、理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；

3、体会根据具体问题选择基底的重要性，特别是正交分解对于处理向量数量积

．．．

问题的意义

．．所在；

4、掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；

5、体会向量共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理之间的内在联系，

体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与

必要性，并将本节课所获得的结果，在高维

．．，培养学

．．作简单的推广

．．空间

．．向量

生的类比归纳能力.

三、教学策略分析

鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略： 1、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理的表示，并证明分解的唯一性；

2、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；

3、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而让学生体会到不同维度向量空间的结构．．特点上的统一性．．．，并通过简单探究将向量空间进一步推广到高维时的情形，同时将空间向量基本定理作进一步的推广；

四、教学过程

为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下七个环节：

接下来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图作出说明. （一）引入

问题1：如图，已知a ，b 是给定的向量，对于任意的p ，请问p 能用a ，b 表示吗？

【学生活动】学生思考是否能够表示，有学生认为可以，理由是之前学习的平面向量基本定理，还有学生认为不一定，因为p 可能与a ，b 不共面.

【设计意图】本节课的采用通过从平面向量到空间向量的类比．．得到空间向量的相关内容的类比教学策略，因此设置该问题，让学生意识到我们现在不单单是研究平面向量，同时研究空间向量，但容易发现它们之间有类似的地方，因此本节课的目的就是要弄清推广过程中的不同之处，并加以解决.

（二）温故知新，建立定理

问题2：如果a ，b ，p 是共面的，那该怎么表示呢？ 【学生活动】学生提出通过作平行四边形的方法，可以得到

''OP OA OB xOA yOB =+=+,

所以

x y =+p a b .

并回顾了平面向量基本定理的表述：

平面向量基本定理：如果向量a ，b 不共线，那么对于平面中的任一向量p ，存．在唯一．．．

有序实数组{,}x y ，使得x y =+p a b ，其中{a ,}b 称为平面的一组基底. 【教师总结】这个就是我们之前在必修4中所学习的平面向量基本定理，同时我

O

O

们知道这个分解不但存在．．，而且唯一．．

！ 【设计意图】用这个问题，帮助学生回顾之前所学习的平面向量基本定理，同时为后面推广为空间向量基本定理作好铺垫. 问题3：如果a ，b ，p 是不共面的，那该怎么办呢？ 【学生活动】学生思考提出应该再给出一个向量 问题4：随便再给出一个向量都行吗？

【学生活动】学生提出新给出的向量应该与a ，b 不共面.

问题5：如果再给出一个与a ，b 不共面的c ，现在该怎么表示p ？ 【学生活动】学生回答类似平面向量基本定理的做法，先过点P 作OC 的平行线，交a ，b 所在的平面于点M ，连接OM ,可以得到

OP OM MP =+

由平面向量基本定理可知OM x y =+a b ，再作'PC 平行于OM 交直线OC 于点

'C ，则'MP OC z ==c ，所以

x y z =+p a b+c .

【教师总结】这个过程与平面向量基本定理十分相似，如果我们也给这个定理取一个名字，就可以把它叫做空间向量基本定理.

问题6：我们可以通过修改平面向量基本定理的表述，得到空间向量基本定理吗？

【学生活动】可以，只需要作出以下修改：

空间向量基本定理：如果向量a ，b ，c 不共面，那么对于空间中的任一向量p ，存在唯一．．．．有序实数组{,,}x y z ，使得x y z =++p a b c ，其中{,a ,}b c 称为空间的一组基底.

【设计意图】通过类比平面中的分解过程，让学生在本质．．上体会空间向量在类似问题的处理上方法的相通之处；同时通过修改．．平面向量基本定理的方法来得到空间向量基本定理的表述，让学生再从形式．．

上体会两个定理的相似之处，从

而体现了类比．．的思想方法. （三）严格论证，完善定理

问题7：我们在平面向量基本定理中知道，p 在基底{a ,}b 下的分解不但存在，而且唯一，那么空间向量基本定理中的分解也唯一吗？

【学生活动】学生认为分解唯一，且通过刚才作图过程的唯一性来说明. 【教师总结】从刚才分解过程来看，作图过程是唯一的，但是如果我先将p 按照其他方式分解成几个向量，然后再分别在基底{,a ,}b c 下分解，分解系数仍然不变吗？我们发现通过作图观察问题是一个非常直观有效的方法，但是缺乏必要的逻辑推理，因此无法代替严格的证明，那么请同学们思考，该如何证明分解的唯一性？．

【学生活动】鉴于这个问题有一定的难度，教师要求学生先进行独立思考．．．．．．．，然后在有自己的想法之后，分成4人小组讨论．．这个问题，并且最后邀请一位学生上台通过实物投影仪来讲述自己的证明方法：

证明：假设存在两种分解，即111x y z =+p a b +c ，且222x y z =+p a b +c ，则有

121212()()()x x y y z z =-+--0a b +c

（i ）若120z z -=，则1212()()x x y y =-+-0a b ，由平面向量基本定理分解的唯一．．．．．．．．．．．．．性．

可知12120x x y y -=-=，所以是同一种分解； （ii ）若120z z -≠，则

1212

2121

x x y y z z z z --=

+--c a b ， 那就会有c 与a ，b 共面，矛盾！ 所以，只存在一种分解.

【教师总结】这位同学通过代数方法证明了分解的唯一性，很好！这样，我们就得到了完整的空间向量基本定理.

【设计意图】分解的唯一性．．．

在选秀2-1教材的定理表述中并没有指出，但考虑到以下两点原因：1、在必修．．4．平面向量基本定理的表述中提到．．了唯一性；2、教学参考要求这个节课要让学生体会从平面向量基本定理到空间向量基本定理

9

的类比．．

过程，那么唯一性的证明就无法回避了. 事实上唯一性的证明，既保持了两个定理的一致性，能够更完整．．地让学生体会到其中的类比过程，又让学生体会了反证法的意义及应用，以及作图过程不能作为唯一性的证明，只能作为直观上的验证，提高了学生思维的严密．．

性，最后分解的唯一性保证了空间向量与三元有序数组之间能够建立一一对应．．．．关系，为本节课后续的坐标定义．．．．的合理．．性．做下重要铺垫；

（四）实例探究，应用定理 问题8：

例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ?的重心，1OA OB OC ===，且OA ，

OB OC ，两两垂直；

（1）试用AC ，AO ，AB 表示CG ； 【学生活动】学生通过计算得到

11

=33

CG AO AB AC +-

【设计意图】空间向量基本定理的简单应用，即给定一组空间的基底，就可以将任意一个向量分解成基向量的组合.

例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ?的重心，1OA OB OC ===，且OA ，

OB OC ，两两垂直；

（2）你能选择另外一个基底来表示CG ？ 【学生活动】学生经过讨论，选择，提出了不同基底的选择方案，其中选择最多的是

{}OA OB OC ，，，此时11

=33

CG OA OB OC +-；

但是有一个男生轻声说了一句：“选CG .”即选择CG 作为一个基向量，如

{}CG CA CB ，，，此时=CG CG ！

【设计意图】让学生熟悉向量在不同基底下的分解，并体会基底的选择并不唯一，课堂上绝大部分学生选择了{}OA OB OC ，，，回答理由是因为两两垂直，但

A

A

是垂直条件在这个问题中，并没有为解题过程带来方便，而{}CG CA CB ，，却使得问题的解决更加简单， 因此可以看出，学生对于基底的选择很多时候是盲目的. 所以这个问题的设置主要目的．．．．是让学生初步体会在问题解决中需要根据具体问题．．．．选择合理的基底，为后面的寻找单位正交基并得出空间向量坐标定义做下了铺垫．．

； 例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ?的重心，1OA OB OC ===，且OA ，

OB OC ，两两垂直； （3）试求AB CG ?；

【学生活动】学生经过对比，容易发现选择{}OA OB OC ，，作为基底，在这个问题中具有很大的优势，因为两两垂直的单位向量之间的数量积运算结果非常简单！

学生通过简单计算，得到

22

1111=()()=03333

AB CG OB OA OA OB OC OB OA ?-?+--=.

【教师总结】通过这个问题的解决我们可以发现，在处理向量的数量积问题时，选择两两垂直的单位向量作为基底，会为问题的解决带来很大的方便，因此我们有理由对于这样的基底产生足够的重视.

我们不妨设OA =i ，OB =j ，OC =k ，且把这种基底称作单位正交基底. 特别的，如果我们以i ，j ，k 作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系

Oxyz ，那么由空间向量基本定理，我们知道对于空间的任意p ，都能表示为

x y z =+p a b+c ，而且这种表示是唯一．．的，所以空间的任意p ，都与有序实数组{}x y z ，，之间形成了一一对应．．．．的关系，我们就称x ，y ，z 是p 在单位正交基底

{}，，i j k 下的坐标，记为()x y z =，，p .

【设计意图】通过具体事例，体会到单位正交基底的选择对于处理数量积问题所带来的方便．．，然后又由之前已经证明的空间向量定理中分解的存在性．．．和唯一．．性．，强调突出我们成功让向量和数组形成了一一对应．．．．

，进而很自然地得到了空

A

间向量的坐标定义.

例1：如图，在三棱锥O ABC -中，G 为OAB ?的重心，1OA OB OC ===，且OA ，O B O C ，两两垂直；

（4）在如图所示的坐标系下，请写出OC ，

OG ,CG 的坐标；

【学生活动】学生通过空间向量坐标的定义，容易得出

=001(0,0,1)OC ++=i j k ，

同理有11(,,0)33OG =，11

(,,1)33

CG =-.

【设计意图】巩固空间向量坐标的定义，以及空间向量坐标的得出，为后续的空间向量的坐标运算，与立体几何问题中的几何元素如何用向量坐标表示作下铺垫．．．

（五）回顾历程，审视定理

问题9：请同学们现在回顾一下，我们通过推广平面向量基本定理，得到了空间向量基本定理，而且我们发现两个定理本质上是一样的，只不过是同一个定理在二维空间推广到三维空间的不同表述而已，简单地说就是给我两个（不共线的）向量，就能表示出平面中的任意一个向量；给我三个（不共面的）向量，就能

表示出空间中的任意一个向量. 那么如果将二维空间往后退化，那会是什么情况呢？

【学生活动】学生很快反应过来，比二维空间更加简单的是一维空间，也就是直线，从而只需要给出一个非零向量，就可以表示出直线上的所有向量.

平面向量基本定理空间向量基本定理a

b

p

p =x a +y b

a b

c

p =x a +y b +z c

a

p

p =x a

【教师总结】这就是我们之前学习过的向量共线定理，原来这三个定理，本质．．上都是一样的，只是同一个定理，在不同维度．．空间下的不同表述形式而已.

【设计意图】揭示了高中阶段三个有关向量空间分解定理的内在本质，让学生以一种联系．．的观点来重新审视．．自己学习过的知识，将旧知识与新知识加以联系,更重要的是，为下面的高维向量的推广作下自然的铺垫．．.

（六）大胆猜想，推广定理

问题10：那么，请同学们思考一下，空间向量基本定理还可以推广吗？ 【学生活动】学生认为可以推广，但也有所犹豫，因为至于什么是四维空间，将向量推广到比三维更高的维度，是否具有意义，都存在着疑惑，因此引导学生阅读选修2-1教材p99的“阅读与思考．．．．．””——“向量概念的推广与应用”. 【教师总结】通过课本的阅读，相信同学们知道了，向量不但可以推广到四维，甚至可以是任意的n

维，都是具有实际意义的. 那么现在你们认为可以将空间向量基本定理进一步推广吗？

【学生活动】学生认为可以，那就是给定四个不在同一个（三维）空间的向量，就可以用它们来表示四维空间内的任意一个向量！

【设计意图】通过学生的大胆猜测，培养学生的合理猜想．．．．与类比推理．．．．的能力是非常重要的，同时选取合适的内容，让学生采取自行阅读学习的方式，又在课堂上很好地培养了学生的阅读与自学能力.

这样一来，在一节课中既利用了教

向量共线定理

平面向量基本定理空间向量基本定理a

p

p =x a

a

b

p

p =x a +y b

a b

c

p =x a +y b +z

c

材的丰富教学资源，又让学生从课堂知识起步，通过猜想与类比去思索未知的高维空间，最后又回到课本中的“阅读与思考”材料走向疑问的解答，完成了一次源于．．课本，高于．．课本，最后又回归．．课本的教学过程，合理地利用教材，对课堂教学知识进行了重组与提高.

（七）小结

这节课我们通过推广平面向量基本定理，建立了空间向量基本定理，类似于我们由平面向量基本定理得到了平面向量的坐标的概念，我们也通过空间向量基本定理，得到了空间向量坐标的概念.

同时我们发现共线定理，平面向量基本定理，空间向量基本定理，只不过是同一个定理在不同维度空间下的不同表述而已，简单地说就是这样三句话：

给我一个（非零）向量，我就得到了直线； 给我两个（不共线）向量，我就掌握了平面； 给我三个（不共面）向量，我就拥有了空间！

像我们今天这种将复杂的空间结构分解为有限个要素的表示的想法，并不是我们独有的，很荣幸，有一位伟大的数学家和我们的想法是一样的.

数学家柯西曾经说过这样一句话：

向量共线定理

平面向量基本定理空间向量基本定理

a p p =x a a

b p p =x a +y b a b

c p =x a +y b +z c 平面向量的坐标表示

空间向量的坐标表示

请同学们课后思考一下，柯西的这句话和我们今天的课堂内容有什么联系.

好的，今天的课就上到这里，下课！

【设计意图】通过空间向量基本定理的建立与三个向量定理的类比与推广的思考，既让学生经历了从一维，到二维，到三维，再到四维的从低维空间到高维空间的类比

．．研究过程，同时也让学生体会我们可以用有限个向量去研究无限个向量，这是一种从无限到有限的转化思想.

最后以数学家柯西的一句话来结束课堂的讨论，留给学生一些进一步思考的余地，引导学生进入课后更加深入的学习中去.

五、教学特点及反思

（1）类比与猜想的紧密结合

本节课紧扣教学参考的要求，通过类比的方式从平面向量基本定理推广得到了空间向量基本定理，进而再由正交分解得到空间向量的坐标表示，利用学生已有的知识学习新的知识，教学过程中考虑到学生的最近发展区，同时其中不乏一些猜想，比如空间向量基本定理中的分解的唯一性，又特别的加入了如能否将定理进一步推广到四维空间，如果推广到四维空间，表述形式又如何等猜想.

类比与猜想，是十分重要的数学研究手段，本节课利用高中生容易接受的知识，所以本节课合理地将类比与猜想能力的培养融入到课堂教学之中，更是设置了一些学生自主思考，小组讨论等交流平台，充分了挖掘了本节课的思维的深度与广度.

（2）课堂与教材的有机整合

教材是教学的蓝本，研究教材，合理使用教材，是每一位中学教师都要做好的基本功. 但使用教材应该是合理地根据课堂教学内容进行有机整合，而非照本宣科.

本节课的教学过程设置，先是从必修4中的平面向量基本定理出发，得到了本节课所需讲授的空间向量基本定理，然后通过引导学生进行大胆地猜想与推广，最后又回到课本，利用课本后续的“阅读与思考”内容，完成学生心目中的疑问的解答，成功地将高中教材中属于两本课本的高一与高二的学习内容，以及同一课本的课堂教学与课后阅读内容，进行了有机的整合，从而让学生通过教材的使用，充分体会到了知识之间的联系，也学习到了更为完整的数学.

以上就是我的课堂教学设计，真诚地希望得到各位专家的批评指正，谢谢！