实对称矩阵的若干简单性质

张冰

摘要：本论文首先介绍了转置矩阵、对角矩阵等相关定义及实对称矩阵的定义，

然后对实对称矩阵的若干简单性质进行了研究与证明，包括实对称矩阵的对角化等，

并且给出了具体例子.

关键词：矩阵；实对称矩阵; 对角化；应用

Some Basal Properties of The Real Symmetric Matrixes

zhang bing

（20112112147 Class 2Grade 2011 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Statistics

Science）

Abstract:This paper first introduces the concepts of transpose matrixes, diagonal matrixes ,real symmetric matrixes and some related definitions . Then it makes some researches and proofs on some basal properties of real symmetric matrixes , such as the diagonalization of real symmetric matrixes and gives some examples.

Key words: matrix; real symmetric matrix ; diagonalization; application

1引言与基本内容

1.1引言

矩阵是高等代数中的重要组成部分, 有各种各样的问题都提出了矩阵的概念，这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究，从而矩阵也是主要的研究对象. 作为矩阵的一种特殊类型，实对称矩阵有很多特殊性质,是研究二次型,线性空间和线性变换问题的有利工具,实对称矩阵中的一些基本性质, 定理, 对角化等是高等代数中的重难点.在文献[2]中, 作者王文省详细给出了转置和对称矩阵的概念.在文献[3]中, 作者王萼芳介绍了实对称矩阵对角化的性质, 并着重强调了实对称矩阵的方法.本篇论文介绍了实对称矩阵的相关定义和若干简单性质, 进一步对这些性质进行了研究与证明, 并且给出了具体例子，说明了其应用.

1.2基本内容

定义1形如

1112131

2122232

3132333

123

...

...............

...

m m m mn

a a a a

的纵横排列的二维数据表格称为m行n

列矩阵，简单记为()

ij m n

A a ?=，其中，ij a p ∈，当m n =时，A 为n 阶方阵.

定义2 一个矩阵A 的行与列相互交换后得到的矩阵叫做A 的转置矩阵，简

称A 的转置，记为A '，或者T

A ，即112131112223221323333123...........................m m m n n n mn a a a a a a a a A a a a a a a a a ?? ? ?

?'= ? ? ???

定义[]2

3一个矩阵A ，它的转置为A ',如果A A '=，则称A 为对称矩阵,如果

A A '=-，则称A 为反对称矩阵.

定义]1[4 对于矩阵A ，如果它的各个元素都为实数，并且A A '=，即ji ij a a =，那么称A 为实对称矩阵.

定义[]5

5 除主对角元外，其他元素均为0的形如??????

?=n a a a A O

的n 阶方阵（主对角线上的元素可为零也可为其他），叫做对角阵.

定义[]5

6矩阵()n n ij A a R ?=∈，如果A A E '=，则称A 为正交矩阵.

2 主要内容

2.1 实对称矩阵的若干性质

性质[]31如果矩阵A 为对称矩阵，那么kA 也为对称矩阵，（k R ∈）.

证明：因为矩阵A 为对称矩阵，所以有A A '=，又因为()kA kA kA ''==，

()kA kA '=，根据对称矩阵的定义得出kA 也为对称矩阵。

性质]1[2 如果矩阵A 和矩阵B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =.

证明：因为矩阵A 和B 都是对称矩阵，所以有,A A B B ''==，先证必要性，设AB 对称，那么有()AB AB '=，又有()AB B A BA '''==，所以AB BA =，再证充分性，设AB BA =，又()AB B A BA '''==，所以()AB AB '=，即AB 是对称矩阵。

性质[]2

3 如果矩阵A 是数域p 上的一个上三角形矩阵并且A 也是对称矩阵，

则矩阵A 是个对角阵.

证明：设矩阵A 是一个m 行n 列的上三角形矩阵，即

111213122232333...0 (00)

(0000)

n n n mn a a a a a a a A a a a ??

? ?

? ? ???

，又因为矩阵A 也是对称矩阵，所以有A A '=即111213

111222321222333132333123...00...00...0...000......0 (0000)

...n n n mn n n n mn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ????

? ? ? ?

? ?=

? ? ? ?

? ??

???

，则0ij ji a a ==，（i j ≠），即矩阵A 为对角阵.

性质[]14如果矩阵A 为实对称矩阵且满足20,A =那么0A =. 分析：设()

ij n n

A a ?=，2

0A AA '==，AA '的第i 行第j 列的元素为1

ik jk k a a =∑，

对角线上的元素为21

ij k a ==∑，所以0ik a =，,1,2,...i k n =

证明：设1112121

22212n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?

= ?

???

L L

M M M L ，因为A 为是实对称矩阵，则有A A '=，那么

111211121122122212222221

121221*

*0**

n k k n n n

n n k k n n nn n n nn n

nk k a a a a a a a a a a a a a a A AA a a a a a a a ===??

? ????? ?

? ?

???'===

? ??? ?

????? ? ??

?∑∑∑L

L L L L L M M M M M M M M M L

从而222120i i in a a a +++=L （1,2,,i n =L ），所以0ij a =（,1,2,,i j n =L ），则0A =.

性质[]1

5 假设矩阵A 为可逆对称（反对称）矩阵，那么1A -也是对称（反对

称）矩阵.

证明：因为矩阵A 可逆，有1AA E -=，两边取转置得到1()A A E -''=，由A 为对称矩阵，有A A '=，则1()A A E -'=，所以11()A A --'=，即1A -也为对称矩阵，命题得证.

性质[]1

6 若矩阵A 是一个n 阶对称矩阵，且满足对对任意一个n 维向量X 有

0X AX '=，则有0A =成立.

证明：因为A 是对称矩阵，且0X AX '=，则有

222111121211222222220n n n n nn n X AX a x a x x a x x a x a x x a x '=++++++++=L L L 也就是

说X AX '是一个多元零多项式，所以有11220nn a a a ====L ，

200ij ij ji a a a =?==（i j ≠），即证得0A =.

性质[]1

7 若A 是一个实对称矩阵，那么当实数t 充分大之后，tE A +是正定

矩阵.

证明：11

121212221

2n n n n nn t a a a a t a a tE A a a t a +??

?+ ?

?+??

L L M M O M L

，它的k 级顺序主子式为 △k=

1112121222111221

()n n k k kk k k kk

t a a a a t a a t a a a t a a t a -++=++++=+L

L L L M M O M L

,△k 是关于t

的k 次多项式，且首项系数为1，所以，当t 充分大时，△k>0,即当t 充分大时，tE A +是正定矩阵.

性质[]5

8两个n 阶实对称矩阵A 与B 相似的充分必要条件是这两个矩阵有相

同的特征多项式.

证明：先证必要性，如果矩阵A 与B 相似，则存在一个可逆矩阵T ，使得

1B T AT -=，则111E B T ET T AT T E A T E A λλλλ----=-=-=-，即两个矩阵

有相同的特征多项式。再证充分性，如果A 与B 有相同的特征多项式，那它们就有相同的

特征值12,,...n λλλ，则存在可逆矩阵12,T T ，使得1211100000000...0000n T AT λλλ-?? ?

?= ? ???，1212200000000...0000n T BT λλλ-??

? ?= ? ???，所以111121122222T T ATT T T BT T B ----==，令112T T T -=，则1T AT B -=，所以矩阵A 与B 相似.

定理]1[1 如果A 是实对称矩阵，那么矩阵A 的特征值都是实数.

证明：假设0λ是A 的一个特征值，那么就有非零向量12...n x x

x ζ?? ? ?= ? ???，使得

0A ζλζ=，令12...n x x x ζ?? ? ?

= ? ? ???

（i x 为i x 的共轭复数，），那么0A ζλζ=，等式

()()()A A A A ζζζζζζζζ'''''===,

等式左边为0λζζ'，等式右边为0λζζ'，则有00λζζλζζ''=，又因为ζ是非零向量，那么1122...0n n x x x x x x ζζ'=+++≠，所以得出00λλ=，也就是说0λ是一个实数，即矩阵A 的特征值都是实数.

注意：由于实对称矩阵A 的特征值0λ为实数，所以齐次线性方程组

()00A E X λ-=为实系数方程组，再由00A E λ-=知必有实的基础解系，从而对

应的特征向量可以取实向量，此定理的逆命题不成立。例如:矩阵124003001A -?? ?

= ? ???，

特征值11λ=（二重），20λ=均为实数，但A 不是实对称矩阵.

例1 若A 是n 阶实对称矩阵，且A 满足3254200A A A E +--=，求矩阵A 的特征值.

解: 设λ是矩阵A 的特征值，则有3254200λλλ+--=?

(5)(2)(2)0λλλ++-=，解得15λ=-，22λ=-，32λ=，因为A 为实对称矩阵，

所以A 的特征值都为实数，则以上三个特征值都满足，即A 的特征值为-5，-2, 2.

例2 设A 是n 阶实对称矩阵，并且矩阵A 满足322320A A A E -+-=，求A 的特征值.

解: 若λ是矩阵A 的特征值，则λ满足322320λλλ-+-=?

2(1)(2)0λλλ--+=，解得11λ=

，212λ+=

，312

λ=，因为矩阵A 为实对称矩阵，所以A 的特征值都为实数，则2λ和3λ不满足条件，舍去，故矩阵A

的特征值为1λ=.

例3 证明属于实对称矩阵A 的特征值皆为实数的充要条件是存在正交矩阵T ，使得1T AT -为三角矩阵.

证明：三角矩阵分上三角阵和下三角阵两种，此处设为上三角阵，下三角阵类似可证

先证充分性，设11*0n b T AT b -??

?= ? ???

O ，由于n n A R ?∈，n n T R ?∈，1n n T R -?∈，因此12,,,n b b b R ∈L ，则A 的特征值1,n b b L 皆为实数.再证必要性，设1,,s λλL 为A 的所有不同的是特征值（因为其中可能有重根），有若当定理存在实可逆阵P ，

使得11s J P AP J -??

?= ? ??

O ，（1）其中11

k k k J λλ??

?= ? ??

?O O O ，（1,2,k s =L ）由于P 是实可逆阵，从而存在正定阵T ，S 为实可逆上三角阵，使得P TS =，代入到（1）中得1111S T ATS J T AT SJS ----=?=，因为S 是上三角形阵，所以1S -也是上三角形阵，J 是若当形矩阵，也是上三角形阵，上三角阵之积仍为上三角阵，所以1SJS -为上三角形阵，则1T AT -为上三角形阵.

定理[]42 设A 是实对称矩阵，在n 维欧氏空间n R 上定义一个线性变换如下：

112

2n n x x x x A x x ???? ? ? ? ?=A ? ? ? ?????

M M （1）

，那么对任意向量,n R αβ∈，有()(),,A A αβαβ=，或者()βααβ''A =A .

证明：只证明后一个等式即可，()()()βαβαβααβ'''''A =A =A =A . 定理[]3

3 n 维欧式空间n R 中属于实对称矩阵A 的不同特征值的特征向量必

定正交.

证明：假设1λ和2λ是属于矩阵A 的两个不相同的特征值，1X 和2X 分别是属于1λ和2λ的特征向量，111X X λA =，222X X λA =，在n 维欧氏空间n R 上定义线性变换A 如上述定理1中的（1），则111AX X λ=，222AX X λ=，因为

()()1212,,AX X X AX =，则有()()112212,,X X X X λλ=，又因为12λλ≠，所以得出()12,0X X =，即1X ，2X 正交.

例4 若3阶实对称矩阵A 的秩为2 ，126λλ==是A 的2重特征值，

()11,1,0α'=，()22,1,1α'=，()31,23α'=--，都是A 的属于6的特征向量.

(1)

求矩阵A 的另一个特征值及它对应的特征向量（2）求矩阵A.

解：（1）因为A 的秩为2，所以矩阵A 不可逆，则A 必有特征值30λ=,对应

的特征向量设为123x x x β??

= ? ???，由于A 为实对称矩阵，则其不同特征值的特征向量必

正交，从而得到方程组12123123020230x x x x x x x x +=??++=??-+-=?,解得基础解系为111β?? ?

=- ? ?

-??，所以属于

A 的特征值为0λ=的特征向量为k β（k R ∈且0k ≠）.

(2)

令矩阵()12

T ααβ=，则1660T AT -??

?= ? ???

，所以矩阵011121642211211162423330110224111

33A ??

-??????

? ??? ?

?=--=- ??? ? ? ??? ?-- ??????? ?--

??即为所求. 例5 设3阶实对称矩阵A 的特征值是11λ=，22λ=，33λ=，矩阵A 属于

特征值1

1λ=，2

2λ=的特征向量分别是()11,1,1α'=--，()2

1,2,1α'=--.

(1) 求A 属于特征值3的特征向量.(2)求矩阵A.

解：（1）设A 属于特征值3的特征向量为1323x x x α?? ?

= ? ???，因为A 是实对称矩阵，

所以属于A 的不同特征值的特征向量相互正交，所以有齐次方程组

123123020x x x x x x --+=??

--=?，解得基础解系为3101α??

= ? ?

??，则3α就是矩阵A 属于特征值3的特征向量.

（2）令()123111,,120111T ααα??

==-- ? ?-??，又因为1123T AT -?? ?=

? ???，所以可得111325122102635213A T T --???? ? ?

==-

? ? ? ?????

定理[]14 设A 是一个任意的n 阶实对称矩阵，则存在一个n 阶正交矩阵T ，

使12100000000...0000n T AT T AT λλλ-??

? ?'== ? ??

?成对角形，其中12,,...n λλλ是A 的全体特征值（重根按重数算）.

例6 如果A 是n 阶实对称矩阵，并且满足2A A =,证明存在正交矩阵T ，使

111100T AT -?? ? ? ?

? ? ? ? ??

O O

分析：由2A A =以及特征值与特征向量的定义可以得到矩阵A 的特征值为0和1，再由实对称矩阵的性质可得，存在正交矩阵T ，使1T AT -成对角形，命题得证。

证明：设λ是A 的特征值，α是属于A 的特征向量，那么有

()22A A A A A λααααλαλα=====，从而得出()20λλα-=，又因为0α≠，

所以20λλ-=1λ?=或0λ=.由于A 是n 阶实对称矩阵，根据实对称矩阵的性

质，所以必存在正交矩阵T ，使得111100T AT -?? ? ? ?

? ? ? ? ??

O O

，得证.

例7 设A 是一个n 阶实对称矩阵，且满足A <0,证明存在实n 维向量X ，使得X AX '<0.

证明：因为A 为n 阶实对称矩阵，所以必存在正交矩阵T ，使

1n T AT λλ??

'= ? ??

，其中1,,n λλL 为矩阵A 的全部实特征值，并且12n A λλλ=L ，又因为A <0，所以1,,n λλL 中至少有一个小于0，假设k λ小于0，令k X T ε=，其中k ε的第k 个分量为1，其余分量皆为0，那么有0X ≠，使

()12

300,,1,0010k k k X AX T AT λεελλλ??

?? ? ?' ?''===< ? ? ??? ?

???

M L L M .

例8 若实对称矩阵A 的所有特征根的模都是1，证明A 为正交阵.

证明：因为A 是实对称矩阵，则存在正交阵T ，1n A T T λλ??

'= ? ??

O ，其中1,,n λλL 为矩阵A 的全部实特征根，而1i λ=，因为实对称矩阵的特征根均为实数，因此特征根为1或-1，不妨设r

n r E A T T E -??

?-??

，因为T 为正交阵，所以T '也是正交阵，r

n r E E -??

?-??

也是正交阵，三个正交阵之积仍为正交阵，故A 为正交阵.

2.2 将实对称矩阵对角化

下面将给出实对称矩阵对角化的步骤: 1. 由E A λ-求出A 的全体特征值。

2. 把每个特征值代入()0E A X λ-=求出一组基础解系，并且正交化，再单位化。

3. 把已单位正交化特征向量列排成正交矩阵T ，则1T AT T AT -'=成对角形。

例[]19 已知实对称矩阵0111101111011110A -?? ?-

?= ?- ?-??

，求一个正交矩阵T ,使T AT '成对角形。

解：

23311101111111

10101(1)101(1)(3)

111001

1111

E A λ

λλλλ

λλλλλλλλλλλ

------------=

=--=-+--------所以A 得特征值为11λ=（3重根），23λ=-，再将特征值代入，当11λ=时，

123411111111011111111x x x x --???? ? ?-- ? ?= ?

?-- ?

?--????

，求得基础解析为11100α?? ? ?= ? ???，21010α?? ? ?= ? ???，3

1001α-??

? ?= ? ???，再正交化，得到11100β??

?= ? ???

，()2122111121(,)2,10αββαβββ?? ? ? ?

-=-= ? ? ? ???

，

313233*********(,)(,)

3(,)(,)131αβαββαββββββ??- ? ? ? ?=--= ? ? ? ???

，再单位化，得到11100βηβ== ?

???

，222

0βηβ?? ? ? == ? ? ? ?

，333βηβ?

? ?== ?

? ? ?

，当23λ=-时，

123431111311011311113x x x x ---???? ? ?--- ? ?= ? ?--- ?

?---????，

解得基础解析41111α?? ?

- ?= ?- ?

，单位化得412121212η?? ? ? ?- ?

= ? ?- ? ? ???

，令

(

)12341212

,,,10210

2T ηηηη????-??== ?- ? ? ? ??

，则T 为正交矩阵，使11113T AT T AT -??

?'== ? ?

-??

. 例10 若R 的线性变换A 在标准正交基下的矩阵是211121112A ??

= ? ???，（1）求

A 的特征值及其特征向量。（2）求3R 得一组标准正交基，使A 在这组基下的矩阵为对角矩阵。

解：（1）先求A 的特征值，22

1(1)(4)1

E A λλλλλλ----=---=-----，

那么A 的特征值为11λ=（二重），24λ=，再求特征向量，当11λ=时，特征方

程是1231111110111x x x ---????

???

---= ??? ???---????，求得基础解系为1101α?? ?= ? ?-??，2110α?? ?=- ? ?

??，则属于1

λ=的所有特征向量为1122k k αα+（1k 和2k 不全为零），当24λ=时，特征方程是

1232111210112x x x --???? ???--= ??? ???--????，211000000121121033112112--?????? ? ?--→--→ ? ? ?-?

? ? ?----????，

所以原方程组等价于2313

1232333020x x x x x x x x x -==?????--+==??，从而求得基础解系为3111α??

?= ? ?

??，则矩阵

A 的属于4λ=的所有特征向量为33k α（k 为任意常数）。

（2）因为A 为实对称矩阵，故一定存在正交阵T ，使得

1114T AT T AT -??

'== ? ???

，先将123,,ααα正交化，得到11101βα?? ?== ? ?-??，

21221111112(,)1101(,)20112αββαβββ??

????? ? ? ?=-=--=- ? ? ? ? ? ?

-???? ???

，再单位化，11

02βηβ?? ? ?== ? ? ?

- ???

，

22266βηβ?? ? == ? ? ? ???

，3333αηα== ? ? ? ???，

则123263(,,)02

3T ηηη??- ? ==

? ?- ? ???

即为所求得的标准正交基，是A 在这组基下的矩阵为对角矩阵。

例11 设1221A ??

= ???，

（1）求正交矩阵T ，使T AT '成为对角阵.(2)求n A （n 为正整数）

解：（1）先求特征值()()1

312

E A λλλλλ---=

=-+--，则A 的特征值为

13λ=，21λ=-，再求特征向量，当3λ=时，特征方程为1222022x x -????= ? ?-????，解

得基础解系为111α??

= ???

，单位化得1η=，当1λ=-时，特征方程为

1222022x x --????= ? ?--????，解得基础解系为211α??

= ?-??

，单位化得2η?? ?

?= ?

，令T ?

??=，则3001T AT ??'= ?-?? （2）因为T 为正交矩阵，所以1T T -'=,则

1130300

(1)0(1)n

n n

n n c

d T AT A T T d c --??????=?==

? ? ?--??

????，其中3(1)2n n

c +-=

，3(1)2

n n

d --=.

例12 设对称矩阵111111a A a a ?? ?= ? ???，112β?? ?

= ? ?-??，已知线性方程组Ax β=有

解，但不唯一.(1)求a 的值（2）求正交矩阵T,使T AT '为对角阵.

解：(1)21111(1)(2)11

A a a a a ==--+,当0A ≠时，方程组Ax β=有唯一

解，此时可得1a =或-2.当1a =时，线性方程组123111*********x x x ?????? ??? ?

= ??? ? ??? ?-??????

无解，所以

2a =-.

(2) 2a =-，则112121211A -??

=- ? ?-??

，

1(3)(3)2

E A λλλλλλλ---=-+-=-+--，所以A 得特征值为10λ=，23λ=，33λ=-，再求特征向量，当10λ=时，特征方程为1231121210211x x x --????

???

--= ??? ???--????

，解得

基础解系为1111α?? ?= ? ???，当23λ=时，特征方程为1232121510212x x x -???? ???

--= ??? ???-????，解得基础

解系为2101α?? ?= ? ?-??，当33λ=-时，特征方程为1234121110214x x x --???? ???

---= ??? ???--????

，解得基础

解系为3121α??

=- ? ?

-??

，再单位化，111αβα==，

2220α

βα?? ? ?== ? ? ?

，333αβα??

== ? ?

，令(

)123,,0T βββ???==???

，则T 是正交阵，且1033T AT T AT -?? ?

'== ? ?-??

. 参考文献

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[6] 陈洪明.高等代数同步辅导及习题全解.北京:中国水利水电出版社,2009.

对称矩阵的性质及应用

目录 The Properties and Applications of Symmetry Matrix ...................................................................... 3 1.1 对称矩阵的定义 ......................................................................................................................... 4 1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明 ............................................................................................. 4 2.对称矩阵的对角化 ........................................................................................................................ 5 2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 ......................................................................................... 5 2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 ................................................................................. 7 3.1正定矩阵的定义 ......................................................................................................................... 9 定理 1 n 元实二次型()12,, ,T n f x x x X AX =是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n . .............................................................................................................................................. 9 证设二次型()12,, ,n f x x x 经过非退化实线性替换变成标准形22 2 1122 n n d y d y d y +++（1）.上面的讨论表明，()12,,,n f x x x 正定当且仅当（1）是正定的，而我们知道，二次型（1）是正定的当且仅当0,1,2, ,i d i n >=，即正惯性指数为n . (9) 由定理1可以得到下列推论： (10) 1. 实对角阵1 2 n d d d ?? ? ? ? ??? 正定的充要条件是0,1,2, ,i d i n >=. (10) 2. 实对称矩阵A 正定的充要条件是()12,,,T n f x x x X AX =的秩与正惯性指数都等于n . ........................................................................................................................................................ 10 3. 实对称矩阵A 正定的充要条件是A 的特征值全为正.事实上，由第二部分对称矩阵对角化的讨论可知，A 可对角化为12 n λλλ?? ? ? ? ?? ? ，,1,2, ,i i n λ=是A 的特征值，A 正定即二次型()12,, ,T n f x x x X AX =正定，而()12,,,n f x x x 的标准形为 22 2 1122n n x x x λλλ++ +，非退化的线性替换保持正定性不变，所以有 0,1,2, ,i i n λ>=，A 的特征值全为正. (10) 定理2 实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (10)

毕业论文题目对称矩阵的主子矩阵及其性质学生姓名王强学号1109014134 所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)11级2班指导教师邓方安 2015 年 6 月 12日

对称矩阵的主子矩阵及其性质王强（陕西理工学院数学与计算机科学学院数教1102班，陕西汉中 723101）指导教师邓方安 [摘要]：本文总结了对称矩阵的主子矩阵的一些基本性质, 探讨了对称矩阵的主子矩阵的特征值与原矩阵的关系, 通过实例说明了主子矩阵的主子式的应用． [关键词]：对称矩阵;主子矩阵;特征值;主子式 Principal submatrix and its properties of symmetric matrix WangQiang (Grade02 Class2011 School of mathematics and computer science Shaanxi University of Technology Hanzhong 723001 Shaanxi) Tutor: Fang-an Deng [Abstract]：This paper is divided into four parts and discusses some important properties of symmetry matrices, including some basic properties of symmetry matrices, diagonalization of symmetry matrices, eigenvalue, eigenvector, positive definiteness of symmetry matrices and etc. [Key words]：S ymmetric matrix；Master matrix；eigenvalue；principal minor. 1.引言矩阵在数学的许多分支中经常用到，比如线性方程组、二次型都可以归结为有关矩阵某些方面的研究，有些完全不同的性质归结为矩阵以后却是相同的。而对称矩阵的主子矩阵作为特殊的矩阵无论在矩阵理论方面，还是在实际应用方面都有重要意义。那么对称矩阵的主子矩阵有什么特殊性质，又有那些实际应用呢？这就是本文的主要内容． 2.预备知识 2.1 主子矩阵定义以矩阵对角线元为其对角线元的子矩阵，从1阶到n阶. 例 1

对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念. 1 对称矩阵的定义定义1 设矩阵()ij s n A a ?=，记()T ji n s A a ?=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知： 1. 对称矩阵一定是方阵. 2. 位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即ij ji a a =，对任意i 、j 都成立.对称矩阵一定形如111211222212n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ??? . 定义2 形式为12000000l a a a ?? ? ? ? ?? ? 的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l = ，通常称为对角矩阵. 定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵. 定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵.由定义知： 1. 反对称矩阵一定是方阵. 2. 反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素都为零.反对称矩阵一定形如12112212000n n n n a a a a a a ?? ?- ? ? ?--?? . 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论. 2 对称矩阵的基本性质性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵. 性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵.

性质3设A为n阶对称矩阵（反对称矩阵），若A可逆，则1 A-是对称矩阵（反对陈矩阵）. ?矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 性质4任一n n 性质5设A为对称矩阵，X与A是同阶矩阵，则T X AX是对称矩阵. 性质6设A、B都是n阶对称矩阵，证明：AB也对称当且仅当A、B可交换. 1

矩阵的基本性质矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。 1.矩阵的加减法（1）,对应元素相加减（2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘（1），各元素均乘以常数（2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法（1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…,

（2）矩阵乘法满足的运算法则 a. b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即（1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。（2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。（3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。（4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵（1）（2）

8.酉矩阵：若,则是酉矩阵（1）（2）（3）, （4） 9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式（1）为矩阵的迹；或为行列式（2）；注：矩阵乘法不满足交换律（3）（4）,为酉矩阵，则（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵（1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵

对称矩阵的性质及应用班级：数学1403班学号：20142681 姓名：张庭奥内容摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用 1.导言矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。 2.具体内容部分 2.1对称矩阵的基本性质

在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。 2.1.1 对称矩阵的定义定义1 设矩阵()ij s n A a ?=，记()T ji n s A a ?=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件 T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知：（1）对称矩阵一定是方阵（2）位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。即ij ji a a =，对任意i 、j 都成立。对称矩阵一定形如1112112 22212n n n n nn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ?? 定义2 形式为1200000 l a a a ?? ? ? ? ??? 的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l = ，通常称为对角矩阵定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵。定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵。由定义知：（1）反对称矩阵一定是方阵。（2）反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素都为零。反对称矩阵一定形如12112 212000n n n n a a a a a a ?? ? - ? ? ? --?? 。下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论。 2.1.2 对称矩阵的基本性质及简单证明性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵。

摘要......................................................................................................... 错误！未定义书签。关键词......................................................................................................... 错误！未定义书签。Abstract..................................................................................................... 错误！未定义书签。Keywords ................................................................................................. 错误！未定义书签。前言.............................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.对称矩阵的基本性质..................................................................... 错误！未定义书签。 1.1对称矩阵的定义........................................................................ 错误！未定义书签。 1.2对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………错误！未定义书签。 2.对称矩阵的对角化.......................................................................... 错误！未定义书签。 2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明 .............................. 错误！未定义书签。 2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例................... 错误！未定义书签。 3.对称矩阵的正定性.......................................................................... 错误！未定义书签。 3.1正定矩阵的定义 ........................................................................ 错误！未定义书签。 3.2对称矩阵正定性的判别......................................................... 错误！未定义书签。 4.应用举例 ............................................................................................... 错误！未定义书签。总结.............................................................................................................. 错误！未定义书签。参考文献 ................................................................................................... 错误！未定义书签。对称矩阵的性质及应用

对称矩阵对称矩阵元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。目录特性矩阵的转置和对称矩阵数据结构中的对称矩阵编辑本段特性 C++数组应用之特殊矩阵的压缩存储[1] 1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。 2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。 3.对角矩阵都是对称矩阵。两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。用<,>表示Rn上的内积。的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有，。任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT) 每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。如果X是对称矩阵,那么AXA T也是对称矩阵. n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。所谓对称变换，即对任意α、β∈V，都有（σ（α），β）=（α，σ（β））。投影变换和镜像变换都是对称变换。

矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。1.矩阵的加减法（1）,对应元素相加减（2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘（1），各元素均乘以常数（2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法（1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…, （2）矩阵乘法满足的运算法则 a.

b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即（1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。（2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。（3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。（4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵（1）（2）（3）, 8.酉矩阵：若,则是酉矩阵（1）（2）（3）, （4）

9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式（1）为矩阵的迹；或为行列式（2）；注：矩阵乘法不满足交换律（3）（4）,为酉矩阵，则（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵（1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵（2） 12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）（1）A的逆矩阵记作,; （2）（为非奇矩阵）时，（3）且，则（4）由，得（5）

INTELLIGENCE 人文论坛 162 关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质华北电力大学科技学院朱亚茹摘要: 对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，占有很重要的地位，但在高等代数和线性代数教材中只涉及到了两个矩阵的定义，而没有提到其性质。本文针对对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以了证明。关键词:对称矩阵反对称矩阵性质对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，在高等代数和线性代数中占有重要地位。教材中在讨论对称矩阵时只给出了定义，但对其性质的研究很少，对反对称矩阵的性质则研究更少。本文围绕对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以证明，为广大读者学习矩阵时提供参考。一、对称矩阵定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =，即(,1,2,,)ij ji a a i j n ==???，那么称A 为对称矩阵。由于对称矩阵形式的特殊性，使其具有一般矩阵没有的性质，下面列举出对称矩阵一系列的性质，并运用对称矩阵的定义和转置运算的性质对每个性质进行了证明。性质1：A 为n 阶对称矩阵，则m A （m 为正整数）也是对称矩阵。证明：因为A 为n 阶对称矩阵，所以T A A =。则()()m T T m m A A A ==，所以由定义可知m A （m 为正整数）也是对称矩阵。性质2：A 为n 阶对称矩阵，则T A A +也是对称矩阵。证明：因为()()T T T T T T A A A A A A +=+=+，所以T A A +也是对称矩阵。性质3：A 为n 阶对称矩阵且A 可逆，则1A ?也是对称矩阵。证明：因为111()()T T A A A ???==，所以1A ?也是对称矩阵。性质4：A 为m n ×阶的矩阵，则T AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。证明：显然T AA 为m 阶矩阵，T A A 为n 阶矩阵，又由于 ()()T T T T T T AA A A AA ==，()()T T T T T T A A A A A A ==，所以T AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。性质5：A,B 都为n 阶对称矩阵，则A B +也是对称矩阵。证明：因为()T T T A B A B A B +=+=+，所以A B +也是对称矩阵。性质6：A,B 都为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵的充分必要条件是AB BA =。证明：必要性：设AB 为对称矩阵，则()T AB AB =，而()T T T AB B A BA ==，所以AB BA =。充分性：设AB BA =，则()()T T T T AB BA A B AB ===，所以AB 为对称矩阵。二、反对称矩阵定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =?，即(,1,2,,)ij ji a a i j n =?=???，那么称A 为反对称矩阵。由于反对称矩阵形式的特殊性，使其具有了与对称矩阵不同的一些性质。性质7：设A 为n 阶反对称矩阵，则A 的主对角线上的元素都为0。证明：因为A 为n 阶反对称矩阵，所以A 的主对角线上的元素有(1,2,,)ii ii a a i n =?=???，所以0(1,2,,)ii a i n ==???。性质8：设A 为n 阶反对称矩阵，n 为奇数，则A 的行列式值为0。证明：因为(,1,2,,)ij ji a a i j n =?=???，所以将A 的每一行提出一个公因子-1，由于n 为奇数，则：(1)n T T A A A =?=?。而根据行列式的性质有T A A =，所以0A =。性质9：设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，则(1)AB BA ?为对称矩阵。(2)AB BA +为反对称矩阵。证明：(1)因为()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B AB BA ?=?=?=?,所以AB BA ?为对称矩阵。 (2)同(1)，因为()()()()T T T T T T T AB BA AB BA B A A B AB BA +=+=+=?+,所以AB BA +为反对称矩阵。性质10：任一n 阶方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。证明:假设n 阶方阵A B C =+,其中B 为对称矩阵, C 为反对称矩阵,则()T T T T A B C B C B C =+=+=?。由T A B C A B C =+?? =??得,22 T T A A A A B C +?==。而( ),()2222 T T T T T T T T A A A A A A A A B B C C ++??===== =?，则B 为对称矩阵，C 为反对称矩阵，且A B C =+。性质11：设A 为n 阶反对称矩阵，B 为n 阶对称矩阵，则AB 为反对称矩阵的充分必要条件为AB BA =。证明：必要性：设AB 为反对称矩阵，则()T AB AB =?，而()T T T AB B A BA ==?，所以AB BA =。充分性：设AB BA =，则()()T T T T AB BA A B AB ===?，所以AB 为反对称矩阵。三、结束语对称矩阵与反对称矩阵在高等代数和线形代数中的性质还有很多，比如对称矩阵的特征值均为实数，对应不同特征值得的特征向量必正交等等，由于篇幅所限，本文只介绍一些基本的性质，方便读者参考。参考文献： [1]同济大学应用数学系：《线性代数》.高等教育出版社,2004 [2]肖马成、周概容：《线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析》.高等教育出版社,2008 [3] 陈惠汝、余巧生：《矩阵同时相似于对角矩阵问题的研究》[J].重庆三峡学院学报,2009，25

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1 行列式的几种解法 (1) 1.1将行列式化成上下三角形法 (1) 1.2按行列展开法 (3) 1.3拆项法 (3) 1.4递推法 (4) 1.5 加边法 (5) 1.6数学归纳法 (6) 参考文献 (8)

对称矩阵与反对称矩阵的若干性质摘要：本文结合实例介绍对称矩阵与反对称矩阵的性质．关键词：对称矩阵；反对称矩阵；复对称矩阵；正定；合同 Some properties of symmetric and anti -symmetric matrix Abstract：This paper introduced the properties of symmetric and anti symmetric matrix Key words：Symmetric matrix；anti- symmetric matrices；Complex symmetric matrices;Positive definite；前言任何一个矩阵都可以唯一地分解成一个对称矩阵于一个反对称矩阵之和。对称矩阵与反对称矩阵即有类似的性质，也有各自特有的性质和应用，在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论这两种特殊矩阵的性质和应用，它们作为特殊矩阵无论在理论方面还是在实际应用方面都有很重要的意义. 对称矩阵与反对称矩阵的若干性质一、预备知识：定义1 子式称为的顺序主子式. 定义2 的所有顺序主子式全大于0，则正定. 定义3 如果n级复矩阵满足，那么是酉矩阵. 定义4：矩阵成为对称的，如果，即. 定义5 矩阵成为反对称的（斜对称的），如果，即. 定义6 正交对角化的定义：一个矩阵称为可正交对角化,如果存在一个正交矩阵和一个对角阵，使得. 定义7 矩阵对称，即满足，则称为复对称矩阵. 定义8 数域P上nn矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使 B. 二、对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 1、对称矩阵的特有性质（1）实对称矩阵的性质

本科毕业论文（设计）题目：一类特殊实对称矩阵的性质与应用学生：学号：学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学入学时间：2013年9月11日指导教师：职称：讲师完成日期：2017年3月2 日一类特殊实对称矩阵的性质与应用

摘要：实对称矩阵是一类应用广泛的矩阵，很多科学问题的求解都离不开实对称矩阵,而在实对称矩阵中存在着一些特殊的的实对称矩阵，这些实对称矩阵具有一般矩阵同样具有的性质，同时因为自身具有的特殊性，因而在计算矩阵的行列式、逆、秩、迹等方面具有简便的运算.本文讨论了一类特殊的实对称矩阵——等差实对称矩阵的定义和性质，给出了等差实对称矩阵在化二次型的标准型，一般的n元函数求最大值最小值，对角化中正交矩阵的初等变换求法中的应用. 关键词：实对称矩阵;等差数列;二次型标准型;初等变换 Properties and applications of a class of special real symmetric matrices Abstract:The real symmetric matrix is a widely used matrix, solving a lot of scientific problems all cannot do without the real symmetric matrix, and some special of the real symmetric matrix in real symmetric matrix, real symmetric matrices with these propertiesof general matrix with the same, and because of its own specialties, with simple and convenient operation in the calculation of determinant, inverse matrix, rank, etc. and trace. This paper discusses the definition and properties of a special kind of real symmetric matrix arithmetic of real symmetric matrix, real symmetric matrix arithmetic in the standard type two type is given, the general function for the maximum minimum valueoforthogonal elementary transformation for the application of matrixdiagonalizationmethod. Key words:Real symmetric matrix; arithmetic progression; two standard type; elementary transformation 目录

对称矩阵的性质 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

2. 反对称矩阵的元素满足ij ji a a =-，当i j =时，ii ii a a =-，对角线上的元素都为零. 反对称矩阵一定形如12112212000n n n n a a a a a a ?? ?- ? ? ?--?? . 下面就对称矩阵的一些基本性质展开讨论. 2 对称矩阵的基本性质性质1 同阶对称矩阵的和、差、数乘还是对称矩阵. 性质2 设A 为n 阶方阵，则T A A +，T AA ，T A A 是对称矩阵. 性质3 设A 为n 阶对称矩阵（反对称矩阵），若A 可逆，则1A -是对称矩阵（反对陈矩阵）. 性质4 任一n n ?矩阵都可表为一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 性质5 设A 为对称矩阵，X 与A 是同阶矩阵，则T X AX 是对称矩阵. 性质6 设A 、B 都是n 阶对称矩阵，证明：AB 也对称当且仅当A 、B 可交换.

反对称矩阵的性质及应用毕业论文目录中文摘要： (1) 英文摘要 (1) 1.引言 (2) 2．反对称矩阵的基本性质 (2) 2.1反对称矩阵的定义 (2) 2.2反对称矩阵的基本性质及证明 (3) 2.3基本性质的应用举例 (6) 3.反对称矩阵秩的性质 (8) 3.1反对称矩阵的秩的性质及证明 (8) 3.2秩的性质的应用举例 (9) 4.反对称矩阵特征值的性质 (10) 4.1 反对称矩阵特征值的性质及证明 (10) 4.2特征值性质的应用举例 (10) 5.反对称矩阵在欧式空间线性变换上的应用举例 (11) 6.总结 (11) 参考文献 (12)

反对称矩阵的性质及应用摘要：矩阵是高等数学中一个极其重要的概念并且有广泛的应用，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.这就使矩阵成为线性代数的一个主要研究对象.作为矩阵的一种特殊类型，反对称矩阵有很多特殊性质，是研究线性空间和线性变换问题的有利工具。本文主要描述反对称矩阵的定义，研究反对称矩阵的性质及应用.包括反对称矩阵的基本性质，反对称矩阵秩的性质，特征值的性质以及反对称矩阵在求矩阵特征值及秩，线性变换和欧式空间问题中的应用等. 关键词：反对称矩阵；性质；秩；特征值 Abstract: Matrix is a very important concepts in higher mathematics and its application is extensive, such as some important properties of linear equations is reflected in the nature of its coefficient matrix and augmented matrix, and the process of solution of equations is to the process of transform these matrices,which makes the matrix become a main object of study of linear algebra. as a special type of matrix, antisymmetric matrix has a lot of the special nature which makes it become a powerful tool in study problem of the linear space and linear transformation. The article mainly elaborates the definitions of antisymmetric matrix and discusses properties and applications of it, including the basic properties of antisymmetric matrices, the properties of antisymmetric matrix rank, the properties of characteristic value,and the applications of antisymmetric matrix in the solution of matrix eigenvalue and rank of matrix, linear transformations and Euclidean space problems etc. Keywords:Antisymmetric matrix; Nature; Rank; Characteristic value

目录摘要......................................................................................................... 错误！未定义书签。关键词......................................................................................................... 错误！未定义书签。Abstract..................................................................................................... 错误！未定义书签。Keywords ................................................................................................. 错误！未定义书签。前言.............................................................................................................. 错误！未定义书签。 1.对称矩阵的基本性质..................................................................... 错误！未定义书签。 1.1对称矩阵的定义........................................................................ 错误！未定义书签。 1.2对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………错误！未定义书签。 2.对称矩阵的对角化.......................................................................... 错误！未定义书签。 2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明 .............................. 错误！未定义书签。 2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例................... 错误！未定义书签。 3.对称矩阵的正定性.......................................................................... 错误！未定义书签。 3.1正定矩阵的定义 ........................................................................ 错误！未定义书签。 3.2对称矩阵正定性的判别......................................................... 错误！未定义书签。 4.应用举例 ............................................................................................... 错误！未定义书签。总结.............................................................................................................. 错误！未定义书签。参考文献 ................................................................................................... 错误！未定义书签。

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08中科大高代 232 3 23567A(4{111}A(008A(λλλλλλλλλλλ??+n -1一、填空 1、已知方阵A,求A 、已知方阵A,求A 、线性方程组 4、求以A(1,-2,1),B(2,3,0),C(0,-1,4),D(1,3,-1)为四顶点的四面体的体积。、向量组线性相关、求线性变换在某基下的矩阵、已知四阶方阵)的秩为，初等因子组为，，，（）（），，则)的不变因子是____，行列式因子是___ 、)=220 0Smith ___0010100010109A=Jordon ______ 00101000100000110λλλλ?? +?? ????????????? ?????????? ，求它的标准形、的标准形是、求实正交阵的正交相似标准形。 n n 1212F P FA=AF A 12 :112x-y+z=0 2 (1)l l 2l l y x z ππ×∈+?= =???1二、若对任意可逆，，则为数量矩阵。三、证明：酉矩阵的特征值的模长是。四、已知直线l 和平面：、求在上的投影直线的方程 ()、求绕旋转所得的旋转曲面的方程 222123123122331123123A B A+B A B A+B Q(x ,x ,x )x x x 4x x 4x x 4x x 1Q(x ,x ,x )2Q(x ,x ,x )1n A B A+B P P P P P P =++?+?=≥五、已知二次型（）用正交变换将化为标准形（）判断曲面的类型六、阶实对称方阵，，的正惯性指数分别是，，证明：+

1s 1s 2s 1n 2s 1n n A B *****0****00B ***B=,B B ,,000***000000000λλλλ???????????????????? %""%++七、证明：阶实方阵正交相似于一个准上三角阵其中，，为二阶实方阵;为实数。 A B A B 八、设实方阵，相似且相合，问，是否正交相似，试证之。