宁波市效实中学数学全等三角形单元测试卷 (word版,含解析)

宁波市效实中学数学全等三角形单元测试卷 （word 版，含解析）

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.

【答案】15CP ≤≤

【解析】

【分析】

根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.

【详解】

如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，

此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，

如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，

此时CP=AC ，

Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5， 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5，

故答案为1≤CP≤5.

【点睛】

本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.

2．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限

内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，1

2

），且

△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．

【答案】-8

3

．

【解析】

【分析】

先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的

面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝13

2

，故可得出a的值．

【详解】

∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2，

∴22

3+213

AB＝＝，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，

∴

1113

?1313

222 ABC

S AB AC??

＝＝＝，

作PE⊥x轴于E，连接OP，

此时BE＝2﹣a，

∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，

∴

111

???

222 ABP POA AOB BOP

S S S S OA OE OB OA OB PE ++

＝﹣＝﹣，

111113

3322

22222

a

??+????

＝（﹣）﹣＝，

解得a＝﹣8

3

．

故答案为﹣83

．

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S △ABP =S △POA +S △AOB -S △BOP 列出关于a 的方程． 3．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．

【答案】30

【解析】

【分析】

根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12

POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．

【详解】

解：如图示：连接OC ，OD ，

∵点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，

∴OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，

∵OP=5cm ，

∴12COA AOP COP ，12

POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，

OP=OD=5cm ，

∵△PEF 的周长是5cm ，

∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm ，

∴CD=OD=OD=5cm ，

∴△OCD 是等边三角形，

∴∠COD=60°， ∴11122230AOB AOP BOP COP DOP COD ，

故答案为：30．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．

4．如图，在ABC ?中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=?，50DAC ∠=? 则EBD ∠的度数为______．

【答案】10?

【解析】

【分析】

延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ?，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．

【详解】

如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：

∵D 是BC 的中点

∴BD CD =

又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =

∴ACD FDB ?

∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠

∵AC BE =， 70C ?∠=， 50CAD ?∠=

∴BE BF =， 70DBF ?∠=

∴50BEF F ?∠=∠=

∴180180505080EBF F BEF ?????∠=-∠-∠=--=

∴807010EBD EBF DBF ???∠=∠-∠=-=

故答案为：10?

【点睛】

本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．

5．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：

①AE=CF；

②△EPF是等腰直角三角形；

③EF=AB；

④

1

2ABC

AEPF

S S

?

=

四边形

，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述

结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).

【答案】①②④

【解析】

试题分析：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，

∴∠APE=∠CPF，

∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，

∴AP=CP，

∴∠PAE=∠PCF，

在△APE与△CPF中，

{?

PAE PCF

AP CP EPA FPC ∠=∠=∠=∠

，

∴△APE ≌△CPF （ASA ），

同理可证△APF ≌△BPE ，

∴AE=CF ，△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF =

12S △ABC ，①②④正确； 而AP=12

BC ，当EF 不是△ABC 的中位线时，则EF 不等于BC 的一半，EF=AP ， ∴故③不成立． 故始终正确的是①②④．

故选D ．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．

6．如图，将ABC ?沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的1A 处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ，还原纸片后，再将ADE ?沿着过AD 中点1D 的直线折叠，使点A 落在DE 边上的2A 处，称为第2次操作，折痕11D E 到BC 的距离记为2h ，按上述方法不断操作下去…经过第2020次操作后得到的折痕20192019D E 到BC 的距离记为2020h ，若11h =，则2020h 的值为______．

【答案】2019122-

【解析】

【分析】

根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA ?=DB,从而可得∠ADA ?=2∠B,结合折叠的性质可得.，∠ADA ?=2∠ADE,可得∠ADE=∠B,继而判断DE// BC,得出DE 是△ABC 的中位线，证得AA ?⊥BC,AA ?=2，由此发现规律：01 2122

h =-=-?同理21122h =-3211122222

h =-?=-…于是经过第n 次操作后得到的折痕Dn-1 En-1到BC

的距离1

122n n h -=-

，据此求得2020h 的值． 【详解】 解：如图连接AA ?,由折叠的性质可得：AA ?⊥DE, DA= DA ? ,A ?、A ?…均在AA ?上

又∵ D 是AB 中点，∴DA= DB ,

∵DB= DA ? ,

∴∠BA ?D=∠B ,

∴∠ADA ?=∠B +∠BA ?D=2∠B,

又∵∠ADA ? =2∠ADE ,

∴∠ADE=∠B ∵DE//BC,

∴AA ?⊥BC ,

∵h ?=1

∴AA ? =2,

∴01

2122h =-=-? 同理：21

122h =-； 3211122222

h =-?=-； …

∴经过n 次操作后得到的折痕D n-1E n-1到BC 的距离1122n n h -=-

∴20202019122h =-

【点睛】

本题考查了中点性质和折叠的性质，本题难度较大，要从每次折叠发现规律，求得规律的过程是难点．

7．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．

【答案】112.5?或67.5?

【解析】

【分析】

当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．

【详解】

如图1，当点D 在线段AB 上，且A D BC '时，45A DB B '∠=∠=?，

45180ADC A DC '∴∠+∠-=??

，解得112.5A DC ADC '∠=∠=?.

图1

如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=?，

45180ADC A DC '∴∠+∠+=??

，解得67.5A DC ADC '∠=∠=?.

图2

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．

8．如图，30AOB ∠=?，P 是AOB ∠内一点，10PO =.若Q 、R 分别是边OA 、OB 上的动点，则PQR ?周长的最小值为_______.

【答案】10

【解析】

【分析】

作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，利用对称的性质得到△PQR周长=P′P″，根据两点之间线段最短可判断此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，再证明△P′OP″为等边三角形得到P′P″=OP′=OP=10，从而得到△PQR周长的最小值

【详解】

解：

作点P关于OB的对称点P′，点P关于OA的对称点P″，连接P′P″交OB于R，交OA于Q，连接PR、PQ，如图3，

则OP=OP′，OP=OP″，RP=RP′，QP=QP″，

∴△PQR周长=PR+RQ+PQ=RP′+RQ+QP″=P′P″，

∴此时△PQR周长最小，最小值为P′P″的长，

∵由对称性可知OP=OP′，OP=OP″，PP′⊥OB，PP″⊥OA，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠P′OP″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠BOA=60°，

∴△P′OP″为等边三角形，

∴P′P″=OP′=OP=10，

故答案是：10.

【点睛】

本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题．

9．在下列结论中：①有三个角是60?的三角形是等边三角形；②有一个外角是120?的等

腰三角形是等边三角形；③有一个角是60 ，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.

【详解】

有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.

故此题正确的是①②③④.

【点睛】

此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.

10．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为______．

【答案】60°

【解析】

【分析】

此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时

∠ECF的值.

【详解】

分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：

在AD 、AB 上任意取E 1、F 1两点

根据对称性：

∴CE=C 1E ，CE 1=C 1E 1，CF=C 2F ，CF 1=C 2F 1

∴△CEF 的周长= CE ＋EF ＋CF= C 1E ＋EF ＋C 2F= C 1C 2

而△CE 1F 1的周长= CE 1＋E 1F 1＋CF 1= C 1E 1＋E 1F 1＋C 2F 1

根据两点之间线段最短，故C 1E 1＋E 1F 1＋C 2F 1＞C 1C 2

∴△CEF 的周长的最小为：C 1C 2.

∵∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°

∴∠DCB=360°－∠A －∠ADC －∠ABC=120°

∴∠C C 1C 2＋∠C C 2C 1=180°－∠DCB=60°

根据对称性：∠C C 1C 2=∠E CD ，∠C C 2C 1=∠F CB

∴∠E CD ＋∠F CB=∠C C 1C 2＋∠C C 2C 1=60°

∴∠ECF =∠DCB －（∠E CD ＋∠F CB ）=60°

故答案为：60°

【点睛】

此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.

二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）

11．如图，120AOB ∠=?，OP 平分AOB ∠，且2OP =，若点M N 、分别在OA OB 、上，且PMN ?为等边三角形，则满足上述条件的PMN ?有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．无数个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°，只要证明△PEM≌△PON即可反推出△PMN是等边三角形满足条件，以此进行分析即可得出结论.

【详解】

解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．

∵OP平分∠AOB，120

AOB

∠=?，

∴∠EOP=∠POF=60°，

∵OE=OF=OP，

∴△OPE，△OPF是等边三角形，

∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，

∴∠EPM=∠OPN，

在△PEM和△PON中，

PEM PON

PE PO

EPM OPN

∠

?∠

?

?

∠

?

∠

?

＝

＝

＝

∴△PEM≌△PON（ASA）．

∴PM=PN，

∵∠MPN=60°，

∴△PNM是等边三角形，

∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，

故这样的三角形有无数个．

故选：D．

【点睛】

本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线并构造全等三角形.

12．等边△ABC，在平面内找一点P，使△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有多少个？（）

A．1个B．4个C．7个D．10个

【答案】D

【解析】

试题分析：根据点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知

P点为等边△ABC的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．

解：由点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，

可知P点为等边△ABC的垂心；

因为△ABC是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，

每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．

故选D．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．

13．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣5

2

）和B（3，﹣

11

2

）是图形上的一

对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（）

A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣3

2

）C．（﹣

3

2

，﹣9）D．（﹣2，﹣1）

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用点A和点B的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C关于直线y=-4的对称点即可．

【详解】

解：∵A（3，﹣5

2

）和B（3，﹣

11

2

）是图形上的一对对称点，

∴点A与点B关于直线y＝﹣4对称，

∴点C（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．

故选：A．

【点睛】

本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=n对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n．

14．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )

A．AD＝BE B．BE⊥AC

C ．△CFG 为等边三角形

D ．FG ∥BC 【答案】B

【解析】

试题解析：A.ABC 和CDE △均为等边三角形，

60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=?，，，

在ACD 与BCE 中，

{AC BC

ACD BCE CD CF =∠=∠=，

ACD BCE ∴≌，

AD BE ∴=，正确.

B .据已知不能推出F 是A

C 中点，即AC 和BF 不垂直，所以AC BE ⊥错误，故本选项符合题意.

C.CFG 是等边三角形，理由如下：

180606060ACG BCA ∠=?-?-?=?=∠，

ACD BCE ≌，

CBE CAD ∴∠=∠，

在ACG 和BCF 中，{CAG CBF

AC BC

BCF ACG ∠=∠=∠=∠，

ACG BCF ∴≌，

CG CH ∴=，

又∵∠ACG=60° CFG ∴是等边三角形，正确.

D.CFG 是等边三角形，

60CFG ACB ∴∠?=∠﹦，

.FG BC ∴ 正确.

故选B.

15．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P 、Q 分别是线段BC 、射线BA 上一点，则CQ+PQ 的最小值为（ ）

A ．6

B ．7.5

C ．9

D ．12

【答案】C

【解析】

【分析】 通过作点C 关于直线AB 的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.

【详解】

解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点1C ，1CC 交射线BA 于

H ，过点1C 作BC 的垂线，垂足为P ，与AB 交于点Q ，CQ+PQ 的长即为1PC 的长.

∵AB=AC=6,∠BAC=120°，

∴∠ABC=30°，

易得BC=3

在Rt △BHC 中，∠ABC=30°，

∴HC=33BCH=60°， ∴163CC =

在1Rt △PCC 中，1PCC ∠=60°，

∴19PC =

∴CQ+PQ 的最小值为9，

故选：C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.

16．如图，已知：∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3 ···在射线ON 上，点1B 、2B 、

3B ···在射线OM 上，△112A B A 、△223A B A 、△334A B A …均为等边三角形，若112

OA =，则△667A B A 的边长为（ ）

A ．6

B ．12

C ．16

D ．32

【答案】C

【解析】

【分析】 根据等腰三角形与等边三角形性质以及直角三角形中30°角所对应的直角边等于斜边的一半111OA A B =，112122321122A B A B A B A B ==

=…以此类推得出答案即可 【详解】

∵△112A B A 是等边三角形，

∴∠112A B A =∠112B A A =60°

又∵∠MON =30°

∴∠11OB A =30°

∴∠12OB A =∠212A B B =90°，1112112A B OA A B ===

又∵△223A B A 是等边三角形

∴22A B ∥11A B

∴∠22OB A =∠11OB A =30°

∴在Rt△212A B B 中，22A B =212A B =1

以此类推，得出△667A B A 的边长=

1222222

?????=16 所以答案为C 选项

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形与等边三角形性质以及30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关概念通过题目发现规律是解题关键

17．如图，已知正方形ABCD ，顶点A （1，3）、B （1，1）、C （3，1）．规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为（ ）

A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）

【答案】A

【解析】

试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．

试题解析：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．

∴对角线交点M的坐标为（2，2），

根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），

第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），

第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），

第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），

∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．

故选A．

考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．

18．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）

A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】

由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明

△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.

【详解】

∵∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

又∵AC=BC，CE=CD，

∴△BCD≌△ACE，

∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，

∴∠BAE=120°，

∴∠EAD=60°，②正确，

∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，

∴∠ACD=∠ADC=30°，

∴AC=AD，

∵CE=DE，

∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，

当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，

∵∠AEC=∠BDC，

∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，

∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED

∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，

如图，当点D在AB上时，

∵△BCD≌△∠ACE，

∴∠CAE=∠CBD=60°，

∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，

∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误

故正确的结论有①②④，

故选C.

【点睛】

此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握

19．如图，O是正三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形

AOBO′=6+33；⑤S△AOC+S△AOB=6+9

3

4

．其中正确的结论是（）

A．①②③⑤B．①③④C．②③④⑤D．①②⑤【答案】A

【解析】

试题解析：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，

又∵OB=O′B，AB=BC，

∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，

故结论①正确；

如图①，连接OO′，

∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，

∴△OBO′是等边三角形，

∴OO′=OB=4．

故结论②正确；

∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，

故结论③正确；

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=1

2

×3×4+

3

4

×42=6+43，

故结论④错误；

如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．

易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，

则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=1

2

×3×4+

3

4

×32=6+

93

4

，

故结论⑤正确．

综上所述，正确的结论为：①②③⑤．

故选A．

20．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）

A．2B．1+

2

2

C．2D2-1

【答案】B 【解析】

第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为

2

2

；

2

，腰长为1

2

，所以周长为

1122

1 222

2 ++=+.故答案为B.