二次型在中学数学中的应用

二次型在中学数学中的应用

摘要 ：二次型不仅本身有重大的理论价值，而且在其它分支有重要应用，如数论与拓扑学。二次型理论因其系数属于域或环分别称为二次型的代数理论和二次型算术理论。二次型也有几何理论，不过主要是指二次型算术理论的几何理论，它往往看成数的几何或几何数论的一个分支。在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、解析几何等都有密切的联系。此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。

关键词 二次型 标准形 对称矩阵

1. 引言

二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到.所以正确写出二次型的矩阵是研究二次型的基础。二次型应用的领域很广, 在以前的学习中求一元或多元函数的最值的方法通常有利用图象法或微分理论, 而本文在对二次型性质研究的基础上,介绍了正定矩阵的性质，通过矩阵乘法将二次型与对称矩阵联系起来,从而一方面使得二次型的问题可以用矩阵的理论和方法来研究,另一方面也可将对称矩阵的问题转化为用二次型的方法来解决.并利用二次型的性质来求函数的最值。最后用半正定矩阵的有关知识解决了一类初等数学中的问题—不等式的证明。

2. 正文

二次型对多项式因式分解、判断二次曲面的形状、求不定方程的整数解、证明不等式等方面问题的解决有着很强的指导意义，现将文献中的一些观点阐述如下：

文献[1]、[2]、[3]中给出二次型的定义及其若干性质。

定理 1（惯性定理）任意—个实数域上的二次型12(,,,)n f x x x 经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形的形式，且规范形是唯一的。

定理 2 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0。或秩等于1．

定理 3 对于实二次型12(,,,)'n f x x x X A =X ，其中A 是实对称的，下列条件等

价：

1) 12(,,,)n f x x x 是半正定的;

2) 它的正惯性指数与秩相等地;

3) 有可逆矩阵C ，使

32

1

'd d d AC C

=,n i d i .....2,1,0,0=≥，其中;

4) 有实数矩阵C ，使得'A C C =;

5) A 的所有主子式皆大于或等于零(所谓主子式即行与列指标相同的子式)。

定理4

设 f ( x1 , x2 ,…… xn ) = X'AX 是一实二次型，λ1，λ 2 ……，λn 是A 的特征多项式的根，且 λ 1 ≤ λ 2 ≤…≤ λn 。则λ1X'X ≤ X'AX ≤ λn X'X ，且等号成立的充分条件是 X 分别取 λ 1 和λn 所对应的特征向量。

文献[4]介绍了将二次型用对称矩阵表示，然后将非退化线性退换也用矩阵进行表示，联系矩阵的初等变换，可将问题转化为对称矩阵的合同标准形问题。另外借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，又可将其转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题。利用这两种转化思路，二次型化标准形有了另外的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法。

文献[5]-[10]给出了二次型化为标准形通常用的两种方法：正交变换法和配方法。二者之间的区别在于：正交变换法，首先要将二次型写成矩阵的形式，然后将二次型的矩阵通过正交变换的方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形。正交变换法由于需要求出二次型矩阵A 的全部特征值，而特征方程求根困难(5次以上的代数方程没有统一的求根公式)，因此在操作上存在困难。配方法较正交变换法，避免了解矩阵的特征值问题，使用起来较方便。除此外，文献中还给出了二次型在计算某些积分中的应用。

1.正交变换法

由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。

定理1[1] 任意一个实二次型11n n

ij i j i j a x x ==∑∑，ij ji a a =都可以经过正交的线性替换变成平方和

2221122...n n y y y λλλ+++其中平方上的系数12,...n λλλ就是矩阵A 的特征多项式的全部的根。

解题步骤：

○

1将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =并写出矩阵A 。 ○2求出矩阵A 的所有特征值12,...n

λλλ，可能会出现多重特征值，分别记它们的重数为21,,n k k k （21n k k k +++ =n ）

○3求出每个特征值所对应的特征向量2

1,,n ξξξ ，列出方程1()0E A X λ-=，能解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量。同理，对其他的特征值2,,n λλ 也是采用此方法求出与之

对应的特征向量。因为21n k k k +++ =n ，所以一共能出n 个特征向量。

○4将所求出的n 个特征向量21,,n ξξξ 先后施行正交化，单位化得到2

1,,,n ηηη ，记为C =21)(,,T n ηηη

○5作正交变换X CY =,则得二次型f 的标准形f =2221122...n n

y y y λλλ+++ 2.配方法

配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。

定理2[1] 数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和

2221122...n n d x d x d x +++的形式。

解题思路

使用配方法化二次型为标准形时，视具体情况又可以将二次型分为下面两种不同的情形： ○1如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i

x 的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。

○2如果所给二次型中不含有i

x 平方项，但是0ij a ≠()i j ≠,我们就可以用前面所提到的方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换

........i i j j i j k k

x y y x y y x y =-??=+????=?,(1,2,,k n = 且,)k i j ≠ 代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述○

1中的方法进行配方。

文献[11]通过对二元二次不定方程不同解法的研究，发现可以运用二次型变换方程来简化方程形式，然后再解方程的方法．这个方法看似计算量比较大，很繁琐，但是具有普遍性，对于任意一个二元二次不定方程都能使用，并且对n(n ≥3)元二次不定方程也可以使用这个方法解决．然后提出运用二次型解不定方程的猜想，证实此猜想并详细介绍这种方法，最后提出漏解情形可能性，并对这个漏解情形进行讨论并加以完善．

文献[12]-[16]讨论了实二次型的半正定性，由二次型和它的矩阵之间的关系知道，要判别实二次型半正定，只要判别实二次型或它的矩阵之一是半正定的即可。文中还介绍了其在证明不等式中的应用，尤其是证明一般的初等不等式，对如何用高等数学方法解决初等数学问题作了一点尝试。

文献[17]-[19]通过几个实例，说明二次型半正定性在不等式证明中的应用，该方法证明不等式的基本思路是首先构造二次型，然后利用二次型半正定性的定义或等价条件，判断该二次型（矩阵）为半正定，从而得到不等式。

文献[20]-[21] 主要对以下几个方面的问题进行了研究和分析基于时变的输入时滞的最优控制系统；基于输出反馈的线性二次型次优控制。总结了前人对纯滞后的线性二次型次优控制的研究成果,并提出优缺点及改进方法。并简要介绍了最优控制的一些基于状态反馈和输出反馈的结论和引理，对一种特殊的多重输入时滞系统的研究,主要运用了线性二次型的方法,求出最优控制律。研究用输出反馈求解二次型次优控制问题,主要是利用线性矩阵不等式方法和几个重要引理来证明。同时对一种特殊的模型——纯滞后的线性二次型次优控制的分析,总结了前人根据Pade 逼近法所设计的模型,对模型提出了自己的一些优缺点及改进方法。

文献[22]-[25]二次型的最大值和最小值已引起许多学者的关注和研究，利用Rayleigh 商给出的Hermite 矩阵特征值的表达式，对于Hermite 矩阵的特征值全是实数，

且必存在酉矩阵1'P AP P AP -=为对角形矩阵。发现二次型'X AX 最大值和最小值同

Hermite 矩阵的特征值有密切关系。作为应用，还研究了它在二维向量空间上最大值和最小值，并给出了最大值和最小值具体表达式，实例验证了利用特征值求解二次型条件最值的简便性和有效性。

三、总结

二次型是高等代数的重要内容之一, 若用它解决初等数学中的多项式因式分解、判断二次曲面的形状、求不定方程的整数解、证明不等式问题,有时会起到意想不到的效果。

（1）为中学数学的有关内容提供理论根据。

中学数学教材的叙述，较多地采用了描述性的方法，理论上的要求不可能十分严谨，内容的深度与广度都有一定的局限性。例如, 学了多项式的因式分解，虽然介绍了许多分解因式的具体方法, 但那时说一个多项式不能再分, 常常只是我们自己看不出怎么再分下去的意思, 并没有严格论证它们确实不能再分。而利用二次型为二次多项式因式分解提供了理论依据，同时给出了判断能否分解的方法，并可以很快得到分解式。

(2) 为中学数学有关内容提供解决方法。

高等代数是初等代数的继续和发展, 它所提供的结论往往对某类问题具有一般方法, 从而达到了初等数学不能达到的效果。例如：

有一类不等式经过移项后，其中的一端可写成实二次型的形式，而另一端为O 。如

21

1)(2i n

i n i i x x ∑∑==与，这时可用半正定二次型的性质，根据不等式的要求证明该二次型为半正定二次型，从而证明该不等式，较用数学归纳法来得简便。

(3) 为中学数学有关内容提供了简捷证明的有力工具。

利用定理4 设 f ( x1 , x2 ,…… xn ) = X'AX 是一实二次型，λ1，λ 2 ……，λn 是A 的特征多项式的根，且 λ1 ≤ λ2 ≤…≤ λn 。则λ1X'X ≤ X'AX ≤ λn X'X ，且等号成立的充分条件是 X 分别取 λ 1 和λn 所对应的特征向量。

证明： 已知三角形三边长为a ，b ，c ，面积为S

，求证：222,a b c ++ 并问何时等号成立（第三届MTO 竞赛题）

因此, 本文通过对二次型应用的探索，挖掘教材、研究习题，结合相关资料的理解，阐述了二次型惯性定理在因式分解、研究二次曲面的图形、求不定方程的整数解的应用，二次型半正定性在证明不等式的应用及二次型在最值中的应用。体现了二次型为中学数学

的有关内容提供理论根据、解决方法、简捷证明的有力工具，并且还能够用高等的观点去研究初等数学，看清中学教材的内在结构和本质联系,把握教材的重难点。

四、参考文献

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Application of two type of mathematics in middle school

HUANGXiaofen

(Class3Grade 10, Department of Mathematics, Huizhou College, Huizhou 516015)

(E-mail: 516007)

Abstract The two type is not only has the significant theory value, but also have important applications in other branches, like number theory and topology.

The two type of theory because of its coefficient to the domain or the ring

are respectively called algebraic theory for the two type and two type arithmetic theory. The two type is also the theory of geometry, but mainly refers to the two type of arithmetic theory of geometry theory, it is often regarded as a branch of geometry of numbers or geometric number theory. In two studies in the field have type two type arithmetic theory to ring two times the arithmetic theory, they have close connection with algebraic number theory, analytic geometry. In addition, the use of the two type in multilinear algebra can also be a Ford algebra defined more widely than exterior algebra. Keywords The two type of standard form s；ymmetric ；matrix