三角形的有关证明复习

三角形的有关证明复习训练(2)

知识点1 等腰三角形的判定和性质 1、下列叙述正确的语句是( ) A.等腰三角形两腰上的高相等

B.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合

C.顶角相等的两个等腰三角形全等

D.两腰相等的两个等腰三角形全等

2、下列能判定△ABC 为等腰三角形的是( )

A.∠A=300，∠B=600

B.∠A=500，∠B=800

C.AB=AC=2，BC=4

D.AB=3，BC=7，周长为10 3、已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是( )

A.8

B.9

C.10或12

D.11或13 11．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD=BD=CD ，则下列结论错误的是(C)

A.AB=AC

B.AD 平分∠BAC

C.AB=BC

D.∠BAC=900

1. 如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC=CD=BD=BE ，∠A=50°，则∠CDE 的度数为( D ) A. 50° B. 51° C. 51.5° D. 5

2.5°

2. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=900

，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠ACD 交AB 于E ，则下列结论一定成立的是( C ) A.BC=EC

B.EC=BE

C.BC=BE

D.AE=EC

4、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠B=700

，则∠A=( ) A.70° B.55° C.50° D.40°

5、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABC=720

，则∠ABD 等于( )

A.18°

B.36°

C.54°

D.64°

6、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=300

，以B 为圆心，BC 长为半径作圆弧，交AC 于D ，连BD ，则∠ABD=( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

7、若等腰三角形的腰上的高与另一腰上的夹角为560

，则该等腰三角形的顶角的度数为( )

A.56°

B.34°

C.34°或146°

D.56°或34° 8、如图，在△ABC 中，AB=4，AC=6，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于O 点，过点O 作BC 的平行线交AB 于M 点，交AC 于N 点，则△AMN 的周长为( )

A.7

B.8

C.9

D.10 9、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为点E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE=2EC ，下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC ；

④AB=3BF，其中正确的结论有( )

A.①②③

B.①③④

C.②③

D.①②③④ 13．如图，△ABC 中，AB=AC ，且D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ，则∠B 的度数为(B)

A ．30°

B ．36°

C ．40°

D ．45°

10．在△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=12cm ，则BC 边上的

高是8cm.

11、等腰三角形的一个底角为500

，则它的顶角的度数为 .

12、等腰三角形的一个外角为1100

，则底角的度数可能是 .

9．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D.若AB=6，CD=4，则△ABC 的周长是

20．

10、如图，在△PAB 中，PA=PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，

AB

上的点，且AM=BK ，BN=AK ，若∠MKN=440

，则∠P 的度数为 .

5.如图，已知D 为△ABC 边AB 的中点，E 在边AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处，若∠B=65°，则∠BDF 等于 50° .

13、如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点. DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F. (1)求证：∠DEF=∠DFE.(2)EF 与BC 是否平行?说明理由.

14、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=400

，BD 是∠ABC 的平分线，求∠BDC 的度数.

15、如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥BC ，交AC 于点E.

(1)求证：DE=CE. (2)若∠CDE=350

，求∠A 的度数

.

17．(1)如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=900

，点D ，E 在边AB 上，且AD=AC ，BE=BC ，求∠DCE 的度数；

(2)如图2，在△ABC 中，∠ACB=400

，点D ，E 在直线AB 上，且AD=AC ，BE=BC ，则∠DCE＝110°；

(3)在△ABC 中，∠ACB=n 0

(0＜n ＜180)，点D ，E 在直线AB 上，且AD=AC ，BE=BC ，求∠DCE 的度数(直接写出答案，用含n 的式子表示)．

解：(1)∵AD =AC ，BC=BE ，∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC. ∴∠ACD=(180°－∠A)÷2，∠BCE=(180°－∠B)÷2. ∵∠A ＋∠B＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°.∴∠DCE ＝∠ACD ＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°.

(3)①如图1，∠DCE=900

－12n 0；②如图2，∠DCE=90＋

12n 0

；③如图3，∠DCE=12n 0；④如图4，∠DCE=12

n 0.

知识点2 等边三角形的判定和性质

10．下列说法：①等边三角形的每一个内角都等于600

；②等边三角形三条边上的高都相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合．其中正确的有(D)

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 12．在下列三角形中：①三边都相等的三角形；②有一

个角是600

且是轴对称图形的三角形；③三个外角(每个顶点处各取1个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(D)

A ．①②③

B ．①②④

C ．①③

D ．①②③④

1、若△ABC 的内角满足2∠A-∠B=600，4∠A+∠C=3000

，则△ABC 是( )

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等边三角形

D.无法确定

2．如图，在△ABC 中，AB=BC=6，∠B=600

，则AC 等于(B)

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10 3．如图，△ABC 是等边三角形，则∠1＋∠2=(C) A ．60° B ．90° C ．120° D ．180° 11．如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，垂足为D ，点

E 是AC 上一点，且AD=AE ，则∠CDE 等于(C)

A ．30°

B ．20°

C ．15°

D ．10°

4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠C=300

，点D 在BC 上，AB ⊥AD ，AD=2，则BC 等于( )

A.4

B.5

C.6

D.8

8．如图，AC=BC=10cm ，∠B=150

，AD⊥BC 于点D ，则AD 的长为(C)

A ．3cm

B ．4cm

C ．5cm

D ．

6cm

6、如图，△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E=( )

A.30°

B.25°

C.15°

D.10°

7、如图，△ABC 是等边三角形，且BD=CE ，∠1=150

，则∠2的度数为( )

A.15°

B.30°

C.45°

D.60°

8、如图，在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，

点E 在线段AD 上，∠EBC=450

，则∠ACE 等于( ) A.15° B.30° C.45° D .60°

9、如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE ，BD 分别与CD ，CE 交于M ，N ，结论：①△ACE ≌△DCB ；②CM=CN；③AC=DN；④∠DAE=∠DBC. 其中正确的有( ) A.②④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 10、如图，四边形ABCD 中AC ，BD 为对角线,AB=BC=AC=BD ，则∠ADC 的大小为( )

A.120°

B.135°

C.145°

D.150° 11、如图，△ABC 是边长为20的等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，则BE+CF=( )

A.5

B.10

C.15

D.20

4．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，

则∠CBD＝120

°．

5．如图，等边三角形ABC中，AD为高，若AB=6，则CD

的长度为3．

6．等边三角形ABC的边长如图所示，则y=3．

4．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接

在一起，则拼接后的△ABD的形状是等边三角形．

7．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边AB，

AC的中点，CD

，BE交于点

O，则∠BOC的度数是

120°．

13．如图，点D是等边三角形ABC的边AC上一点，以

BD为边作等边三角形BDE，若BC=10，BD=8，则三角形

ADE的周长为18．

16．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，

BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是等

边三角形．

9．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之

间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为300，若自动扶

梯运行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层

楼的时间为26

秒．

10．

如图，铁路AC与铁路AD相交于车站A，B区在∠CAD

的平分线上，且距车站A为20千米，∠DAC＝600

，则B

区距铁路AC的距离为10千米．

6．如图，点D，E在线段BC上，BD=CE，∠B=∠C，∠

ADB=1200，求证：△ADE为等边三角形．

证明：∵∠B＝∠C，

∴AB＝AC.

又∵BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)．

∴AD＝AE.

又∵∠ADB＝120°，

∴∠

ADE＝60°.

∴△ADE为等边三角形．

13、如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A，D，E

在同一直线上.(1)求证：AD=BE；(2)求∠AEB的度数

.

17．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC

上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.

(1)求∠F的度数；

(2)若CD＝2，求DF的长．

解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.

∵DE∥AB，

∴∠EDC＝∠B＝60°.

∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.

∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.

(2)∵∠A CB＝60°，∠EDC＝60°，

∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝

2.

∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，

∴DF＝2DE＝4.

18．在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠B=∠D=600，连

接AC.

(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.

求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；

(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在

点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备

用)．

解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC.

同理，△ADC 也是等边三角形， ∴∠B ＝∠ACF＝60°.

又∵BE＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS)． ②∵△ABE ≌△ACF ，

∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF. ∵∠BAE ＋∠CAE＝60°，

∴∠CAF ＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°. ∴△AEF 是等边三角形． (2)存在．

证明：在CD 延长线上取点F ，在BC 延长线上取点E ，使CF ＝BE ，连接AE ，EF ，AF. 与(1)①同理可证△ABE≌△ACF， ∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF.

∴∠CAF －∠CAE＝∠BAE－∠CAE. ∴∠EAF ＝∠BAC＝60°. ∴△AEF 是等边三角形．

(注：若在CD 延长线上取点F ，使CE ＝DF 也可)

知识点3 勾股定理与逆定理

1、下列定理中，有逆定理的个数是( )

①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形的三

边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2

，则该三角形是直角三角形；

③全等三角形的对应角相等；④若a=b ，则a 2=b 2

. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、在直角三角形中，若勾为3.股为4，则弦为( ) A.5 B.6 C.7 D.8

3、以下列每组数据中的三个数值为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(

)

A.3,4,5

B.6,8,10

C.3,2,5

D.5,12,13

4、已知a ，b ，c 是三角形的三边长，如果满足(a-6)2

+ b 8+|c-10|=0，那么下列说法中不正确的是( ) A.这个三角形是直角三角形 B.这个三角形的最长边长是10 C.这个三角形的面积是48

D.这个三角形的最长边上的高是4.8

5、给出下列几组数：①

4，5，6；②8，15，16；③n 2

-1，

2n ，n 2+1；④m 2-n 2，2mn ，m 2+n 2

(m ＞n ＞0). 其中—定能组成直角三角形三边长的是( )

A.①②

B.③④

C.①③④

D.④

6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900

，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=( ) A.2 B.3 C.4 D.32 7、如图，AC ⊥BC 于点C ，DE ⊥BE 于点E ，BC 平分∠ABE ，

∠BDE=580

.则∠A= .

8、如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 .

9、腰长为12，底角为150

的等腰三角形的面积为 . 10、三角形三边长分别为6，6，32，则此三角形的最大边上的高等于 . 11、已知CD 是△ABC 的边AB 上的高，若CD=3，AD=1， AB=2AC ，则BC 的长为 .

12、如图，在△ABC 中，D 为BC 上的一点，若AC=17，AD=8，CD=15，AB=10，求 △ABC 的周长和面积.

13、如图，四边形ABCD 中，AB=BC=1，CD=3，DA=1，

∠B=900

. 求：(1)∠BAD 的度数.(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号).

14、如图，△ABC 中，AC=6，BC=8，DE 是△ABD 边AB 上高，DE=4，AD=52，BD=54，求△ABC 边AB 上的高.

15、如图，△ABC和△ADE分别是以BC，DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平分DE交BC于点F，连接BE，EF.

(1)CD与BE相等?若相等，请证明；若不相等，请说明理由；(2)若∠BAC=900，求证：BF2+CD2=FD2

.

知识点4 直角三角形的判定定理“HL”

1、下列命题中，假命题是( )

A.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等

B.斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等

C.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等

D.一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等

2、△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，高AD=A′D′，则∠C和∠C′的关系是( )

A.相等

B.互补

C.相等或互补

D.以上都不对

3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=BC，若CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别是D，E.则图中全等的三角形共有( )

A.2对

B.3对

C.4对

D.5对

4、如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，根据“HL”证明Rt △ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是( )

A.AE=DF

B.∠A=∠D

C.∠B=∠C

D.AB=DC

5、如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，左边滑梯高度AC与右边滑梯水平方向长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是( ) A.90° B.120° C.135° D.150°

6、如图，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B，C，AB=BC，

E为BC的中点，且AE⊥BD于F，若CD=4cm，则AB的长

度为( )

A.4cm

B.8cm

C.9cm

D.10cm

7、如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别

为点E，D，BD=CF，BE=CD.∠AFD=1400，则∠EDF= .

8、如图，Rt△ABC中，∠C=900，AC=8，BC=3， AE⊥

AC，P，Q分别是AC，AE上动点，PQ=AB，当AP= 时，

才能使△ABC和△PQA全等.

9、如图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH

⊥AC于H，DE=DH，点F为AE的中点，点G为直线AC

上一动点，DG=DF，若AE=4cm，则AG= .

10、在如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+

∠4+∠5+∠6+∠7=

.

11、如图，∠A=∠D=900，AC=DB，AC，DB相交于点O.

求证：

OB=OC.

12、如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=450，点P在AB上，

AD⊥CP，BE⊥CP，垂足为D，E，DC=2，求BE的长

.

13、课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到

两墙之间，如图. (1)求证：△ADC≌△CEB.

(2)从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙

砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等

).

14、如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD=CD，BE=CF.

(1)求证△BED≌△CFD. (2)已知EC=6，AC=10，求BE.

(3)当∠C=450时，判断△DFC的周长与线段AC长度的关系，并说明理由.