对称矩阵的性质及应用概要
对称矩阵的性质及应用
班级：数学1403班学号：20142681 姓名：张庭奥
内容摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。
关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用
1.导言
矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。
2.具体内容部分
2.1对称矩阵的基本性质
在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。 2.1.1 对称矩阵的定义
定义1 设矩阵()ij s n A a ?=，记()T ji n s A a ?=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件
T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知：
（1）对称矩阵一定是方阵
（2）位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。即ij ji a a =，对任意i 、j 都
成立。对称矩阵一定形如1112112
22212n n n
n
nn a a a a a a a a a ?? ?
?
? ???
定义2 形式为1200000
l a a a ?? ? ?
? ???
的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l =，通常称为对角
矩阵
定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵。 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵。由定义知： （1）反对称矩阵一定是方阵。
（2）反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素
都为零。反对称矩阵一定形如12112
2120
00n n n
n
a a a a a a ?? ?-
?
? ?--??
。 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论。 2.1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明
性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。
证 设A 、B 是n 阶对称矩阵，即T A A =,T B B =.则：
()
T
T T A B A B A B +=+=+，()()T T
T T T A B A B A B A B -=+-=-=-，
(),T
T k C kA kA kA ?∈==
性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵 证 因为()()
T
T
T T
T T A A
A A
A A +=+=+，则T A A +是对称矩阵。
因为()()T
T
T T T T AA A A AA ==，则T AA 是对称矩阵，同理可证T A A 也是对称矩阵。
性质3 设A 为n 阶对称矩阵（反对称矩阵），若A 可逆，则1A -是对称矩阵（反对陈矩阵）
证 （1）因为A 可逆，T A A =，()()1
11T
T A A A ---==，所以1A -是对称矩阵。
（2）因为A 可逆，T A A =-，1111()()()T T A A A A ----==-=-，则1A -是对称
矩阵。
性质4 任一n n ?矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和。 证 设A 为n n ?矩阵，()()1122T T A A A A A =
++-，由性质2易证()1
2
T A A +是对称矩阵，()()()111222T
T T T A A A A A A -=-=--，则()12
T A A -是反对称矩阵。 性质5 设A 为对称矩阵，X 与A 是同阶矩阵，则T X AX 是对称矩阵。 证 因为()()
T
T
T
T
T
T T T T X AX X A
X X A X X AX ===,所以T X AX 是对称矩阵。
性质6 设A 、B 都是n 阶对称矩阵，证明：AB 也对称当且仅当A 、B 可交换。 证 必要性：若AB 为对称矩阵，则()T
AB AB =，又()T
T T AB B A BA ==，
AB BA =，因此，A 、B 可交换。
充分性：若AB BA =，则()T
T T AB B A BA AB ===，AB 为对称矩阵。
2.1.2.1 对称矩阵的对角化
任意一个n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量，那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化，对称矩阵的正定性又如何判别呢？下面的讨论将给出答案。
2.2.2.2 对称矩阵可对角化的相关理论证明
定理1 实对称矩阵的特征值都是实数。
证 设A 是n 阶实对称阵，λ是的特征值，()12,,
,T
n X x x x =是属于λ的特征
向量，于是有AX X λ=.令12n x x X x ??
? ?= ? ???
，其中i x 是i x 的共轭复数，则________AX X λ=，考察等式____________
()()()T T
T
T
T
X AX X A X AX X AX X ===，其左边为____T
X X λ，右边为____T
X X λ。
故____T
X X λ=____T
X X λ，又因X 是非零量，____11220T
n n X X x x x x x x =++
+≠故λλ=，即
λ是一个实数。
注意，由于实对称矩阵A 的特征值i λ为实数，所以齐次线性方程组()0i A E x λ-=为实系数方程组，由0i A E λ-=知必有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。此定理的逆命题不成立。
例如，124003001A -??
?
= ? ???
，1,21λ=，30λ=均为实数，而A 不是对称的。
定理2 设A 是实对称矩，定义线性变换A ,
112
2n n x x x x
A x x ??
?? ? ? ? ?A =
? ? ? ???
??
（1） 则对任意向量,n R αβ∈，有()(),,αβαβA =A 或()T T βααβA =A 。
证 只证明后一等式即可。()()()T
T T T T A βαβαβααβA ==A =A 。 定理3 设A 是实对称矩阵，则n R 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交。 证 设12,λλ是A 的两个不同的特征值，12,X X 分别是属于12,λλ的特征向量：111AX X λ=,222AX X λ=。定义线性变换A 如定理2中的（1）
，于是111X X λA =，222X X λA =。由()()1212,,X X X X A =A ，有()()112212,,X X X X λλ=。因为12λλ≠，所以()12,0X X =。即12,X X 正交。
定理4 对任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵P ，使
1
T P AP P AP -=成为对角形且对角线上的元素为A 的特征值。
证 设A 的互不相等的特征值为12,,,s λλλ()s n ≤，它们的重数依次为
12,,
,s r r r ()12s r r r n +++=。则对应特征值i λ(1,2,
,)i s =，恰有i r 个线性无关的实
特征向量，把它们正交化并单位化，即得i r 个单位正交的特征向量，由
12s r r r n +++=知，这样的特征向量共可得n 个。由定理3知对应于不同特征值的特
征向量正交，故这n 个单位特征向量两两正交。以它们为列向量作成正交矩阵P ，则
1T P A P P A P
-==Λ，其对角矩阵Λ中的对角元素含1r 个1λ，…,s r 个s λ，恰是A 的n
个特征值。
2.2.2.3 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例
定理4说明，对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在，使它化为对角形。定理4的证明过程也给出了将实对称矩阵A 对角化找出正交阵P 的方法，具体步骤如下：
（1）求出实对称矩阵的A 全部特征值12,,,s λλλ。
（2）对每个i λ(1,2,
,)i s =，由()0i E A X λ-=求出的特征向量.
（3）用施密特正交法，将特征向量正交化，单位化，得到一组正交的单位向量组。
（4）以这组向量为列，作一个正交矩阵P ，它就是所要求的正交阵。 根据上述讨论，下面举例说明。
例1 求一正交矩阵P ，将实对称矩阵400031013A ?? ?
= ? ???
化为对角阵。
解 由于2400031(2)(4)0
1
3A E λ
λλλλλ
--=-=---，A 的特征值为
12λ=，234λλ==。
对12λ=，由()20A E x -=得基础解系1011ξ?? ?
= ? ?-??
，
对234λλ==，由()40A E x -=得基础解系2100ξ?? ?= ? ???，3011ξ?? ?
= ? ???
，2ξ与3ξ恰好正
交，所以1ξ，2ξ，3ξ两两正交。
再将1ξ，2ξ，3ξ单位化，令()1,2,3i i i
i ξηξ==
，得10η?? ?= ? -?，2100η??
?
= ? ???，
30η?? = ?，于是得正交阵(
)1230
10,,00P ηηη?? == -?，
则1200040004P AP -??
?
= ? ???
。
例2 设2112A -??= ?-??
，求n
A 。
解 （1）先将A 对角化求出正交阵P 。
21
(1)(3)012A E λλλλλ
---==--=--，121,3λλ==。
由()0A E x -=，()30A E x -=分别得基础解系111ξ??= ???，211ξ??
= ?-??
。则
()1211,11P ξξ??== ?-??，1111112P -??= ?-??，则1
1003P AP -??Λ== ???
。
（2）利用1n n P A P -Λ=求n A 。
1
111011131311110311221313n n n
n
n n n A P P -??+-??????=Λ=??=
? ? ? ?---+????????
2.1.2.2 对称矩阵的正定性
二次型的矩阵都是对称矩阵，二次型和它的系数矩阵是相互唯一决定的，因此二次型正定与它的对称矩阵正定等价。以下将具体讨论对称矩阵正定性的含义以及判别正定性的条件和方法。 正定矩阵的定义 定义1 实二次型()12,,,T n f x x x X AX =称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,,
,n c c c 都有()12,,
,0n f c c c >。
定义2 实对称矩阵A 称为正定的，如果二次型T X AX 正定。
由定义可知： （1）二次型()22
2
1212,,
,n n
f x x x x x x =++
+是正定的，因为只有在120n c c c ====时，22212n c c c ++
+才为零。一般地，不难验证，实二次型
()22
2
121122,,
,n n n
f x x x d x d x d x =++
+是正定的当且仅当0,1,2,,i d i n >=.非退化的
线性替换保持正定性不变。
（2）任意n 阶实对称矩阵A 正定就是指，对于任意n 维非零列向量X ，都有
0T X AX >。
（3）复正定矩阵的正定性与实对称矩阵类似，只要放到复数域上考虑即可。
（4）正定矩阵是对称矩阵，具有对称矩阵的所有性质，此外，同阶正定矩阵的和仍是正定矩阵。事实上，设A 、B 都是n 阶正定矩阵，则对于任意非零列向量
()12,,
,T
n X x x x =，有0T X AX >，0T X BX >，那么，
()0T T T X A B X X AX X BX +=+>，所以A B +仍是正定矩阵。 对称矩阵正定性的判别
定理1 n 元实二次型()12,,,T n f x x x X AX =是正定的充分必要条件是它的正惯
性指数等于n 。
证 设二次型()12,,
,n f x x x 经过非退化实线性替换变成标准形
22
2
1122n n
d y d y d y ++
+ （1） 上面的讨论表明，()12,,,n f x x x 正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，
二次型（1）是正定的当且仅当0,1,2,,i d i n >=，即正惯性指数为n 。
由定理1可以得到下列推论：
（1）实对角阵1
2
n d d d ??
?
? ? ??
?
正定的充要条件是0,1,2,
,i
d i n >=。
（2）实对称矩阵A 正定的充要条件是()12,,,T n f x x x X AX =的秩与正惯性指数
都等于n 。
（3）实对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全为正。事实上，由第二部分
对称矩阵对角化的讨论可知，A 可对角化为1
2
n λλλ??
?
? ? ??
?
，,1,2,
,i
i n λ=是A 的
特征值，A 正定即二次型()12,,,T n f x x x X AX =正定，而()12,,,n f x x x 的标准形为
22
2
1122n n
x x x λλλ+++，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有0,1,2,,i i n λ>=，
A 的特征值全为正。
定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同。 证 由定理1可知，正定二次型()12,,
,n f x x x 的规范形为22
2
12
n
y y y +++，而规范型的矩阵是单位矩阵E ，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵
E 合同。
由此得：
（1）正定矩阵的行列式大于零。由于正定矩阵A 与单位矩阵E 合同，所以有可逆矩阵C 使T T A C EC C C ==，两边取行列式，就有2
0T A C C C ==>。
（2）正定矩阵A 的逆仍是正定矩阵。首先正定矩阵A 的逆仍是对称矩阵，又A 与单位矩阵合同，则存在可逆矩阵P 使T A P EP =，两边取逆()()111T
A P E P ---=，令
()1T
Q P -=，则1T A Q EQ -=，所以1A -也与单位矩阵合同。
有时我们可以通过矩阵的行列式来判别对称矩阵或相应的二次型是否正定，为此，引入：
定义3 子式()11
121212221
2
1,2,
,i i i i i ii
a a a a a a P i n a a a =
=称为矩阵()
ij n n
A a ?=的顺序主子
式。
定理3 实二次型()12,,
,T n f x x x X AX =或矩阵A 是正定的充分必要条件为矩阵
A 的顺序主子式全大于零。
证 必要性：设二次型()1211
,,
,n n
n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑是正定的。对于每个k ，
1k n ≤≤，令()1211
,,
,k k
k k ij i j i j f x x x a x x ===∑∑。我们来证k f 是一个k 元的正定二次型。
对于任意一组不全为零的实数1,,k c c ，有 ()()1111
,
,,
,,0,
,00k k
k k ij i j k i j f c c a c c f c c ====>∑∑。因此()12,,
,k n f x x x 是正定的。
由上面的推论，k f 的矩阵的行列式
11
11
0k
k kk
a a a a >，1,
,k n =。这就证明了矩阵A
的顺序主子式全大于零。
充分性：对作数学归纳法，当1n =时，()21111f x a x =，由条件110a >显然有()1f x 是正定的。
假设充分性的论断对于1n -元二次型已经成立，现在来证n 元的情形。令
111,111,1
1,1n n n n a a A a a ----??
?=
? ???，11,n n n a a α-?? ?
= ?
???
，于是矩阵A 可以分块写成1T nn A A a αα??
= ???
。既
然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零。由归纳法假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1n -级矩阵G 使1
1T n G AG E -=，这里1n E -代 表1n -级单位矩阵。令1001G C ??= ???
，于是
11
100010
1T T
T n T T nn nn A G E G G C AC a G a αααα-??
??????== ?
? ??
?????????
。 再令1201T n E G C α-??
-= ???
，有
1
111
2
1
120
0010
1T T n n T
T n n T T T T
nn nn E E E G E G C C AC C a GG G G a αααααα----????-????== ??? ? ?--????
????。
令12C C C =，T T nn a GG a αα==，就有11T C AC a ??
?
?= ? ??
?
。两边取行列式，2
C
A a =.由条件，0A >，因此0a >。显然
11
11
1
1
1
11a ????
???? ? ? ? ? ? ? ? ?= ?
? ? ? ? ? ?
????
?
。 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型
()12,,,n f x x x 是正定的。根据归纳法原理，充分性得证。
应用定理3完成下题。
例3 若二次型()222
1231231223,,2422f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是
什么？
解 设f 对应的矩阵为A ，则2101104A t t ??
?
= ? ???，它的三个顺序主子式为
12?=，221
111
?==，2342A t ?==-。
所以当2420t ->
时，即t < 2.2 应用举例 例4 设,A B 均为实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P 使T P AP B =的充要条件是的,A B 特征多项式的根全部相同。 证 必要性：由条件可知,A B 相似，相似矩阵有相同的特征多项式，得证。 充分性：设,A B 的特征多项式的根全部相同，记它们为12,, ,n λλλ，则存正交阵 12,P P 使111T n P AP λλ?? ?= ? ?? ?，122T n P BP λλ?? ?= ? ?? ? ，那么1122T T P AP P BP =，所以()()1121 12 P P A PP B --=，取112 P PP -=为正交阵，则有T P AP B =。 例5 欧式空间V 中的线性变换:V V A →称为反对称变换，若 ()(),,,,V αβαβαβ?∈A =-A 。证明：A 反对称当且仅当A 在一组标准正交基的矩阵是反对称矩阵。 证 充分性：设()ij n n A a ?=是线性变换A 在标准正交基12,, ,n εεε下的矩阵，且 A 反对称，即T A A =-，任给,V αβ∈，记( )( ) 11, ,,, ,n n X Y αεεβεε==，则有 ( )( ) 11, ,,, ,n n AX AY αεεβεεA =A =，那么 ()()(),,T T T T AX Y X A Y X AY αβαβA ===-=-A ，所以A 为反对称变换。 必要性：设是A 反对称变换，且( )( ) 1212,, ,,, ,n n A εεεεεεA =，其中矩阵 ()ij n n A a ?=，12,, ,n εεε为V 的标准正交基，那么， ( ) 11, ,n i i ni a a εεε?? ? A = ? ??? ，( ) 11,,n j j nj a a εεε?? ?A = ? ??? 。 因此()(),,,i j ji i j ij a a εεεεA =A =，所以()(),,ij i j i j ji a a εεεε=A =-A =-。即知A 为反对称矩阵。 例6 设:A n 阶正定阵，:B n 阶实对称阵。证明：AB 的特征值为实数。 证 设AB ξλξ=，其中0ξ≠，由于A 正定，则1A -存在且正定，则 11,T T B A B A ξλξξλξ--==，那么 11,T T T T B A B A ξξλξξξξλξξ--==。 因此11T T A A λξξλξξ--=，则()10T A λλξξ--=。又1A -也正定，且0ξ≠，则 10T A ξξ-≠，则()0λλ-=，即λ为实数。 3.总结 本文从基础理论和实际应用方面讨论了对称矩阵的基本性质，给出对称矩阵可对角化的理论证明以及对角化的方法，并阐述了对称矩阵正定性的判别等。其中对称矩阵的对角化和正定阵的综合应用是重难点，对此我们要仔细琢磨和思考，努力掌握好对称矩阵的相关问题。 参考文献 [1] 北京大学数学系.高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社,2003. [2] 戴立辉.线性代数[M]. 上海: 同济大学出版社,2007. [3] 张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社,2007. [4] 居余马,林翠琴.线性代数简明教程[M]. 北京: 清华大学出版社,2004. [5] 丘维声,高等代数（上册）[M]. 北京: 高等教育出版社,2002. [6] 王萼芳,线性代数[M]. 北京: 清华大学出版社,2000. [7] 蒋尔雄,对称矩阵计算[M]. 上海: 上海科学技术出版社,1984. [8] 陈公宁,矩阵理论与应用[M]. 北京: 科学出版设,2007. [9] 许以超,线性代数与矩阵论[M]. 北京: 高等教育出版社,2008. [10] Johns on CR,RAHon Matrix Analysis[M]. New York: Cambridge University Press,1985. 伴随矩阵的性质 编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日 目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14) 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日 伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵. 矩阵与它伴随矩阵的关系 摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵 1伴随矩阵的定义 设() n n ij a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij b A ?=* ,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式. 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则* 11A A A =-. 2.3 ()()T T A A ** =. 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1 * -=T T T A A A =() T A A 1- 另一方面， ()()T T A A A 1* -==() T A A 1- 由上两式推出 ()() T T A A ** =. 2.4 ()() 1 ** 1 --=A A . 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A A A A 1 1 11* 1= =---- 又由 E A A A A A A =??? ? ??=???? ??* *11 故 *A 也可逆，且()A A A 1 1 *= - 从而 ()() 1 ** 1 --=A A . 2.5 ()*1* A a aA n -= (a 为实数). 证 设()n n ij a A ?=，再设 ()()n n ij b aA ?=* ， 那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1* A a aA n -=. 2.6 1 *-=n A A ()2≥n . 证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 1 1* --==n n A A A A 当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A 所以.0*=A 从而也有 1 * -=n A A 所以对任意n 阶方阵,A 都有.1 *-=n A A 2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A 则秩0*=A . 证 当秩,0≠?=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA 从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A 从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A 当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A 同理秩2- 对称矩阵的基本性质 在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念. 1 对称矩阵的定义 定义1 设矩阵()ij s n A a ?=，记()T ji n s A a ?=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知： 1. 对称矩阵一定是方阵. 2. 位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ij ji a a =，对任意i 、j 都成 立.对称矩阵一定形如111211222212n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ??? . 定义2 形式为12000000l a a a ?? ? ? ? ?? ? 的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l = ，通常称为对角矩阵. 定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵. 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵.由定义知： 1. 反对称矩阵一定是方阵. 2. 反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素 都为零.反对称矩阵一定形如12112212000n n n n a a a a a a ?? ?- ? ? ?--?? . 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论. 2 对称矩阵的基本性质 性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵. 性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵. 性质3设A为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则1 A-是对称矩阵（反对陈矩阵）. ?矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 性质4任一n n 性质5设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则T X AX是对称矩阵. 性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换. 1 实对称矩阵 实数域内 <1> 定义：设A 为一n 阶实方阵，则A 称为是对称的如果A ˊ=A 。 <2> 性质：设A 为一n 阶实对称矩阵，令 A=(ij a )， i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n 。 则有： 1) ;'A A = 2) ji ij a a =， i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n ； 推论： 1),'2 AA A =A 2的主对角线上的元素为∑==n j ij n i a 12,...,2,1,全大于或等于0； 2)①若A 2的主对角线上的元素全为0，则A 为一零方阵； ②若,...3,2,1,0==n A n ，则A 为一零方阵； 3)每一个n 阶实对称矩阵A 对应于唯一的二次型f(X)=X ˊAX ， '*1321),...,,,(n n x x x x X =其中； 4)存在一n 阶正交矩阵U(即UU ˊ=E)，使得 ??????? ? ?,..., ,0 0 0, 0,=-n AU U λλλ.................0,...,0,0,....,0,0,211，其中ιλ，i=1，2，···,n 为A 的全部特征根。 5)实对称矩阵的特征根都是实数；属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。 <3>对称矩阵的构造 1)常见的对称矩阵： 对角矩阵，单位矩阵，正定矩阵，半正定矩阵； 2)设A为一n阶对称方阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数 k A，A k，A+k E，k A+E， 3)设A为任一n阶方阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数 A+Aˊ；k(A+Aˊ)；AAˊ，k AAˊ，(A-Aˊ)2； 4)设B为任一反对称矩阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数 k B2， <4>相关例题 1、n阶实方阵A为对称方阵的充要条件是' 2AA A 。 对称矩阵的性质及应 用 目 录 The Properties and Applications of Symmetry Matrix ...................................................................... 3 1.1 对称矩阵的定义 ......................................................................................................................... 4 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 ............................................................................................. 4 2.对称矩阵的对角化 ........................................................................................................................ 5 2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 ......................................................................................... 5 2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 ................................................................................. 7 3.1正定矩阵的定义 ......................................................................................................................... 9 定理 1 n 元实二次型()12,, ,T n f x x x X AX =是正定的充分必要条件是它的正惯性指数 等于n . .............................................................................................................................................. 9 证 设二次型()12,, ,n f x x x 经过非退化实线性替换变成标准形22 2 1122 n n d y d y d y +++（1）.上面的讨论表明，()12,,,n f x x x 正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二 次型（1）是正定的当且仅当0,1,2, ,i d i n >=，即正惯性指数为n . (9) 由定理1可以得到下列推论： (10) 1. 实对角阵1 2 n d d d ?? ? ? ? ??? 正定的充要条件是0,1,2, ,i d i n >=. (10) 2. 实对称矩阵A 正定的充要条件是()12,,,T n f x x x X AX =的秩与正惯性指数都等于n . ........................................................................................................................................................ 10 3. 实对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全为正.事实上，由第二部分对称矩阵对角化 的讨论可知，A 可对角化为12 n λλλ?? ? ? ? ?? ? ，,1,2, ,i i n λ=是A 的特征值，A 正定 即二次型()12,, ,T n f x x x X AX =正定，而()12,,,n f x x x 的标准形为 22 2 1122n n x x x λλλ++ +，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有 0,1,2, ,i i n λ>=，A 的特征值全为正. (10) 定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (10) 对称矩阵的性质及应用 班级：数学1403班学号：20142681 姓名：张庭奥 内容摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。 关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用 1.导言 矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。 2.具体内容部分 2.1对称矩阵的基本性质 在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。 2.1.1 对称矩阵的定义 定义1 设矩阵()ij s n A a ?=，记()T ji n s A a ?=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件 T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知： （1）对称矩阵一定是方阵 （2）位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。即ij ji a a =，对任意i 、j 都 成立。对称矩阵一定形如1112112 22212n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ?? 定义2 形式为1200000 l a a a ?? ? ? ? ??? 的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l = ，通常称为对角矩阵 定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵。 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵。由定义知： （1）反对称矩阵一定是方阵。 （2）反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素 都为零。反对称矩阵一定形如12112 212000n n n n a a a a a a ?? ? - ? ? ? --?? 。 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论。 2.1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。 毕业论文 题目对称矩阵的主子矩阵及其性质 学生姓名王强学号1109014134 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(师范类)11级2班指导教师邓方安 2015 年 6 月 12日 对称矩阵的主子矩阵及其性质 王强 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数教1102班，陕西汉中 723101） 指导教师邓方安 [摘要]：本文总结了对称矩阵的主子矩阵的一些基本性质, 探讨了对称矩阵的主子矩阵的特征值与原矩阵的关系, 通过实例说明了主子矩阵的主子式的应用． [关键词]：对称矩阵;主子矩阵;特征值;主子式 Principal submatrix and its properties of symmetric matrix WangQiang (Grade02 Class2011 School of mathematics and computer science Shaanxi University of Technology Hanzhong 723001 Shaanxi) Tutor: Fang-an Deng [Abstract]：This paper is divided into four parts and discusses some important properties of symmetry matrices, including some basic properties of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, eigenvalue, eigenvector, positive definiteness of symmetry matrices and etc. [Key words]：S ymmetric matrix；Master matrix；eigenvalue；principal minor. 1.引言 矩阵在数学的许多分支中经常用到，比如线性方程组、二次型都可以归结为有关矩阵某些方面的研究，有些完全不同的性质归结为矩阵以后却是相同的。而对称矩阵的主子矩阵作为特殊的矩阵无论在矩阵理论方面，还是在实际应用方面都有重要意义。那么对称矩阵的主子矩阵有什么特殊性质，又有那些实际应用呢？这就是本文的主要内容． 2.预备知识 2.1 主子矩阵定义 以矩阵对角线元为其对角线元的子矩阵，从1阶到n阶. 例 1 开题报告 数学与应用数学 浅谈伴随矩阵的性质及其应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义 矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A ). 现今不仅专业研究伴随矩阵 的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义. 正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了 摘要......................................................................................................... 错误！未定义书签。关键词......................................................................................................... 错误！未定义书签。Abstract..................................................................................................... 错误！未定义书签。Keywords ................................................................................................. 错误！未定义书签。前言.............................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.对称矩阵的基本性质..................................................................... 错误！未定义书签。 1.1对称矩阵的定义........................................................................ 错误！未定义书签。 1.2对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………错误！未定义书签。 2.对称矩阵的对角化.......................................................................... 错误！未定义书签。 2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明 .............................. 错误！未定义书签。 2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例................... 错误！未定义书签。 3.对称矩阵的正定性.......................................................................... 错误！未定义书签。 3.1正定矩阵的定义 ........................................................................ 错误！未定义书签。 3.2对称矩阵正定性的判别......................................................... 错误！未定义书签。 4.应用举例 ............................................................................................... 错误！未定义书签。总结.............................................................................................................. 错误！未定义书签。参考文献 ................................................................................................... 错误！未定义书签。 对称矩阵的性质及应用 矩阵的基本性质 矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。 1.矩阵的加减法 （1）,对应元素相加减 （2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘 （1），各元素均乘以常数 （2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法 （1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…, （2）矩阵乘法满足的运算法则 a. b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即 （1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。 （2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。 （3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵 （1） （2） 8.酉矩阵：若,则是酉矩阵 （1） （2） （3）, （4） 9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式 （1）为矩阵的迹；或为行列式 （2）；注：矩阵乘法不满足交换律 （3） （4）,为酉矩阵，则 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵 （1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵 伴随矩阵 在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记为M ij；称（-1）^i+j *M ij为a ij的代数余子式） 2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵， 补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式D1代替a ij，这样就不用转置了） 即：n阶方阵的伴随矩阵A*为 A11 A12 (1) A21 A22 (2) 。。。 。。。 An1 An2 ……Ann 例如：A是一个2x2矩阵， a11，a12 a21，a22 则由A可得Aij (I,j=1,2)为代数余子式 此图片为相应代数余子式的计算过程。 则A的伴随矩阵A* 为 A11 A21 A12 A22 即 a22 , -a12 -a21, a11 （余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵） 注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。 原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如 1 2 3 2 2 1 -------> 3 4 3 +2 6 -4 -3 -6 5 2 2 -2 其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等 基本性质： (1)AA*=A*A=|A|E; (2)|A*|=|A|n-1 具体求法 ①当矩阵是大于等于二阶时： 主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。 常用的可以记一下： a b —— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) ②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵. 3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反 INTELLIGENCE 人 文 论 坛 162 关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 华北电力大学科技学院 朱亚茹 摘 要: 对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，占有很重要的地位，但在高等代数和线性代数教材中只涉及到了两个矩阵的定义，而没有提到其性质。本文针对对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以了证明。 关键词:对称矩阵 反对称矩阵 性质 对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，在高等代数和线性代数中占有重要地位。教材中在讨论对称矩阵时只给出了定义，但对其性质的研究很少，对反对称矩阵的性质则研究更少。本文围绕对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以证明，为广大读者学习矩阵时提供参考。 一、对称矩阵 定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =，即(,1,2,,)ij ji a a i j n ==???，那么称A 为对称矩阵。 由于对称矩阵形式的特殊性，使其具有一般矩阵没有的性质，下面列举出对称矩阵一系列的性质，并运用对称矩阵的定义和转置运算的性质对每个性质进行了证明。 性质1：A 为n 阶对称矩阵，则m A （m 为正整数）也是对称矩阵。 证明：因为A 为n 阶对称矩阵，所以T A A =。则()()m T T m m A A A ==，所以由定义可知m A （m 为正整数）也是对称矩阵。 性质2：A 为n 阶对称矩阵，则T A A +也是对称矩阵。证明：因为()()T T T T T T A A A A A A +=+=+，所以T A A +也是对称矩阵。 性质3：A 为n 阶对称矩阵且A 可逆，则1A ?也是对称矩阵。证明：因为111()()T T A A A ???==，所以1A ?也是对称矩阵。性质4：A 为m n ×阶的矩阵，则T AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。 证明：显然T AA 为m 阶矩阵，T A A 为n 阶矩阵，又由于 ()()T T T T T T AA A A AA ==，()()T T T T T T A A A A A A ==，所以T AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。 性质5：A,B 都为n 阶对称矩阵，则A B +也是对称矩阵。证明：因为()T T T A B A B A B +=+=+，所以A B +也是对称矩阵。 性质6：A,B 都为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =。 证明：必要性：设AB 为对称矩阵，则()T AB AB =，而()T T T AB B A BA ==，所以AB BA =。 充分性：设AB BA =，则()()T T T T AB BA A B AB ===，所以AB 为对称矩阵。 二、反对称矩阵 定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =?，即(,1,2,,)ij ji a a i j n =?=???，那么称A 为反对称矩阵。 由于反对称矩阵形式的特殊性，使其具有了与对称矩阵不同的一些性质。 性质7：设A 为n 阶反对称矩阵，则A 的主对角线上的 元素都为0。 证明：因为A 为n 阶反对称矩阵，所以A 的主对角线上的元素有(1,2,,)ii ii a a i n =?=???，所以0(1,2,,)ii a i n ==???。 性质8：设A 为n 阶反对称矩阵，n 为奇数，则A 的行列式值为0。 证明：因为(,1,2,,)ij ji a a i j n =?=???，所以将A 的每一行提 出一个公因子-1，由于n 为奇数，则：(1)n T T A A A =?=?。而根据行列式的性质有T A A =，所以0A =。 性质9：设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则(1)AB BA ?为对称矩阵。(2)AB BA +为反对称矩阵。 证明：(1)因为()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B AB BA ?=?=?=?,所以AB BA ?为对称矩阵。 (2)同(1)，因为()()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B AB BA +=+=+=?+,所以AB BA +为反对称矩阵。 性质10：任一n 阶方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 证明:假设n 阶方阵A B C =+,其中B 为对称矩阵, C 为反对称矩阵,则()T T T T A B C B C B C =+=+=?。由T A B C A B C =+?? =??得,22 T T A A A A B C +?==。 而( ),()2222 T T T T T T T T A A A A A A A A B B C C ++??===== =?，则B 为对称矩阵，C 为反对称矩阵，且A B C =+。 性质11：设A 为n 阶反对称矩阵，B 为n 阶对称矩阵， 则AB 为反对称矩阵的充分必要条件为AB BA =。 证明：必要性：设AB 为反对称矩阵，则()T AB AB =?，而()T T T AB B A BA ==?，所以AB BA =。 充分性：设AB BA =，则()()T T T T AB BA A B AB ===?，所以AB 为反对称矩阵。 三、结束语 对称矩阵与反对称矩阵在高等代数和线形代数中的性质还有很多，比如对称矩阵的特征值均为实数，对应不同特征值得的特征向量必正交等等，由于篇幅所限，本文只介绍一些基本的性质，方便读者参考。 参考文献： [1]同济大学应用数学系：《线性代数》.高等教育出版社,2004 [2]肖马成、周概容：《线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析》.高等教育出版社,2008 [3] 陈惠汝、余巧生：《矩阵同时相似于对角矩阵问题的研究》[J].重庆三峡学院学报,2009，25 伴随矩阵的若干性质及应用 摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单. 关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值 引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的 伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下： ()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ； 例1、已知A 为一三阶矩阵，且??? ? ? ??=100310241A ，求() 1 * -A . 解 经计算可得1=A ，所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A . 例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4 1= A ，求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵* C . 解 由E C C C CC ==**得， ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有() () * 11 * --=A A 证明 因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有，A A A * 1 =-；又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----，因0≠A ，故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且???? ? ??=-2311123211 A ， 求*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 () A A A A A 11 * --== ， 而2 311123 211=-A =8，() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A . 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1 行列式的几种解法 (1) 1.1将行列式化成上下三角形法 (1) 1.2按行列展开法 (3) 1.3拆项法 (3) 1.4递推法 (4) 1.5 加边法 (5) 1.6数学归纳法 (6) 参考文献 (8) 对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 摘要：本文结合实例介绍对称矩阵与反对称矩阵的性质． 关键词：对称矩阵；反对称矩阵；复对称矩阵；正定；合同 Some properties of symmetric and anti -symmetric matrix Abstract：This paper introduced the properties of symmetric and anti symmetric matrix Key words：Symmetric matrix；anti- symmetric matrices；Complex symmetric matrices;Positive definite； 前言 任何一个矩阵都可以唯一地分解成一个对称矩阵于一个反对称矩阵之和。对称矩阵与反对称矩阵即有类似的性质，也有各自特有的性质和应用，在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论这两种特殊矩阵的性质和应用，它们作为特殊矩阵无论在理论方面还是在实际应用方面都有很重要的意义. 对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 一、预备知识： 定义1 子式称为的顺序主子式. 定义2 的所有顺序主子式全大于0，则正定. 定义3 如果n级复矩阵满足，那么是酉矩阵. 定义4：矩阵成为对称的，如果，即. 定义5 矩阵成为反对称的（斜对称的），如果，即. 定义6 正交对角化的定义：一个矩阵称为可正交对角化,如果存在一个正交矩阵和一个对角阵，使得. 定义7 矩阵对称，即满足，则称为复对称矩阵. 定义8 数域P上nn矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使 B. 二、对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 1、对称矩阵的特有性质 （1）实对称矩阵的性质 伴随矩阵的性质及其应用 摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习. 关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质 Adjoint matrices properties and applications Abstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning. Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties 矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。伴随矩阵是一种特殊矩阵，它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系，方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出伴随矩阵的性质知识讲解
矩阵与它伴随矩阵的关系1
对称矩阵的性质
对称矩阵与反对称矩阵
最新对称矩阵的性质及应用
对称矩阵的性质及应用
对称矩阵的主子矩阵及其性质概要
浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】
对称矩阵
矩阵基本性质
伴随矩阵
关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质
伴随矩阵的若干性质及应用
对称矩阵与反对称矩阵的若干性质3
伴随矩阵的性质及其应用