自动控制原理课程设计报告书

摘要 (1)

1基于性能指标要求的分析........................................................................................ (2)

1.1确定待校正装置的开环放大倍数................................................................ ..2 2分析待校正的直流电机性能.................................................................................... (2)

2.1 动态性能分析 (3)

2.2 静态性能分析 (6)

2.2.1利用根轨迹进行分析 (6)

2.2.2利用伯德图进行分析 (7)

3超前校正补偿环节设计 (8)

4两种实现形式在不同输入信号下的响应 (12)

4.1超前校正网络形式 (12)

4.1.1 单位阶跃输入的响应 (12)

4.1.2 单位斜坡输入的响应 (13)

4.2数字控制形式 (14)

4.2.1 单位阶跃输入的响应 (14)

4.1.2 单位斜坡输入的响应 (15)

5滞后校正补偿环节设计 (16)

6滞后补偿环节对待校正装置的影响 (18)

6.1校正前后根轨迹的比较 (18)

6.2系统对单位阶跃输入的响应 (19)

6.3系统对单位斜坡输入的响应 (19)

7超前校正与滞后校正的比较 (21)

7.1添加超前校正之后，系统的伯德图分析 (21)

7.2 添加滞后校正之后，系统的伯德图分析 (22)

结束语 (25)

参考文献 (26)

随着计算机技术的发展和应用，随着人们对生活质量要求的不断提高，自动控制理论和技术在宇航、机器人控制、导弹制导及核动力等高新技术领域中的应用也愈来愈深入广泛。不仅如此，自动控制技术的应用范围现在已扩展到生物、医学、环境、经济管理和其它许多社会生活领域中，成为现代社会生活中不可或缺的一部分。在日常生活中，我们生产出来的机器由于在结构和材料等方面上的限制，很难达到预期的性能指标要求，这就需要我们应用自动控制理论来对其进行校正，使之得到一个更好的性能。本文主要对给定的直流电机进行补偿环节的设计，并利用MATLAB仿真软件分析补偿前后的性能，使之达到预定的性能指标要求，以改善直流电机的性能，使之更好地工作。

最后，本文还对此次补偿环节的设计进行了总结。

关键词：自动控制补偿环节 MATLAB 性能指标

直流电机补偿环节的设计

1 基于性能指标要求的分析

1.1确定待校正装置的开环放大倍数

根据提供的性能要求

（1）对单位斜坡输入的稳态误差小于0.1； （2）且超调量小于25%； 做如下分析：

根据第一个要求对单位斜坡输入的稳态误差小于0.1，由公式

lim ()v s k s G s →=?

1

()0.1ss v

e k ∞=

< 可求得开环传递函数的开环放大倍数k>20,可取 k=21.所以可得传递函数为

21

()(2)

G s s s =

+

根据设计要求超调量小于25%，根据高阶系统频域指标与时域指标的关系

0.160.4(1)Mr σ=+-

1sin Mr r

=

可求得r>54.70

对于原传递函数，可根据以下的公式求相角裕度

1= 0018090arctan

2

C

W r =-- 求得r =24.60可知原传递函数不满足动态性能要求，需进行校正。

2 分析待校正的直流电机性能

待校正的直流电机初始条件：直流电机控制系统的结构如图2-1所示，简化的直流电机模型的传递函数为1

G s(s 2)(s)=

+。

图2-1 直流电机控制系统的结构图

2.1 动态性能分析

由直流电机控制系统的结构图可求得直流电机模型的闭环传递函数如下：

()2

()()(2)

=()1()21(2)

K C S G S K S S S K R S G S S S K S S +Φ===+++++ 我们都知道，在控制工程中，不仅二阶系统的典型应用极为普遍，而且不少高阶系统的特征在一定条件下可用二阶系统的特征来表征，所以二阶系统的分析和计算方法具有较大的实际意义。由直流电机控制系统的结构图可知，其为二阶系统，故我们可以应用二阶系统的分析和计算方法来分析直流电机的稳态性能，而二阶系统的标准形式如下：

()222

()

=()2n n n

C S S R S s s ωζωωΦ==++ 对比直流电机模型的闭环传递函数可知，2

n ω=K=21 2n s ζω=2s 故可求得

n ω=4.58 ， ζ=0.218 由此可知该直流电机为欠阻尼的二阶系统。

除此之外，我们也可以利用MATLAB 仿真软件计算负反馈系统21

G s(s 2)(s)=+

的阻尼比ζ和自然频率n ω。具体实现方法如下： 在MATLAB 命令窗口中输入以下程序： >> G=tf([21],[1 2 21]); >> [wn,z]=damp(G)

运行之后，结果如下图2-2所示：

图2-2 阻尼比和自然频率求解图

一般来说，我们是针对某一类输入信号来设计控制系统的。某些系统，例如室温系统或水位调节系统，其输入信号为要求的室温或水位高度，这是设计者所熟知的。但是在大多数情况下，控制系统的输入信号以无法预测的方式变化。例如，在防空火炮系统中，敌机的位置和速度无法预料，使火炮控制系统的输入信号具有了随机性，从而给规定系统的性能要求以及分析和设计工作带来了困难。为了便于进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行比较，我们需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。所谓典型输入信号，是指根据常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。控制系统中常用的典型输入信号有：单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数、单位脉冲函数和正弦函数。我们通常以单位阶跃函数作为典型输入作用，则可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。

下面我们来研究欠阻尼（01ζ<<）二阶系统的单位阶跃响应，由此来分析直流电机控制系统的性能。

当输入信号为单位阶跃函数时，由自动控制理论知识得到的基本计算公式如下：

上升时间为：t r d

πβω-=

t a n β=

峰值时间为： t p d

π

ω=

d ωω=

超调量为

：()()

%100%100%()p h t h e

h πξσ--∞=

?=?∞

调节时间为：

3.5(5%)

4(2%)

s n

s n

t w t w ξξ≈?=?≈?=?

由上面的公式可以计算得出：%σ=49.4% s t =3.5s

下面我们利用MATLAB 仿真软件来看看直流电机控制系统的单位阶跃响应的具体情况。首先我们在MATLAB 仿真软件的命令窗口中输入以下程序： wn=4.5826; kosi=[0.218];

hold on; %保持曲线坐标不被刷新 for kos=kosi num=wn.^2;

den=[1,2*kos*wn,wn.^2]; step(num,den) end

运行之后可以得到结果如下图2-3所示：

图2-3 直流电机控制系统的单位阶跃响应图

t=3.7s 即在误差允许的范围内，实由图可知，超调量%

=49.4% 调节时间

s

际值与理论值是一致的。

2.2 静态性能分析

2.2.1利用根轨迹进行分析

为了更准确地分析问题，我们可以利用MATLAB仿真软件来绘制直流电机控制系统的根轨迹，具体实现程序如下：

>> G=tf([1],[1 2 0]);

>> H=tf([0 1],[1]);

>> sys=G*H;

>> rlocus(sys)

运行之后，结果如下图2-4所示：

图2-4 待校正装置的根轨迹图

由上图可知：

当开环增益K 从零变到无穷时，根轨迹不会越过虚轴进入右半平面，因此，系统对所有K 值是稳定的。

手绘根轨迹步骤如下：

1、由传递函数知：极点为P1=0，P2=-2；

2、在实轴上的根轨迹为[0,-2],根轨迹分支数为n-m=2-0=2；

3、共有n-m=2条渐近线，(21)

,0,1,2...a k k n m

?π+=

=-12a π?=，132a π?= 4、由1

1

n m

j i

j i a p z

n m

σ==-=

-∑∑知，a σ=-1；

5、分离点的计算: 由1111

m

n i j i j

d z d p ===--∑∑知：11012d d d +=?=-+； 6、因为渐近线为12a π?=132a π?=，所以根轨迹与虚轴没有交点。

2.2.2利用伯德图进行分析

同样地，我们可以利用MATLAB仿真软件绘制直流电机控制系统的伯德图。具体实现程序如下：

num=21；

den=[1,2,0]；

[mag,phase,w]=bode(num,den)；

[gm,pm,wcg,wcp]=margin(mag,phase,w)；

运行之后，获取的伯德图如下图2-5所示：

图2-5 待校正装置的伯德图

幅值裕度gm =2.9132e+003

相角裕度pm =24.5945

穿越频率wcg =247.3690

截止频率wcp =4.3697

3 超前校正补偿环节设计

超前校正补偿环节设计基本原理：利用超前校正网络的相角超前特性，使得超前校正装置产生的最大超前相位的频率为新的截止频率，从而提高系统的相角裕度。如下图3-1所示为无源超前网络环节。

图3-1 无源超前网络校正环节图

假设该网络信号源的阻抗很小，可以忽略不计，而输出负载的阻抗为无穷大，则其传递函数为

2

21

()()1()1c c r U s R G s U s R sC R ==++21

211R R R sR C =+

+ 212112(1)R R Cs R R R R Cs +=++ 2112121212(1)/()()/()R R Cs R R R R R R Cs R R ++=+++ 其中122

R R a R += ，1212

R R C T R R =+，1aT R C =

最终获得无源超前校正网络环节函数为：11()1c aTs

G s a Ts

+=

+

基于频率法的无源超前网络要用到的基本公式如下： 传递函数： 1()1aTs

aG s Ts

+=

+

最大超前角频率：

m w =

最大超前角： 1

a r c s i n 1

m a a ?-=+

具体求解步骤如下：

⑴、根据稳态误差要求确定开环增益K=21

⑵、根据确定的开环增益求出待校正系统的相角裕度r=24.60 ⑶、m φφγεγ↑

↑==-

+←''校正前

给定的

补偿 00005524.6104

0.4m φ=-+=

ε是用于补偿因超前校正装置的引入，使系统截止频率增大而增加的相角滞后量。

ε值通常是这样估计的：如果未校正系统的开环对数幅频特性在截止频率处的斜

率为-40dB/dec ，一般取10~15ε=??如果为-60dB/dec 则取15~20ε=??

⑷、根据1sin 1sin m

m a φφ+=

-求解出a 的值为：a=4.68

再根据'''()()10lg c m L w Lc w a -==求解出''c ω=6.6 ⑸、由''

c w =

T=0.07

⑹、最终得出超前校正补偿环节的传递函数为1()1aTs

aG s Ts

+=

+，算出结果为： 10.3276()10.07c s

G s s

+=

+

⑺、验证：''''()()m c r r r φω=+>给定的相位裕度

''''0000()40.416.957.355m c r γφω=+=+=>,故符合性能指标要求

故加入超前网络补偿环节之后，直流电机控制系统的传递函数变为：

21(10.3276)

()(10.07)(2)

s G S s s s +=

++

由传递函数利用MATLAB 仿真软件绘制补偿后的开环根轨迹： 在MATLAB 命令窗口输入以下程序： num=[6.8796,21]

den=[0.07,1.14,2,0] %定义校正后的传递函数 g1=tf(num,den)

rlocus(g1,'r-' ) %根轨迹函数 grid

运行之后得到如下图3-2所示：

图3-2 校正后系统的根轨迹图

当开环增益K 从零变到无穷时，根轨迹不会越过虚轴进入右半平面，校正后的系统对于所有的K 值依然是稳定的。满足性能指标要求。

手绘根轨迹步骤如下：

1、由传递函数知：极点为P1=0，P2=-14.3，P3=-2，零点为Z=-3.05；

2、在实轴上的根轨迹为[0,-2]和[-3.05,-14.3],根轨迹分支数为n-m=3-1=2；

3、共有n-m=2条渐近线，(21)

,0,1,2...a k k n m

?π+=

=-12a π?=，132a π?= 4、由1

1

n m

j i

j i a p z

n m

σ==-=

-∑∑知，a σ=-6.625；

5、分离点的计算: 由1111

m

n

i j i j

d z d p ===--∑∑

知：1111

1.2214.32 3.05

d d d d d ++=?=-+++； 6、因为渐近线为12a π?=132a π?=，所以根轨迹与虚轴没有交点。

数字控制形式

由T=0.05s 可知此时a 依然为4.68，由公式''

c w =''9.25c w =

超前传递函数为 10.234()10.05s

G s s

+=

+

写成数字控制形式为 20(z) 4.6873.6

T

z

G z e -=--

4 两种实现形式在不同输入信号下的响应

4.1超前校正网络形式

4.1.1 单位阶跃输入的响应

下面我们比较校正前后的单位阶跃响应 在MATLAB 命令窗口中输入下面程序： G=tf([21],[1 2 0]); Gc=tf([0.3276 1],[0.07 1]); G0=feedback(G ,1); G1=feedback(G*Gc,1); step(G0,'-',G1,'--');

运行之后，得到结果如下图4-1所示：

图4-1 校正前后的单位阶跃响应图

分析比较：由上图可知，利用超前网络校正后，校正后的系统的超调量降低了，与此同时，峰值时间，上升时间及调节时间大大减小，加快了系统的响应速度，这一点与对数频率特性曲线的分析达到一致，很好地提高了系统的动态性能。

4.1.2 单位斜坡输入的响应

在MATLBA命令窗口中输入以下程序：

num1=[21];

den1=[1,2,21];

num=[6.8796,21];

den=[0.07,1.14,8.8796,21];

t=[0:0.1:10];

u=t;

y1=lsim(num1,den1,u,t);

y=lsim(num,den,u,t);

plot(t,y1,'b-',t,y,'r:');

xlabel('时间/s');

ylabel('y');

title('单位斜坡输入响应');

legend('校正前','添加超前环节后');

运行之后，得到结果如下图4-2所示：

图4-2 系统校正前后的单位斜坡输入响应图

在斜坡响应曲线中，系统要求的静态误差系数要小于0.1.校正后的系统输入量与输出量基本相等，所以静态误差趋近于0，达到了性能指标要求。

4.2数字控制形式

4.2.1 单位阶跃输入的响应

在MATLBA命令窗口中输入以下程序：

G=tf([21],[1 2 0]);

Gc=tf([0.234 1],[0.05 1]);

G0=feedback(G,1);

G1=feedback(G*Gc,1);

step(G0,'b-',G1,'r--');

title('单位阶跃输入响应');

legend('校正前','数字形式控制后');

运行之后，得到结果如下图4-3所示：

图4-3 数字控制系统校正前后的单位阶跃输入响应图

分析比较：由上图可知，利用数字控制形式实现后，校正后的系统的超调量降低了，与此同时，峰值时间，上升时间及调节时间大大减小，加快了系统的响应速度，这一点与对数频率特性曲线的分析达到一致，很好地提高了系统的动态性能。

4.1.2 单位斜坡输入的响应

在MATLBA命令窗口中输入以下程序：

num1=[21];

den1=[1,2,21];

num=[4.914,21];

den=[0.05,1.1,6.914,21];

t=[0:0.1:10];

u=t;

y1=lsim(num1,den1,u,t);

y=lsim(num,den,u,t);

plot(t,y1,'b-',t,y,'r:');

xlabel('时间/s');

ylabel('y');

title('单位斜坡输入响应');

legend('校正前','数字控制形式实现之后');

运行之后，得到的结果如下图4-4所示：

图4-4 数字控制系统校正前后的单位斜坡输入响应图

在斜坡响应曲线中，系统要求的静态误差系数要小于0.1.校正后的系统输入量与输出量基本相等，所以静态误差趋近于0，达到了性能指标要求。

5 滞后校正补偿环节设计

滞后校正补偿环节设计基本原理：利用滞后网络的高频幅值衰减特性，使截止频率下降，从而提高系统的相角裕度。无源滞后网络校正环节如下图5所示：

图5 无源滞后网络校正环节图

如果信号源的内部阻抗为零，负载阻抗为无穷大，则滞后网络的传递函数为：

sC

R R sC

R s G s U s U c r c 1)()()(122+++

=

= 1)(1

212+++=Cs R R Cs R 1)(1

212212

1+++++=Cs R R Cs R R R R R 其中分度系数为：12

12

<+=

R R R b 时间常数为C R R T )(21+=

最终可获得无源滞后校正网络环节函数为：Ts

bTs

s G c ++=

11)( 基于频率法的无源超前网络要用到的基本公式如下： 传递函数： Ts

bTs

s G c ++=

11)( 相角裕度： "(")(")c c c r r w w ?=+

（(")c c w ?在"c w 确定之前取-6）

20lg '(")0c b L w +=

1

0.1"c w bT

= 具体求解步骤如下：

⑴、根据稳态误差要求确定开环增益K=21

⑵、根据确定的开环增益求出待校正系统的相角裕度r=24.60

⑶、根据"(")(")c c c r r w w ?=+（(")c c w ?在"c w 确定之前取-6）求解出

(")=55+6=61c r w 再根据 ''

18090arctan 2

C W r =-- "c w =1.11 ⑷、根据20lg '(")0c b L w +=求解出a 的值为：b=0.12 ⑸、由

1

0.1"c w bT

=算出T=75.08 ⑹、最终得出超前校正补偿环节的传递函数为Ts

bTs

s G c ++=

11)(。算出结果为： 19.0()175.08c s

G s s

+=

+

⑺、验证：0'

'03.5-)]1(1.0[)(=-≈b arctg c c ω?

?>=?-?=''+''=''5597.5503.561)()(0c c

ω?ωγγ,故符合性能指标要求。 故加入滞后网络补偿环节之后，直流电机控制系统的传递函数变为：

21(19.0)

()(175.08)(2)

s G S s s s +=

++

6 滞后补偿环节对待校正装置的影响

6.1校正前后根轨迹的比较

在MATLBA 命令窗口输入以下程序： num1=[21]

den1=[1, 2,0] %定义校正前的传递函数 g1=tf(num1,den1) num2=[189,21]

den2=[75.08,151.16,2,0] %定义校正后的传递函数 g2=tf(num2,den2)

rlocus(g1,'b-' ,g2, 'r--') %根轨迹函数 grid

运行之后，得到结果如下图6-1所示：

图6-1 添加滞后校正前后的根轨迹图

由上图可知，实线表示校正前的根轨迹，虚线表示添加滞后校正后的根轨迹，可见，校正前后的根轨迹均在复平面左边，因此二者均稳定。

根轨迹的手绘步骤，可参考前面超前校正补偿环节的根轨迹绘制步骤。

6.2系统对单位阶跃输入的响应

在MATLBA命令窗口输入以下程序：

G=tf([21],[1 2 0]);

Gc=tf([9.0 1],[75.08 1]);

G0=feedback(G,1);

G1=feedback(G*Gc,1);

step(G0,'b-',G1,'r--');

运行之后，可得添加滞后补偿前后，系统对单位阶跃输入的响应，结果如下图6-2所示：

图6-2 添加滞后补偿前后系统的单位阶跃输入响应图

上图中，实线表示校正前系统的单位阶跃输入响应，虚线表示系统添加滞后校正环节后的单位阶跃输入响应。显然，添加滞后校正环节之后，系统单位阶跃响应的超调量变小了，峰值时间，上升时间及调节时间都增大了，减小了系统的响应速度，这一点与对数频率特性曲线的分析达到一致，降低了系统的动态性能，可见虽然达到了性能指标的要求，但是，同时也降低了系统的动态性能。

6.3系统对单位斜坡输入的响应

在MATLAB命令窗口中输入以下程序: