医药数理统计自考复习

第一章

一、事件之间的关系及运算：

包含：事件A 发生必然导致事件B 发生，记作B A ?或A B ?。 相等：若B A ?，同时有A B ?，记为A=B 并事件：C A B =+={,A B 至少有一个发生} 交事件：AB ={,A B 同时发生}

互斥事件：,A B 不同时发生即Φ=AB ,互斥完备群：即(1)i j A A i j n =Φ≤≠≤且1n

i i A ==Ω∑

对 立事件：在一次试验中A 与B 有且仅有一个发生,即Φ=AB 且A B +=Ω

二、事件的概率

1．频率的定义：进行条件相同的n 次试验，事件A 出现m 次，则称m 为事件A 的频数，比值n/m 称为事件A 发生的频率。记作()f A m n =

2．概率的古典定义：主要看例题 3．概率的性质： 1）、 ()01P A ≤≤； 2）、1)(=ΩP ； ()0P Φ= 三、概率的运算

1．加法定理：互斥事件()()()P A B P A P B +=+ 一般事件 ()()()()P A B P A P B P AB +=+- 对立事件 ()()()1P A B P A P B +=+=

2．乘法定理：独立事件()()()P AB P A P B =（独立的定义：()(/)P A P A B =或

()(/)P B P B A =）

一般事件()()(/)()(/)P AB P A P B A P B P A B == 注意：独立不互斥，互斥不独立 3．条件概率：()()

/()

P AB P B A P A =

，()/1(/)P B A P B A =-

四、全概公式和逆概公式（重点） 定理1：若事件组12,,

n B B B 是一列互不相容的事件，且有1

n

i i B ==Ω∑,对任何事件A ，有

()1()()/n

i i i P A P B P A B ==∑，即

1211

()()

()

()(|).

n n

i i n i i i P A P AB AB AB P AB P B P A B ===++

+==∑∑

定理2：若12,,

n B B B 是一列互不相容的事件，且

()1

,0,1,2,

n

i

i i B

P B i ==Ω>=

∑

则对任一事件A,P(A)>0有()()()

()()

1

///i i i n

i

i

i P B P A B P B A P B P A B ==

∑，即

()()/()

i i P AB P B A P A =

例题，书后习题。

第二章概率分布与数字特征

离散型变量的概率分布与数字特征 一、概率函数

1、定义：{}k k P X x p ==，写成表格的形式（分布率）

2、 基本性质：0≥i p ；∑=i

i p 1

二、分布函数

1、定义：(){},

F x P X x x R =≤∈

25{}P x X x <≤52{}{}P X x P X x =≤-≤52()()F x F x =-

345()()()P x P x P x =++

2、性质：0()1F x ≤≤；()F x 是x 的不减函数；()()0,1F F -∞=+∞=。 三、常见的离散型随机变量的分布

1、伯努力试验：对立、独立、重复

2、二项分布：~(,)X B n p ，,(1)EX np DX np p ==-

在n 次伯努力试验中，事件A 发生k 次的概率{}(1),k k

n k n

P X k C p p -==- 二项分布的最可能值0k ：(1)n p +是整数，0(1),(1)1k n p n p =++- (1)n p +不是整数，0[(1)]k n p =+ 3、泊松分布：~().X P λEX DX λ==

e {},!

k

P X k k λλ-==

四、数字特征

1、均数（期望）：1()k k k E X x p ∞

==∑，（加权平均）

均数的性质： E (C )=C ； E (kX )=kE (X );()E kX b kEX b +=+；()E X Y EX EY ±=±； 设X 、Y 独立，则 E (XY )=E (X )E (Y );

2、方差：（波动程度，离散程度）

2()[()]D X E X E X =-22()[()]E X E X =-，22()i i i

E X x p =∑

标准差：)(X D

方差的性质： D (C )= 0；2()().D kX k D X =；

设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，则 ()()()D X Y D X D Y +=+ 3

、变异系数：CV =

，不同随机变量之间波动程度的比较

连续型随机变量的概率分布与数字特征 一、密度函数()f x

1、定义：d {}()b

a P a X

b f x x <<=?，

2、密度函数的性质：0)(≥x f ，R x ∈； .1d )(=?∞

+∞

-x x f

二、分布函数

1、定义：(){}()d x F x P X x f t t -∞

=≤=?

，

2、分布函数的性质：(1)0()1,F x x R ≤≤∈

(2)()F x 是单调不减函数；

(3)

()lim ()0,()lim ()1x x F F x F F x →-∞

→+∞

-∞==+∞==

(4)()()f x F x '=

注意：(1) 连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0.即{}0P X c == (2){}{}P a X b P a X b <<=≤<{}{}P a X b P a X b =<≤=≤≤()()F b F a =- (3)()1()1()P X x P X x F x >=-≤=- 三、常见的连续型随机变量的分布

1、正态分布

1）、一般正态分布，2(,)X N μσ，2,EX DX μσ==

密度函数： 22

()2()x f x x μσ--

=

-∞<<+∞，

密度函数的性质：0)(≥x f ，R x ∈.

.1d )(=?

∞+∞

-x x f

μ确定曲线在坐标系中的位置，σ影响曲线的形状：当σ较大时，曲线较平坦；当σ较小

时，曲线较陡峭.

分布函数是22

()2(),t x F x t x μσ--

-∞

=-∞<<∞?

e

d

2）、标准正态分布()0,1X

N

密度函数2

2

(),x x x ?-

=

-∞<<∞，

()()x x ??-=

分布函数e

d 22

()t x Φx t -

-∞

=

?

， ()1()Φx Φx -=-，

3）、一般正态分布要化为标准正态分布计算

2(,)X

N μσ，

(0,1)X N μ

σ

-

四、连续型变量的数字特征

1、均数（期望）：d ()()E X xf x x +∞-∞

=?

，性质同离散型

2、方差：2()[()]D X E X E X =-22()[()]E X E X =-，d 22()()E X x f x x +∞-∞

=?

性质同离散型 标准差：)(X D 3、变异系数：CVX =，不同随机变量之间波动程度的比较

第三章 随机抽样和抽样分布

一、统计量的定义： 二、样本的数字特征

1、样本均数：1

1n

i i X X n ==∑，2,EX DX μσ==

2、样本方差：2

211()1n i i S X X n ==--∑22111n i i X nX n =??=- ?-??

∑ 3、样本标准差：S 4、中位数： 5、众数： 6、极差： 三、抽样分布 1、样本均数的分布

n X X X ,,,21 相互独立,且与总体),(~2

σμN X 同分布, 则样本均值),(~2

n

N X σμ

标准化：~(0,1).X U N =

临界值

2、2χ分布

定义：设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N ，称

222

2

12n X X X χ=++

+，为服从自由度为n 的2χ分布，22~().n χχ

2χ分布的性质:

1）、设)(~1221n χχ,)(~2222n χχ,且21χ,2

2χ相互独立,则22212

12~()n n χχχ++ 2）、若)(~22n χχ,则n E =)(2χ,n D 2)(2=χ

3）、

)1(~)1(22

2

--n S n χσ

2

χ分布的密度函数图像、2

χ分布的临界值

2、t 分布

定义：设)1,0(~N X ,)(~2n Y χ,且X 与Y 相互独立,则称随机变量

T =服从自由度

为n 的t 分布，记为T ～t (n ).

t

分布的性质：X t =

~(1)t n -

12~(2)X Y t t n n =+-（），22

2

1212(1)(1)2X Y w n S n S S n n -+-=+-

t 分布的密度函数图像，临界值 3、F 分布

定义：设)(~12n X χ,)(~22

n Y χ,且X 与Y 相互独立,则称随机变量 1

2

//X n F Y n =

服从自由度为12(,)n n 的 F 分布，记作12~(,)F F n n

性质：22

1122

22

~(1,1)X

Y

S F F n n S σσ=-- F 分布的密度函数图像，临界值 练习：55页，5题

第四章 总体的参数估计

一、参数的点估计

1、衡量估计量好坏的标准：无偏性、有效性、一致性。

无偏性：?()E θ

θ=； 有效性：12

??()()D D θθ< 样本均数和样本方差是总体均数和总体方差的无偏、有效、一致估计量。

二项分布，样本率?X p

n =是总体率的无偏估计量。??,pq

Ep p Dp n

==

泊松分布，?X λ

=是总体参数λ的无偏、有效估计量。 二、总体参数的区间估计 1、 置信区间的定义

2、正态分布的总体置信区间的确定（两个样本除外）61页，例1，例2

3、二项分布的总体置信区间的确定 1）、查表法（小样本）

2）、正态近似法（大样本）70页，例2

?~(,)X pq p

N p n n

=?~(0,1)

N ?

，n 由于

，

???1. p q p S =-=

其中若记于是所求总体率p 的置信区间为 //2?2?(,)??p p p S p u S u αα-+?? 或/2?(?)

p p u S α?±

练习：72页，4，5，14

第五章 总体参数的假设检验

一、假设检验的基本思想

1、假设检验的基本思想：小概率原理

2、假设检验中的两类错误以及两类错误之间的关系 第一类错误：α（弃真），0H 为真，拒绝0H 第二类错误：β（取伪），0H 为假，接受0H

关系：样本容量一定时，减小犯一类错误的概率，就会增加犯另一类错误的概率。 二、正态总体参数的假设检验。注意检验的步骤，对方差的检验不要求掌握，成组比较中，反差未知且不相等，不考。84页，例4

1、单个正态总体均数的检验

2σ已知 0010

00

:,

:H H μμμμμμμμ=≠><

(0,1)X U N =

拒绝域 ：2

||U u U u U u αα

α

≥≥≤-

2σ未知 0010

00

:,

:H H μμμμμμμμ=≠><

(1)X T t n =

- 拒绝域 ：2

||T t T t T t αα

α

≥≥≤-

2、单个正态总体方差的检验

22

22

0010

22022

0:,:H H σσσσσσσσ=≠>< 2

2220

(1)(1)n S

n χχσ

-=- 拒绝域：2222

12

2

22

22

1,ααααχχ

χχχχχχ-

-≤≥≥≤或

3、两个正态总体均数差的检验

三、离散型变量总体率的检验

1、列联表独立性的检验：四格表、列联表，例题4，5，99页，18题

2、参照单位法（不要求）

第八章 相关与回归

一、相关

1、 总体相关系数的性质 （1）1ρ≤；

（2）X 和Y 线性相关1ρ?=；

（3）如果X 和Y 独立，则0ρ=；若0ρ=，则X 和Y 非线性相关。 2、样本相关系数

定义：1()()xy i i i i i i l x x y y x y x y n ????=--=-

???????

∑∑∑∑， 2

221()xx

i i i l x x x x n ??=-=- ???∑∑∑，2

221()yy i i i l y y y y n ?

?=-=- ???

∑∑∑

l r =

性质：（1）1r ≤；

-1≤r <0，为负线性相关；0

（2）|r |越趋于1表示x 与y 线性关系越密切；|r |越趋于0表示x 与y 线性关系越不密切 3、相关系数的检验（了解） 1．R 检验，01:0,

:0H H ρρ=≠

2

l

r f n

==-，拒绝域：{||}

W r r

α

=≥

2．T检验，

01

:0,:0

H H

ρρ

=≠

~(2)

t t n

=-，拒绝域：

2

{||(2)}

W t t n

α

=≥-

二、回归方程

1、建立回归方程

,

xy

xx

l

b a y bx

l

==-，?y a bx

=+

2、回归方程的显著性检验

01

:0,:0

H b H b

=≠

2,

xx yy

U b l Q l U

==-

()

1,2

/(2)

U

F F n

Q nα

=-

-

F F

α

>，拒绝

第九章正交试验设计

一、正交表符号的含义

二、正交表的性质：158页

三、试验结果的直观分析：